Barvanje s številkami razkrije aritmetične vzorce v ulomkih

Leto po tem, ko je doktoriral. pri matematiki na univerzi McGill je imel Matt Bowen težave. "Naredil sem svoje kvalifikacijske izpite in se na njih odrezal popolnoma grozno," je dejal. Bowen je bil prepričan, da njegovi rezultati ne odražajo njegovih matematičnih sposobnosti, in se je odločil to dokazati. Prejšnjo jesen je to storil, ko sta on in njegov svetovalec, Marcin Sabok, objavil velik napredek na področju, znanem kot Ramseyjeva teorija.

Skoraj stoletje Ramseyjevi teoretiki zbirajo dokaze, da matematična struktura vztraja v sovražnih okoliščinah. Lahko razbijejo velike nize števil, kot so cela števila ali ulomki, ali razrežejo povezave med točkami v omrežju. Nato najdejo načine, kako dokazati, da so določene strukture neizogibne, tudi če se skušate izogniti njihovemu ustvarjanju z lomljenjem ali rezanjem na premeten način.

Ko Ramseyevi teoretiki govorijo o razdelitvi niza števil, pogosto uporabljajo jezik barvanja. Izberite več barv: na primer rdečo, modro in rumeno. Zdaj vsaki številki v zbirki dodelite barvo. Tudi če to počnete na naključen ali kaotičen način, se bodo določeni vzorci neizogibno pojavili, dokler uporabljate samo omejeno število različnih barv, tudi če je to število zelo veliko. Ramseyjevi teoretiki poskušajo najti te vzorce in iščejo strukturirane nize števil, ki so »enobarvni«, kar pomeni, da je vsem elementom dodeljena enaka barva.

Prvi rezultati barvanja segajo v pozno 19. stoletje. Do leta 1916 je Issai Schur dokazal, da ne glede na to, ali pobarvate pozitivna cela števila (znana tudi kot naravna števila), bo vedno obstajal par števil x in y tako, da x, y, in njihova vsota x+y vse so iste barve. Skozi 20. stoletje so se matematiki še naprej ukvarjali s problemi barvanja. Leta 1974, Neil Hindman podaljšal Schurjev rezultat vključiti neskončno podmnožico celih števil. Tako kot Schurjev izrek tudi Hindmanov velja ne glede na to, kako so naravna števila obarvana (s končnim številom barvic). Ne le, da so vsa ta cela števila v Hindmanovem nizu iste barve, ampak če seštejete katero koli zbirko le-teh, bo rezultat prav tako te barve. Takšni nizi so podobni sodim številom v tem, tako kot je vsaka vsota sodih števil vedno soda, tako bi tudi vsota vseh števil v enem od Hindmanovih nizov vsebovala ta niz.

"Hindmanov izrek je neverjeten del matematike," je dejal Sabok. "To je zgodba, o kateri lahko posnamemo film."

Toda Hindman je menil, da je mogoče več. Verjel je, da lahko najdete poljubno velik (vendar končen) enobarvni niz, ki vsebuje ne samo vsote svojih članov, ampak tudi produkte. "Desetletja sem trdil, da je to dejstvo," je dejal in dodal: "Ne trdim, da lahko to dokažem."

Hindmanova domneva

Če obupate nad vsoto in želite samo zagotoviti, da so zmnožki enake barve, je preprosto prilagoditi Hindmanov izrek s potenciranjem za pretvorbo vsot v zmnožke (podobno kot to počne diapozitiv).

Rokoborba z vsotami in produkti hkrati pa je veliko težja. "Zelo težko je prisiliti ta dva, da se pogovarjata drug z drugim," je rekel Joel Moreira, matematik na Univerzi v Warwicku. "Razumevanje, kako sta seštevanje in množenje povezana - to je na nek način skoraj osnova celotne teorije števil."

Tudi enostavnejša različica, ki jo je Hindman prvič predlagal v sedemdesetih letih, se je izkazala za zahtevno. Domneval je, da mora vsako barvanje naravnih števil vsebovati monokromatsko množico oblike {x, y, xy, x+y} — dve številki x in y, kot tudi njihova vsota in produkt. "Ljudje desetletja v resnici niso napredovali pri tej težavi," je dejal Bowen. "In potem so nenadoma, okoli leta 2010, ljudje začeli dokazovati vedno več stvari o tem."

Bowen je izvedel za {x, y, xy, x+y} problem leta 2016, v njegovem drugem semestru fakultete, ko je eden od njegovih profesorjev na univerzi Carnegie Mellon opisal problem v razredu. Bowen je bil presenečen nad njeno preprostostjo. "To je ena od teh kul stvari, kjer je, no, ne znam veliko matematike, vendar to nekako razumem," je dejal.

Leta 2017 je Moreira dokazano da jo lahko vedno poiščite enobarvni niz, ki vsebuje tri od štirih želenih elementov: x, xyin x + y. Medtem se je Bowen med zadnjim letom začel ležerno ukvarjati z vprašanjem. "Pravzaprav nisem mogel rešiti problema," je dejal. "Ampak k temu bi se vrnil vsakih šest mesecev." Po slabem uspehu na doktoratu. kvalifikacijskih izpitov v letu 2020, je podvojil svoja prizadevanja. Nekaj ​​dni kasneje je dokazal {x, y, xy, x+y} domneva za primer dveh barv, rezultat, ki ga je Ron Graham dokazal že v sedemdesetih letih prejšnjega stoletja s pomočjo računalnika.

S tem uspehom je Bowen skupaj s Sabokom razširil rezultat na poljubno število barv. A so se hitro zapletli v tehnične podrobnosti. "Zapletenost problema popolnoma uide nadzoru, ko je število barv veliko," je dejal Sabok. 18 mesecev so se poskušali rešiti, a z malo sreče. "V tem letu in pol smo imeli približno milijon napačnih dokazil," je dejal Sabok.

Še posebej ena težava je obema matematikoma preprečila napredovanje. Če naključno izberete dve celi števili, ju verjetno ne boste mogli razdeliti. Deljenje deluje le v redkih primerih, ko je prvo število večkratnik drugega. To se je izkazalo za izjemno omejujoče. S tem spoznanjem sta se Bowen in Sabok usmerila k dokazovanju {x, y, xy, x+y} domnevajte v racionalnih številih (kot matematiki imenujejo ulomke). Tam lahko številke delimo z odpovedjo.

Bowenov in Sabokov dokaz je najelegantnejši, ko se vse vpletene barve pogosto pojavljajo v racionalnih številih. Barve se lahko pojavljajo »pogosto« na več različnih načinov. Vsak lahko pokriva velike dele številske premice. Lahko pa pomeni, da ne morete potovati predaleč po številski premici, ne da bi videli vse barve. Običajno pa barve niso v skladu s temi pravili. V teh primerih se lahko osredotočite na majhne regije znotraj racionalnih števil, kjer se barve pojavljajo pogosteje, je pojasnil Sabok. "Tu je prišlo največ dela," je dejal.

Oktobra 2022 sta Bowen in Sabok objavila dokaz, da če racionalna števila pobarvate s končnim številom barv, obstaja množica oblike {x, y, xy, x+y}, katerega elementi imajo enako barvo. "To je neverjetno pameten dokaz," je rekel Imre Vodja Univerze v Cambridgeu. »Uporablja znane rezultate. Vendar jih združuje na absolutno sijajen, zelo izviren, zelo inovativen način.”

Veliko vprašanj ostaja. Lahko tretja številka z dodati v zbirko, skupaj s posledičnimi zneski in izdelki? Zadovoljitev najdrznejših Hindmanovih napovedi bi pomenilo dodati četrto, peto in na koncu poljubno veliko novih številk v zaporedje. Zahteval bi tudi premik od racionalnih k naravnim številkam in iskanje poti ob zagati delitve, ki je ovirala Bowenova in Sabokova prizadevanja.

Leader verjame, da z Moreiro, Bowenom in Sabokom, ki vsi delajo na problemu, ta dokaz morda ni daleč. "Ti fantje se zdijo še posebej briljantni pri iskanju novih načinov za stvari," je dejal. "Zato sem nekako optimističen, da ga bodo oni ali nekateri njihovi kolegi morda našli."

Sabok je v napovedih bolj previden. A ničesar ne izključuje. "Eden od čarov matematike je, da je vse mogoče, preden dobiš dokaz," je dejal.