Введение
Мы склонны думать о математике как о чисто логической науке, но преподавание математики, ее ценности, полезность и принцип работы полны нюансов. Так что же такое «хорошая» математика? В 2007 году математик Теренс Тао написал эссе для Бюллетень Американского математического общества который стремился ответить на этот вопрос. Сегодня, получив медаль Филдса, премию за прорыв в математике и стипендию Макартура, Тао является одним из самых почитаемых и плодовитых ныне живущих математиков. В этом выпуске он присоединяется к нашему ведущему и коллеге-математику. Стивен Строгац вернуться к основам хорошей математики.
Послушай Подкасты Apple, Spotify, Подкасты Google, Брошюровщик, TuneIn или ваше любимое приложение для подкастинга, или вы можете транслировать его из Quanta.
Запись
СТИВЕН СТРОГАТЦ: Еще в октябре 2007 года, когда iPhone первого поколения все еще был ходовым товаром, а фондовый рынок находился на рекордно высоком уровне перед Великой рецессией, Теренс Тао, профессор математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, был полон решимости ответить на вопрос, который долгое время обсуждался среди математиков: что такое хорошая математика?
Речь идет о строгости? Элегантность? Реальная полезность? Терри написал очень вдумчивое и щедрое, я бы даже сказал, искреннее эссе о том, чем математика может быть полезна. Но сейчас, более 15 лет спустя, нужно ли нам переосмысливать, что такое хорошая математика?
Я Стив Строгац, и это подкаст «Радость почему» от Quanta Magazine где мы с моей соведущей Жанной Левин по очереди исследуем некоторые из самых важных вопросов в математике и естественных науках, оставшихся без ответа.
(Тематические пьесы)
Сегодня Терри Тао вновь возвращается к вечному вопросу о том, что делает математику хорошей. Профессор Тао является автором более 300 исследовательских работ по удивительно широкому спектру математики, включая гармонический анализ, уравнения в частных производных, комбинаторику, теорию чисел, науку о данных, случайные матрицы и многое другое. Его называли «Моцартом математики». И поскольку он является обладателем медали Филдса, премии за прорыв в математике, стипендии Макартура и многих других наград, это прозвище, безусловно, вполне заслужено.
Терри, добро пожаловать в «Радость почему».
ТЕРЕНС ТАО: Приятно быть здесь.
СТРОГАЦ: Я очень рад возможности поговорить с вами о том, что делает некоторые виды математических исследований хорошими. Я отчетливо помню, как листал Бюллетень Американского математического общества еще в 2007 году и наткнулся ваше эссе на эту тему что ты нам позировал. Об этом думают все математики. Но для людей, которые, возможно, не так знакомы, не могли бы вы рассказать нам, как вы пришли к этому вопросу? Как вы в то время определяли хорошую математику?
TAO: Верно, да. На самом деле это было ходатайство. Итак, редактор журнала бюллетень в то время попросил меня написать статью. Думаю, в студенческие годы у меня было очень наивное представление о том, что такое математика. У меня возникла идея, что существует своего рода совет седобородых, который раздает людям задачи, над которыми они должны работать. И для меня, как для аспиранта, это было своего рода шоком, когда я осознал, что на самом деле не существует центрального органа, который бы распределял проблемы, и люди проводили самостоятельные исследования.
Я продолжал ходить на лекции и слушать, как другие математики рассказывали о том, что им интересно и что их волнует в математике, а также о том факте, что у каждого математика свой подход к математике. Мол, кто-то будет искать применения, кто-то ради эстетической красоты, кто-то просто для решения проблем. Они хотели решить проблему и сосредоточивались на самых сложных, самых сложных задачах. Некоторые сосредоточились бы на технике; некоторые попытаются сделать вещи как можно более элегантными.
Но что меня поразило, когда я услышал, как многие из этих разных математиков говорят о том, что они находят ценным в математике, так это то, что, хотя у всех нас были разные идеалы относительно того, как должна выглядеть хорошая математика, все они имеют тенденцию к сходятся к одному и тому же.
Если математический раздел действительно хорош, люди, стремящиеся к красоте, рано или поздно наткнутся на него. Люди, которые преследуют и ценят техническую мощь или приложения, в конечном итоге наткнутся на нее.
Евгений Вигнер было очень известное эссе о необоснованная эффективность математики в физических науках почти столетие назад, когда он только что заметил, что существуют области математики — например, риманова геометрия, исследование искривленного пространства — которые изначально были просто чисто теоретическим упражнением для математиков, вы знаете, пытающимся доказать постулат о параллельности и так далее, что оказалось именно тем, что нужно было Эйнштейну, Пуанкаре и Гильберту для описания математики общей теории относительности. И это просто явление, которое имеет место.
Так что дело не только в том, что математика, то, что математики находят интеллектуально интересным, в конечном итоге становится физически важным. Но даже в математике предметы, которые математики считают элегантными, также дают глубокие знания.
Я чувствую, что, знаете ли, существует какая-то платоническая хорошая математика, и все наши разные системы ценностей — это просто разные способы доступа к этим объективным хорошим вещам.
СТРОГАЦ: Это очень интересно. Будучи человеком, склонным к платоническому мышлению, я склонен согласиться. Хотя я немного удивлен, услышав это от вас, потому что изначально я думал, что то, к чему вы шли, было, типа, на этот счет существует так много разных точек зрения. Тем не менее, это интересный факт, своего рода эмпирический факт: мы сходимся во мнении о том, что хорошо, а что плохо, хотя, как вы говорите, мы приходим к этому, исходя из очень многих разных ценностей.
TAO: Верно. Сближение может занять время. Вы знаете, например, определенно есть поля, где они выглядят намного лучше по одному показателю, чем по другим. Типа может приложений у них много, но подача у них крайне отвратительная, сами понимаете.
(Строгац смеется)
Или вещи, которые очень элегантны, но пока не имеют хорошего применения в реальном мире. Но я чувствую, что в конечном итоге это сойдется.
СТРОГАЦ: Хорошо, позвольте мне спросить вас об этой точке соприкосновения с реальным миром. Это интересное противоречие в математике. И вы знаете, когда мы, скажем, маленькие дети, когда мы впервые изучаем геометрию, вы можете подумать, что треугольники реальны, а круги или прямые линии реальны, и что они могут рассказать вам о прямоугольных формах, которые вы видите. в зданиях по всему миру, или что геодезистам необходимо использовать геометрию. А ведь слово происходит от измерения Земли, верно, «геометрия». Итак, было время, когда геометрия была эмпирической.
Но то, что я хотел у вас спросить, связано с комментарием, который Джон фон Нейман сделал. Итак, фон Нейман, для тех, кто не знаком, сам был великим математиком. И он сделал такой комментарий в этом эссе: «Математик» об отношениях между математикой и эмпирическим миром, реальным миром, где он грубо говорит, что математические идеи возникают в эмпирике, но в какой-то момент, как только вы получаете математические идеи, предмет начинает жить своей собственной жизнью. собственный. И тогда это больше похоже на творческое произведение искусства. Эстетические критерии становятся важными. Но он говорит, что это создает опасность. Что когда субъект начинает слишком отдаляться от своего эмпирического источника, особенно во втором или третьем поколении, он говорит, что есть шанс, что субъект может пострадать от слишком большого абстрактного инбридинга и ему грозит вырождение.
Есть мысли по этому поводу? Я имею в виду, должна ли математика оставаться в контакте со своим эмпирическим источником?
ТАО: Да, я считаю, что это необходимо заземлить. Когда я говорю, что эмпирически все эти различные способы занятий математикой действительно сходятся, то это только потому, что — это происходит только тогда, когда субъект здоров. Итак, вы знаете, хорошая новость в том, что обычно так и есть.
Но, например, математики при прочих равных условиях ценят короткие доказательства выше длинных. Но можно представить, что люди переборщили и, например, одна область математики одержима идеей сделать доказательства как можно более короткими и иметь эти чрезвычайно непрозрачные двухстрочные доказательства глубоких теорем. И они делают это своего рода соревнованием, а потом это становится какой-то заумной игрой, и тогда ты теряешь всю интуицию. Вы теряете, возможно, более глубокое понимание, потому что вы настолько одержимы тем, чтобы все ваши доказательства были как можно короче. На практике этого не происходит. Но это своего рода теоретический пример, и я думаю, что фон Нейман говорил о том же.
А в шестидесятых и семидесятых годах была эра математики, когда абстракция делала огромные успехи в упрощении и унификации многих математических дисциплин, которые раньше были очень эмпирическими. Особенно в алгебре люди осознавали, знаете ли, числа, многочлены и многие другие объекты, которые раньше рассматривались отдельно, вы все могли думать о них как о членах одного и того же алгебраического класса, в данном случае кольца.
И большой прогресс в математике был достигнут благодаря поиску правильной абстракции, знаете ли, будь то топологическое пространство или векторное пространство, что угодно, и доказательству теорем в большой общности. И это иногда то, что мы называем эрой Бурбаки в математике. И это действительно отклонилось слишком далеко от заземления.
У нас, конечно, был целый эпизод «Новой математики» в Штатах, где преподаватели пытались преподавать математику в стиле Бурбаки и в конце концов понял, что это неподходящая педагогика на этом уровне.
Но сейчас маятник качнулся немного назад. У нас есть своего рода... предмет немного повзрослел, и в каждой области математики, геометрии, топологии и т. д. у нас есть удовлетворительные формализации, и мы вроде как знаем, какие абстракции являются правильными. И теперь эта область снова сосредоточена на взаимосвязях и приложениях. Теперь это гораздо больше связано с реальным миром.
Я имею в виду не просто физику, которая является традиционной связью, но и информатику, науки о жизни, социальные науки, ну, вы знаете. С появлением больших данных практически любую человеческую дисциплину можно в той или иной степени математизировать.
СТРОГАЦ: Меня очень заинтересовало слово, которое вы только что употребили минуту назад по поводу «взаимосвязей», потому что это кажется нам центральным вопросом для обсуждения. В своем эссе вы упоминаете, что наряду с тем, что вы называете «локальными» критериями элегантности, или реальных приложений, или чего-то еще, вы упоминаете этот «глобальный» аспект хорошей математики: хорошая математика связана с другими хорошая математика.
Это почти ключ к тому, что делает его хорошим, то, что он интегрирован с другими частями. Но это интересно, потому что звучит почти как круговое рассуждение: хорошая математика — это математика, которая связана с другой хорошей математикой. Но это действительно мощная идея, и мне просто интересно, не могли бы вы расширить ее еще немного.
TAO: Да, я имею в виду, чем занимается математика — одна из вещей, которые делает математика, — это то, что она устанавливает связи, которые очень просты и фундаментальны, но не очевидны, если вы просто посмотрите на них с поверхностного уровня. Очень ранним примером этого является изобретение Декартом декартовых координат, которое установило фундаментальную связь между геометрией — изучением точек, линий и пространственных объектов — и числами, алгеброй.
Так, например, круг вы можете думать как геометрический объект, но вы также можете думать о нем как об уравнении: x2 + y2 = 1 – уравнение окружности. В то время это было очень революционное соединение. Знаете, древние греки рассматривали теорию чисел и геометрию как почти полностью разрозненные предметы.
Но у Декарта была эта фундаментальная связь. И теперь это усвоилось; вы знаете, как мы преподаем математику. Уже неудивительно, что если у вас есть геометрическая задача, вы решаете ее с помощью чисел. Или, если у вас проблемы с числами, вы можете решить их с помощью геометрии.
Это отчасти потому, что и геометрия, и числа являются аспектами одного и того же математического понятия. У нас есть целая область, называемая алгебраической геометрией, которая не является ни алгеброй, ни геометрией, но это единый предмет, изучающий объекты, которые вы можете думать либо как геометрические фигуры, такие как линии, круги и т. д., либо как уравнения.
Но на самом деле мы изучаем целостный союз того и другого. И по мере углубления предмета мы поняли, что в каком-то смысле это более фундаментально, чем алгебра или геометрия по отдельности. Итак, эти связи помогают нам открыть для себя своего рода настоящую математику, которая поначалу каким-то образом наши эмпирические исследования дают нам только часть предмета.
Есть такая знаменитая притча о слоне, я забыл где, что если у вас есть... Четверо слепых обнаруживают слона. И один из них ощупывает ногу слона и думает: «О, это очень грубо. Должно быть, оно похоже на дерево или что-то в этом роде».
И один из них ощупывает хобот, и лишь намного позже они видят, что есть единственный объект-слон, который объясняет все их отдельные гипотезы. Да, так что изначально мы все слепы, понимаете. Мы просто наблюдаем за тенями в пещере Платона и лишь позже понимаем…
СТРОГАЦ: Ого, вы тут очень философски настроены. Это что-то. Я не могу удержаться: если вы собираетесь начать говорить о слоне и слепых, это говорит о том, что вы думаете, что математика существует — что это что-то вроде слона, а мы — слепые… Или вы знаете, мы пытаемся увидеть что-то, что существует независимо от людей. Вы действительно в это верите?
TAO: Когда ты хорошо занимаешься математикой, это не просто перетаскивание символов. Вы чувствуете, что существует какой-то реальный объект, который вы пытаетесь понять, и все наши уравнения — это просто его приближения или тени.
Вы можете обсуждать философский вопрос о том, что на самом деле является реальностью, и так далее. Я имею в виду, что это вещи, которые вы действительно можете потрогать, и чем более реальными становятся математические вещи, иногда тем менее физическими они кажутся. Как вы сказали, изначально геометрия, знаете ли, представляла собой очень осязаемую вещь, связанную с объектами в физическом пространстве, которые вы могли… вы знаете, вы действительно можете построить круг, квадрат и так далее.
Но в современной геометрии, как вы знаете, мы работаем в более высоких измерениях. Мы можем говорить о дискретной геометрии, всевозможных причудливых топологиях. И я имею в виду, что этот предмет по-прежнему заслуживает названия геометрии, хотя Землю больше не измеряют. Древнегреческая этимология очень устарела, но это так, но что-то в этом определенно есть. Насколько реальным вы хотите это назвать. Но я думаю, дело в том, что для того, чтобы заниматься математикой, полезно поверить в ее реальность.
СТРОГАЦ: Да, разве это не интересно? Оно делает. Похоже, это нечто очень глубокое в истории математики. Меня поразило эссе Архимеда, написанное его другу или, по крайней мере, коллеге Эратосфену.
Мы говорим сейчас примерно о 250 году до нашей эры. И он делает замечание: он открыл способ найти площадь того, что мы бы назвали сегментом параболы. Он берет параболу, разрезает ее отрезком, расположенным под косым углом к оси параболы, и вычисляет эту площадь. Он получает очень красивый результат. Но он говорит Эратосфену что-то вроде: «Эти результаты всегда были присущи фигурам». Знаешь, типа, они там. Они там. Они просто ждут, пока его найдут.
Не то чтобы он их создал. Это не похоже на поэзию. Я имею в виду, это действительно интересно, не так ли? Многие великие художники — Микеланджело говорили об освобождении статуи от камня, как если бы она с самого начала находилась там. И похоже, что вы и многие другие великие математики поступали так: как вы говорите, очень полезно верить в эту идею, в то, что она ждет нас, ждет, пока правильные умы ее откроют.
TAO: Верно. Ну, я думаю, что одним из проявлений этого является то, что идеи, которые часто очень сложно объяснить, когда они впервые обнаружены, они упрощаются. Я имею в виду, вы знаете, часто причина, по которой что-то в начале кажется очень глубоким или трудным, заключается в том, что у вас нет правильных обозначений.
Например, теперь у нас есть десятичная система записи чисел, и это очень удобно. Но в прошлом у нас были, ну, знаете, римские цифры, а затем были еще более примитивные системы счисления, с которыми было очень, очень сложно работать, если вы хотели заниматься математикой.
Евклида Elements, вы знаете — некоторые аргументы в этих древних текстах. Мол, есть одна теорема у Евклида. Elements Кажется, это называется «Мост дураков» или что-то в этом роде. Это похоже на утверждение, что, я думаю, утверждение похоже на равнобедренный треугольник: два угла при основании равны. Мол, это как доказательство в две строки в современных геометрических текстах, знаете ли, с правильными аксиомами. Но у Евклида был ужасный способ сделать это. И именно здесь многие студенты-геометристы классической эпохи просто полностью разочаровались в математике.
СТРОГАЦ: Истинный. (смеется)
TAO: Но, знаете, теперь у нас есть гораздо лучший способ сделать это. Очень часто сложности, которые мы видим в математике, являются результатом наших собственных ограничений. И, знаете, по мере того, как мы взрослеем, все становится проще. И из-за этого это кажется более реальным. Мы не видим артефактов. Мы видим суть.
СТРОГАЦ: Ну, возвращаясь к твоему эссе: когда ты его написал, в то время — я имею в виду, это было довольно рано в твоей карьере, не в самом начале, но все же. Почему вы тогда почувствовали, что важно попытаться определить, что такое хорошая математика?
TAO: Я думаю... Итак, к тому моменту я уже начал консультировать аспирантов и заметил, что, знаете ли, были некоторые заблуждения относительно того, что такое хорошо, а что нет. И я также разговаривал с математиками в разных областях, и то, что ценится в математике, казалось, отличалось от других. Но тем не менее, каким-то образом мы все изучали один и тот же предмет.
А иногда кто-то говорил что-то, что меня раздражало, знаете, например: «У этой математики нет приложений, поэтому она не имеет ценности». Или: «Это доказательство слишком сложное; поэтому оно не имеет никакой ценности» или что-то в этом роде. Или наоборот, вы знаете: «Это доказательство слишком простое; поэтому оно не стоит…» Вы знаете. Типа, был какой-то, типа, снобизм и так далее, с которым я иногда сталкивался.
И, по моему опыту, лучшая математика возникает тогда, когда я понимаю другую точку зрения, другой способ мышления о математике от кого-то из другой области и применяю его к проблеме, которая меня волнует. И поэтому мой опыт того, как правильно использовать математику, как ею владеть, сильно отличался от этих — своего рода «единственный истинный способ заниматься математикой».
Я чувствовал, что этот момент нужно как-то отразить. Что на самом деле существует множество способов заниматься математикой, но математика по-прежнему едина.
СТРОГАЦ: Это очень показательно, потому что мне было интересно, знаете ли, во вступлении я упомянул множество различных разделов математики, которые вы исследовали, а некоторые даже не включил. Например, я помню, всего несколько лет назад, вашу работу об этой загадке гидродинамики, о том, хорошо ли определенные уравнения, которые, по нашему мнению, аппроксимируют движения воды и воздуха. Я не хочу слишком вдаваться в подробности, но просто хочу сказать: вот, люди думают, что вы занимаетесь теорией чисел или гармоническим анализом, и вдруг вы работаете над вопросами гидродинамики. Я имею в виду, я понимаю, что это уравнения в частных производных. Но тем не менее, широта вашего интереса, по-видимому, связана с широтой вашего восприятия различных идей, различных ценных идей из всех различных способов хорошей математики.
TAO: Я забыл, кто это сказал, но есть два типа математиков. Есть ежи и лисы. Лиса – это тот, кто знает обо всем понемногу. Еж – существо, которое очень и очень хорошо знает одну вещь. И ни один из них не лучше другого. Они дополняют друг друга. Я имею в виду, что в математике вам нужны люди, которые действительно являются глубокими экспертами в одной области и знают предмет изнутри. И вам нужны люди, которые смогут увидеть связи между одной сферой деятельности и другой. Так что я определенно идентифицирую себя как лису, но работаю со многими ежами. Работа, которой я больше всего горжусь, часто является результатом такого сотрудничества.
СТРОГАЦ: Ах, да. Они понимают, что они ёжики?
TAO: Ну да ладно, роли со временем меняются. Мол, есть и другие коллаборации, где я ежик, а кто-то другой лиса. Они не являются постоянными — вы знаете, они не заложены в вашей ДНК.
СТРОГАЦ: Ах, хороший момент. Мы можем усыновить — мы можем носить оба плаща.
А как насчет того, был ли в то время ответ на эссе? Люди ответили вам что-нибудь в ответ?
TAO: В целом я получил довольно положительный ответ. Я имею в виду, Вестник АМС Я думаю, что это не очень широко распространенное издание. И кстати, я не сказал ничего слишком спорного. Кроме того, этот вид социальных сетей появился раньше, так что, я думаю, может быть, есть несколько математических блогов, которые подхватили это, но Твиттера не было. Не было ничего, что могло бы сделать это вирусным.
Да, я также думаю, что в целом математики не тратят много времени и интеллектуального капитала на спекуляции. Я имею в виду, есть еще один математик по имени Минхён Ким у которого была очень хорошая метафора о том, что для математиков надежность подобна валюте, деньгам. Если вы доказываете теоремы и демонстрируете, что знаете предмет, вы каким-то образом накапливаете эту валюту доверия в банке. И как только у вас будет достаточно денег, вы сможете позволить себе немного порассуждать, проявив немного философствования и говоря то, что может быть правдой, а не то, что вы действительно можете доказать.
Но мы склонны быть консервативными и не хотим, чтобы на нашем банковском счете был овердрафт. Знаете, вы не хотите, чтобы большая часть вашего письма была спекулятивной и только один процент действительно что-то доказывал.
СТРОГАЦ: Справедливо. Так хорошо. Итак, с тех пор прошло много лет. О чем мы говорим? Это более 15 лет.
TAO: О да, время летит.
СТРОГАЦ: Ваше мнение изменилось? Есть ли что-нибудь, что нам нужно пересмотреть?
TAO: Ну, математическая культура довольно сильно меняется. У меня уже был широкий взгляд на математику, а теперь он стал еще шире.
Итак, один очень конкретный пример: компьютерные доказательства все еще вызывали споры в 2007 году. Была знаменитая гипотеза, называемая гипотезой Кеплера, которая касается наиболее эффективного способа упаковки единичных шаров в трехмерном пространстве. И есть стандартная упаковка, кажется, она называется кубической центральной упаковкой или что-то в этом роде, и Кеплер предположил, что она является наилучшей из возможных.
В конце концов эта проблема была решена, но доказательство было очень компьютерным. Это было довольно сложно и [Томас] Хейлзв конечном итоге даже был создан целый компьютерный язык для формальной проверки этого конкретного доказательства, но в течение многих лет оно не принималось в качестве реального доказательства. Но это показало, насколько противоречивой была концепция доказательства, для проверки которого вам нужна компьютерная помощь.
За прошедшие годы было много, много других примеров доказательств того, что человек может свести сложную проблему к чему-то, для проверки которой все еще требуется компьютер. А затем компьютер продолжает и проверяет это. У нас есть своего рода разработанная практика того, как делать это ответственно. Вы знаете, как публиковать код и данные, способы проверки, новые вещи с открытым исходным кодом и так далее. И теперь широкое признание получили компьютерные доказательства.
Теперь, я думаю, следующий культурный сдвиг будет будут ли приняты доказательства, сгенерированные ИИ. Сейчас инструменты ИИ не находятся на том уровне, на котором они могут генерировать доказательства для реального решения математических задач. Может быть, с домашними заданиями на уровне бакалавриата они вроде как справятся, но с математическими исследованиями они еще не на том уровне. Но в какой-то момент мы начнем видеть статьи об использовании ИИ, и возникнут дебаты.
То, как в некотором смысле изменилась наша культура… Еще в 2007 году лишь небольшая часть математиков предоставила свои препринты до публикации. Авторы ревностно охраняли свои препринты до тех пор, пока не получали извещение о принятии от журнала. И тогда они, возможно, поделятся.
Но теперь все надевают свои бумаги. общедоступные серверы, такие как arXiv. Гораздо больше открытости для размещения видео и сообщений в блогах о том, откуда берутся идеи статьи. Потому что люди понимают, что именно это делает работу более влиятельной и результативной. Если вы постараетесь не афишировать свою работу и будете вести себя очень скрытно, она не произведет фурора.
Математика стала гораздо больше сотрудничества. Знаете, 50 лет назад я бы сказал, что большинство работ по математике были написаны одним автором. Сейчас определенно большинство — это два, три или четыре автора. И мы только начинаем видеть действительно большие проекты, подобные тем, которые мы делаем в области науки, вы знаете, когда в них сотрудничают десятки, сотни людей. Математикам все еще трудно это сделать, но я думаю, что мы добьемся этого.
Одновременно мы становимся гораздо более междисциплинарными. Мы гораздо больше работаем с другими науками. Мы работаем между областями математики. А благодаря Интернету мы можем сотрудничать с людьми по всему миру. Итак, то, как мы занимаемся математикой, определенно меняется.
Я надеюсь, что в будущем мы сможем больше использовать любительское математическое сообщество. Есть и другие области, такие как астрономия, где астрономы широко используют сообщество любительской астрономии, например, многие кометы находят любители.
Но математики… Есть несколько изолированных областей математики, таких как мозаика, двумерная мозаика и, возможно, поиск записей в простых числах. Есть некоторые очень избранные области математики, в которые вносят свой вклад любители, и их приветствуют. Но здесь много препятствий. В большинстве областей математики вам нужно столько обучения и усвоенных или общепринятых знаний, что мы не можем использовать краудсорсинг. Но это может измениться в будущем. Возможно, одним из последствий ИИ станет предоставление математикам-любителям возможности внести значимый вклад в математику.
СТРОГАЦ: Это очень интересно.
[Перерыв для вставки рекламы]
СТРОГАЦ: То есть любители могут с помощью ИИ либо задавать новые хорошие вопросы, либо помогать с хорошим исследованием существующих вопросов, и тому подобное?
TAO: Есть много разных модальностей — да. Так, например, сейчас существуют проекты по формализации доказательств больших теорем в таких вещах, называемые помощники по формальным доказательствам, которые подобны компьютерным языкам, которые могут на 100% проверить, верна или нет теорема, и доказана она или нет. Это фактически обеспечивает широкомасштабное сотрудничество в области математики.
Так, раньше, если вы сотрудничаете с 10 другими людьми, чтобы доказать теорему, и каждый из них вносит свой вклад, каждый должен проверить математику всех остальных. Потому что особенность математики в том, что если на одном шаге есть ошибка, все может развалиться.
Значит, нужно доверие, и вот — поэтому это мешает, это действительно тормозит действительно масштабные коллаборации в математике. Но сейчас есть успешные примеры формализации действительно больших теорем, где существует огромное сообщество, они не все знают друг друга, не все друг другу доверяют, но общаются посредством загрузки в какой-нибудь репозиторий Github или что-то вроде отдельных доказательств отдельных шагов в аргументации. А программное обеспечение для формальных доказательств проверяет все, поэтому вам не нужно беспокоиться о доверии. Таким образом, мы открываем новые способы сотрудничества, которых мы не видели раньше.
СТРОГАЦ: Очень интересно услышать твое видение, Терри. Это захватывающая мысль. Вы не слышите словосочетания «гражданин-математик». Вы слышали о гражданской науке, но почему бы не о гражданской математике?
Но мне просто интересно, есть ли какие-либо тенденции, которые вас беспокоят, например, в отношении доказательств с помощью компьютера или доказательств, созданных искусственным интеллектом? Узнаем ли мы, что определенные результаты верны, но не поймем, почему?
TAO: Так что это проблема. Я имею в виду, что это проблема уже до появления ИИ. Итак, есть много областей, где статьи по теме становятся все длиннее и длиннее, сотни страниц. И я надеюсь, что ИИ, наоборот, может помочь упростить и объяснить, а также доказать.
Итак, уже существует экспериментальное программное обеспечение, где, например, если вы берете формализованное доказательство, вы можете фактически преобразовать его в интерактивный, удобочитаемый документ, где у вас есть доказательство, и вы видите шаги высокого уровня, и если есть предложение вы не понимаете, вы можете дважды щелкнуть по нему, и он развернется на более мелкие шаги. Я думаю, вскоре вы также сможете заставить чат-бота с искусственным интеллектом сидеть рядом с вами, пока вы проходите доказательство, и они смогут отвечать на вопросы и объяснять каждый шаг, как если бы они были автором. Я думаю, мы уже очень близки к этому.
Есть опасения. Нам необходимо изменить способ обучения наших студентов, особенно сейчас, когда многие из наших традиционных способов задания домашних заданий и т. д. мы почти подошли к тому моменту, когда эти инструменты искусственного интеллекта могут просто мгновенно ответить на многие из наших стандартных экзаменационных вопросов. Итак, нам необходимо научить наших студентов новым навыкам, например, тому, как проверить, верны или нет результаты, сгенерированные ИИ, и как получить второе мнение.
И, знаете ли, мы можем стать свидетелями появления более экспериментальной стороны математики. Итак, математика почти полностью теоретическая, тогда как большинство наук имеют как теоретическую, так и экспериментальную составляющую. В конечном итоге мы можем получить результаты, которые сначала подтвердятся только компьютерами, и, как вы говорите, мы этого не понимаем. Но затем, когда у нас будут данные, которые предоставит ИИ, компьютерные доказательства, мы сможем проводить эксперименты.
Сейчас есть немного экспериментальной математики. Люди изучают большие наборы данных о разных вещах, например, эллиптические кривые. Но в будущем оно может стать намного больше.
СТРОГАЦ: Ну и дела, у тебя очень оптимистичный взгляд, как мне кажется. Не похоже, что Золотой Век остался в прошлом. Если я вас правильно услышал, вы думаете, что впереди много интересного.
TAO: Да, многие новые технологические инструменты очень расширяют возможности. Я имею в виду, что у ИИ в целом много сложных плюсов и минусов. А за пределами науки существует множество возможных нарушений в экономике, правах интеллектуальной собственности и так далее. Но в математике, я думаю, соотношение хорошего и плохого лучше, чем во многих других областях.
И вы знаете, Интернет действительно изменил то, как мы занимаемся математикой. Я сотрудничаю со многими людьми в самых разных областях. Я не смог бы сделать это без Интернета. Тот факт, что я могу зайти в Википедию или что-то еще и начать изучать предмет, я могу отправить кому-нибудь электронное письмо, и мы можем сотрудничать онлайн. Если бы мне пришлось делать что-то по-старому, когда я мог бы разговаривать только с людьми из моего отдела и использовать физическую почту для всего остального, я бы не смог заниматься математикой, которую делаю сейчас.
СТРОГАЦ: Вау, ладно. Мне просто нужно подчеркнуть то, что вы только что сказали, потому что я никогда не думал, что за миллион лет услышу это: Терри Тао читает Википедию, чтобы изучать математику?
TAO: В качестве отправной точки. Я имею в виду, что это не всегда Википедия, а просто чтобы получить ключевые слова, а затем я проведу более специализированный поиск, скажем, MathSciNet или какая-то другая база данных. Но да.
СТРОГАЦ: Это не критика. Я имею в виду, я делаю то же самое. Википедия на самом деле, если и есть какая-либо критика математики в Википедии, возможно, она иногда слишком сложна для читателей, для которых она предназначена, я думаю. Не всегда. Я имею в виду, это зависит. Это сильно варьируется от статьи к статье. Но это просто смешно. Мне нравится это слышать.
TAO: Я имею в виду, что с этими инструментами вы должны иметь возможность проверять результаты. Вы знаете, я имею в виду, что причина, по которой я могу использовать Википедию для занятий математикой, заключается в том, что я уже знаю достаточно математики, чтобы почувствовать, подозрительна ли часть Википедии по математике или нет. Знаете, у него могут быть несколько источников, и один из них будет лучше, чем другой. И я знаю авторов, и у меня есть представление о том, какая ссылка мне подойдет лучше. Если бы я использовал Википедию, чтобы узнать о предмете, в котором у меня не было опыта, то, думаю, это была бы скорее случайная величина.
СТРОГАЦ: Итак, мы довольно много говорили о том, что делает математику хорошей, о возможном будущем новых видов хорошей математики. Но, возможно, нам следует ответить на вопрос: почему это вообще имеет значение? Почему важно, чтобы математика была хорошей?
TAO: Ну, во-первых, я имею в виду, зачем нам вообще математики? Почему общество ценит математиков и дает нам ресурсы, чтобы делать то, что мы делаем? Знаете, это потому, что мы действительно приносим какую-то ценность. У нас могут быть приложения в реальном мире. Существует интеллектуальный интерес, и некоторые из теорий, которые мы разрабатываем, в конечном итоге дают представление о других явлениях.
И не вся математика имеет одинаковую ценность. Я имею в виду, что вы можете вычислять все больше и больше цифр числа «пи», но в какой-то момент вы ничему не научитесь. Любой предмет требует своего рода оценочного суждения, потому что вам нужно распределять ресурсы. Там так много математики. Какие достижения вы хотите подчеркнуть, опубликовать и рассказать другим людям, а о каких, возможно, стоит просто тихонько посидеть где-нибудь в дневнике?
Даже если вы думаете о предмете как о совершенно объективном и знаете, что существует только истина или ложь, нам все равно приходится делать выбор. Знаете, просто потому, что время — ограниченный ресурс. Внимание — ограниченный ресурс. Деньги – ограниченный ресурс. Итак, это всегда важные вопросы.
СТРОГАЦ: Что ж, интересно, что вы упомянули о публичности, потому что я считаю, что это отличительная черта вашей работы: вы также приложили много усилий, чтобы сделать математику общедоступной через ваш блог, через различные статьи, которые вы публикуете. я написал. Я помню, как обсуждал то, что вы написали в Американский ученый об универсальности и этой идее. Почему важно сделать математику общедоступной и понятной? Я имею в виду, что ты пытаешься сделать?
TAO: Это как бы произошло органично. В начале моей карьеры Всемирная паутина была еще совсем новой, и у математиков появились веб-страницы с различным содержанием, но центрального каталога не было. До появления Google и т. д. было действительно сложно найти отдельные ресурсы.
Итак, я начал что-то вроде делать маленькие каталоги на моей веб-странице. А еще я создавал веб-страницы для своих статей и давал некоторые комментарии. Первоначально это было больше для моей собственной выгоды, просто как организационный инструмент, просто чтобы помочь мне найти вещи. В качестве побочного продукта он был доступен публике, но я был своего рода основным потребителем (по крайней мере, я так думал) своих собственных веб-страниц.
Но я очень отчетливо помню, как однажды я написал статью и разместил ее на своей веб-странице, и у меня была небольшая подстраница под названием «Что нового?» И я просто сказал: «Вот бумага. В нем есть вопрос, на который я до сих пор не могу ответить и не знаю, как его решить». И я только что оставил этот комментарий. А затем, примерно через два дня, я получил электронное письмо со словами: «О, я только что проверял вашу домашнюю страницу. Я знаю ответ на этот вопрос. Есть статья, которая решит вашу проблему.
И это заставило меня осознать, прежде всего, что люди на самом деле посещали мою веб-страницу, о чем я даже не подозревал. Но это взаимодействие с сообществом действительно могло бы… ну, оно могло бы помочь мне напрямую решить мои вопросы.
Есть такой закон, называется Закон Меткалфа в сетях это, знаешь, если у тебя есть n люди, и все они разговаривают друг с другом, там около n2 связи между ними. Итак, чем больше аудитория и чем больше форум, где каждый может поговорить со всеми остальными, тем больше потенциальных связей вы можете установить и тем больше хороших вещей может произойти.
Я имею в виду, что за свою карьеру я сделал так много открытий или связей, которые я установил, благодаря неожиданным связям. Весь мой карьерный опыт заключался в том, что чем больше связей, тем лучше происходит.
СТРОГАЦ: Я думаю, что прекрасный пример того, о чем вы только что говорите, но мне бы хотелось услышать, как вы об этом говорите, — это связи, которые вы установили с людьми в области науки о данных, которые интересуются вопросами, связанными с медицинской резонансной томографией. , МРТ. Не могли бы вы рассказать нам немного об этой истории?
TAO: Итак, это было примерно в 2006, 2005 году, кажется. Итак, здесь, в кампусе Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, существовала междисциплинарная программа, по-моему, по многомасштабному геометрическому анализу или чему-то в этом роде, где они собирали вместе чистых математиков, которые интересовались своего рода геометрией многомасштабного типа как таковой, а затем, вы знаете, люди, у которых были очень конкретные проблемы с типами данных.
А я только начал работать над некоторыми проблемами теории случайных матриц, поэтому меня знали как человека, умеющего манипулировать матрицами. И я встретил кого-то, кого я уже знал, Эммануэль Кандес, потому что в то время он работал по соседству в Калифорнийском технологическом институте. И он и еще один сотрудник, Джастин Ромберг, они обнаружили это необычное явление.
Итак, они смотрели изображения МРТ, но они очень медленные. Чтобы собрать достаточно изображения человеческого тела с действительно высоким разрешением или достаточно, чтобы, возможно, обнаружить опухоль или какую-либо важную с медицинской точки зрения особенность, которую вы хотите найти, часто требуется несколько минут, потому что им приходится сканировать все эти разные углы, а затем синтезировать данные. . И это действительно было проблемой, потому что маленьким детям, например, просто посидеть три минуты в аппарате МРТ было довольно проблематично.
Поэтому они экспериментировали по-другому, используя некоторую линейную алгебру. Они надеялись добиться повышения производительности на 10–20 %. Знаете, немного более резкое изображение за счет небольшой настройки стандартного алгоритма.
Итак, стандартный алгоритм назывался аппроксимацией методом наименьших квадратов, а они делали что-то еще, называемое минимизацией полной вариации. Но затем, когда они запустили компьютерное программное обеспечение, они получили почти идеальную реконструкцию своего тестового изображения. Огромное, масштабное улучшение. И они не могли этого объяснить.
Но Эммануэль был на этой программе, и мы болтали за чаем или чем-то еще. И он только что упомянул об этом, и, вообще-то, моей первой мыслью было то, что вы, должно быть, ошиблись в своих расчетах, что то, что вы говорите, на самом деле невозможно. И я помню, как той ночью вернулся домой и попытался записать реальное доказательство того, что то, что они видели, на самом деле не могло произойти. А потом, на полпути, я понял, что сделал предположение, которое не соответствовало действительности. И тогда я понял, что это действительно может сработать. И тогда я понял, какое может быть объяснение. А потом мы работали вместе, нашли хорошее объяснение и опубликовали его.
И как только мы это сделали, люди поняли, что существует множество других ситуаций, когда вам нужно провести измерение, которое обычно требует большого количества данных, а в некоторых случаях вы можете взять гораздо меньший объем данных и при этом получить действительно высокие результаты. измерение разрешения.
Так что теперь, например, современные аппараты МРТ — сканирование, которое раньше занимало три минуты, теперь может занять 30 секунд, потому что это программное обеспечение, этот алгоритм теперь жестко запрограммированы в машинах.
СТРОГАЦ: Это красивая история, такая замечательная история. Я имею в виду разговор о важной математике, которая меняет жизни буквально в контексте медицинской визуализации. Знаете, мне нравится счастливая случайность и ваша непредубежденность, когда вы слышите эту идею, а затем думаете: «Ну, это невозможно, я могу это доказать». А потом понял, что нет, на самом деле. Фантастически видеть, что математика оказывает такое влияние.
Ну ладно, думаю, мне лучше тебя отпустить, Терри. Было очень приятно обсуждать с вами суть хорошей математики. Большое спасибо, что присоединились к нам сегодня.
TAO: Да, нет, это было приятно.
[Перерыв для вставки рекламы]
СТРОГАЦ: «Радость почему» — это подкаст от Quanta Magazine, редакционно независимое издание, поддерживаемое Фондом Саймонса. Решения Фонда Саймонса о финансировании не влияют на выбор тем, гостей или другие редакционные решения в этом подкасте или в Quanta Magazine.
«Радость почему» продюсирует PRX Продакшнс. Производственная группа — Кейтлин Фолдс, Ливия Брок, Женевьева Спонслер и Меррит Джейкоб. Исполнительный продюсер PRX Productions — Джоселин Гонсалес. Морган Чёрч и Эдвин Очоа оказали дополнительную помощь. От Quanta MagazineДжон Ренни и Томас Лин обеспечивали редакционное руководство при поддержке Мэтта Карлстрома, Сэмюэля Веласко, Ноны Гриффин, Арлин Сантаны и Мэдисон Голдберг.
Наша музыкальная тема взята из APM Music. Джулиан Лин придумал название подкаста. Оформление эпизода создано Питером Гринвудом, а наш логотип — Джейки Кинг и Кристиной Армитидж. Особая благодарность Колумбийской школе журналистики и Берту Одом-Риду из Cornell Broadcast Studios.
Я ваш ведущий, Стив Строгац. Если у вас есть какие-либо вопросы или комментарии к нам, пожалуйста, напишите нам по адресу . Спасибо за прослушивание.
- SEO-контент и PR-распределение. Получите усиление сегодня.
- PlatoData.Network Вертикальный генеративный ИИ. Расширьте возможности себя. Доступ здесь.
- ПлатонАйСтрим. Интеллект Web3. Расширение знаний. Доступ здесь.
- ПлатонЭСГ. Углерод, чистые технологии, Энергия, Окружающая среда, Солнечная, Управление отходами. Доступ здесь.
- ПлатонЗдоровье. Биотехнологии и клинические исследования. Доступ здесь.
- Источник: https://www.quantamagazine.org/what-makes-for-good-mathematics-20240201/
- :имеет
- :является
- :нет
- :куда
- ][п
- $UP
- 1
- 10
- 15 лет
- 15%
- 2005
- 2006
- 250
- 30
- 300
- 50
- 50 лет
- a
- в состоянии
- О нас
- об этом
- АБСТРАКТ НАЯ
- абстракция
- AC
- принятие
- принятый
- принимающий
- доступной
- доступа
- Учетная запись
- через
- фактического соединения
- на самом деле
- Ad
- дополнительный
- адрес
- принять
- продвижение
- продвинутый
- авансы
- приход
- консультировать
- эстетический
- После
- снова
- возраст
- тому назад
- соглашаясь
- впереди
- AI
- AI chatbot
- AIR
- АИС
- алгоритм
- живой
- Все
- выделять
- позволять
- почти
- вдоль
- уже
- причислены
- Несмотря на то, что
- всегда
- любитель
- американские
- среди
- количество
- an
- анализ
- Древний
- и
- Другой
- ответ
- любой
- больше не
- кто угодно
- все
- кроме
- приложение
- Apple
- Приложения
- Применение
- приближается
- соответствующий
- МЫ
- ПЛОЩАДЬ
- области
- аргумент
- Аргументы
- около
- Искусство
- гайд
- статьи
- Специалисты ELAN
- AS
- спросить
- внешний вид
- аспекты
- Помощь
- предположение
- астрономия
- At
- атаковать
- внимание
- аудитория
- автор
- автор
- власть
- Авторы
- доступен
- Ось
- назад
- Плохой
- Банка
- счет в банке
- барьеры
- Использование темпера с изогнутым основанием
- основной
- BE
- красивая
- Бьюти
- , так как:
- становиться
- становится
- становление
- было
- до
- начинать
- начало
- не являетесь
- существ
- верить
- польза
- ЛУЧШЕЕ
- Лучшая
- между
- большой
- Big Data
- больший
- Крупнейшая
- Немного
- Блог
- Сообщения в блоге
- блоги
- тело
- изоферменты печени
- ветви
- ширина
- Ломать
- прорыв
- МОСТ
- Приведение
- широкий
- вещания
- шире
- барсук
- строить
- зданий
- но
- by
- расчет
- призывают
- под названием
- пришел
- Кампус
- CAN
- столица
- Карьера
- случаев
- случаев
- Привлекайте
- Причины
- пещера
- центральный
- центральная власть
- века
- определенный
- конечно
- сложные
- шанс
- изменение
- менялась
- изменения
- Chatbot
- в чате
- проверка
- контроль
- выбор
- церковь
- Circle
- круги
- круговой
- гражданин
- класс
- Закрыть
- Co-Host
- код
- сотрудничать
- сотрудничество
- сотрудничество
- коллега
- собирать
- COLUMBIA
- как
- выходит
- Кометы
- приход
- комментарий
- комментарий
- Комментарии
- товар
- общаться
- сообщество
- комплемент
- полностью
- комплекс
- сложный
- компонент
- Вычисление
- компьютер
- Информатика
- генерируемые компьютером
- компьютеры
- сама концепция
- Обеспокоенность
- бетон
- догадка
- Соединительный
- связи
- Коммутация
- подключает
- консервативный
- потребитель
- обращайтесь
- содержание
- контекст
- способствовать
- способствует
- спорный
- Удобно
- обычный
- сходиться
- Сближение
- наоборот
- конвертировать
- Cornell
- Corner
- исправить
- может
- Совет
- "Курс"
- создали
- творческий
- тварь
- Доверие
- Критерии
- критика
- толпа
- культурный
- Культура
- Валюта
- сокращение
- ОПАСНО!
- данным
- наука о данных
- наборы данных
- База данных
- Дней
- дебаты
- решения
- глубоко
- более глубокий
- определять
- определенно
- демонстрировать
- Кафедра
- зависит
- описывать
- заслуживает
- подробнее
- определены
- развивать
- развитый
- DID
- различный
- трудный
- цифры
- размеры
- непосредственно
- каталоги
- дисциплина
- обнаружить
- открытый
- обсуждать
- обсуждающий
- Нарушение
- отличительный
- отчетливо
- Г-жа
- do
- документ
- приносит
- не
- дело
- домен
- Dont
- Двери
- вниз
- отрицательные стороны
- динамика
- каждый
- Рано
- земля
- экономику
- редактор
- редакционный
- воспитывать
- педагогов
- Эдвин
- эффективность
- эффективный
- усилие
- Эйнштейн
- или
- слон
- Эллиптических
- еще
- Еще
- расширение прав и возможностей
- позволяет
- позволяет
- столкновение
- конец
- достаточно
- Весь
- полностью
- эпизод
- равный
- Равно
- уравнения
- Эпоха
- ошибка
- особенно
- СОЧИНЕНИЕ
- сущность
- Даже
- со временем
- Каждая
- все
- все члены
- многое
- точно,
- экзамен
- пример
- Примеры
- возбужденный
- захватывающий
- исполнительный
- Исполнительный продюсер
- Упражнение
- существующий
- существует
- Расширьте
- опыт
- экспериментальный
- экспериментировал
- Эксперименты
- эксперты
- Объяснять
- объясняя
- объяснение
- Разведанный
- Исследование
- степень
- чрезвычайно
- факт
- ярмарка
- достаточно
- Осень
- ложный
- знакомый
- знаменитый
- фантастический
- далеко
- увлекательный
- Избранное
- Особенность
- чувствовать
- для многих туристов
- человек
- ошибка
- несколько
- поле
- Поля
- фигурный
- цифры
- в заключение
- Найдите
- обнаружение
- Во-первых,
- жидкость
- Динамика жидкостей
- Фокус
- фокусировка
- Что касается
- формальный
- Формально
- вперед
- Форум
- найденный
- Год основания
- 4
- лиса
- доля
- друг
- от
- фундаментальный
- финансирование
- веселая
- будущее
- игра
- дал
- Общие
- порождать
- поколение
- щедрый
- получить
- получает
- получающий
- GitHub
- Дайте
- Go
- идет
- будет
- Golden
- хорошо
- хорошая работа
- есть
- выпускник
- большой
- греческий
- Лиственный лес
- Грифон
- заземленный
- Охрана
- догадываться
- Гости
- руководство
- было
- наполовину
- рука
- происходить
- произошло
- Случай
- происходит
- Жесткий
- Есть
- имеющий
- he
- здоровый
- слышать
- слух
- еж
- помощь
- помощь
- помогает
- здесь
- High
- на высшем уровне
- высокое разрешение
- высший
- Выделите
- его
- сам
- его
- история
- целостный
- Главная
- домашняя страница
- заслуженный
- надежды
- надежды
- надеясь
- кашель
- ГОРЯЧИЙ
- Как
- How To
- HTTPS
- огромный
- Очень
- человек
- человек читаемый
- Сотни
- i
- идея
- идеалы
- идеи
- определения
- if
- изображение
- изображений
- картина
- Изображениями
- Влияние
- эффектных
- важную
- что она
- улучшение
- in
- наклонены
- включают
- В том числе
- независимые
- individual
- повлиять
- влиятельный
- свойственный
- первоначально
- понимание
- размышления
- немедленно
- интегрированный
- интеллектуальный
- интеллектуальная собственность
- предназначенных
- взаимодействие
- интерактивный
- интерес
- заинтересованный
- интересный
- Интернет
- в
- Введение
- интуиция
- Изобретение
- iPhone
- изолированный
- IT
- ЕГО
- Джекоб
- работа
- John
- присоединение
- присоединяясь к нам
- Играя
- журнал
- журналистика
- радость
- всего
- хранится
- Основные
- ключевые слова
- Дети
- Вид
- виды
- Король
- Знать
- известный
- знает
- Земля
- язык
- Языки
- большой
- крупномасштабный
- больше
- новее
- закон
- УЧИТЬСЯ
- изучение
- наименее
- Меньше
- позволять
- уровень
- ЖИЗНЬЮ
- Медико-биологическая промышленность
- такое как
- недостатки
- Ограниченный
- лин
- линия
- линейный
- линий
- Listening
- мало
- Живет
- логический
- логотип
- Длинное
- дольше
- посмотреть
- выглядит как
- искать
- ВЗГЛЯДЫ
- терять
- серия
- много
- любят
- машина
- Продукция
- сделанный
- журнал
- Большинство
- сделать
- ДЕЛАЕТ
- Создание
- управлять
- многих
- рынок
- массивный
- математике
- математический
- математически
- математика
- матрица
- матовый
- Вопрос
- зрелый
- Май..
- может быть
- me
- значить
- измерение
- Медиа
- основным медицинским
- Участники
- Мужчина
- упомянуть
- упомянутый
- встретивший
- метрический
- может быть
- миллиона
- умов
- минимизация
- минут
- Минут
- неправильные представления
- ошибка
- Модерн
- Режимы
- деньги
- БОЛЕЕ
- Морган
- самых
- движения
- МРТ
- много
- Музыка
- должен
- my
- себя
- Тайна
- наивный
- имя
- Необходимость
- необходимый
- потребности
- ни
- никогда
- Новые
- Новости
- следующий
- хороший
- ночь
- нет
- нормально
- ничего
- уведомление
- сейчас
- Нюанс
- номер
- номера
- объект
- цель
- объекты
- Очевидный
- ОЧОА
- октябрь
- of
- .
- oh
- Хорошо
- on
- консолидировать
- ONE
- те,
- онлайн
- только
- непрозрачный
- с открытым исходным кодом
- Открытость
- Обзор
- Оптимистический
- or
- органически
- организационной
- Другое
- Другое
- наши
- внешний
- устаревший
- выходной
- внешнюю
- за
- собственный
- Упаковывать
- упакованный
- страниц
- бумага & картон
- бумага
- Параллельные
- особый
- особенно
- части
- Прошло
- мимо
- Люди
- процент
- ИДЕАЛЬНОЕ
- производительность
- постоянный
- человек
- Питер
- явление
- физический
- Естественные науки
- Физически
- Физика
- взял
- кусок
- Платон
- Платон Интеллектуальные данные
- Платона
- ПлатонДанные
- пожалуйста
- удовольствие
- Подкаст
- Подкастинг
- Поэзия
- Точка
- Точка зрения
- пунктов
- поставленный
- положительный
- возможное
- Блог
- потенциал
- мощностью
- мощный
- практика
- практиками
- Точно
- presentation
- довольно
- предотвращает
- предварительно
- первичный
- Простое число
- примитивный
- приз
- Проблема
- проблематичный
- проблемам
- Произведенный
- производитель
- Производство
- производство
- Профессор
- FitPartner™
- Прогресс
- проектов
- плодовитый
- доказательство
- доказательства
- должным образом
- собственность
- Права собственности
- защищенный
- гордый
- Доказывать
- доказанный
- обеспечивать
- при условии
- обеспечение
- доказывания
- что такое варган?
- Публикация
- публично
- публиковать
- опубликованный
- Издательство
- чистый
- чисто
- цель
- преследовать
- Нажимать
- положил
- Оферты
- Квантовый журнал
- вопрос
- Вопросы
- тихо
- вполне
- случайный
- скорее
- соотношение
- читатели
- реальные
- реальный мир
- Реальность
- реализовать
- реализованный
- понимая,
- на самом деле
- причина
- спад
- учет
- уменьшить
- ссылка
- назвало
- Связанный
- отношения
- относительность
- выпуска
- помнить
- удален
- хранилище
- обязательный
- требуется
- исследованиям
- решен
- резонанс
- ресурс
- Полезные ресурсы
- ответ
- ответственно
- результат
- Итоги
- выявление
- пересматривать
- революционный
- правую
- правые
- кольцо
- Рост
- роли
- римский
- грубо
- Run
- Сказал
- то же
- сообщили
- поговорка
- говорит
- сканирование
- Школа
- Наука
- НАУКА
- Поиск
- Во-вторых
- секунды
- скрытный
- посмотреть
- видя
- казаться
- казалось
- кажется
- видел
- сегмент
- выберите
- выбор
- самонаводящийся
- предложение
- отдельный
- Серверы
- Наборы
- несколько
- формы
- Поделиться
- сдвиг
- Короткое
- должен
- сторона
- аналогичный
- просто
- простой
- упрощенный
- упростить
- упрощение
- с
- одинарной
- сидеть
- Сидящий
- обстоятельства
- навыки
- медленной
- меньше
- So
- Соцсети
- социальные сети
- Общество
- Software
- домогательство
- РЕШАТЬ
- Решение
- некоторые
- как-то
- Кто-то
- удалось
- иногда
- в некотором роде
- где-то
- скоро
- искать
- звуки
- Источник
- Источники
- Space
- пространственный
- особый
- специализированный
- спекуляция
- спекулятивный
- тратить
- Spotify
- площадь
- квадраты
- стандарт
- Стэнфорд
- Начало
- и политические лидеры
- Начало
- начинается
- заявление
- Области
- оставаться
- Шаг
- Шаги
- Стив
- По-прежнему
- акции
- фондовый рынок
- КАМЕНЬ
- История
- прямой
- успехи
- "Студент"
- Студенты
- исследования
- студии
- Кабинет
- изучение
- предмет
- успешный
- такие
- Предлагает
- поддержка
- Поддержанный
- Поверхность
- удивлен
- удивительный
- подозрительный
- синтезировать
- системы
- взять
- принимает
- с
- Говорить
- говорить
- переговоры
- осязаемый
- задачи
- Чай
- Обучение
- команда
- Технический
- техника
- технологический
- сказать
- Тенденцию
- десятки
- тестXNUMX
- чем
- Спасибо
- который
- Ассоциация
- Местоположение
- Будущее
- мир
- их
- Их
- тема
- тогда
- теоретический
- теория
- Там.
- следовательно
- Эти
- они
- задача
- вещи
- think
- мышление
- В третьих
- Третье поколение
- этой
- хоть?
- мысль
- три
- трехмерный
- Через
- время
- в
- сегодня
- вместе
- слишком
- инструментом
- инструменты
- Темы
- Всего
- трогать
- традиционный
- Обучение
- преобразован
- лечение
- дерево
- Тенденции
- пыталась
- правда
- Доверие
- стараться
- пытается
- Поворот
- Получается
- доводка
- два
- напишите
- Типы
- Лос-Анджелесе
- подчеркивание
- понимать
- понятный
- понимание
- понимать
- Неожиданный
- унифицированный
- союз
- Ед. изм
- Объединенный
- до
- Загрузка
- на
- UPS
- us
- использование
- используемый
- полезный
- через
- обычно
- утилита
- использовать
- ценный
- ценностное
- ценный
- Наши ценности
- переменная
- различный
- проверить
- очень
- VET
- Видео
- Вид
- вирусный
- видение
- из
- Ожидание
- хотеть
- стремятся
- законопроект
- наблюдение
- Вода
- Путь..
- способы
- we
- носить
- Web
- WebP
- добро пожаловать
- приветствовал
- ЧТО Ж
- были
- Что
- Что такое
- любой
- когда
- в то время как
- будь то
- , которые
- в то время как
- КТО
- все
- зачем
- широкий
- широко
- широко распространена
- Википедия.
- будете
- победитель
- мудрость
- в
- без
- интересно
- Word
- WordPress
- Работа
- работавший
- работает
- разработки
- Мир
- беспокоиться
- беспокоиться
- бы
- вот это да
- записывать
- письмо
- письменный
- Неправильно
- писал
- лет
- Да
- еще
- Ты
- ВАШЕ
- зефирнет