Вероятность и теория чисел сталкиваются — через мгновение

Их амбиции всегда были высоки. Когда Уилл Савин и Мелани Матчетт Вуд впервые начали работать вместе летом 2020 года, они решили переосмыслить ключевые компоненты некоторых из самых заманчивых гипотез в теории чисел. Предметы их внимания, классовые группы, тесно связаны с основными вопросами о том, как работает арифметика, когда числа расширены за пределы целых чисел. Савинв Колумбийском университете и Дерево, в Гарварде, хотел сделать предсказания о структурах, которые являются еще более общими и математически пугающими, чем классовая группа.

Еще до того, как они закончили формулировать свои прогнозы, в октябре они доказали новый результат это позволяет математикам применять один из самых полезных инструментов теории вероятностей не только к группам классов, но и к наборам чисел, сетям и многим другим математическим объектам.

«Это просто будет основополагающий документ, к которому все обратятся, когда начнут думать об этих проблемах», — сказал он. Дэвид Зурейк-Браун, математик из Университета Эмори. «Тебе больше не нужно изобретать что-то с нуля».

Закон о классе

Группа классов является примером структурированного математического множества, называемого группой. Группы включают многие знакомые наборы, такие как целые числа. Что делает целые числа группой, а не просто набором чисел, так это то, что вы можете сложить ее элементы вместе и получить другое целое число. В общем, набор является группой, если он включает в себя некоторую операцию, которая, например, сложение, объединяет два элемента в третий таким образом, который удовлетворяет некоторым основным требованиям. Например, должна быть версия нуля, элемент, который не изменяет другие элементы.

Целые числа, которые математики обычно называют $latex mathbb{Z}$, бесконечны. Но многие группы имеют конечное число элементов. Например, чтобы создать группу из четырех элементов, рассмотрим набор {0, 1, 2, 3}. Вместо обычного сложения разделите сумму любых двух чисел на 4 и возьмите остаток. (По этим правилам 2 + 2 = 0, а 2 + 3 = 1.) Эта группа называется $latex mathbb{Z}/4mathbb{Z}$.

В общем, если вы хотите создать группу из $latex n$ элементов, вы можете взять числа от нуля до n – 1 и считать остаток при делении на n. Получившаяся группа называется $latex mathbb{Z}/nmathbb{Z}$, хотя это не всегда единственная группа с n элементов.

Группа классов появляется, когда теоретики чисел исследуют структуру чисел за пределами целых чисел. Для этого они добавляют к целым числам новые числа, например i (квадратный корень из −1), $latex sqrt{5}$ или даже $latex sqrt{–5}$.

«Вещи, к которым мы привыкли в отношении чисел, больше не соответствуют действительности в этом контексте. Или, по крайней мере, они не обязательно верны», — сказал Иордания Элленберг, математик из Висконсинского университета в Мэдисоне.

В частности, факторинг работает по-разному в расширениях целых чисел. Если вы придерживаетесь только целых чисел, числа можно разложить на простые числа (числа, которые можно разделить только на себя и на 1) только одним способом. Например, 6 — это 2 × 3, и его нельзя разложить на другие простые числа. Это свойство называется уникальной факторизацией.

Но если вы добавите $latex sqrt{–5}$ в свою систему счисления, у вас больше не будет уникальной факторизации. Вы можете разложить 6 на простые числа двумя разными способами. Это по-прежнему 2 × 3, но это также $latex (1 + sqrt{–5})$ × $latex (1 – sqrt{–5})$.

Группы классов создаются из таких расширений целых чисел. «Классовые группы невероятно важны», — сказал Вуд. «И поэтому естественно задаться вопросом: какие они обычно?»

Размер группы классов, связанной с любым расширением целых чисел, является барометром того, насколько ломается уникальная факторизация. Хотя математики доказали, что группы классов всегда конечны, выяснить их структуру и размер сложно. Вот почему в 1984 году Анри Коэн и Хендрик Ленстра рискнул предположить. Их предположения, теперь называемые эвристикой Коэна-Ленстры, касались всех групп классов, которые появляются, когда вы добавляете новые квадратные корни к целым числам. Если бы все эти группы классов были собраны вместе, Коэн и Ленстра предложили ответы на такие вопросы, как: Какая часть из них содержит группу $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$? Или $латекс mathbb{Z}/7mathbb{Z}$? Или какой-то другой известный тип конечной группы?

Коэн и Ленстра подтолкнули теоретиков к рассмотрению не только отдельных примеров групп классов, но и статистики, лежащей в основе групп классов в целом. Их предсказания основывались на представлении о математике как о вселенной, закономерности которой можно обнаружить на каждом уровне.

Почти 40 лет спустя эвристики Коэна-Ленстры считаются верными, хотя никто и близко не подошел к их доказательству. Их влияние на математику было ощутимым, сказал Найджел Бостон, почетный профессор Висконсинского университета в Мэдисоне. «То, что было обнаружено, — это удивительная паутина, — сказал он. «Это огромная инфраструктура того, как, по нашему мнению, устроен мир».

Только игра в городе

Не имея возможности напрямую заняться эвристикой, математики придумали более простые задачи, которые, как они надеялись, прояснят ситуацию. Из этой работы появился полезный набор величин, которые математики стали называть моментами по термину, используемому в теории вероятностей.

Вероятность моментов может помочь вам определить распределения случайных чисел. Например, рассмотрим распределение дневной высокой температуры 1 января в Нью-Йорке — шансы, что 1 января следующего года она будет 10 градусов по Фаренгейту, или 40 градусов, или 70, или 120. Все, что вам нужно для работы с прошлыми данными: история дневного максимума 1 января каждого года с начала записанной истории.

Если вы подсчитаете среднее значение этих температур, вы узнаете немногое, но не все. Средняя высокая температура в 40 градусов не говорит о вероятности того, что температура будет выше 50 градусов или ниже 20.

Но это изменится, если вы получите больше информации. В частности, вы можете узнать среднее значение квадрата температуры, величину, известную как второй момент распределения. (Среднее значение — это первый момент.) Или вы можете узнать среднее значение кубов, известное как третий момент, или среднее значение четвертых степеней — четвертый момент.

К 1920-м годам математики выяснили, что если моменты в этом ряду растут достаточно медленно, то знание всех моментов позволяет сделать вывод, что эти моменты есть только в одном возможном распределении. (Хотя это не обязательно позволяет вам напрямую рассчитать это распределение.)

«Это действительно неинтуитивно, — сказал Вуд. «Если вы думаете о непрерывном распределении, оно имеет некоторую форму. Такое ощущение, что в нем есть нечто большее, чем просто последовательность чисел».

Математики, интересующиеся эвристикой Коэна-Ленстры, выяснили, что точно так же, как моменты в теории вероятностей могут быть использованы для получения распределения вероятностей, моменты, определенные определенным образом для групп классов, могут быть линзой, через которую мы можем видеть их размер и структуру. . Джейкоб Цимерман, математик из Университета Торонто, сказал, что не может представить, как можно напрямую рассчитать распределение размеров групп в классах. По его словам, использовать моменты «более чем просто. Это единственная игра в городе».

Этот волшебный момент

В то время как каждый момент вероятности связан с целым числом — третьей степенью, четвертой степенью и так далее — каждая новая величина, введенная теоретиками чисел, соответствует группе. Эти новые моменты зависят от того факта, что вы часто можете уменьшить группу до меньшей группы, объединив различные элементы вместе.

Для расчета момента, связанного с группой G, возьмите все возможные группы классов — по одной для каждого нового квадратного корня, добавляемого к целым числам. Для каждой группы классов подсчитайте количество различных способов, которыми вы можете свернуть ее в G. Затем возьмите среднее из этих чисел. Этот процесс может показаться запутанным, но с ним гораздо проще работать, чем с фактическим распределением, стоящим за предсказаниями Коэна и Ленстры. Хотя саму эвристику Коэна-Ленстры сложно сформулировать, все моменты распределения, которые они предсказывают, равны 1.

«Это заставляет задуматься: вау, может быть, моменты — это естественный способ приблизиться к этому», — сказал Элленберг. «Кажется более правдоподобным доказать, что что-то равно 1, чем доказать, что оно равно какому-то сумасшедшему бесконечному произведению».

Когда математики изучают распределения по группам (группам классов или иным образом), они получают уравнение для каждой группы. G, где вероятности теперь представляют, скажем, долю групп классов, которые выглядят как $latex mathbb{Z}/3mathbb{Z}$. С бесконечным количеством уравнений и бесконечным количеством возможных групп классов сложно вычислить вероятности. Не очевидно, что это даже имеет смысл делать это.

«Когда у вас бесконечные суммы, все может пойти не так», — сказал Вуд.

Однако математики, все еще не способные найти другие пути изучения распределений, все время возвращались к проблеме момента. В работе, опубликованной в Анналы математики в 2016 году Элленберг вместе с Акшаем Венкатешем и Крейгом Вестерландом использованные моменты изучить статистику групп классов в несколько иной обстановке, чем рассматривали Коэн и Ленстра. Эта идея была повторно несколько раз. Но каждый раз, когда исследователи использовали эти моменты, они опирались на особенности своей конкретной проблемы, чтобы доказать, что бесконечный набор уравнений имеет решение. Это означало, что их методы нельзя было передать другим. Следующему математику, которому понадобится использовать моменты, придется заново решать проблему моментов.

В начале своего сотрудничества Савин и Вуд также планировали пойти по этому пути. Они использовали моменты, чтобы делать прогнозы о том, как распределялись более сложные версии групп классов. Но примерно через год своего проекта они сосредоточились на самой проблеме момента.

Отклонение в сторону

Коллеги описывают Савина и Вуда как необычайно увлеченных своей работой. «Они оба очень умны. Но есть много умных людей», — сказал Зурейк-Браун. «У них просто положительное отношение к занятиям математикой».

Первоначально Савин и Вуд хотели использовать моменты, чтобы расширить предсказания Коэна-Ленстры для новых условий. Но вскоре они стали недовольны своим аргументом о проблеме момента. «Нам приходилось неоднократно писать подобные аргументы, — вспоминал Савин. Более того, добавил он, математический язык, который они использовали, «похоже, не улавливал сути того, о чем идет речь… Идеи были, но мы просто не нашли правильного способа их выразить».

Савин и Вуд углубились в свои доказательства, пытаясь понять, что на самом деле скрывалось за всем этим. В итоге они получили доказательство, которое решило проблему моментов не только для их конкретного приложения, но и для любого распределения групп — и для всех видов других математических структур.

Они разбили проблему на маленькие, выполнимые шаги. Вместо того, чтобы пытаться решить все распределение вероятностей за один раз, они сосредоточились только на небольшой части моментов.

Например, чтобы решить проблему момента для распределения вероятностей по группам, каждый момент будет связан с группой G. Сначала Савин и Вуд рассматривали систему уравнений, которая включала только моменты для ограниченного списка групп.. Затем они медленно добавляли группы в список, каждый раз просматривая все больше и больше моментов. Постепенно усложняя проблему, они превратили каждый шаг в решаемую проблему. Понемногу они шли к полному решению проблемы момента.

«Этот фиксированный список похож на очки, которые вы надеваете, и чем больше групп вы готовы рассмотреть, тем лучше ваши очки», — объяснил Вуд.

Когда они, наконец, стряхнули пыль с последних посторонних подробностей, перед ними оказался аргумент, чьи щупальца протянулись сквозь математику. Их результат работал для групп классов, для групп, связанных с геометрическими фигурами, для сетей точек и линий, а также для других множеств с более сложной математической сложностью. Во всех этих ситуациях Савин и Вуд нашли формулу, которая берет набор моментов и выдает распределение с этими моментами (при условии, что моменты не растут слишком быстро, помимо прочих требований).

«Это очень похоже на стиль Мелани, — сказал Элленберг. «Чтобы быть как: «Давайте докажем очень общую теорему, которая обрабатывает множество различных случаев как бы единообразно и элегантно».

Савин и Вуд теперь возвращаются к своей первоначальной цели. В начале января они поделились новая статья это исправляет ошибочные предсказания Коэна-Ленстры сделанный в конце 1980-х Коэном и его коллегой Жаком Мартине. Кроме того, у них есть еще больше результатов в их очереди, и они планируют расширить эвристику до еще большего количества новых ситуаций. «Я не знаю, завершится ли когда-нибудь этот проект, — сказал Савин.

Проблема момента, которую решили Савин и Вуд, была «своего рода занозой в затылке для множества разных вопросов», — сказал Цимерман. «Я думаю, что многие математики вздохнут с облегчением».