Predstavitev
Kot mnogi ljudje, ki bodo postali matematiki, Wei Ho odraščal na tekmovanjih v matematiki. V osmem razredu je zmagala na državnem tekmovanju Mathcounts v Wisconsinu, njena ekipa pa je zasedla tretje mesto na državnem tekmovanju.
V nasprotju z mnogimi bodočimi matematiki ni bila prepričana, da si to kdaj želi postati.
"Želel sem delati vse, ves čas," je dejal Ho. »Balet sem jemal zelo resno vse do zgodnje srednje šole. Urejal sem literarno revijo. Delal sem debato in forenziko. Igral sem tenis in nogomet ter klavir in violino.” Nasprotno pa je bilo videti, da so številni uspešni matematiki obsedeni z matematiko in izključujejo vse drugo. Kako bi lahko ona, oseba s številnimi strastmi, tekmovala s to stopnjo osredotočenosti?
Končno je Hoja pritegnila strogost matematike. Še vedno uživa v baletu, bere romane in rešuje skrivnostne križanke, čeprav pomaga pri ponovnem odkrivanju matematičnih strojev, ki podpirajo temeljne matematične objekte, kot so polinomske enačbe, s katerimi so povezana dolgoletna in zapletena odprta vprašanja.
Ho proučuje znane geometrijske predmete, vendar preoblikuje vprašanja, da jih umesti v področje racionalnih števil – števil, ki jih je mogoče zapisati kot ulomke. "Potem se v vse to začne mešati teorija števil," je rekla.
Še posebej jo zanimajo eliptične krivulje, ki so definirane s posebno vrsto polinomske enačbe, ki ima aplikacije v različnih vejah matematike. Eliptične krivulje se pojavljajo v analizi - na splošno, preučevanju zveznih stvari, kot so realna števila - in v algebri, kjer gre za iskanje in definiranje natančnih matematičnih struktur. (Čeprav sta njuna osredotočenost različna, sta analiza in algebra razdeljeni bolj po občutljivosti kot po strogi meji, saj se med njima veliko prekrivata.)
Predstavitev
V prednatisu, ki podira ovire, izdanem leta 2018, sta Ho in njen sodelavec Levent Alpöge univerze Harvard odkrili novo zgornjo mejo za število celoštevilskih rešitev polinomov, ki določajo eliptične krivulje. Njihova tehnika se naslanja na desetletja staro delo Louisa Mordella, ameriškega matematika, ki je leta 1906 emigriral v Veliko Britanijo. V svojem prispevku sta Ho in Alpöge uspela zbrati nove informacije o porazdelitvi teh celoštevilskih rešitev, ki so se izognile drugim ekipam, ki so preučevale podobne težave.
Ho preživlja leto (na dopustu zaradi svojega profesorskega položaja na Univerzi v Michiganu) kot gostujoča profesorica na Inštitutu za napredne študije, kjer je bila nedavno imenovana za prvo direktorico IAS-jevega programa za ženske in matematiko. Je tudi 2023 sodelavka Ameriškega matematičnega društva in raziskovalka na univerzi Princeton.
Upa, da bo vodenje programa Ženske in matematika "vsaj bolj pomagalo skupnosti, pomagalo več ljudem, namesto da bi bila samo jaz v svoji pisarni in sama ali s sodelavci raziskovala matematiko," je dejala. »Lahko dokažem izreke in morda bom nekega dne dokazal izrek, ki bo pomemben čez 100 let. Mogoče, morda ne. Vendar se mi je zdelo, da nimam dovolj vpliva na svet ali ljudi okoli sebe.”
Quanta govoril s Hojem v seriji videokonferenc. Intervjuji so bili zgoščeni in urejeni zaradi jasnosti.
Kako bi opisali način, na katerega se ukvarjate z matematiko?
Včasih se matematiki delijo na algebrske in analitične ljudi. Matematika, ki jo delam, se dotika obeh strani, a v srcu sem algebraist, čeprav sem v svojem razmišljanju geometrijski. Pogosto gledam na algebro in geometrijo kot na enaki.
To ni povsem natančno, toda v bistvu sta si od Descartesovih del in zlasti v prejšnjem stoletju tema postala zelo blizu. Obstaja precej natančen slovar, ki lahko v nekaterih situacijah pomaga prevesti geometrijsko sliko v algebraične posledice.
V mojem primeru geometrijska slika pogosto pomaga oblikovati izjave in domneve ter daje intuicijo, potem pa jih pri pisanju prevedemo v algebro. Napake je lažje odkriti, saj je algebra običajno bolj stroga. Prav tako je lahko lažja uporaba algebre, ko postane geometrija pretežka za vizualizacijo.
Na katere ideje ste se osredotočali pri svojem zadnjem delu?
Kar nekaj mojega dela je povezano z eliptičnimi krivuljami, ki so zelo naravni objekti v teoriji števil in aritmetični geometriji.
Težko bi bilo imeti celoštevilske rešitve enačb, kot so te. Pričakujemo, da v bistvu skoraj vse krivulje ne bi smele imeti celoštevilskih rešitev. Ampak to je zelo težko dokazati.
Z Leventom sva preučevala to porazdelitev števila integralnih točk. Uporabljamo klasično konstrukcijo iz Mordellove knjige iz leta 1969 Diofantove enačbe. Lahko podamo zgornjo mejo števila integralnih točk na eliptični krivulji. Drugi ljudje so podali zgornje meje. Našli smo drugačno mejo, ki jo je preprosto navesti.
Kakšno vlogo je imelo Mordellovo prejšnje delo pri vašem nedavnem rezultatu?
Naše vprašanje vključuje integralne točke na eliptičnih krivuljah. Mordell zna to povezati z nečim drugim, kar lahko preučujemo.
To je nekaj, kar počnemo ves čas pri matematiki: želimo razumeti predmet, vendar moramo najti približek, da ga razumemo. Včasih je ta posrednik zelo natančen. Včasih izgubi informacije. Je pa dejansko nekaj, do česar lahko dostopamo.
Kdaj ste se odločili, da se boste posvetili matematiki?
Mislim, da zame ni bila točka preloma. Zdaj sem zadovoljen s svojim življenjem in kariero, vendar menim, da bi bil lahko srečen na številnih poklicih ali drugih področjih, če bi bile stvari nekoliko drugačne. Morda je to nekaj, česar večina matematikov ne bi rekla, ker radi govorijo o tem, kako strastni so do matematike in kako nikoli ne bi mogli razmišljati o ničemer drugem. Zame mislim, da to ne drži.
Zanima me veliko različnih stvari. Morda sem na koncu postal matematik, ker sem bil razočaran nad pomanjkanjem strogosti na drugih področjih. Kot otrok so me na nek način učili razmišljati kot matematik, saj smo tako delali doma. Moj oče se je z menoj igral matematične igre, kar je pomenilo, da sem se že od malih nog učil logičnega sklepanja. Želel sem, da se stvari dokažejo.
Nisem pa bil prepričan, da bom dober matematik.
Zakaj?
Ko sem bil mlajši, nisem poznal toliko matematikov, ki so mi bili na različne načine podobni. Te besede razmetavamo o vzornikih. Ne gre le za to, da nisem videl dovolj žensk ali azijsko-ameriških žensk.
Mislim, da nisem videl veliko ljudi, ki bi bili navdušeni nad drugimi stvarmi kot matematiko. Zaradi tega sem zelo dvomil vase. Kako sem lahko uspešen pri matematiki, če ne porabim 100 % svojega časa za razmišljanje o matematiki? To sem videl okoli sebe. Imel sem vtis, da se drugi ljudje matematike lotevajo drugače kot jaz, moji vrstniki in starejši od mene. Mislil sem, da je težko nadaljevati kariero, v kateri ne bom takšen. Imel bi druge interese.
Človeški vidik je nekaj, za kar nisem videl, da bi drugi ljudje toliko skrbeli. Bal sem se, da mi bo ta del mene naredil slabo, da bom postal matematik.
Predstavitev
Pravkar ste bili imenovani za direktorja IAS-jevega programa za ženske in matematiko. Kaj ta program ponuja matematikom?
To je tedenska delavnica za ženske na različnih stopnjah kariere, vključno z dodiplomskimi ženskami, podiplomskimi študentkami, postdoktoranti ter nekaterimi nižjimi in višjimi profesorji. To je učenje matematike v spodbudnem okolju.
Dodiplomci, ki morda niso vedeli, da se želijo ukvarjati z matematiko, srečujejo zelo visoke matematike in dobivajo mentorstvo vse do konca. Vidijo lahko veliko različnih ljudi na različnih stopnjah kariere in se z ljudmi pogovarjajo o svojih izkušnjah. Mislim, da ni veliko drugih programov, ki imajo ta celoten obseg in so osredotočeni na določeno podpodročje.
Program 2023 se imenuje »Vzorci v celih številih«. Imel bo veliko ljudi v aditivni kombinatoriki in analitični teoriji števil. Privabimo ljudi z različnih kariernih poti, da se srečajo.
Za starejše podiplomske študente, ki že delajo na tem področju, se srečujejo s postdoktoranti, nižjimi in višjimi profesorji na svojem področju in dobijo priložnost delati z njimi en teden.
Sodelujete tudi pri Projekt Stacks, ki je obsežen spletni vir. Kaj je na njem edinstvenega?
Velik obseg in dostopnost tega. To je ta ogromen – več kot 7,500 strani, če ga natisnete – spletni skupni projekt. Toda realno, [matematik univerze Columbia] Aise Johan de Jong napiše skoraj vse. To je strog, skrbno napisan vir za algebraične geometre. To je neverjetna stvar, ki jo je naredil za skupnost.
Vsak teden ali dva raste. Je zanesljiva referenca za skoraj vse. Zajema ogromno algebraične geometrije, ki bi si jo morali ogledati kot 20 učbenikov.
To je življenje v smislu, da se stvari lahko dodajajo in urejajo. Če pride do napak, jih bodo ujeli.
Druga stvar, ki je zanimiva pri tem, je sistem oznak. Čeprav ta dokument nenehno raste, se lahko še vedno vedno sklicujete na določeno oznako. Obstaja več kot 21,000 stalnih oznak za določene rezultate, ki jih boste morda želeli citirati. Pieter Belmans je zgradil celoten zadnji del, ki je bil uporabljen tudi pri drugih projektih. Drugi ljudje so temu prilagodili tehnologijo.
Težava je - in Johan se tega zaveda - da sčasoma ne bo mogel nadaljevati s pisanjem tega. Nekega dne, če želimo, da se to nadaljuje, morajo biti drugi ljudje bolj vključeni.
Kakšno vlogo imajo vaše delavnice v projektu Stacks?
Bistvo je, da začnemo vključevati mlajše. Dajemo jim, da napišejo koščke in koščke, ki bodo morda sčasoma vključeni vanj. Tukaj je nekaj napetosti, saj mora spletna stran skrbno moderirati, da ostane pravilna in kakovostna kot vir. Torej mora Johan še vedno opraviti veliko dela, da stvari postavi vanj. Ne more biti kot Wikipedia, kjer se je lahko vsak dotakne. To je malo žalostno, vendar se mora zgoditi, če želite, da to deluje.
Poskušamo najti načine, kako bi počasi več ljudi vključili v projekt Stacks. Privabljamo mentorje za delo na projektih s podiplomskimi študenti in postdoktoranti. Naučijo se nekaj algebraične geometrije. Potem nekaj napišejo.
We pravkar objavljeno zvezek s kopico razlagalnih člankov, za katere upamo, da bodo sčasoma vključeni v projekt Stacks.
Projekt Stacks bi lahko bil izjemno vpliven še na stotine let, če bi se vključilo dovolj ljudi in ga nadaljevalo.
