Stoletje kasneje nova matematika zgladi splošno relativnost | Revija Quanta

Splošna teorija relativnosti Alberta Einsteina je bila izjemno uspešna pri opisovanju delovanja gravitacije in kako oblikuje obsežno strukturo vesolja. To je povzeto v izreku fizika Johna Wheelerja: »Prostor-čas pove materiji, kako naj se giblje; materija pove prostoru-času, kako naj se ukrivi." Vendar pa je matematika splošne teorije relativnosti tudi globoko protislovna.

Ker so njegove osnovne enačbe tako zapletene, je težko dokazati celo najenostavnejše izjave. Na primer, šele okoli leta 1980 so matematiki kot del pomembnega izreka splošne relativnostne teorije dokazali, da mora biti izoliran fizični sistem ali prostor brez mase v njem ravno.

To je pustilo nerešeno vprašanje, kako izgleda prostor, če je skoraj vakuum, ki ima le majhno količino mase. Ali je nujno skoraj ravno?

Čeprav se morda zdi očitno, da bi manjša masa povzročila manjšo ukrivljenost, stvari niso tako odrezane in suhoparne, ko gre za splošno teorijo relativnosti. V skladu s teorijo lahko goste koncentracije snovi "ukrivijo" del prostora, zaradi česar je zelo ukrivljen. V nekaterih primerih je lahko ta ukrivljenost ekstremna, kar lahko povzroči nastanek črnih lukenj. To se lahko zgodi tudi v prostoru z majhnimi količinami snovi, če je ta dovolj močno koncentrirana.

V nedavno papirja, Conghan Dong, podiplomski študent na univerzi Stony Brook, in Antoine Song, docent na Kalifornijskem inštitutu za tehnologijo, je dokazal, da se bo zaporedje ukrivljenih prostorov z vedno manjšimi količinami mase sčasoma zbližalo v raven prostor z ničelno ukrivljenostjo.

Ta rezultat je omembe vreden napredek v matematičnem raziskovanju splošne teorije relativnosti – prizadevanje, ki se še naprej obrestuje več kot stoletje po tem, ko je Einstein zasnoval svojo teorijo. Dan Lee, matematik na Queens Collegeu, ki preučuje matematiko splošne teorije relativnosti, vendar ni bil vključen v to raziskavo, je dejal, da dokaz Donga in Songa odraža globoko razumevanje medsebojnega delovanja ukrivljenosti in mase.

Kaj so dokazali

Dokaz Donga in Songa se nanaša na tridimenzionalne prostore, vendar najprej razmislite o dvodimenzionalnem primeru zaradi ilustracije. Predstavljajte si raven prostor brez mase kot navaden gladek list papirja. Prostor z majhno maso je v tem primeru morda videti podoben od daleč - kar pomeni, da je večinoma raven. Vendar pa lahko podrobnejši pregled razkrije nekaj ostrih konic ali mehurčkov, ki se tu in tam pojavijo - posledice kopičenja snovi. Zaradi teh naključnih izrastkov bi bil papir podoben urejeni trati z občasno gobo ali steblom, ki štrli s površine.

Dong in Song sta dokazala a domnevo ki so ga leta 2001 oblikovali matematiki Gerhard Huisken in Tom Ilmanen. Domneva pravi, da ko se masa prostora približuje ničli, mora biti tudi njegova ukrivljenost. Huisken in Ilmanen pa sta ugotovila, da je ta scenarij zapleten zaradi prisotnosti mehurčkov in konic (ki se matematično razlikujejo drug od drugega). Predpostavili so, da bi lahko mehurčke in konice odrezali tako, da bi bilo mejno območje, ki ostane na površini prostora po vsakem izrezu, majhno. Predlagali so, vendar niso mogli dokazati, da bi bil prostor, ki je ostal po odstranitvi teh težavnih dodatkov, skoraj raven. Prav tako niso bili prepričani, kako naj se naredijo takšni rezi.

"Ta vprašanja so bila težka in nisem pričakoval, da bom videl rešitev domneve Huisken-Ilmanen," je dejal Lee.

V središču domneve je merjenje ukrivljenosti. Prostor se lahko ukrivlja na različne načine, v različnih količinah in v različnih smereh - kot sedlo (v dveh dimenzijah), ki se ukrivlja navzgor naprej in nazaj, navzdol pa levo in desno. Dong in Song ignorirata te podrobnosti. Uporabljajo koncept, imenovan skalarna ukrivljenost, ki predstavlja ukrivljenost kot eno samo število, ki povzema celotno ukrivljenost v vseh smereh.

Novo delo Donga in Songa, je dejal Daniel Stern Univerze Cornell, je "eden najmočnejših rezultatov, ki jih imamo doslej, ki nam kažejo, kako skalarna ukrivljenost nadzoruje [] geometrijo" prostora kot celote. Njihov dokument ponazarja, da "če imamo nenegativno skalarno ukrivljenost in majhno maso, zelo dobro razumemo strukturo prostora."

Dokaz

Domneva Huisken-Ilmanen se nanaša na geometrijo prostorov z enakomerno padajočo maso. Predpisuje posebno metodo za določitev, kako blizu je prostor z majhno maso ravnemu prostoru. Ta mera se imenuje razdalja Gromov-Hausdorff, poimenovana po matematikih Mihail Gromov in Felix Hausdorff. Izračun Gromov-Hausdorffove razdalje je postopek v dveh korakih.

Prvi korak je iskanje Hausdorffove razdalje. Recimo, da imate dva kroga, A in B. Začnite s katero koli točko na A in ugotovite, kako daleč je do najbližje točke na B.

To ponovite za vsako točko na A. Največja razdalja, ki jo najdete, je Hausdorffova razdalja med krogoma.

Ko imate Hausdorffovo razdaljo, lahko izračunate razdaljo Gromov-Hausdorff. Če želite to narediti, postavite svoje predmete v večji prostor, da zmanjšate Hausdorffovo razdaljo med njimi. V primeru dveh enakih krogov, saj bi ju lahko postavili dobesedno enega na drugega, je Gromov-Hausdorffova razdalja med njima enaka nič. Geometrično enaki predmeti, kot so ti, se imenujejo "izometrični".

Merjenje razdalje je seveda težje, če so primerjani predmeti ali prostori podobni, vendar ne enaki. Gromov-Hausdorffova razdalja zagotavlja natančno merilo podobnosti (ali razlik) med oblikama dveh predmetov, ki na začetku ležita v različnih prostorih. »Gromov-Hausdorffova razdalja je eden najboljših načinov, da rečemo, da sta dva prostora skoraj izometrična, in daje številko temu 'skoraj',« je dejal Stern.

Preden sta Dong in Song lahko naredila primerjavo med prostorom z majhno maso in prostorom, ki je popolnoma raven, sta morala odrezati nadležne izbokline – ozke konice, kjer je snov tesno stisnjena, in še gostejše mehurčke, ki lahko vsebujejo drobne črne luknje. "Odrezali smo jih tako, da je mejno območje [kjer je bila narejena rezina] majhno," je dejal Song, "in pokazali smo, da se območje manjša, ko se masa zmanjšuje."

Čeprav bi ta taktika morda zvenela kot goljufanje, je Stern dejal, da je pri dokazovanju domneve dovoljeno izvesti nekakšno predhodno obdelavo z izrezovanjem mehurčkov in konic, katerih površina se skrči na nič, ko se masa zmanjša.

Kot približek prostora z majhno maso, je predlagal, bi si lahko predstavljali zmečkan list papirja, ki ima, potem ko ga ponovno zgladimo, še vedno ostre gube in gube. Z luknjačem lahko odstranite najbolj izrazite nepravilnosti, pri čemer pustite nekoliko neraven kos papirja z nekaj luknjami. Ko se velikost teh lukenj manjša, se bodo manjšale tudi neravnine terena papirja. Na meji, bi lahko rekli, bi se luknje skrčile na nič, gomile in grebeni bi izginili in ostal bi vam enakomerno gladek kos papirja - prava rezerva za raven prostor.

To sta hotela Dong in Song dokazati. Naslednji korak je bil videti, kako se ti razgaljeni prostori – brez svojih grobih značilnosti – ujemajo s standardom popolne ravnine. Strategija, ki so ji sledili, je uporabila posebno vrsto zemljevida, ki je način primerjave dveh prostorov s povezovanjem točk v enem prostoru s točkami v drugem. Zemljevid, ki so ga uporabili, je bil razvit v a papirja napisali Stern in trije kolegi - Hubert Bray, Demetre Kazaras in Marcus Khuri. Ta postopek lahko natančno določi, kako blizu sta dva prostora.

Da bi poenostavila svojo nalogo, sta Dong in Song sprejela še en matematični trik Sterna in njegovih soavtorjev, ki je pokazal, da je tridimenzionalni prostor mogoče razdeliti na neskončno veliko dvodimenzionalnih rezin, imenovanih nivojski nizi, podobno kot trdo kuhano jajce. razdelite na ozke liste z napetimi žicami rezalnika za jajca.

Kompleti ravni podedujejo ukrivljenost tridimenzionalnega prostora, ki ga sestavljajo. Dong in Song sta z osredotočanjem pozornosti na nize ravni in ne na večji tridimenzionalni prostor zmanjšala dimenzionalnost problema s treh na dve. To je zelo koristno, je dejal Song, ker "vemo veliko o dvodimenzionalnih predmetih ... in imamo veliko orodij za njihovo preučevanje."

Če bi lahko uspešno pokazali, da je vsak niz ravni "nekako raven", je dejal Song, bi jim to omogočilo doseči njihov splošni cilj pokazati, da je tridimenzionalni prostor z majhno maso blizu ravnega. Na srečo se je ta strategija obnesla.

Naslednji koraki

Če pogledamo naprej, je Song dejal, da je eden od naslednjih izzivov na tem področju narediti dokaz bolj ekspliciten z določitvijo natančnega postopka za odpravo mehurčkov in konic ter boljši opis regij, ki so bile odrezane. Toda za zdaj je priznal, da "nimamo jasne strategije za dosego tega."

 Druga obetavna pot, je dejal Song, bi bilo raziskovanje a ločena domneva ki sta ga leta 2011 oblikovala Lee in Christina Sormani, matematik na Mestni univerzi v New Yorku. Lee-Sormanijeva domneva zastavlja podobno vprašanje, kot sta ga zastavila Huisken in Ilmanen, vendar se opira na drugačen način merjenja razlike med oblikami. Namesto upoštevanja največje razdalje med dvema oblikama, kot to počne Gromov-Hausdorffova razdalja, pristop Lee-Sormani sprašuje o volumen prostora med njimi. Manjša kot je ta prostornina, bližje sta si.

Song medtem upa, da bo preučil osnovna vprašanja o skalarni ukrivljenosti, ki niso motivirana s fiziko. "V splošni relativnosti," je dejal, "imamo opravka z zelo posebnimi prostori, ki so v neskončnosti skoraj ravni, v geometriji pa nas zanimajo vse vrste prostorov."

"Obstaja upanje, da bi te tehnike lahko bile koristne v drugih okoljih", ki niso povezane s splošno relativnostjo, je dejal Stern. "Obstaja velika družina povezanih problemov," je dejal, ki čakajo, da jih raziščemo.

Quanta izvaja vrsto anket, da bi bolje služil svojemu občinstvu. Vzemite našo anketa bralcev matematike in vključeni boste v brezplačno zmago Quanta roba.