Stolp domnev, ki sloni na igli | Revija Quanta

V matematiki preprost problem pogosto ni tak, kot se zdi. V začetku tega poletja, Quanta poročali o eni takšni težavi: Katero najmanjšo površino lahko pometete, medtem ko vrtite neskončno tanko iglo v vse možne smeri? Zavrtite ga okoli središča kot številčnico in dobite krog. Toda zasukajte bolj pametno, pa lahko pokrijete poljubno majhen delček prostora. Če ne zahtevate, da se igla premika v enem neprekinjenem gibu, in namesto tega preprosto položite iglo v vse smeri, lahko sestavite razporeditev igel, ki ne pokriva nobenega območja.

Matematiki te ureditve imenujejo množice Kakeya. Čeprav vedo, da so takšni nizi lahko majhni glede na površino (ali prostornino, če igle razporejate v treh ali več dimenzijah), verjamejo, da morajo biti kompleti vedno veliki, če se njihova velikost meri z metriko, imenovano Hausdorff razsežnost.

Matematiki morajo to trditev, znano kot domneva Kakeya, šele dokazati. A medtem ko gre navidezno za preprosto vprašanje o iglah, "geometrija teh Kakeya nizov podpira cel kup vprašanj v parcialnih diferencialnih enačbah, harmonični analizi in drugih področjih," je dejal jonathan hickman Univerze v Edinburghu.

Domneva Kakeya je osnova hierarhije treh osrednjih problemov v harmonični analizi – veji matematike, ki preučuje, kako je mogoče funkcije predstaviti kot vsoto periodičnih funkcij, kot so redno nihajoči sinusni valovi.

Naslednji korak v tej hierarhiji je domneva o "omejitvi". Če je resnična, je resnična tudi domneva Kakeya. (To tudi pomeni, da če se Kakeyina domneva izkaže za napačno, restrikcijska domneva ne more biti resnična.) Restrikcijska domneva je implicirana s tako imenovano Bochner-Rieszovo domnevo. In na samem vrhu je domneva o lokalnem glajenju.

Prvi dve domnevi se ukvarjata z obnašanjem Fourierove transformacije, tehnike v harmonični analizi za dejansko izračun, kako izraziti skoraj vsako funkcijo kot vsoto sinusnih valov. Je eno najmočnejših matematičnih orodij, ki so na voljo fizikom in inženirjem. Fourierjeva transformacija je igrala temeljno vlogo pri reševanju diferencialnih enačb, izražanju kvantnomehanskih idej, kot je Heisenbergovo načelo negotovosti, ter analizi in obdelavi signalov – kar omogoča stvari, kot so sodobni mobilni telefoni.

Ker vsaka izjava v hierarhiji implicira tisto pod njo, če je domneva Kakeya napačna, nobena od drugih domnev ni resnična. Celoten stolp se bo zrušil. "Lahko ustvarite protiprimer super pošasti, ki bi razbil veliko domnev," je dejal Hickman.

Po drugi strani pa dokazovanje resnične domneve Kakeya ne bi samodejno pomenilo resnice teh drugih domnev - vendar bi matematikom dalo pomemben vpogled v to, kako nadaljevati.

In tako, "skoraj polovica skupnosti za harmonično analizo, ki jo poznam, dela na tem in sorodnih problemih ali pa je na neki točki delala na njih," je rekel Shaoming Guo Univerze Wisconsin, Madison.

Pred kratkim so matematiki na svoje presenečenje odkrili, da je mogoče tehnike, ki so jih razvili za reševanje teh problemov, uporabiti tudi za dokazovanje pomembnih rezultatov na na videz nepovezanem področju teorije števil. "To je veliko bolj splošen pojav, kot so ljudje mislili," je dejal Guo.

Layer Cake

Zgodba se začne s Fourierjevo transformacijo. "Želite razstaviti [funkcije] na majhne koščke, analizirati njihove interakcije in jih dodati nazaj," je dejal Yumeng Ou Univerze v Pensilvaniji. Za enodimenzionalne funkcije – krivulje, ki jih lahko narišete na kos papirja – matematiki dobro razumejo, kako to storiti, tudi če morajo obrniti Fourierjevo transformacijo z uporabo le nekaterih kosov.

Toda v dveh ali več dimenzijah lahko stvari postanejo neurejene.

V 1971, Charlie Fefferman, matematik na univerzi Princeton, je ugotovil, kako uporabiti množice Kakeya, da bi dokazal, da lahko obračanje Fourierjeve transformacije vodi do nenavadnih in presenetljivih rezultatov v več dimenzijah.

Matematiki so našli popravek v obliki domneve Bochner-Riesz, ki v bistvu navaja, da obstajajo bolj sofisticirani načini za obnovitev prvotne funkcije, ki se ne pokvarijo kot Feffermanov primer. Toda ta popravek je bil odvisen od resničnosti domneve Kakeya.

Če je res, "bo krnjenje frekvenc povzročilo le majhne napake," je dejal Betsy Stovall Univerze Wisconsin, Madison. "To pomeni, da majhne napake ne eksplodirajo."

Tako se je začela hierarhija. Kasneje so matematiki odkrili še eno pomembno povezavo: če je Bochner-Rieszova domneva resnična, je implicirala tudi izjavo, imenovano restrikcijska domneva. Ta domneva navaja, da če začnete z omejeno različico Fourierjeve transformacije - "omejite" vrednosti, ki jih gledate samo na tiste, ki živijo na določenih površinah - vam lahko to še vedno da pomembne informacije o izvirni funkciji. In izkazalo se je, da če je domneva o omejitvi resnična, je bila tudi domneva Kakeya resnična. (To je omejitveno domnevo postavilo med Kakeyo in Bochner-Riesz v stolp.)

Glavni problem v hierarhiji, imenovan domneva o lokalnem glajenju, se ne ukvarja neposredno s Fourierjevo transformacijo, temveč omejuje velikost rešitev enačb, ki opisujejo obnašanje valov.

Tudi to si lahko predstavljate v smislu geometrije črt v nizu Kakeya. Splošno rešitev valovne enačbe lahko razdelite na kup kosov, ki se premikajo v različnih smereh in medsebojno delujejo na različne načine skozi čas. Vsak od teh kosov je matematično podoben igli v kompletu Kakeya. Domneva Kakeya trdi, da se takšna konfiguracija ne more preveč prekrivati. V tem fizičnem kontekstu bi prekrivanja ustrezala obstoju nepravilnega in nepričakovanega vedenja v rešitvi. Na primer, zvočni val se lahko okrepi v številnih regijah ob različnih časih.

Domneva o lokalnem glajenju navaja, da bi morale biti takšne nepravilnosti povprečne. "To je kot povprečje finančnega trga," je rekel Ciprian Demeter Univerze Indiana Bloomington. "Tu in tam lahko pride do padcev, a če vložite svoj denar in se čez 40 let upokojite, obstaja velika verjetnost, da boste dobili nekaj dobrih naložb."

Toda kot pri vseh domnevah v hierarhiji je to odvisno od resničnosti domneve Kakeya. "Ideja je, da če izključite veliko presečišč v nizih Kakeya, to pomeni, da lahko izključite te situacije, ko se deli vaše rešitve zarotijo ​​skupaj, da ustvarijo nekakšno eksplozijo," je dejal Stovall.

Ta domneva je najtežja v skupini: medtem ko so bili dvodimenzionalni primeri Kakeya, restrikcijskih in Bochner-Rieszovih problemov rešeni pred desetletji, je bila domneva o dvodimenzionalnem lokalnem glajenju dokazana šele pred nekaj leti. (V višjih dimenzijah vsi ti problemi ostanejo odprti.)

Toda kljub počasnemu napredku pri dokazovanju hipoteze o lokalnem glajenju je delo na tem vodilo do izjemnega napredka drugje. Leta 1999 je matematik Thomas Wolff, medtem ko se je poskušal spopasti s to domnevo, uvedel metodo, znano kot ločevanje. Od takrat je ta tehnika zaživela svoje življenje: uporabljena je bila za velike preboje ne le v harmonični analizi, ampak tudi v teoriji števil, geometriji in na drugih področjih. »Z uporabo rezultatov ločevanja imate zdaj svetovne rekorde v zelo znanih, pomembnih problemih,« je dejal Christopher Sogge Univerze Johns Hopkins, ki je prvi oblikoval domnevo o lokalnem glajenju v devetdesetih letih prejšnjega stoletja. Na primer, ločevanje je bilo uporabljeno za pomoč pri štetju, na koliko načinov je mogoče celo število predstaviti kot vsoto kvadratov, kock ali kakšne druge stopnje.

Kot je dejal Demeter, so ti rezultati mogoči, ker "lahko na številke gledamo kot na valove." Da so vse te težave povezane s kompleti igel Kakeya, je "fascinantno," je dodal. "Ne mislite, da se lahko toliko lepote, težavnosti in pomembnosti skriva v nečem, kar je mogoče oblikovati z uporabo črt."