Введение
Теория узлов началась как попытка понять фундаментальное устройство Вселенной. В 1867 году, когда ученые с энтузиазмом пытались выяснить, что может объяснить все разнообразие видов материи, шотландский математик и физик Питер Гатри Тейт показал своему другу и соотечественнику сэру Уильяму Томсону свое устройство для создания колец дыма. Томсон — позже ставший лордом Кельвином (тезкой температурной шкалы) — был очарован соблазнительными формами колец, их стабильностью и взаимодействием. Вдохновение привело его в неожиданном направлении: возможно, думал он, точно так же, как кольца дыма были вихрями в воздухе, атомы были завязаны вихревыми кольцами в светоносном эфире, невидимой среде, через которую, как считали физики, распространяется свет.
Хотя эта идея викторианской эпохи может сейчас показаться смешной, это не было легкомысленным расследованием. У этой вихревой теории было много преимуществ: огромное разнообразие узлов, каждый из которых немного отличался, казалось, отражали различные свойства многих химических элементов. Стабильность вихревых колец может также обеспечить постоянство, которое требуется атомам.
Теория вихрей завоевала популярность в научном сообществе и вдохновила Тейта на то, чтобы свести все узлы в таблицы, создав то, что, как он надеялся, будет эквивалентно таблице элементов. Конечно, атомы — это не узлы, и эфира не существует. К концу 1880-х годов Томсон постепенно отказывался от своей вихревой теории, но к тому времени Тейт был очарован математической элегантностью своих узлов и продолжил свой проект по составлению таблиц. В процессе он создал математическую область теории узлов.
Мы все знакомы с узлами — они удерживают обувь на наших ногах, лодки прикрепляют к докам, а альпинистов отрывают от скал внизу. Но эти узлы не совсем то, что математики (включая Тейта) назвали бы узлом. Хотя запутанный удлинитель может показаться запутанным, его всегда можно распутать. Чтобы получить математический узел, вы должны соединить свободные концы шнура, чтобы образовалась замкнутая петля.
Поскольку нити узла гибки, как струна, математики рассматривают теорию узлов как раздел топология, изучение податливых форм. Иногда можно распутать узел так, чтобы он превратился в простой круг, который мы называем «развязанным узлом». Но чаще распутать узел невозможно.
Узлы также могут объединяться, образуя новые узлы. Например, сочетание простого узла, известного как трилистник, с его зеркальным отражением дает квадратный узел. (А если соединить два одинаковых узла-трилистника, получится бабушкин узел.)
Используя терминологию из мира чисел, математики говорят, что трилистник — это простой узел, квадратный узел — составной, а неузел, как и число 1, — ни то, ни другое. Эта аналогия была дополнительно подтверждена в 1949 году, когда Хорст Шуберт доказал, что каждый узел либо является простым, либо может быть однозначно разложен на простые узлы.
Другой способ создания новых узлов — это переплетение двух или более узлов, образующих звено. Кольца Борромео, названные так потому, что они изображены на гербе итальянского дома Борромео, являются простым примером.
Томсон и Тейт не были первыми, кто рассматривал узлы с математической точки зрения. Еще в 1794 году Карл Фридрих Гаусс записал и нарисовал примеры узлов в своей личной тетради. А ученик Гаусса Иоганн Листинг писал об узлах в своей монографии 1847 года. Обучение топологии («Предварительные исследования топологии») — откуда и возник термин «топология».
Но Тейт был первым ученым, работавшим над тем, что стало фундаментальной проблемой теории узлов: классификацией и табулированием всех возможных узлов. За годы кропотливой работы, используя только свою геометрическую интуицию, он нашел и классифицировал все простые узлы, которые при проецировании на плоскость имеют не более семи пересечений.
В конце 19 века Тейт узнал, что еще два человека — преподобный Томас Киркман и американский математик Чарльз Литтл — также изучали эту проблему. Совместными усилиями они классифицировали все простые узлы с числом пересечений до 10 и многие узлы с 11 пересечениями. Удивительно, но их таблицы до 10 были полными: они не пропустили ни одного узла.
Примечательно, что Тейт, Киркман и Литтл сделали так много без теорем и методов, которые будут открыты в последующие годы. Но одна вещь, которая работала в их пользу, заключалась в том, что большинство маленьких узлов являются «чередующимися», что означает, что они имеют проекцию, в которой пересечения демонстрируют последовательную схему «над-под-над-под».
У чередующихся узлов есть свойства, которые облегчают их классификацию, чем непеременные узлы. Например, сложно найти минимальное количество пересечений для любой проекции узла. Но Тейт, который в течение многих лет ошибочно полагал, что все узлы чередующиеся, придумал способ узнать, нашли ли вы это минимальное число: если у знакопеременной проекции нет пересечений, которые можно удалить, перевернув часть узла, то это должно быть проекция с минимальным числом пересечений.
Эта и еще две гипотезы Тейта о чередующихся узлах оказались верными. Тем не менее, эти известные гипотезы не были доказаны до конца 1980-х и начала 90-х годов с использованием математического инструмента, разработанного в 1984 году Воаном Джонсом, который получил Филдсовскую медаль за свою работу в области теории узлов.
К сожалению, на чередующихся узлах далеко не уедешь. Как только мы получаем узлы с восемью или более пересечениями, количество неперемежающихся узлов быстро растет, что делает методы Тейта менее полезными.
Первоначальная таблица всех узлов с 10 пересечениями была полной, но Тейт, Киркман и Литтл пересчитали дважды. Лишь в 1970-х годах Кеннет Перко, юрист, изучавший теорию узлов в Принстоне, заметил, что два узла являются зеркальным отражением друг друга. Теперь они известны как пара Перко в его честь.
За последнее столетие математики нашли много умных способов определить, действительно ли узлы различны. По сути, идея состоит в том, чтобы определить инвариант — свойство, количество или алгебраическая единица, связанная с узлом и часто поддающаяся простому вычислению. (У этих свойств есть такие названия, как окрашиваемость, число мостов или изгиб.) Вооружившись этими ярлыками, математики теперь могут легко сравнивать два узла: если они различаются по какому-либо заданному атрибуту, значит, это не один и тот же узел. Однако ни одно из этих свойств не является тем, что математики называют полным инвариантом, что означает, что два разных узла могут иметь одно и то же свойство.
Из-за всей этой сложности неудивительно, что табулирование узлов все еще продолжается. Совсем недавно, в 2020 году, Бенджамин Бертон классифицированы все простые узлы до 19 переходов (которых почти 300 млн).
Традиционная теория узлов имеет смысл только в трех измерениях: в двух измерениях возможна только развязка, а в четырех измерениях дополнительное пространство позволяет узлам развязываться, поэтому каждый узел такой же, как и развязанный.
Однако в четырехмерном пространстве мы можем связать сферы. Чтобы понять, что это значит, представьте, что вы разрезаете обычную сферу через равные промежутки времени. Это дает круги, как линии широты. Однако, если бы у нас было дополнительное измерение, мы могли бы завязать сферу так, чтобы срезы, теперь трехмерные, а не двухмерные, могли быть узлами.
Эта идея легла в основу одного из крупнейших недавних результатов в теории узлов. В 2018 году тогдашняя аспирантка Лиза Пиччирилло решил вопрос 50-летней давности об узле с 11 пересечениями, впервые открытом Джоном Конвеем. Вопрос был связан со свойством, называемым ломкостью. Как мы видели, когда мы разрезаем заузлованную сферу в четырех измерениях, мы получаем узел или связь в трех измерениях. Иногда мы можем получить данный узел из красивой, гладко завязанной сферы, но для других узлов сфера должна быть завязана узлом и смята, как кусок макулатуры. Пиччирилло доказал, по существу, что узел Конвея относится ко второму типу. Говоря техническим жаргоном, она доказала, что это не «гладкий срез».
Теория узлов пересекала математический ландшафт на протяжении веков. Это началось как прикладная область математики, когда Томсон попытался использовать узлы, чтобы понять состав материи. Когда эта идея исчезла, она стала областью чистой математики, ответвлением интригующей и все еще непрактичной области топологии. Но в последние годы теория узлов снова стала прикладной областью математики, поскольку ученые используют идеи из теории узлов для исследования динамика жидкости, электродинамика, узловатые молекулы, такие как ДНК и так далее. К счастью, пока ученые были заняты изучением других вещей, математики составляли каталоги узлов и инструменты для распутывания их секретов.
