Исаак Ньютон не был известен щедростью духа, а о его презрении к соперникам ходили легенды. Но в одном письме своему конкуренту Готфриду Лейбницу, ныне известному как Эпистола Задний, Ньютон выглядит ностальгическим и почти дружелюбным. В нем он рассказывает историю из своих студенческих лет, когда он только начинал изучать математику. Он рассказывает, как сделал крупное открытие, приравняв площади под кривыми к бесконечным суммам путем догадок и проверок. Его рассуждения в письме настолько очаровательны и доступны, что напоминают мне игры с угадыванием образов, в которые любят играть маленькие дети.
Все началось, когда юный Ньютон прочитал книгу Джона Уоллиса. Арифметика Инфиниторум, основополагающая работа по математике 17 века. Уоллис предложил новый индуктивный метод определения числа пи, и Ньютон хотел изобрести что-то подобное. Он начал с задачи нахождения площади «кругового отрезка» регулируемой ширины. $ латекс х $. Это область под единичным кругом, определяемая $latex y=sqrt{1-x^2}$, которая лежит над частью горизонтальной оси от 0 до $ латекс х $, Вот $ латекс х $ может быть любым числом от 0 до 1, а 1 — это радиус круга. Площадь единичного круга равна пи, как хорошо знал Ньютон, поэтому, когда $латекс х=1$, площадь под кривой равна четверти единичного круга, $latexfrac{π}{4}$. Но при других значениях $ латекс х $, ничего не было известно.
Если бы Ньютон мог найти способ определить площадь под кривой для каждого возможного значения $ латекс х $, это может дать ему беспрецедентный способ приближения числа пи. Изначально это был его грандиозный план. Но по пути он нашел кое-что еще лучше: метод замены сложных кривых бесконечными суммами более простых строительных блоков, состоящих из степеней $ латекс х $.
Первым шагом Ньютона было рассуждение по аналогии. Вместо того, чтобы нацеливаться непосредственно на площадь кругового сегмента, он исследовал площади аналогичных сегментов, ограниченных следующими кривыми:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Ньютон знал, что площади под кривыми в списке с целыми степенями (например, $latex frac{0}{2}=0$ и $latex frac{2}{2} = 1$) будет легко вычислить, потому что они упрощаются алгебраически. Например,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Кроме того,
Но такое упрощение недоступно для уравнения окружности — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$ — или других кривых с половинными степенями. В то время никто не знал, как найти площадь под любым из них.
К счастью, площади под кривыми с целыми степенями были прямыми. Возьмем кривую $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Хорошо известное в то время правило для таких функций позволяло Ньютону (и всем остальным) быстро находить площадь: для любой целочисленной степени $latex nge 0$ площадь под кривой $latex y=x^n$ на интервал от $латекс 0$ в $ латекс х $ задается $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Уоллис догадался об этом правиле с помощью своего индуктивного метода, а Пьер де Ферма убедительно доказал его.) Вооружившись этим правилом, Ньютон знал, что площадь под кривой $latex y_4$ равна $latex x- frac{2x^3}{3 } + дробь{x^5}{5}$.
Это же правило позволило ему найти площадь под другими кривыми с целыми степенями в приведенном выше списке. Обозначим через $latex A_n$ площадь под кривой $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, где $latex n= 0, 1, 2, …$ . Применение правила дает
$латекс A_0=x$
$латекс A_1 = hspace{.295em}?$
$латекс A_2 = x -фракция{1}{3}x^3$
$латекс A_3 = hspace{.295em}?$
$латекс A_4 = x - гидроразрыв{2}{3}x^3 + гидроразрыв{1}{5}x^5$
$латекс A_5 =hspace{.295em}? $
$латекс A_6 = x -фракция{3}{3}x^3 + гидроразрыв{3}{5}x^5 – гидроразрыв{1}{7}x^7$
и так далее. Хитрая идея Ньютона состояла в том, чтобы заполнить пробелы, надеясь угадать $latexA_1$ (ряд для неизвестной области кругового сегмента) на основе того, что он мог видеть в других рядах. Сразу стало ясно одно: каждый $latexA_n$ начинается просто с $latex x$. Это предложило изменить формулы следующим образом:
$латекс A_0=x$
$латекс A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$латекс A_2 = x -фракция{1}{3}x^3$
$латекс A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$латекс A_4 = x - гидроразрыв{2}{3}x^3 + гидроразрыв{1}{5}x^5$
$латекс A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 - frac{1}{7}x^7$.
Затем, чтобы заменить следующую партию вопросительных знаков, Ньютон посмотрел на термины $latex x^3$. С небольшой лицензией мы можем увидеть, что даже в $latexA_0$ есть один из этих кубических членов, поскольку мы можем переписать его как $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Как Ньютон объяснил Лейбницу, он заметил, что «вторые члены $латекс frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ и т. д. находились в арифметической прогрессии» (он имел в виду 0, 1, 2, 3 в числителях). Предполагая, что эта арифметическая прогрессия может распространяться и на пробелы, Ньютон предположил, что вся последовательность числителей, известных и неизвестных, должна состоять из чисел, разделенных $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3...)$ "и, следовательно, первые два члена интересующего его ряда" — пока неизвестный $latex A_1$ , $latex A_3$ и $latex A_5$ — «должен быть $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ и т. д.».
Таким образом, на этом этапе паттерны подсказали Ньютону, что $latex A_1$ должен начинаться как
$латекс A_1 = x-фракция{1}{3}(фракция{1}{2}x^3) + …$.
Это было хорошее начало, но ему нужно было больше. Отыскивая другие закономерности, Ньютон заметил, что знаменатели в уравнениях всегда содержат нечетные числа в порядке возрастания. Например, посмотрите на $latex A_6$, в знаменателе которого 1, 3, 5 и 7. Тот же шаблон работал для $latex A_4$ и $latex A_2$. Достаточно просто. Эта закономерность, по-видимому, сохранялась во всех знаменателях всех уравнений.
Оставалось найти закономерность в числителях. Ньютон снова осмотрел $латекс A_2$, $латекс A_4$ и $латекс A_6$ и кое-что заметил. В $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ он увидел 1, умножающую $latex x$, и еще одну 1 в термине $latexfrac {1}{3}x^3$ (он проигнорировал его отрицательный знак на данный момент). В $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ он увидел числители 1, 2, 1. А в $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , он видел числители 1, 3, 3, 1. Эти числа должны быть знакомы каждому. кто когда-либо изучал треугольник Паскаля, треугольное расположение чисел, которое в простейшем случае получается путем сложения чисел над ним, начиная с 1 наверху.
Вместо того чтобы обращаться к Паскалю, Ньютон называл эти числители «степенями числа 11». Например, 112 = 121, что является второй строкой в треугольнике, и 113 = 1331, что является третьим. В настоящее время эти числа также называют биномиальными коэффициентами. Они возникают, когда вы расширяете степени бинома, такого как ($latex a +b$), как в $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Имея этот образец в руках, Ньютон теперь мог легко записывать $latex A_2, A_4, A_6$ и все остальные четные числа. A«S.
Затем, чтобы экстраполировать свои результаты на половинные степени и нечетные индексы (и, наконец, получить ряд, который он хотел, $latex A_1$), Ньютону нужно было расширить треугольник Паскаля до фантастического нового режима: на полпути между строками. Чтобы выполнить экстраполяцию, он вывел общую формулу для биномиальных коэффициентов в любой заданной строке треугольника Паскаля — строке $latex m$ — и затем дерзко подставил $latex m= frac{1}{2}$. И, что удивительно, это сработало. Это дало ему числители в ряду, который он искал для единичного круга, $latexA_1$.
Вот, по словам самого Ньютона, его краткое изложение Лейбницем паттернов, которые он индуктивно заметил до этой стадии рассуждения:
Я начал размышлять о том, что знаменатели 1, 3, 5, 7 и т. д. находятся в арифметической прогрессии, так что числовые коэффициенты только при числителях еще нуждаются в исследовании. Но в попеременно заданных областях это были фигуры степеней числа 11… то есть первая «1»; затем «1, 1»; в-третьих, «1, 2, 1»; в-четвертых, «1, 3, 3, 1»; в-пятых, «1, 4, 6, 4, 1» и т. д., и поэтому я начал исследовать, как остальные цифры в ряду могут быть получены из первых двух данных цифр, и я обнаружил, что, подставив $latex m$ вместо второй цифра, остальное будет получено путем непрерывного умножения членов этого ряда,
$latex frac{m-0}{1} раз frac{m-1}{2} раз frac {m-2}{3} раз frac{m-3}{4} раз frac {m-4}{5 }$ и т. д.
… Соответственно, я применил это правило для вставки рядов среди рядов, и, поскольку для окружности вторым членом был $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, я поставил $latex m=frac{1}{2}$, а возникающие условия были
$latex frac {1}{2} умножить на frac{frac{1}{2}-1}{2}$ или $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} умножить на frac{1}{2}-2}{3}$ или $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} умножить на frac{1}{2}-3}{4}$ или $latex – frac {5}{128}$,так до бесконечности. Откуда я понял, что площадь искомого сегмента окружности равна
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Наконец, подставив $latex x=1$, Ньютон смог получить бесконечную сумму для $latexfrac{π}{4}$. Это было важное открытие, но оказалось, что есть лучшие способы аппроксимации числа пи с помощью бесконечной суммы, как вскоре обнаружил сам Ньютон после этого первоначального исследования такого рода бесконечных сумм, которые теперь называются степенными рядами. В конце концов он вычислил первые 15 цифр числа Пи.
Возвращаясь к проблеме кругового сегмента, Ньютон понял, что уравнение самого круга (а не только области под ним) также может быть представлено степенным рядом. Все, что ему нужно было сделать, это опустить знаменатели и уменьшить степени $latex x$ на 1 в приведенном выше ряду степеней. Таким образом, он пришел к выводу, что
Чтобы проверить, имеет ли смысл этот результат, Ньютон умножил его сам на себя: «Это стало $latex 1-x^2$, а остальные члены исчезли при продолжении ряда до бесконечности».
Немного отступив от деталей, мы видим здесь несколько уроков о решении проблем. Если проблема слишком сложна, измените ее. Если это кажется слишком конкретным, обобщите его. Ньютон сделал и то, и другое, и получил результаты более важные и мощные, чем то, к чему он стремился изначально.
Ньютон не зацикливался упорно на четверти окружности. Он рассмотрел гораздо более общую форму, любой круговой сегмент шириной $латекс х$. Вместо того, чтобы придерживаться $latex x=1$, он позволил $latex x$ свободно изменяться от 0 до 1. Это выявило биномиальный характер коэффициентов в его ряду — неожиданное появление чисел в треугольнике Паскаля и их обобщения — которые пусть Ньютон увидит закономерности, которые Уоллис и другие упустили. Наблюдение за этими закономерностями дало Ньютону понимание, необходимое для более широкого и общего развития теории степенных рядов.
В его более поздних работах степенной ряд Ньютона дал ему швейцарский армейский нож для исчисления. С ними он мог вычислять интегралы, находить корни алгебраических уравнений и вычислять значения синусов, косинусов и логарифмов. Как он выразился, «с их помощью анализ достигает, я бы даже сказал, всех проблем».
Мораль: изменить проблему — это не обман. Это креативно. И это может быть ключом к чему-то большему.
