"Entropijske žemljice" in druge zapletene strukture izhajajo iz preprostih pravil | Revija Quanta

Ni nujno, da je ponavljanje neumno. V matematiki je močna sila, ki lahko ustvari osupljivo kompleksnost.

Celo po desetletjih študija se matematiki znajdejo nezmožni odgovoriti na vprašanja o ponavljajočem se izvajanju zelo preprostih pravil - najosnovnejših "dinamičnih sistemov". Toda ko so poskušali to narediti, so odkrili globoke povezave med temi pravili in drugimi na videz oddaljenimi področji matematike.

Na primer Mandelbrotov niz, ki sem ga I o tem pisal prejšnji mesec je zemljevid delovanja družine, ki jo opisuje enačba f(x) = x² + c — se obnaša kot vrednost c sega čez tako imenovano kompleksno ravnino. (Za razliko od realnih števil, ki jih je mogoče postaviti na premico, imajo kompleksna števila dve komponenti, ki ju je mogoče narisati na x- in y- osi dvodimenzionalne ravnine.)

Ne glede na to, kako močno povečate Mandelbrotov niz, se vedno pojavijo novi vzorci, brez omejitev. "Že zdaj se mi zdi popolnoma osupljivo, da ta zelo zapletena struktura izhaja iz tako preprostih pravil," je dejal Matthew Baker Tehnološkega inštituta Georgia. "To je eno res presenetljivih odkritij 20. stoletja."

Kompleksnost Mandelbrotove množice se deloma pojavi, ker je definirana v smislu števil, ki so sama po sebi kompleksna. Toda, morda presenetljivo, to ni celotna zgodba. Četudi c je preprosto realno število, kot je na primer –3/2, lahko pride do najrazličnejših čudnih pojavov. Nihče ne ve, kaj se zgodi, če večkrat uporabite enačbo f(x) = x² – 3/2, z uporabo vsakega izhoda kot naslednjega vhoda v procesu, znanem kot iteracija. Če začnete ponavljati iz x = 0 (»kritična točka« kvadratne enačbe), ni jasno, ali boste ustvarili zaporedje, ki se sčasoma konvergira proti ponavljajočemu se ciklu vrednosti, ali tisto, ki se še naprej neskončno vrti v kaotičnem vzorcu.

Za vrednosti c manjše od –2 ali večje od 1/4, ponovitev hitro naraste v neskončnost. Toda znotraj tega intervala je neskončno veliko vrednosti c znano, da povzroča kaotično vedenje, in neskončno veliko primerov, kot je –3/2, kjer »ne vemo, kaj se zgodi, čeprav je super beton« Giulio Tiozzo Univerze v Torontu.

Toda v devetdesetih letih prejšnjega stoletja je matematik z univerze Stony Brook Miša Ljubič, ki je bil vidno v mojem poročilu o Mandelbrotovem nizu, dokazano da je v intervalu med –2 in 1/4 velika večina vrednosti c ustvarjajo lepo "hiperbolično" vedenje. (Matematika Jacek Graczyk in Grzegorz Swiatek neodvisno dokazal rezultat približno ob istem času.) To pomeni, da se ustrezne enačbe pri ponavljanju konvergirajo k eni sami vrednosti ali k ponavljajočemu se ciklu števil.

Desetletje pozneje je trojica matematikov pokazala, da večina vrednosti c so hiperbolični ne le za kvadratne enačbe, ampak tudi za katera koli družina realnih polinomov (splošnejše funkcije, ki združujejo spremenljivke, dvignjene na potenco, npr x⁷ + 3x⁴ + 5x² + 1). In zdaj eden od njih, Sebastian van Strien z Imperial College London, verjame, da ima dokaz te lastnosti za še širši razred enačb, imenovanih realne analitične funkcije, ki vključujejo sinusne, kosinusne in eksponentne funkcije. Van Strien upa, da bo rezultate objavil maja. Če bo po medsebojnem pregledu zdržal, bo to pomenilo velik napredek pri karakterizaciji obnašanja resničnih enodimenzionalnih sistemov.

Malo verjetna presečišča in entropijske vrečke

Obstaja neskončno veliko resničnih kvadratnih enačb, za katere je znano, da pri ponavljanju od nič na koncu ustvarijo ponavljajoč se cikel števil. Če pa omejite c do racionalnih vrednosti – tistih, ki jih je mogoče zapisati kot ulomke – samo tri vrednosti na koncu ustvarijo periodična zaporedja: 0, –1 in –2. "Ti dinamični sistemi so zelo, zelo posebni," je rekel Clayton Petsche Univerze Oregon State.

In papir objavljeno lani, Petsche in Chatchai Noytaptim Univerze Waterloo dokazali, da so še bolj posebni, kot se zdijo na prvi pogled. Matematiki so preučili "popolnoma realna" števila, ki so bolj restriktivna kot realna števila, a manj restriktivna kot racionalna.

Če vstavite število v polinom in dobite rezultat nič, je to število rešitev ali koren polinoma. Na primer, 2 je koren od f(x) = x² - 4, f(x) = x³ - 10x² + 31x – 30 in neskončno veliko drugih enačb. Takšni polinomi imajo lahko korenine, ki so realne, ali korenine, ki so kompleksne. (Na primer, korenine x² + 1 je kvadratni koren iz –1, zapisan kot i, in -i — obe kompleksni števili.)

Število je popolnoma realno, če zadošča polinomski enačbi s celimi koeficienti, ki ima samo realne korenine. Vsa racionalna števila so popolnoma realna, vendar so tudi nekatera iracionalna števila. Na primer, $latex sqrt{2}$ je popolnoma resničen, ker je rešitev za f(x) = x² – 2, ki ima samo prave korene ($latex sqrt{2}$ in njegov "sestrski" koren $latex -sqrt{2}$). Toda kubični koren iz 2, $latex sqrt[3]{2}$, ni povsem resničen. Je rešitev za f(x) = x³ – 2, ki ima dodatna dva sestrska korena, znana tudi kot Galoisova konjugata, ki sta kompleksna.

Petsche in Noytaptim sta dokazala, da ni nobenih iracionalnih popolnoma realnih števil, ki na koncu povzročijo periodične cikle. Namesto tega so 0, –1 in –2 edina popolnoma realna števila, ki to počnejo. Predstavljajo malo verjetno presečišče med lastnostmi iz dveh na videz različnih svetov — teorije števil (preučevanje celih števil) in dinamičnih sistemov. Petsche in Noytaptim sta v svojem dokazu uporabila pomembne rezultate teorije števil in poudarila povezavo med obema področjema.

Matematiki Xavier Buff in Sarah Koch je pokazala, še eno malo verjetno križišče. Pokazali so, da le štiri povsem realne vrednosti c — 1/4, –3/4, –5/4 in –7/4 — ustvarjajo zaporedja določenega, dobro razumljivega tipa, imenovanega parabolični cikel.

Galoisovi konjugati so utrli tudi pot do odkritja skrivnostnega predmeta, imenovanega "entropy bagel", žarečega fraktalnega obroča v kompleksni ravnini. Entropija je merilo naključnosti; v tem kontekstu meri, kako težko je predvideti zaporedje števil, ustvarjenih s ponavljanjem x² + c. v zadnji članek, ki ga je napisal Preden je leta 2012 umrl, je priznani topolog William Thurston grafično prikazal niz entropijskih vrednosti, ki ustrezajo skoraj milijardi različnih realnih vrednosti c — skupaj z Galoisovimi konjugati teh entropijskih vrednosti, ki so lahko kompleksne. Pojem entropije "je samo na pravi liniji, vendar nekako še vedno lahko vidite to senco kompleksnega sveta," je dejal Tiozzo.

"Vidite, da se to organizira v to neverjetno čipkasto fraktalno strukturo," je dejal Koch. "Tako kul je." Entropijski bagel je le en zelo zapleten vzorec, ki izhaja iz ponavljanja pravih kvadratnih enačb. »Še vedno se učimo vseh teh čarobnih izjav — majhnih draguljev — o resničnih kvadratnih polinomih,« je dodala. "Vedno se lahko vrneš nazaj in te preseneti stvar, za katero si mislil, da jo zelo dobro poznaš."