Matematik o ustvarjalnosti, umetnosti, logiki in jeziku | Revija Quanta

Dolgo je trajalo, da se je Claire Voisin zaljubila v matematiko.

To ne pomeni, da ji ta tema nikoli ni bila všeč. Ker je odraščala v Franciji – bila je 10. od 12 otrok – je uživala v reševanju matematičnih nalog s svojim očetom, inženirjem. Ko je dopolnila 12 let, je začela sama brati srednješolski učbenik algebre, navdušena nad definicijami in dokazi, ki so bili navedeni na njegovih straneh. "Vsa ta struktura je bila," je rekla. "Algebra je v resnici teorija struktur."

Vendar matematike ni videla kot poklic za vse življenje. Šele v svojih univerzitetnih letih je spoznala, kako globoko in lepo je lahko — in da je sposobna delati nova odkritja. Do takrat se je poleg matematike resno ukvarjala s številnimi interesi: filozofijo, slikarstvom in poezijo. (»Ko sem bila stara 20 let, mislim, da sem se ukvarjala samo z matematiko in slikanjem. To je bilo morda malo pretirano,« se je zasmejala.) Do njenih zgodnjih 20-ih je matematika nadomestila vse ostalo. Toda slikarstvo in poezija sta še naprej vplivala nanjo. Matematiko vidi kot umetnost - in kot način za premikanje in igranje s samimi mejami jezika.

Desetletja pozneje, potem ko je postal vodilni na področju algebraične geometrije, je Voisin spet našel čas za slikanje in izdelavo glinenih skulptur. Še vedno pa največ njene pozornosti še naprej zavzema matematika; svoj čas raje preživlja z raziskovanjem tega »drugačnega sveta«, kjer »je kot da sanjaš«.

Voisin je višji raziskovalec v Francoskem nacionalnem centru za znanstvene raziskave v Parizu. Tam preučuje algebraične varietete, ki si jih lahko predstavljamo kot oblike, definirane z nizi polinomskih enačb, kot je krog definiran s polinomom x² + y² = 1. Je ena največjih svetovnih strokovnjakinj za Hodgeovo teorijo, komplet orodij, ki ga matematiki uporabljajo za preučevanje ključnih lastnosti algebraičnih varietet.

Voisin je za svoje delo prejela vrsto nagrad, vključno z nagrado Clay Research Award leta 2008, nagrado Heinza Hopfa leta 2015 in Shawovo nagrado za matematiko leta 2017. Januarja je postala prva ženska, ki je prejela nagrado Crafoord v Matematika.

Quanta z Voisinom govoril o ustvarjalni naravi matematike. Intervju je bil zgoščen in urejen zaradi jasnosti.

Kot otrok ste uživali v matematiki, vendar niste mislili, da bi se z njo ukvarjali. Zakaj ne?

Tu je čar dokazov — čustvo, ki ga občutiš, ko ga razumeš, ko se zaveš, kako močan je in kako močnega te dela. Kot otrok sem to videl že. In užival sem v koncentraciji, ki jo zahteva matematika. To je nekaj, kar se mi, ko postajam starejši, zdi vedno bolj osrednjega pomena za prakso matematike. Preostali svet izgine. Vsi vaši možgani obstajajo zato, da preučujejo problem. To je izjemna izkušnja, ki je zame zelo pomembna — prisiliti se, da zapustiš svet praktičnih stvari, da živiš v drugačnem svetu. Mogoče zato moj sin tako rad igra videoigre.

Toda zaradi česar sem v nekem smislu pozno prišel k matematiki je to, da me igre popolnoma ne zanimajo. Ni zame. In v srednji šoli se mi je matematika zdela kot igra. Težko sem to vzel resno. Sprva nisem videl globin matematike. Tudi ko sem po srednji šoli začel odkrivati ​​zelo zanimive dokaze in izreke, si v nobenem trenutku nisem mislil, da bi si lahko kaj izmislil sam, da bi lahko naredil svoje.

Potreboval sem nekaj globljega, resnejšega, nekaj, kar bi lahko naredil za svoje.

Kje ste to iskali, preden ste to našli pri matematiki?

Užival sem v filozofiji in njenem vztrajanju pri pojmu pojma. Poleg tega sem do svojega 22. leta veliko časa posvetil slikanju, zlasti figurativnim delom, ki jih je navdihnila geometrija. In zelo sem imel rad poezijo - dela Mallarméja, Baudelaira, Renéja Chara. Živel sem že v nekem drugem svetu. Ampak mislim, da je to normalno, ko si mlajši.

Toda matematika je postajala vse pomembnejša. Res zahteva vse možgane. Ko niste za svojo mizo in delate na določen problem, so vaše misli še vedno zaposlene. Bolj ko sem se torej ukvarjal z matematiko, manj sem slikal. Šele pred kratkim sem spet začela slikati, zdaj ko so vsi otroci zapustili hišo in imam veliko več časa.

Kaj je botrovalo vaši odločitvi, da boste na koncu največ ustvarjalne energije posvetili matematiki?

Matematika mi je postajala vse bolj zanimiva. Kot magistrica in doktorica znanosti. Študent sem odkril, da je bila matematika 20. stoletja nekaj zelo globokega in izjemnega. Bil je svet idej in konceptov. V algebrski geometriji je prišlo do slavne revolucije, ki jo je vodil Alexander Grothendieck. Že pred Grothendieckom so bili neverjetni rezultati. Gre torej za nedavno področje z idejami, ki so lepe, a tudi izjemno močne. Hodgeeva teorija, ki jo preučujem, je bila del tega.

Vedno bolj je postajalo jasno, da je moje življenje tam. Seveda sem imela družinsko življenje — moža in pet otrok — ter druge obveznosti in dejavnosti. Toda spoznal sem, da lahko z matematiko nekaj ustvarim. Lahko bi mu posvetil svoje življenje, ker je bilo tako lepo, tako spektakularno, tako zanimivo.

Prej ste pisali o tem, da je matematika ustvarjalen podvig.

Po poklicu sem matematik, zato je moj delovni dan uradno organiziran okrog matematike. Sedim za mizo; Delam na računalniku. Toda večina mojih matematičnih dejavnosti se ne zgodi v tem času. Potrebujete novo idejo, dobro definicijo, izjavo, za katero mislite, da jo boste lahko izkoristili. Šele takrat se lahko začne vaše delo. In to se ne zgodi, ko sem za svojo mizo. Moram slediti svojemu umu, da še naprej razmišljam.

Zdi se, da je matematika za vas zelo osebna. Ste pri tem odkrili kaj o sebi?

Pri matematiki se moram večino časa nekako boriti sam s seboj, ker sem zelo neurejen, nisem preveč discipliniran, pa tudi rad postanem depresiven. Ne zdi se mi enostavno. Toda odkril sem, da v nekaterih trenutkih - na primer zjutraj med zajtrkom ali ko se sprehajam po pariških ulicah ali počnem nekaj nesmiselnega, kot je čiščenje - moji možgani začnejo delovati sami. Zavedam se, da razmišljam o matematiki, ne da bi to nameraval. Kot da sanjaš. Star sem 62 let in nimam prave metode za dobro matematiko: še vedno bolj ali manj čakam na trenutek, ko dobim navdih.

Delate z zelo abstraktnimi objekti - z visokodimenzionalnimi prostori, s strukturami, ki izpolnjujejo zapletene enačbe. Kako se vam zdi tako abstrakten svet?

Pravzaprav ni tako težko. Najbolj abstraktna definicija, ko se z njo seznanite, ni več abstraktna. Je kot lepa gora, ki jo zelo dobro vidiš, ker je zrak zelo čist in je svetloba, ki ti omogoča, da vidiš vse podrobnosti. Za nas so matematični predmeti, ki jih preučujemo, videti konkretni, ker jih poznamo veliko bolje kot karkoli drugega.

Seveda je treba veliko stvari dokazati in ko se začneš nečesa učiti, lahko trpiš zaradi abstraktnosti. Toda ko uporabljate teorijo - ker razumete izreke - se dejansko počutite zelo blizu zadevnim predmetom, tudi če so abstraktni. Z učenjem o predmetih, z manipulacijo z njimi in njihovo uporabo v matematičnih argumentih na koncu postanejo vaši prijatelji.

In to zahteva tudi njihov pogled z različnih zornih kotov?

Prvotno nisem študiral algebraične geometrije. Delal sem v kompleksni analitični in diferencialni geometriji. V analitični geometriji preučujete veliko večji razred funkcij in oblik, ki so lokalno definirane s temi funkcijami. Običajno nimajo globalne enačbe, za razliko od algebraične geometrije.

Sprva nisem posvečal preveč pozornosti algebrskemu vidiku. Toda starejši ko postajam in bolj ko delam na tem področju, bolj vidim nujnost obstoja teh dveh različnih jezikov.

Obstaja neverjeten izrek, imenovan GAGA, ki je malo za šalo; v francoščini pomeni "senilno", vendar tudi pomeni géometrie algébrique et géométrie analytique. Pravi, da lahko prehajate iz enega jezika v drugega. Lahko naredite izračun v kompleksni analitični geometriji, če je lažje, nato pa se vrnite k algebrski geometriji.

Drugič vam algebraična geometrija daje možnost preučevanja drugačne različice problema, ki lahko da izredne rezultate. Delal sem v smeri razumevanja algebrske geometrije kot celote, namesto da bi se osredotočil le na njeno kompleksno geometrijsko stran.

Zanimivo je, da o njih razmišljate kot o različnih matematičnih jezikih.

Jezik je bistven. Pred matematiko je jezik. Veliko logike je že znotraj jezika. V matematiki imamo vsa ta logična pravila: kvantifikatorje, negacije, oklepaje, ki označujejo pravi vrstni red operacij. Vendar se je treba zavedati, da so vsa ta za matematike pomembna pravila že v našem vsakdanjem jeziku.

Matematični izrek bi lahko primerjal s pesmijo. Zapisano je z besedami. Je produkt jezika. Svoje matematične objekte imamo le zato, ker uporabljamo jezik, ker uporabljamo vsakdanje besede in jim dajemo poseben pomen. Tako lahko primerjate poezijo in matematiko, saj se obe popolnoma zanašata na jezik, a vseeno ustvarjata nekaj novega.

Matematika vas je pritegnila zaradi Grothendieckove revolucije v algebrski geometriji. V bistvu je ustvaril nov jezik za tovrstno matematiko.

Prav.

Ali je še vedno treba spremeniti matematični jezik, ki ga uporabljate zdaj?

Matematiki nenehno spreminjajo svoj jezik. Škoda, ker je zaradi tega starejše dokumente precej težko brati. Toda preteklo matematiko predelamo, ker jo bolje razumemo. Omogoča nam boljši način pisanja in dokazovanja izrekov. Tako je bilo z Grothendieckom, z njegovo uporabo kohomologije snopov v geometriji. Res je spektakularno.

Pomembno je, da se seznanite s predmetom, ki ga preučujete, do te mere, da je za vas kot materni jezik. Ko se teorija začne oblikovati, je potreben čas, da ugotovimo prave definicije in vse poenostavimo. Ali pa je morda še vedno zelo zapleteno, vendar postanemo veliko bolj seznanjeni z definicijami in predmeti; njihova uporaba postane bolj naravna.

To je stalen razvoj. Nenehno moramo pisati na novo in poenostavljati, teoretizirati o tem, kaj je pomembno, o tem, katera orodja dati na voljo.

Ste morali pri svojem delu uvesti nove definicije?

včasih. notri delo, ki sem ga opravil z János Kollár, je prišlo do preobrata, ko smo končno lahko našli pravi pogled na problem — skozi določeno definicijo. To je bil zelo klasičen problem in delali smo s klasičnimi orodji, vendar je naš dokaz v resnici temeljil na tej definiciji, ki smo jo postavili.

v drugem primeru, Olivier Debarre, Daniel Huybrechts, Emanuele Macrì in izkazal sem se lepo rezultat razvrstitve o objektih, imenovanih hiper-Kählerjeve mnogoterosti. In izhodišče za ta dokaz je bila uvedba invariante, ki smo jo prvotno imenovali "a.”[smeh.]

Morda podcenjujete pomen definicij v matematiki, vendar tega ne bi smeli.

Definicije in jezik niso edine vodilne sile v matematiki. Prav tako domneve, ki so lahko resnične ali pa tudi ne. Na primer, opravili ste veliko dela na Hodgejevi domnevi, Clayevem tisočletnem problemu, katerega rešitev prihaja z 1 milijon dolarjev nagrada.

Recimo, da imate algebraično sorto, ki jo želite razumeti. Torej greste na stran kompleksne analitične geometrije in jo namesto tega obravnavate kot tisto, kar je znano kot kompleksen kolektor. Kompleksen kolektor si lahko predstavljate v smislu njegove globalne oblike ali topologije. Obstaja objekt, imenovan homologija, ki vam daje veliko topoloških informacij o mnogoterosti. Ni pa tako enostavno definirati.

Zdaj razmislite o algebrskih podvrstah znotraj vaše prvotne sorte. Vsak bo imel topološko invarianto, določene topološke informacije, povezane z njim. Kateri del homologije kompleksnega kolektorja lahko dobimo z ogledom teh topoloških invariant?

Hodgeeva domneva daje konkreten odgovor. In odgovor je zelo subtilen.

Matematiki torej niso prepričani, ali bo Hodgeeva domneva na koncu resnična ali napačna?

Želite verjeti v Hodgeovo domnevo, ker je to vodilo v glavnih teorijah v algebrski geometriji.

Res bi radi razumeli glavne lastnosti algebraične varietete. In če je Hodgeeva domneva resnična, bi vam to dalo neverjeten nadzor nad geometrijo vaše sorte. Dobili bi zelo pomembne informacije o strukturi sort.

Obstaja nekaj močnih razlogov, da verjamemo v to. Znani so posebni primeri Hodgeeve domneve. Obstaja veliko globokih trditev o algebraičnih variantah, ki namigujejo, da je Hodgeeva domneva resnična.

Vendar je bilo skoraj popolno pomanjkanje napredka pri dokazovanju tega. Dokazal sem tudi, da Hodgeeve domneve ni mogoče razširiti na drugo okolje, kjer bi se zdela naravna. Tako da je bil to kar malce šok.

Se vam po desetletjih dela kot matematik zdi, da se zdaj še bolj poglobljeno ukvarjate z matematiko?

Zdaj, ko sem starejši, imam veliko več časa, da svojo energijo porabim za matematiko, da sem pri njej res prisoten. Imam tudi večjo sposobnost, da grem sem ter tja. V preteklosti, morda zato, ker sem imel manj časa, sem bil manj gibljiv – čeprav tudi biti preveč mobilen, samo dotikati se težav, ne da bi se jih držal, tudi ni dobro. Zdaj sem bolj izkušen in si lahko ustvarim svojo sliko.

Veliko boljšo sliko imaš o tem, česar ne veš, o odprtih problemih. Imate podroben pregled svojega polja in njegovih meja. Nekaj ​​dobrih vidikov staranja mora biti. In še vedno je toliko dela.