V zgodnjih petdesetih letih se je skupina raziskovalcev Inštituta za napredne študije lotila visokotehnološkega projekta. Pri po naročilu Johna von Neumanna in Hermana Goldstina je fizik Hedvig Selberg programiral IAS-ov računalnik s 1,700 vakuumskimi elektronkami za izračun nenavadnih matematičnih vsot, katerih izvor sega v 18. stoletje.
Vsote so bile povezane s kvadratnimi Gaussovimi vsotami, imenovanimi po slavnem matematiku Carlu Friedrichu Gaussu. Gauss bi izbral neko praštevilo p, nato pa seštejte števila v obliki $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. Kvadratne Gaussove vsote so se od svojega začetka izkazale za neprecenljive pri nalogah, kot je štetje rešitev določenih vrst enačb. "Izkazalo se je, da so Gaussove vsote čarobne, da preprosto delajo čudovite stvari iz bog ve katerega razloga," je dejal Jeffrey Hoffstein, matematik na Univerzi Brown.
Sredi 19. stoletja se je nemški matematik Ernst Eduard Kummer poigraval z bližnjim sorodnikom teh kvadratnih Gaussovih vsot, kjer je n2 v eksponentu se nadomesti z an n3. Kummer je opazil, da so bili nagnjeni k zbiranju skoraj določenih vrednosti do presenetljive stopnje - natančno opazovanje, ki je vodilo v stoletja raziskovanja teorije števil.
Če kubičnih Gaussovih vsot ne predelamo v enostavnejšo formulo, je njihove vrednosti težko sklepati. Ker ni imel takšne formule, se je Kummer lotil izračunavanja kubičnih Gaussovih vsot - in računanja in računanja. "Takrat je bilo zelo običajno, da so tovrstne junaške izračune delali ročno," je dejal Matthew Young, matematik na teksaški univerzi A&M. Potem ko je preoral 45 vsot, ki ustrezajo prvim 45 netrivialnim praštevilom, je Kummer končno obupal.
Ko je pregledal svoje rezultate, je Kummer opazil nekaj zanimivega. V teoriji so lahko vsote karkoli med -1 in 1 (potem ko so "normalizirane" - deljene z ustrezno konstanto). Toda ko je naredil izračune, je ugotovil, da so porazdeljeni na nenavaden način. Polovica rezultatov je bila med ½ in 1, le šestina pa med -1 in -½. Videti je bilo, da se združujejo okoli 1.
Kummer je razložil svoja opažanja skupaj s domnevo: če bi vam nekako uspelo narisati vse neskončno veliko kubičnih Gaussovih vsot, bi jih večino videli med ½ in 1; manj med −½ in ½; in še manj med −1 in −½.
Selberg, von Neumann in Goldstine so se odločili to preizkusiti na svojem zgodnjem računalniku. Selberg ga je programiral za izračun kubičnih Gaussovih vsot za vsa netrivialna praštevila, manjša od 10,000 - skupaj okoli 600 vsot. (Goldstine in von Neumann sta nato avtorja prispevka; njeni prispevki bi bili na koncu potisnjeni v vrstico priznanja.) Odkrili so, da ko so praštevila postala večja, so normalizirane vsote postale manj nagnjene k združevanju blizu 1. Z prepričljiv dokaz, da je bila Kummerjeva domneva napačna, so matematiki začeli poskušati razumeti kubične Gaussove vsote na globlji način, ki je presegal zgolj računanje.
Ta postopek je zdaj končan. Leta 1978 matematik Samuel Patterson poskušal rešiti Kummerjevo matematično skrivnost, vendar tega ni mogel dokazati. Nato sta lani jeseni dva matematika s kalifornijskega tehnološkega inštituta dokazala Pattersonovo domnevo in s tem končno zaključila Kummerjeva razmišljanja iz leta 1846.
Patterson je prvič postal zasvojen s problemom kot podiplomski študent na Univerzi v Cambridgeu v sedemdesetih letih prejšnjega stoletja. Njegova domneva je bila motivirana s tem, kaj se zgodi, ko so števila naključno postavljena kjerkoli med −1970 in 1. Če seštejete N teh naključnih števil bo tipična velikost vsote $latexsqrt{N}$ (lahko je pozitivna ali negativna). Podobno, če bi bile kubične Gaussove vsote enakomerno razpršene od −1 do 1, bi pričakovali N od njih, da seštejemo približno $latexsqrt{N}$.
S tem v mislih je Patterson dodal N kubične Gaussove vsote, pri čemer (trenutno) ne upoštevamo zahteve, da se držimo praštevil. Ugotovil je, da je vsota okoli N5/6 — večji od $latexsqrt{N}$ (kar lahko zapišemo kot N1/2), vendar manj kot N. Ta vrednost je pomenila, da se vsote obnašajo kot naključna števila, vendar s šibko silo, ki jih pritiska k pozitivnim vrednostim, kar se imenuje pristranskost. Kot N če bi postajala vedno večja, bi naključnost začela prevladati nad pristranskostjo, in če bi torej nekako pogledali vse neskončno veliko kubičnih Gaussovih vsot hkrati, bi bile videti enakomerno porazdeljene.
To je na videz pojasnilo vse: Kummerjeve izračune, ki so pokazali pristranskost, pa tudi izračune IAS, ki so to ovrgli.
Toda Patterson ni mogel narediti enakih izračunov za praštevila, zato je leta 1978 to uradno zapisal kot domnevo: Če seštejete kubične Gaussove vsote za praštevila, bi morali dobiti enako N5/6 vedenje.
Kmalu po govoru o svojem delu na Kummerjevem problemu je Pattersona kontaktiral podiplomski študent Roger Heath-Brown, ki je predlagal vključitev tehnik iz teorije praštevil. Združila sta se in kmalu objavljeno napredek pri problemu, vendar še vedno niso mogli pokazati, da je Patterson napovedal N5/6 pristranskost je bila točna za praštevila.
V naslednjih desetletjih je bilo malo napredka. Končno je na prelomu tisočletja Heath-Brown naredil še enega preboj, pri katerem je imelo bistveno vlogo orodje, ki ga je razvil, imenovano kubično veliko sito.
Za uporabo kubičnega velikega sita je Heath-Brown uporabil niz izračunov, da bi povezal vsoto kubičnih Gaussovih vsot z drugo vsoto. S tem orodjem je Heath-Brown lahko pokazal, da če seštejete kubične Gaussove vsote za praštevila, manjša od N, rezultat ne more biti veliko večji od N5/6. Vendar je mislil, da bi lahko naredil bolje - da bi lahko izboljšali samo sito. Če bi lahko, bi znižal mejo na N5/6 natančno, kar dokazuje Pattersonovo domnevo. V kratkem besedilu je orisal, kakšna bi bila po njegovem mnenju najboljša možna formula za sito.
Tudi s tem novim orodjem v roki matematiki niso mogli napredovati. Nato dve desetletji kasneje srečno srečanje med postdoktorandom Caltecha Alexander Dunn in njegov nadzornik Maksym Radziwiłł označil začetek konca. Preden je Dunn septembra 2020 nastopil svoj položaj, je Radziwiłł predlagal, da skupaj delata na Pattersonovi domnevi. Ker pandemija Covid-19 še vedno divja, sta se raziskave in poučevanje nadaljevala na daljavo. Nazadnje je januarja 2021 posegla naključje – ali usoda –, ko sta matematika nepričakovano trčila drug v drugega na parkirišču v Pasadeni. "Prisrčno sva poklepetala in se strinjala, da se začneva srečevati in pogovarjati o matematiki," je zapisal Dunn v elektronskem sporočilu. Do marca so marljivo delali na dokazu Pattersonove domneve.
"Delati je bilo vznemirljivo, a izjemno veliko tveganje," je dejal Dunn. "Mislim, spomnim se, da sem štiri ali pet mesecev vsako jutro prihajal v svojo pisarno ob približno 5. uri zjutraj."
Dunn in Radziwiłł sta tako kot Heath-Brown pred njima ugotovila, da je kubično veliko sito nepogrešljivo za njun dokaz. Ko pa so uporabili formulo, ki jo je Heath-Brown zapisal v svojem dokumentu iz leta 2000 – tisto, za katero je verjel, da je najboljše možno sito, domnevo, za katero je skupnost teorije števil verjela, da je resnična – so ugotovili, da nekaj ni v redu. . "Po zelo, zelo zapletenem delu smo lahko dokazali, da je 1 = 2," je dejal Radziwiłł.
Takrat je bil Radziwiłł prepričan, da je napaka njihova. "Nekako sem bil prepričan, da imamo v bistvu napako v našem dokazu." Dunn ga je prepričal v nasprotno. Kubičnega velikega sita v nasprotju s pričakovanji ni bilo mogoče izboljšati.
Oborožena s pravilnostjo kubičnega velikega sita sta Dunn in Radziwiłł ponovno umerila svoj pristop k Pattersonovi domnevi. Tokrat jim je uspelo.
"Mislim, da je bil to glavni razlog, zakaj tega nihče ni storil, ker je ta [Heath-Brownova] domneva vse zavajala," je dejal Radziwiłł. "Mislim, da če bi Heath-Brownu povedal, da je njegova domneva napačna, bi verjetno ugotovil, kako to narediti."
Dunn in Radziwiłł sta svoj članek objavila 15. septembra 2021. Na koncu se je njun dokaz opiral na posplošeno Riemannovo hipotezo, znano nedokazano domnevo v matematiki. Toda drugi matematiki vidijo to le kot manjšo pomanjkljivost. »Radi bi se znebili hipoteze. Vendar smo veseli rezultata, ki je tako ali tako pogojen,« je dejal Heath-Brown, ki je zdaj zaslužni profesor na Univerzi v Oxfordu.
Za Heath-Browna je delo Dunna in Radziwiłla več kot le dokaz Pattersonove domneve. S svojim nepričakovanim vpogledom v kubično veliko sito je njihov časopis prinesel presenetljiv konec zgodbe, katere del je bil že desetletja. »Vesel sem, da v svojem prispevku nisem zapisal: 'Prepričan sem, da se lahko tega znebimo,'« je dejal in se skliceval na košček sita, za katerega sta Dunn in Radziwiłł odkrila, da je bistvenega pomena. »Pravkar sem rekel: 'Lepo bi bilo, če bi se lahko kdo znebil tega. Zdi se možno, da bi moral biti sposoben.' In motil sem se – ne prvič.”
