Мозаики Эйнштейна — удивительная форма «Шляпа», которая никогда не повторяется!

Математика — это сложная и эзотерическая область, которая лежит в основе науки и техники, в частности, таких дисциплин, как криптография и кибербезопасность.

(Там… мы добавили упоминание о кибербезопасности, тем самым оправдывая оставшуюся часть этой статьи.)

Тема математики широко и ревностно изучается, по крайней мере, с древних вавилонских времен, и имена многих известных математиков вошли в наш повседневный лексикон в таких фразах, как пифагореец треугольники (те, у которых есть прямой угол в них), картезианский геометрия (работа с фигурами на плоских поверхностях), компьютер алгоритмы (последовательности инструкций, которые работают итеративно или рекурсивно для вычисления результата), и Пенроуз мозаики.

Мозаики Пенроуза, если вы когда-либо с ними встречались, были изобретены сэром Роджером Пенроузом в 1970-х годах и касались увлекательных и необычных способов покрытия поверхностей комбинациями форм.

Если вам интересно, почему слово алгоритм не имеет заглавной буквы, как другие, потому что это не точный перевод оригинального имени, а слово, полученное из Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми, влиятельный математик, географ и астроном, живший около 1200 лет назад в районе к востоку от Каспийского моря и к югу от Аральского моря, регионе, который теперь разделен между Узбекистаном и Туркменистаном.

Плитка в стиле фанк

Плиточные поверхности, конечно, распространены, например, в ванных комнатах, кухнях и проходах.

И, конечно же, на крышах, но в этой статье мы проигнорируем кровельную черепицу, потому что они предназначены для нахлеста, поэтому они не пропускают дождь без необходимости индивидуальной герметизации друг друга.

Даже участки с ковровым покрытием часто покрыты плиткой, особенно в офисах, так что части пола можно повторно выложить плиткой, не разрывая и не заменяя слегка использованное ковровое покрытие вокруг изношенных частей.

Если вы когда-либо посещали штаб-квартиру Sophos в Великобритании, например, вы знаете, что это в значительной степени открытая территория, покрытая квадратной ковровой плиткой различных нежных оттенков синего и светло-зеленого:

Как видите, квадратные плитки образуют то, что известно как периодическая картина, что означает, что шаблон повторяется время от времени.

В приведенном выше примере точная сетка, используемая в макете, гарантирует, что шаблон повторяется в обоих измерениях после перемещения всего на один квадрат вверх, вниз, влево или вправо.

Более сложные и визуально привлекательные узоры, которые, тем не менее, являются периодическими мозаиками, поскольку они постоянно повторяются, могут быть созданы с помощью регулярных комбинаций простых форм, таких как семипятиугольник:

Или ромбо-три-шестиугольник:

Мозаики Пенроуза

Это подводит нас к мозаикам Пенроуза.

Хотя сэр Роджер Пенроуз, вероятно, наиболее известен как лауреат Нобелевской премии по физике в 2020 году, он также известен своей работой над особым классом узоров плитки, известных как известные апериодические мозаики.

В отличие от периодических мозаик, которые повторяются очень часто, апериодические мозаики никогда не повторяются, независимо от того, насколько тщательно вы выбираете следующую часть для размещения и место для ее размещения…

…даже несмотря на то, что плитки основаны на конечном числе форм и покрывают бесконечную поверхность без каких-либо пробелов или перекрытий.

Периодические мозаики чем-то напоминают рациональные числа (дроби, основанные на делении одного целого числа на другое), в том смысле, что в конечном итоге они повторяются независимо от того, что вы делаете.

Если вы разделите 22 на 7, например, вы получите около 3.142.., что очень близко к значению числа Пи, которое составляет около 3.14159…

Но 22/7 на самом деле получается как 3.142857142857142857… и этот образец 142857 продолжает повторяться вечно, потому что число — это отношение (таким образом, описание Рациональное число) из двух целых чисел.

Напротив, истинное значение числа Пи равно иррациональный: его нельзя преобразовать в отношение, и его десятичное значение никогда не попадает в повторяющийся шаблон.

Как насчет подобной никогда не повторяющейся последовательности, основанной не на числовых значениях, а на формах?

Потребовалось бы вам бесконечное количество различных форм, чтобы гарантировать никогда не повторяющийся шаблон, или вы могли бы выполнить свою (по общему признанию, бесконечную) работу по укладке мозаики с помощью конечного набора плиток?

Пенроуз сократил число различных форм, необходимых для гарантированного неповторяющихся мозаик, до двух, но с тех пор вопрос не решен: Сможете ли вы найти единую форму, единую плитку, которую можно класть несколько раз, чтобы покрыть бесконечную поверхность, ни разу не повторяясь?

В том, что считается математическим каламбуром, этот Святой Грааль из плиток известен как Эйнштейн, что в переводе с немецкого означает «одна форма», но также перекликается с именем Альберта Эйнштейна из E=mc.² слава.

Представляем… шляпу

Что ж, математическая четверка, возглавляемая британским исследователем форм по имени Дэвид Смит, утверждает, что Эйнштейны действительно существуют, и обнаружила трискайдекагон (это 13-сторонняя фигура), который они назвали Шапка.

Они утверждают, что доказали, что Шляпа сама по себе генерирует долгожданный результат апериодического паттерна:

Проще говоря, если вы выложите плиткой свой пол, или крыльцо, или подъездную дорожку, или даже местное футбольное поле с запасом плитки Hat…

…в конечном итоге вы покроете всю поверхность узором, который на самом деле никогда не повторится.

При всем том, что он отображает различные «дочерние конструкции» и очевидное самоподобие, когда вы создаете свое произведение искусства на основе шляпы, это Пи напольной плитки: как бы вы ни старались, вы никогда не получите регулярный, периодический узор из это.

Что делать?

Мы не собираемся даже пытаться описать доказательство здесь – честно говоря, мы сами еще не успели его переварить – так что просто предложим вам изучай это в свое время. (Возможно, выделить для этой задачи длинные выходные?

Но если вы хотите поиграть с концепцией апериодических замощений, почему бы не испечь себе печенье Hat или печенье, если вы из Северной Америки?

Если у вас есть 3D-принтер, вы можете загрузить чертеж, чтобы сделать собственную форму для выпечки в форме шляпы!

*Надевает шляпу CSO GinderBread Instruments*.

GinderBread Instruments с гордостью представляет апериодическую форму для печенья, напечатанную на 3D-принтере. На основе апериодической моноплитки Смита, Майерса, Каплана и Гудмана-Стросса.https://t.co/hEdtNCXX1d pic.twitter.com/FoyedYcDM9

— Николай Туманов (@ntumanov_Xray) 28 марта 2023

---

• SEO-контент и PR-распределение. Получите усиление сегодня.
• Платоблокчейн. Интеллект метавселенной Web3. Расширение знаний. Доступ здесь.
• Источник: https://nakedsecurity.sophos.com/2023/04/04/einstein-tilings-the-amazing-hat-shape-that-never-repeats/