Квантовый алгоритм Гоеманса-Вильямсона с критерием Адамара и приближенными амплитудными ограничениями

Квантовый алгоритм Гоеманса-Вильямсона с критерием Адамара и приближенными амплитудными ограничениями

Отметка времени: 12 июля 2023 г., 8:29

Тейлор Л. Патти1,2, Жан Коссаифи2, Анима Анандкумар3,2и Сюзанна Ф. Елин1

1Департамент физики Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс 02138, США
2NVIDIA, Санта-Клара, Калифорния 95051, США
3Департамент вычислительной техники и математических наук (CMS), Калифорнийский технологический институт (Caltech), Пасадена, Калифорния 91125, США

Находите эту статью интересной или хотите обсудить? Scite или оставить комментарий на SciRate.

Абстрактные

Полуопределенные программы — это методы оптимизации с широким спектром приложений, например, для аппроксимации сложных комбинаторных задач. Одной из таких полуопределенных программ является алгоритм Гоеманса-Вильямсона, популярный метод целочисленной релаксации. Мы вводим вариационный квантовый алгоритм для алгоритма Гоэманса-Вильямсона, который использует только $n{+}1$ кубитов, постоянное число схемных сборок и $text{poly}(n)$ математических ожиданий для приближенного решения полуопределенных программ. с переменными до $N=2^n$ и ограничениями $M sim O(N)$. Эффективная оптимизация достигается путем кодирования целевой матрицы как правильно параметризованной унитарной единицы, обусловленной вспомогательным кубитом, методом, известным как тест Адамара. Тест Адамара позволяет нам оптимизировать целевую функцию, оценивая только одно математическое ожидание вспомогательного кубита, а не отдельно оценивая экспоненциально множество ожиданий. Точно так же мы показываем, что ограничения полуопределенного программирования могут быть эффективно реализованы путем реализации второго теста Адамара, а также наложения полиномиального числа ограничений амплитуды строки Паули. Мы демонстрируем эффективность нашего протокола, разрабатывая эффективную квантовую реализацию алгоритма Гоеманса-Вильямсона для различных NP-сложных задач, включая MaxCut. Наш метод превосходит по производительности аналогичные классические методы на разнообразном подмножестве хорошо изученных задач MaxCut из библиотеки GSet.

Квантовый алгоритм Гоеманса-Вильямсона с тестом Адамара и приближенными ограничениями амплитуды PlatoBlockchain Data Intelligence. Вертикальный поиск. Ай.

Рекомендуемое изображение: Схема HTAAC-QSDP для алгоритма Гоэманса-Вильямсона с $n=3$ не вспомогательными кубитами. а) Классическая задача $N$ переменных (здесь $N$-вершинная задача MaxCut, где $N=8$). Весовая матрица $W$ используется для генерации унитарного $U_W$. б) Критерий Адамара используется для эффективной оценки целевой функции и ограничений балансировки популяции. Состояние $n$-кубита $|psirangle = U_V|mathbf{0}rangle$ готовится с помощью вариационной квантовой схемы $U_V$. $n+1$-й (вспомогательный) кубит инициализируется как $(|0rangle -i |1rangle)/sqrt{2}$. Затем выполняется тест Адамара: $U_W$ реализуется как управляемый унитар, обусловленный вспомогательным кубитом, который затем измеряется для вычисления $langle sigma_{n+1} rangle_{W,t} = text{Im} [langle psi|U_W|psi rangle]$ или $langle sigma_{n+1} rangle_{P,t} = text{Im}[langle psi|U_P|psi rangle]$. c) Ограничения ограничений амплитуды SDP $M=2^n$ приблизительно выполняются только с ограничениями строки Паули $m sim text{poly}(n)$. Они вычисляются путем сбора $n$-кубитных измерений Паули-$z$ и использования маргинальной статистики для оценки $m$ математических ожиданий.

Популярное резюме

Полуопределенные программы позволяют нам аппроксимировать широкий спектр сложных задач, включая NP-сложные задачи. Одной из таких полуопределенных программ является алгоритм Гоеманса-Вильямсона, который может решать сложные задачи, такие как MaxCut. Мы вводим вариационный квантовый алгоритм для алгоритма Гоэманса-Вильямсона, который использует только $n{+}1$ кубитов, постоянное число схемных приготовлений и полиномиальное число математических ожиданий для приближенного решения полуопределенных программ с экспоненциальным числом переменные и ограничения. Мы кодируем проблему в квантовую схему (или унитарную) и считываем ее на одном вспомогательном кубите — метод, известный как тест Адамара. Точно так же мы показываем, что ограничения задачи могут быть реализованы с помощью 1) второго теста Адамара и 2) полиномиального числа ограничений строки Паули. Мы демонстрируем эффективность нашего протокола, разрабатывая эффективную квантовую реализацию алгоритма Гоеманса-Вильямсона для различных NP-сложных задач, включая MaxCut. Наш метод превосходит по производительности аналогичные классические методы в разнообразном подмножестве хорошо изученных задач MaxCut.

► Данные BibTeX

► Рекомендации

[1] Стивен П. Бойд и Ливен Ванденберге. «Выпуклая оптимизация». Кембридж Пресс. (2004).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511804441

[2] Мишель X. Гоэманс. «Полуопределенное программирование в комбинаторной оптимизации». Математическое программирование 79, 143–161 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[3] Ливен Ванденберге и Стивен Бойд. «Применения полуопределенного программирования». Прикладная вычислительная математика 29, 283–299 (1999).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0168-9274(98)00098-1

[4] Вэньцзюнь Ли, Ян Дин, Юнцзе Ян, Р. Саймон Шерратт, Чон Хёк Пак и Джин Ван. «Параметризованные алгоритмы фундаментальных np-сложных задач: обзор». Человекоориентированные вычисления и информационные науки 10, 29 (2020).
HTTPS: / / doi.org/ 10.1186 / s13673-020-00226-ш

[5] Кристоф Хельмберг. «Полуопределенное программирование для комбинаторной оптимизации». Konrad-Zuse-Zentrum fur Informationstechnik Berlin. (2000).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02614315

[6] Мишель X. Гоэманс и Дэвид П. Уильямсон. «Улучшенные алгоритмы аппроксимации для задач максимального сечения и выполнимости с использованием полуопределенного программирования». J. ACM 42, 1115–1145 (1995).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 227683.227684

[7] Флориан А. Потра и Стивен Дж. Райт. «Методы внутренних точек». Журнал вычислительной и прикладной математики 124, 281–302 (2000).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​S0377-0427(00)00433-7

[8] Хаотянь Цзян, Тарун Катурия, Инь Тат Ли, Свати Падманабхан и Чжао Сун. «Более быстрый метод внутренней точки для полуопределенного программирования». В 2020 году состоится 61-й ежегодный симпозиум IEEE по основам информатики (FOCS). Страницы 910–918. IEEE (2020).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS46700.2020.00089

[9] Байхэ Хуан, Шуньхуа Цзян, Чжао Сун, Жуньчжоу Тао и Жуйчжэ Чжан. «Ускорение решения sdp: надежная структура IPM и эффективная реализация». В 2022 году состоится 63-й ежегодный симпозиум IEEE по основам компьютерных наук (FOCS). Страницы 233–244. IEEE (2022 г.).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS54457.2022.00029

[10] Дэвид П. Уильямсон и Дэвид Б. Шмойс. «Проектирование алгоритмов аппроксимации». Издательство Кембриджского университета. (2011).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511921735

[11] Николай Молл, Панайотис Баркуцос, Лев С. Бишоп, Джерри М. Чоу, Эндрю Кросс, Дэниел Дж. Эггер, Стефан Филипп, Андреас Фюрер, Джей М. Гамбетта, Марк Ганжорн и др. «Квантовая оптимизация с использованием вариационных алгоритмов на ближайших квантовых устройствах». Квантовая наука и технологии 3, 030503 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / aab822

[12] Эдвард Фархи, Джеффри Голдстоун, Сэм Гутманн и Майкл Сипсер. «Квантовые вычисления методом адиабатической эволюции» (2000). arXiv:quant-ph/​0001106.
Arxiv: колич-фот / 0001106

[13] Тамим Альбаш и Дэниел А. Лидар. «Адиабатические квантовые вычисления». Преподобный Мод. физ. 90, 015002 (2018).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.90.015002

[14] Сепер Эбади, Александр Кислинг, Мадлен Кейн, Тут Т. Ван, Гарри Левин, Долев Блувштейн, Джулия Семегини, Ахмед Омран, Дж. Г. Лю, Рейн Самайдар и др. «Квантовая оптимизация максимального независимого набора с использованием массивов ридберговских атомов». Наука 376, 1209–1215 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1126/​science.abo6587

[15] Тадаси Кадоваки и Хидетоши Нисимори. «Квантовый отжиг в поперечной модели Изинга». физ. Ред. Е 58, 5355–5363 (1998).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevE.58.5355

[16] Элизабет Гибни. «Обновление D-волны: как ученые используют самый противоречивый квантовый компьютер в мире». Природа 541 (2017).
https://​/​doi.org/​10.1038/​541447b

[17] Эдвард Фархи, Джеффри Голдстоун и Сэм Гутманн. «Алгоритм квантовой приближенной оптимизации». arXiv (2014). архив: 1411.4028.
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.1411.4028
Arxiv: 1411.4028

[18] Хуан М. Арразола, Вилле Бергхольм, Камил Брадлер, Томас Р. Бромли, Мэтт Дж. Коллинз, Иш Дханд, Альберто Фумагалли, Томас Герритс, Андрей Гусев, Лукас Г. Хелт и др. «Квантовые схемы с множеством фотонов на программируемом нанофотонном чипе». Природа 591, 54–60 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41586-021-03202-1

[19] Фернандо ГСЛ Брандао, Амир Калев, Тонъян Ли, Седрик Йен-Ю Линь, Криста М. Своре и Сяоди Ву. «Квантовые решатели SDP: большие ускорения, оптимальность и приложения для квантового обучения». 46-й Международный коллоквиум по автоматам, языкам и программированию (ICALP 2019) 132, 27: 1–27: 14 (2019).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPIcs.ICALP.2019.27

[20] Джоран Ван Апелдорн и Андраш Гильен. «Улучшения в квантовом sdp-решении с приложениями». В материалах 46-го Международного коллоквиума по автоматам, языкам и программированию (2019 г.).
https: / / doi.org/ 10.4230 / LIPICS.ICALP.2019.99

[21] Джоран ван Апелдорн, Андрас Гильен, Сандер Гриблинг и Рональд де Вольф. «Квантовые sdp-решатели: лучшие верхние и нижние границы». Квант 4, 230 (2020).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2020-02-14-230

[22] Фернандо ГСЛ Брандао и Криста М. Своре. «Квантовые ускорения для решения полуопределенных программ». В 2017 году состоялся 58-й ежегодный симпозиум IEEE по основам компьютерных наук (FOCS). Страницы 415–426. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1109 / FOCS.2017.45

[23] Fernando GS L. Brandão, Richard Kueng и Daniel Stilck França. «Более быстрые квантовые и классические приближения SDP для квадратичной бинарной оптимизации». Квант 6, 625 (2022).
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-625

[24] Драмил Патель, Патрик Дж. Коулз и Марк М. Уайлд. «Вариационные квантовые алгоритмы для полуопределенного программирования» (2021). архив: 2112.08859.
Arxiv: 2112.08859

[25] Анирбан Н. Чоудхури, Гуан Хао Лоу и Натан Виб. «Вариационный квантовый алгоритм для подготовки квантовых состояний Гиббса» (2020). архив: 2002.00055.
Arxiv: 2002.00055

[26] Тейлор Л. Патти, Омар Шехаб, Хадидже Наджафи и Сюзанна Ф. Йелин. «Марковская цепь Монте-Карло, расширенная вариационными квантовыми алгоритмами». Квантовая наука и технологии 8, 015019 (2022).
https://​/​doi.org/​10.1088/​2058-9565/​aca821

[27] Юле Ван, Гуанси Ли и Синь Ван. «Подготовка вариационного квантового состояния Гиббса с усеченным рядом Тейлора». Physical Review Applied 16, 054035 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevApplied.16.054035

[28] Санджив Арора, Элад Хазан и Сатьен Кале. «Метод обновления мультипликативных весов: метаалгоритм и приложения». Теория вычислений 8, 121–164 (2012).
https: / / doi.org/ 10.4086 / toc.2012.v008a006

[29] Иорданис Керенидис и Анупам Пракаш. «Квантовый метод внутренней точки для lps и sdps». Транзакции ACM по квантовым вычислениям 1 (2020).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 3406306

[30] Брэндон Аугустино, Джакомо Нанницини, Тамаш Терлаки и Луис Ф. Сулуага. «Квантовые методы внутренней точки для полуопределенной оптимизации» (2022). архив: 2112.06025.
Arxiv: 2112.06025

[31] М. Сересо, Эндрю Аррасмит, Райан Бэббуш, Саймон С. Бенджамин, Сугуру Эндо, Кейсуке Фуджи, Джаррод Р. МакКлин, Косуке Митараи, Сяо Юань, Лукаш Синчио и Патрик Дж. Коулз. «Вариационные квантовые алгоритмы». Nature Reviews Physics 3, 625–644 (2021).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-021-00348-9

[32] Кишор Бхарти, Тобиас Хауг, Влатко Ведрал и Леонг-Чуан Квек. «Шумный квантовый алгоритм промежуточного масштаба для полуопределенного программирования». физ. Ред. А 105, 052445 (2022 г.).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.105.052445

[33] Леннарт Биттел и Мартин Клиш. «Обучение вариационных квантовых алгоритмов np-трудно». физ. Преподобный Летт. 127, 120502 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.127.120502

[34] Джаррод Р. МакКлин, Серджио Бойшо, Вадим Н. Смелянский, Райан Баббуш и Хартмут Невен. «Бесплодные плато в ландшафтах обучения квантовых нейронных сетей». Nature Communications 9, 4812 (2018).
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41467-018-07090-4

[35] Карлос Ортис Марреро, Мария Киферова и Натан Вибе. «Бесплодные плато, вызванные запутыванием». PRX Quantum 2, 040316 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040316

[36] Тейлор Л. Патти, Хадидже Наджафи, Сюнь Гао и Сюзанна Ф. Елин. «Запутанность придумала смягчение бесплодного плато». физ. Преподобный Рез. 3, 033090 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.033090

[37] Артур Песах, М. Сересо, Самсон Ван, Тайлер Волкофф, Эндрю Т. Сорнборгер и Патрик Дж. Коулз. «Отсутствие бесплодных плато в квантовых сверточных нейронных сетях». физ. Ред. X 11, 041011 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.041011

[38] Дорит Ааронов, Воан Джонс и Зеф Ландау. «Полиномиальный квантовый алгоритм для аппроксимации многочлена Джонса». Алгоритмика 55, 395–421 (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s00453-008-9168-0

[39] Клейтон В. Командор. «Задача максимального разреза, максимальный разрез, задача максимального разреза, максимальный разрез». Страницы 1991–1999 гг. Спрингер США. Бостон, Массачусетс (2009).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-0-387-74759-0_358

[40] Стивен Дж. Бенсон, Инью Йеб и Сюн Чжан. «Смешанное линейное и полуопределенное программирование для комбинаторной и квадратичной оптимизации». Методы оптимизации и программное обеспечение 11, 515–544 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805761

[41] Чанхуэй Чой и Иньюй Е. «Решение разреженных полуопределенных программ с использованием алгоритма двойного масштабирования с итеративным решателем». Рукопись, Департамент управленческих наук, Университет Айовы, Айова-Сити, IA 52242 (2000). URL: web.stanford.edu/yyye/yyye/cgsdp1.pdf.
https://​/​web.stanford.edu/​~yyye/​yyye/​cgsdp1.pdf

[42] Анжелика Вигеле. «Библиотека Biq mac — коллекция экземпляров программирования максимального и квадратичного 0-1 среднего размера». Альпен-Адрия-Университет Клагенфурта (2007). URL: biqmac.aau.at/biqmaclib.pdf.
https://​/​biqmac.aau.at/​biqmaclib.pdf

[43] Стефан Х. Шмиета. «Библиотека смешанных полуопределенно-квадратично-линейных программ dimacs». 7-е соревнование по внедрению DIMACS (2007 г.). URL: http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu.
http://​/​archive.dimacs.rutgers.edu

[44] Йошики Мацуда. «Тестирование задачи максимального разреза на смоделированной машине бифуркации». Средний (2019). URL: medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0.
https://​/​medium.com/​toshiba-sbm/​benchmarking-the-max-cut-problem-on-the-simulated-bifurcation-machine-e26e1127c0b0

[45] РМ Карп. «Сводимость среди комбинаторных задач». Спрингер США. Бостон, Массачусетс (1972).

[46] Дмитрий П Берцекас. «Ограниченная оптимизация и методы множителя Лагранжа». Академическая пресса. (1982).
https:/​/​doi.org/​10.1016/​C2013-0-10366-2

[47] Дж. Мауро Д'Ариано, Маттео Г. А. Пэрис и Массимилиано Ф. Сакки. «Квантовая томография». Достижения в области визуализации и электронной физики 128, 206–309 (2003).
https://​/​doi.org/​10.48550/​arXiv.quant-ph/​0302028
Arxiv: колич-фот / 0302028

[48] Алессандро Бизио, Джулио Чирибелла, Джакомо Мауро Д’Ариано, Стефано Факкини и Паоло Перинотти. «Оптимальная квантовая томография». Журнал IEEE по избранным темам квантовой электроники 15, 1646–1660 (2009).
https: / / doi.org/ 10.1109 / JSTQE.2009.2029243

[49] Макс С. Казнади и Дэниел Ф.В. Джеймс. «Численные стратегии для квантовой томографии: альтернативы полной оптимизации». физ. Ред. А 79, 022109 (2009 г.).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.79.022109

[50] Хавьер Пенья. «Сходимость методов первого порядка через выпуклую сопряженную». Письма об исследованиях операций 45, 561–564 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.orl.2017.08.013

[51] Алан Фриз и Марк Джеррум. «Улучшенные алгоритмы аппроксимации для maxk-cut и max bisection». Алгоритмика 18, 67–81 (1997).
https: / / doi.org/ 10.1007 / BF02523688

[52] Кларк Дэвид Томпсон. «Теория сложности для vlsi». Кандидатская диссертация. Университет Карнеги Меллон. (1980). URL: dl.acm.org/​doi/​10.5555/​909758.
https: / / dl.acm.org/ дои / 10.5555 / 909758

[53] Чу Мин Ли и Фелип Маня. «Maxsat, жесткие и мягкие ограничения». В Справочнике выполнимости. Страницы 903–927. IOS Press (2021).
https:/​/​doi.org/​10.3233/​978-1-58603-929-5-613

[54] Николас Джей Хайэм. «Вычисление ближайшей корреляционной матрицы — задача из области финансов». Журнал числового анализа IMA 22, 329–343 (2002).
https://​/​doi.org/​10.1093/​imanum/​22.3.329

[55] Тадаёси Фусики. «Оценка положительно-полуопределенных корреляционных матриц с помощью выпуклого квадратичного полуопределенного программирования». Нейронные вычисления 21, 2028–2048 (2009).
https://​/​doi.org/​10.1162/​neco.2009.04-08-765

[56] Тодд МДж. «Исследование направлений поиска в прямо-двойственных методах внутренних точек для полуопределенного программирования». Методы оптимизации и программное обеспечение 11, 1–46 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1080 / 10556789908805745

[57] Роджер Флетчер. «Штрафные функции». Математическое программирование. Современное состояние: Бонн, 1982 г., страницы 87–114 (1983).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-642-68874-4_5

[58] Роберт М Фройнд. «Штрафные и барьерные методы оптимизации с ограничениями». Конспект лекций, Массачусетский технологический институт (2004 г.). URL: ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004.
https://​/​ocw.mit.edu/​courses/​15-084j-nonlinear-programming-spring-2004

[59] Эрик Рикардо Аншуец. «Критические точки в квантовых генеративных моделях». На Международной конференции по обучающим представлениям. (2022). URL: openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN.
https://​/​openreview.net/​forum?id=2f1z55GVQN

[60] Амир Бек. «Методы первого порядка в оптимизации». СИАМ. (2017).
https: / / doi.org/ 10.1137 / 1.9781611974997

[61] Санджив Арора и Сатьен Кале. «Комбинаторный, прямо-дуальный подход к полуопределенным программам». Журнал ACM 63 (2016).
https: / / doi.org/ 10.1145 / 2837020

[62] Тейлор Л. Патти, Джин Коссаифи, Сюзанна Ф. Елин и Анима Анандкумар. «Тензорно-квантовый: Квантовое машинное обучение тензорными методами» (2021). архив: 2112.10239.
Arxiv: 2112.10239

[63] Жан Коссаифи, Яннис Панагакис, Анима Анандкумар и Майя Пантич. «Тензорно: тензорное обучение в питоне». Журнал исследований машинного обучения 20, 1–6 (2019). URL: http://​/​jmlr.org/​papers/​v20/​18-277.html.
http: / / jmlr.org/ paper / v20 ​​/ 18-277.html

[64] Команда cuQuantum. «Nvidia/cuquantum: cuquantum v22.11» (2022 г.).

[65] Дидерик П. Кингма и Джимми Ба. «Адам: Метод стохастической оптимизации» (2017). архив: 1412.6980.
Arxiv: 1412.6980

[66] Брахим Чаурар. «Алгоритм линейного времени для варианта задачи максимального разреза в последовательно параллельных графах». Достижения в области исследования операций (2017 г.).
https: / / doi.org/ 10.1155 / 2017/1267108

[67] Юрий Макарычев. «Краткое доказательство критерия планарности графа Куратовского». Журнал теории графов 25, 129–131 (1997).
<a href="https://doi.org/10.1002/(SICI)1097-0118(199706)25:23.0.CO;2-O”>https:/​/​doi.org/​10.1002/​(SICI)1097-0118(199706)25:2<129::AID-JGT4>3.0.CO;2-O

[68] Бела Боллобас. «Эволюция случайных графов — гигантский компонент». Страница 130–159. Кембриджские исследования по высшей математике. Издательство Кембриджского университета. (2001). 2 издание.
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511814068.008

[69] Санджив Арора, Дэвид Каргер и Марек Карпински. «Схемы аппроксимации полиномиального времени для плотных экземпляров np-сложных задач». Журнал компьютерных и системных наук 58, 193–210 (1999).
https: / / doi.org/ 10.1006 / jcss.1998.1605

[70] Рик Дарретт. «Случайные графы Эрдёша – Реньи». Страница 27–69. Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Издательство Кембриджского университета. (2006).
https: / / doi.org/ 10.1017 / CBO9780511546594.003

[71] Гэри Чартранд и Пин Чжан. «Хроматическая теория графов». Тейлор и Фрэнсис. (2008).
https: / / doi.org/ 10.1201 / 9781584888017

[72] Джон ван де Ветеринг. «Zx-исчисление для работающего квантового компьютерщика» (2020). архив: 2012.13966.
Arxiv: 2012.13966

[73] Александр Коутан, Сайлас Дилкс, Росс Дункан, Уилл Симмонс и Сейон Сивараджа. «Синтез фазовых гаджетов для неглубоких схем». Электронные труды по теоретической информатике 318, 213–228 (2020).
https: / / doi.org/ 10.4204 / eptcs.318.13

[74] Эндрю М. Чайлдс, Юань Су, Минь К. Тран, Натан Виб и Шучен Чжу. «Теория ошибки рысака с масштабированием коммутатора». физ. Ред. X 11, 011020 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020

[75] Джозеф В. Бриттон, Брайан С. Сойер, Адам С. Кейт, Си Си Джозеф Ван, Джеймс К. Фририкс, Герман Уйс, Майкл Дж. Биркук и Джон Дж. Боллинджер. «Разработка двумерных изинговских взаимодействий в квантовом симуляторе захваченных ионов с сотнями спинов». Природа 484, 489–492 (2012).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature10981

[76] Ханнес Берниен, Сильвен Шварц, Александр Кислинг, Гарри Левин, Ахмед Омран, Ханнес Пихлер, Сунвон Чой, Александр Зибров, Мануэль Эндрес, Маркус Грайнер и др. «Исследование динамики многих тел на квантовом симуляторе из 51 атома». Природа 551, 579–584 (2017).
https: / / doi.org/ 10.1038 / nature24622

[77] Георге-Сорин Параоану. «Недавний прогресс в квантовом моделировании с использованием сверхпроводящих схем». Журнал физики низких температур 175, 633–654 (2014).
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10909-014-1175-8

[78] Кацуки Фудзисава, Хитоши Сато, Сатоси Мацуока, Тошио Эндо, Макото Ямасита и Махо Наката. «Высокопроизводительный универсальный решатель для чрезвычайно крупномасштабных задач полуопределенного программирования». В SC '12: Материалы Международной конференции по высокопроизводительным вычислениям, сетям, хранению и анализу. Страницы 1–11. (2012).
https: / / doi.org/ 10.1109 / SC.2012.67

[79] Адриан С. Льюис и Майкл Л. Овертон. «Оптимизация собственных значений». Acta Numerica 5, 149–190 (1996).
https: / / doi.org/ 10.1017 / S0962492900002646

[80] Сяоси Сюй, Цзиньчжао Сунь, Сугуру Эндо, Ин Ли, Саймон С. Бенджамин и Сяо Юань. «Вариационные алгоритмы для линейной алгебры». Научный бюллетень 66, 2181–2188 (2021).
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.scib.2021.06.023

Цитируется

Не удалось получить Перекрестная ссылка на данные во время последней попытки 2023-07-12 14:07:40: Не удалось получить цитируемые данные для 10.22331 / q-2023-07-12-1057 от Crossref. Это нормально, если DOI был зарегистрирован недавно. На САО / НАСА ADS Данные о цитировании работ не найдены (последняя попытка 2023-07-12 14:07:40).

Эта статья опубликована в Quantum под Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) лицензия. Авторское право остается за первоначальными правообладателями, такими как авторы или их учреждения.

Отметка времени:

Больше от Квантовый журнал