Kako lahko kdo z gotovostjo govori o neskončnosti? Kaj lahko v resnici vemo o skrivnostnih praštevilih, ne da bi poznali vsa? Tako kot znanstveniki potrebujejo podatke za oceno svojih hipotez, matematiki potrebujejo dokaze za dokazovanje ali ovrženje domnev. Toda kaj šteje kot dokaz na nematerialnem področju teorije števil? V tej epizodi se Steven Strogatz pogovarja z Melanie Matchett Wood, profesor matematike na Univerzi Harvard, da bi izvedel, kako lahko verjetnost in naključnost pomagata vzpostaviti dokaze za nepredušne argumente, ki se zahtevajo od matematikov.
Poslušaj Apple Podcasts, Spotify, Google Podcasti, Krojač, TuneIn ali vašo najljubšo aplikacijo za podcaste ali pa lahko pretakajte iz Quanta.
Prepis
Steven Strogatz (00:02): Jaz sem Steve Strogatz in to je Veselje zakaj, podcast iz Revija Quanta ki vas popelje do nekaterih največjih neodgovorjenih vprašanj v matematiki in znanosti danes. V tej epizodi bomo govorili o dokazi v matematiki. Kakšne vrste dokazov uporabljajo matematiki? Kaj jih vodi k sumu, da je nekaj res, preden imajo nepremagljiv dokaz?
(00:26) Morda se sliši kot paradoks, a izkazalo se je, da sklepanje, ki temelji na teoriji verjetnosti, preučevanju naključja in naključnosti, včasih vodi do tega, kar matematiki v resnici iščejo, to je gotovost, ne le verjetnost. Na primer, v veji matematike, znani kot teorija števil, obstaja dolga zgodovina uporabe naključnosti, ki pomaga matematikom uganiti, kaj je res. Zdaj se verjetnost uporablja, da jim pomaga dokazati, kaj je res.
(00:53) Tu se bomo osredotočili na praštevila. Verjetno se spomnite praštevil, kajne? O njih ste se učili v šoli. Praštevilo je celo število, večje od 1, ki ga je mogoče deliti samo z 1 in samim seboj. Na primer, 7 ali 11. To so praštevila, vendar 15 ni, ker je 15 mogoče enakomerno deliti s 3 ali 5. Praštevila si lahko predstavljate kot nekakšna elementa v periodnem sistemu kemije, v smislu da so nedeljivi atomi, ki sestavljajo vsa druga števila.
(01:27) Zdi se, da bi praštevila morala biti preprosta, a nekatere največje skrivnosti v matematiki so vprašanja o praštevilih. V nekaterih primerih vprašanja, ki se pojavljajo že več sto let. V praštevilih je res nekaj zelo subtilnega. Zdi se, kot da živijo na meji med redom in naključnostjo. Moj današnji gost nam bo pomagal razumeti več o naravi dokazov v matematiki, predvsem pa o tem, kako in zakaj nam lahko naključnost pove toliko o praštevilih in zakaj so modeli, ki temeljijo na verjetnosti, lahko tako uporabni na vrhuncu teorije števil. Pri razpravi o vsem tem se mi je pridružila Melanie Matchett Wood, profesorica matematike na univerzi Harvard. Dobrodošli, Melanie!
Melanie Matchett Wood (02:09): Živjo, lepo je govoriti s tabo.
Strogatz (02:11): Zelo lepo je govoriti s tabo, sem velik oboževalec. Pogovarjajmo se o matematiki in znanosti v povezavi drug z drugim, ker se besedi pogosto uporabljata skupaj, kljub temu pa so tehnike, ki jih uporabljamo, da pridemo do dokaza in gotovosti v matematiki, nekoliko drugačne od tistih, ki jih poskušamo narediti v znanosti. Na primer, ko govorimo o zbiranju dokazov v matematiki, kako je to enako ali kako se razlikuje od zbiranja dokazov z znanstveno metodo v znanosti?
Les (02:38): Matematični dokaz je absolutno nepredušen, popoln logičen argument, da neka matematična trditev mora biti taka in ne more biti drugačna. Za razliko od znanstvene teorije – ki je morda najboljša, kar imamo na podlagi dokazov, ki jih imamo danes, vendar bomo v naslednjih 10 letih dobili več dokazov in morda bo nova teorija – matematični dokaz pravi, da neka izjava mora biti taka, nikakor ne moremo odkriti, da bo napačna čez 10 let ali 20 let.
Strogatz (03:17): No, katere vrste stvari štejejo kot dokazi v matematiki?
Les (03:19): Torej boste morda videli, da nekaj drži v številnih primerih. In glede na to, da je res v številnih primerih, za katere bi morda lahko rekli, da so dokaz za to dejstvo, lahko domnevate, čemur bi matematiki rekli domneva, ugibanje, da je nekaj res. Toda tisto, kar bi matematiki želeli, bi bil dokaz, da bi stvar, ki ste jo videli v toliko primerih, vedno delovala tako, kot ste trdili.
Strogatz (03:49): Prav, zelo drugačen od teže dokazov. To je izjava, da obstaja razlog, zakaj bo nekaj res za vedno, za vse čase, v vsakem primeru.
Les (03:58): In ne le "no, pogledal sem milijon primerov in v vsakem je res." Kar je razlog za ugibanje ali domnevo, da je vedno res. Toda v matematiki razlikujemo med takim ugibanjem, ki bi lahko temeljilo na številnih primerih ali dokazih, in izrekom ali dokazom, argumentom, ki vam pove, da bo deloval v vsakem primeru, tudi v tistih, ki jih nimate nisem poskusil.
Strogatz (04:25): Zdaj pa, ali gre samo za to, da so matematiki izbirčni po naravi, ali pa obstajajo primeri, ko nekaj, kar je bilo videti, kot da je resnično, do nekega zelo velikega števila možnosti, na koncu ni resnično več kot neko drugo veliko število ?
Les (04:39): Oh, to je, to je odlično vprašanje. No, tukaj je primer, ki mi je všeč, ker so mi všeč praštevila. Torej, ko greste skozi praštevila - 2, 3, 5, 7 - ena od stvari, ki bi jih lahko naredili, lahko pogledate in rečete, "hej, ali so deljiva z 2?" In to se izkaže za premalo zanimivo. Po 2 ni nobeden od njih deljiv z 2. Vsi so, vsi so lihi.
(05:10) In potem boste morda pomislili, "no, ali so deljivi s 3?" In seveda, po 3 tudi ne morejo biti deljive s 3, ker so praštevila. Vendar boste morda opazili, da nekateri od njih, ko jih delite s 3, dobite ostanek 1, da so 1 več kot večkratnik 3. Torej stvari, kot je 7, kar je 1 več kot 6, ali 13 , kar je 1 več kot 12. In nekatera od teh praštevil, na primer 11 ali 17, ki je 2 več kot 15, bodo imela ostanek 2, ko jih delite s 3, ker so 2 več kot večkratnik 3.
(05:47) In tako bi lahko razmišljali o teh praštevilih v ekipah. Ekipa 1 so vsi tisti, ki so za 1 večji od večkratnika 3, ekipa 2 pa vsi tisti, ki so za 2 večji od večkratnika 3. In ko greste skozi praštevila in naštevate praštevila, bi lahko našteli vse praštevila in lahko bi sešteli ter videli, koliko jih je v ekipi 1 in koliko jih je v ekipi 2. In če bi to sešteli do 600 milijard, na vsaki točki, vsako število do 600 milijard, bi ugotovili, da je več praštevil ekipe 2 kot praštevil ekipe 1. Torej lahko na podlagi teh dokazov seveda domnevate, da bo vedno več praštevil ekipe 2 kot praštevil ekipe 1.
Strogatz (06:33): Seveda. Povsem tako zveni.
Les: Izkazalo se je, da se pri številki okoli 608 milijard nekaj, pozabim natančno številko, spremeni.
Strogatz (06:46): Oh, daj no.
Les: Ja, res se spreminja. In zdaj je naenkrat ekipa 1 v vodstvu. Torej, to je -
Strogatz (06:53): Počakaj malo. Čakaj, ampak to je neverjetno. Kaj - zdaj, ali se nenehno spreminjajo? Ali vemo, kaj se zgodi, ko nadaljujete? Ali se nenehno spreminjajo?
Les (07:01): Ja, odlično vprašanje. Torej, res je teorem, da bodo neskončno pogosto menjali sledi.
Strogatz (07:07): Res?
Les: Torej bodo še naprej trgovali s potencialnimi strankami. Toda to je res odličen primer, ki si ga morate zapomniti, ko preučujete praštevila, da samo zato, ker je nekaj veljalo za prvih 600 milijard primerov, ne pomeni, da bo vedno res.
Strogatz (07:25): Oh, vau. Lepo. V redu. Torej, kot na splošno, kako prideš od domneve do dokaza?
Les (07:31): Zelo odvisno od primera. Mislim, veliko je primerov matematike, kjer imamo domneve in nimamo dokazov. Torej ni nekega preprostega recepta, da bi od domneve prišli do dokaza, sicer ne bi imeli toliko slavnih odprtih problemov, kjer, veste, obstajajo nekatere domneve, da ljudje mislijo, da nekaj deluje na določen način, mi pa ne ne vem zagotovo. Ampak, veste, včasih lahko domneva nakazuje razloge, da je nekaj res. Včasih je samo matematična teorija, ki je zgrajena na vedno več matematičnih teorij, ki so jih ljudje razvijali stotine let, nam da dovolj orodij in strukture, s katerimi lahko delamo, da razumemo stvari, da pridemo do dokaza. Vendar ne gre za to, da domneva nujno vodi do dokaza. Domneva bi lahko navdihnila ljudi, da poskušajo najti dokaz, vendar je način, na katerega pride do dokaza, morda popolnoma ločen od same domneve.
Strogatz (08:31): Ja, zanima me nekako naštevanje ali naštevanje vrst dokazov, ki ne ustrezajo dokazu, zaradi česar ljudje verjamejo, da je vredno poskusiti poiskati dokaz.
Les (08:41): Ja, še ena stvar, ki bi jo lahko imenovali kot dokaz in ni le primeri, bi bila hevristika. Hevristika je lahko nekaj podobnega argumentu, razen pri veliko nižjem standardu strogosti. Samo kot, ali se to zdi v redu? Ne "ali sem to dejstvo povsem zanesljivo ugotovil brez sence dvoma?" ampak "počne to - ja, zdi se precej verjetno." Torej je hevristika lahko sklepanje, ki se zdi precej verjetno, veste, vendar dejansko ni strog argument. Torej je to ena vrsta dokazov.
(09:12) Včasih imamo morda model, za katerega menimo, da zajema bistvene elemente matematičnega sistema, ki ga poskušamo razumeti, in potem bi domnevali, da se vaš sistem obnaša enako kot vaš model.
Strogatz (09:30): V redu. Na neki točki bi rad slišal nekaj primerov modelov in domnev in, veste, v kolikšni meri delujejo ali ne delujejo pri nekaterih vprašanjih ali ne pri drugih, toda če nimate nič proti, bi rad bi se vrnil le k nekaj majhnim osebnim stvarem, ker tukaj govorimo o številkah, vi pa ste teoretik števil. Ljudje morda v vsakdanjem življenju ne poznajo veliko teoretikov števil. Torej, sprašujem se, če nam lahko poveste kaj je teorija števil, in tudi, zakaj se vam zdi zanimivo? Zakaj ste ga prišli študirat?
Les (10:02) No, teorija števil je matematična študija celih števil. Torej, pomislite na 1, 2, 3, 4, 5. In zlasti ena od pomembnih stvari pri celih številih so praštevila. Kot ste pojasnili, so na samem začetku gradniki, iz katerih lahko z množenjem sestavimo vsa druga števila. Ker se torej teorija števil ukvarja z vsemi temi celimi števili, se ukvarja tudi z njihovimi gradniki, praštevili in tem, kako se druga števila vključijo v praštevila in kako so zgrajeni - iz praštevil.
Strogatz (10:37): Torej bo teorija števil za naše današnje namene preučevanje celih števil, s posebnim zanimanjem za praštevila. To se zdi kar dober začetek. Predvidevam, da je več kot to. Morda pa je to zdaj dobra definicija za nas. Se vam zdi?
Les (10:50): To je dobro, to je dober začetek. Mislim, od tam naprej raziskujemo nadaljnje stvari, kot je, no, kaj če začnete razmišljati o številskih sistemih, ki so bolj zapleteni kot le cela števila? Kot da začnete vnašati druga števila, na primer kvadratni koren iz 2, kaj se potem zgodi s praštevili in faktorizacijo? Vodijo vas do nadaljnjih vprašanj. Ampak iskreno, veliko bogate in lepe matematike je samo v celih številih in praštevilih.
Strogatz (11:16): Če torej upoštevate to, zakaj se vam zdi prepričljivo? Zakaj vam je všeč študij teorije števil? Kaj vas je pritegnilo?
Les (11:22): Mislim, da mi je všeč, da so lahko vprašanja tako konkretna. Veste, grem in se pogovarjam z osnovnošolci. In lahko jim povem o nekaterih stvareh, o katerih razmišljam. Zato mi je zabavno delati na nečem, pri čemer so po eni strani lahko vprašanja tako konkretna, po drugi strani pa je lahko uganka reševanja tako težka. Mislim, ljudje dobesedno tisoče let poskušajo odgovoriti na vprašanja o celih številih, o praštevilih.
(11:54) In obstaja veliko vej matematike. Eden od pomembnih delov sodobne teorije števil je, da je treba za napredek pri teh trdovratnih starih vprašanjih, s katerimi se ljudje tako dolgo ukvarjajo, vnesti nove ideje in vzpostaviti povezave z drugimi deli matematike. Torej, čeprav bi se imenoval teoretik števil, uporabljam matematiko z vseh različnih področij. Od preučevanja, saj veste, geometrije in topologije ter oblik prostorov do verjetnosti in preučevanja naključnosti. Uporabljam vse vrste matematike, ampak da bi poskušal povedati nekaj o stvareh, kot so cela števila in praštevila ter faktorizacija.
Strogatz (12:36): Ja, všeč mi je ta vizija matematike kot te ogromne med seboj povezane mreže idej in lahko si želiš živeti v določenem delu tega, ki ti je najljubši. Vendar ste omenili praštevila kot posebno področje zanimanja teorije števil, v resnici njen najbolj temeljni del. Kaj jim je težko? V naši razpravi še ni jasno, kaj je tam tako skrivnostnega? Kot da smo jih definirali, bi jih verjetno lahko še naprej naštevali, mislim. Katere težave, ki jih omenjate, so stare več sto let?
Les (13:05): No, eno največjih in najpomembnejših vprašanj, ki je morda staro okoli 120 let ali več, je, da ste rekli, »oh, lahko bi jih našteli. Če bi to naredil, koliko bi jih našel?« Recimo, da ste našteli praštevila do sto, ali tisoč, ali sto tisoč, ali milijon, milijarda. Ko naštevate praštevila do vse večjih in večjih števil, koliko od teh števil, skozi katera greste, bo dejansko praštevil? Razumevanje, da je količina res bistvo Riemannova hipoteza, ki je eden od Clay Math Institute Težave z nagrado tisočletja, je milijon dolarjev nagrade za odgovor. To je eno najbolj znanih vprašanj in nimamo pojma, kako to narediti, in v resnici gre samo za vprašanje, ko naštejete ta praštevila, koliko jih boste našli?
Strogatz (13:58): V redu. Smešno je, kajne? Kajti ko začnete sestavljati seznam, tudi če je nekdo samo mimogrede začel naštevati števila, ki so praštevila do 100, opazite nekaj smešnih stvari. Na primer, na začetku 11 in 13 sta 2 narazen. Petnajst, no, to ne deluje, ker je deljivo s 5 in 3. Potem 17, tako da je zdaj vrzel 4, med 13 in 17. Potem pa je 19 spet blizu. Ne vem, mislim, tako da je lahko razmik med praštevili nekako čuden. Kot da je včasih notri precej velika vrzel, včasih pa sta tik drug poleg drugega, samo 2 narazen.
Les (14:31): Ja, tako da je bilo tudi razumevanje tega razmika in teh vrzeli veliko zanimivo vprašanje. V zadnjem desetletju je bil dosežen izjemen napredek pri razumevanju razmika med praštevili. Še vedno pa obstaja zelo moteče, osnovno vprašanje, na katerega ne poznamo odgovora. Torej ste omenili, da sta ta praštevila, 11 in 13, samo 2 narazen. Takšna praštevila se torej imenujejo dvojčka praštevila. Ne moremo pričakovati, da se praštevila približajo bližje kot 2, saj morajo biti po 2 vsa liha. Tukaj je odprto vprašanje v matematiki, kar pomeni, da ne poznamo odgovora in to je: Ali obstaja neskončno veliko parov praštevil dvojčkov? In tako tukaj obstaja domneva, domneva bi bila, da. Mislim, ne samo, da obstaja domneva, da »da, trajale bi v nedogled in vedno bi jih moralo biti več«, ampak obstaja celo domneva o tem, koliko jih boste našli na poti. Ampak to je popolnoma odprto. Kolikor vemo, se lahko zgodi, da se, ko pridete do res velikega števila, preprosto ustavijo in sploh ne najdete več parov praštevil dvojčkov.
Strogatz (15:40): V tem je nekaj zelo poetičnega, pretresljivega, ta misel, kot da bi to lahko bil konec vrstice na neki točki. Mislim, nobeden od naju tega verjetno ne verjame. Ampak mogoče je, domnevam, mogoče si je predstavljati, da obstaja še zadnji osamljeni par dvojčkov, ki se stiska v temi, tam zunaj, veš, na številski premici.
Les (15:57): Ja, lahko bi bilo. In veste, kot matematiki bi rekli, veste, ne vemo. Tudi če bi lahko sproti naredili graf o tem, koliko ste jih našli, če narišete ta graf, je videti, kot da res zagotovo raste in narašča s hitrostjo, ki se nikoli – nikoli ne bi obrnila. Ampak mislim, da je to del razlike med matematiko in znanostjo v tem, da ohranimo ta skepticizem in rečemo, no, ne vemo. Mislim, morda se na neki točki graf preprosto obrne in jih ni več.
Strogatz (16:29): Torej, to — všeč mi je tvoja podoba grafa, ker mislim, da se lahko vsi povežejo s to idejo, izdelave grafikona, izdelave neke vrste grafa. Veste, razmišljati o praštevilih kot o podobnih podatkih. In zato mislim, da je to morda pravi čas, da se obrnemo, da začnemo govoriti o teoriji verjetnosti. In zdi se malce čudno govoriti o verjetnosti in statistiki v povezavi s praštevili, ker tukaj ni nobene možnosti. Praštevila so določena z definicijo, ki smo jo dali, da niso deljiva. Vendar so matematiki in teoretiki števil, kot ste vi, pri razmišljanju o praštevilih uporabljali statistične ali verjetnostne argumente. Zanima me, če bi mi lahko skiciral kaj takega z metanjem kovanca in nazaj k tistemu, o čemer smo govorili na začetku, lihim in sodim številkam.
Les (17:14): V redu. Torej za razliko od praštevil dejansko zelo dobro razumemo vzorec lihih in sodih števil. Gredo liho, sodo, liho, sodo, seveda. Toda predpostavimo, da tega vzorca ne razumemo. In to uporabljamo, da bi razumeli, koliko lihih števil bi lahko našli, če bi pogledali vsa števila do milijona. Lahko si predstavljate, ker obstajata dve možnosti, število je lahko liho ali število sodo, da je morda nekdo šel zraven in vrgel kovanec za vsako številko, in če je kovanec prišel na glavo, je bila številka liha. In če je kovanec prišel na rep, je bilo število sodo. In tako bi lahko vaš človek, ki meče kovance, nekako hodil vzdolž številske premice, vrgel kovanec pri vsaki številki, in pride, recimo, do razglasitve te številke za liho ali sodo.
(18:03) Po eni strani je to nesmisel. Po drugi strani bo model metanja kovancev nekatere stvari uredil. Na primer, če rečete, veste, približno, koliko števil do milijona je sodih? Vemo, da je približno število metov kovancev, ki bodo, recimo, prinesli repe, če naredite ogromno metov kovancev, na primer milijon, približno polovica. In tako lahko ta model, ne glede na to, kako neumen je, vseeno naredi nekaj pravilnih napovedi. In moram reči, da se to morda sliši neumno, saj že poznamo odgovor na to vprašanje. Ideja je, da gradimo modele za bolj zapletene vzorce, na primer, kje se praštevila pojavljajo med številkami, namesto samo tam, kjer se pojavljajo kvote.
Strogatz (18:55): Ja. Mislim, mislim, da moramo to poudariti - kako globoko skrivnostna so praštevila. Ni formule za praštevila, tako kot obstaja formula za liha števila. Na primer, če mislite, oh, daj no, to je - tukaj res govorimo o absurdnih stvareh, pravzaprav je zelo dragoceno imeti te statistične modele, ki lahko napovejo lastnosti, ki so povprečne lastnosti. Tako kot pri analogiji bo polovica števil, manjših od velikega števila, liha. To je nekaj, kar je v primeru praštevil zelo resno in zanimivo vprašanje. Kateri del števil, manjših od velikega števila, je pra? In, kot pravite, lahko naredite statistični model, ki bo imel to prav. In kaj potem, ta isti model lahko uporabimo za napovedovanje, koliko praštevil dvojčkov bi bilo manj kot veliko število? Ali isti model v tem primeru dobro opravi svoje delo?
Les (19:41): Torej v primeru praštevil, če bi gradili model - veste, in obstaja model, ki ga matematiki uporabljajo, imenovan Cramérjev model praštevil - če bi gradili model praštevil z metanjem kovanca, kjer si predstavljamo, da nekdo hodi po številski premici in pri vsaki številki, veste, vrže kovanec, recimo, da se odloči, ali je to število praštevilo ali ne, bi v ta model vključimo čim več o praštevilih. Najprej vemo, da je manj verjetno, da bodo velika števila praštevila praštevila kot manjša števila. Torej bi bilo treba te kovance ponderirati. In mi - morali bi poskušati vnesti natančno tiste uteži, ki jih pričakujemo. In vemo stvari, kot je, da ne morete imeti dveh praštevil eno poleg drugega, ker bi moralo biti eno od njiju liho in eno sodo. Torej smo to vnesli v model. In potem je tu še več stvari, ki jih vemo o praštevilih.
(20:37) Model je torej nekaj, kar se začne s tem modelom metanja kovanca, potem pa ga spremenijo vsa ta druga pravila in vse druge stvari, ki jih poznamo o praštevilih. In ko enkrat vnesete vse te stvari, ki jih poznamo, v model, potem vprašate to metanje kovancev, saj veste, model, no, ali vidite, neskončno pogosto, da se kovanci dvignejo na prvo mesto samo 2 narazen? In model vam pove, o, ja, to res vidimo. Pravzaprav ga vidimo pri tej zelo posebni stopnji, za katero vam lahko damo formulo. In potem, če prikažete graf števila dejanskih praštevil dvojčkov v dejanskih številih, kjer ni vrženih kovancev, glede na napovedi modela, vidite, da vam model daje zelo natančno napoved za število parov praštevil dvojčkov. boste našli, ko boste šli naprej. In potem pomisliš, veš, morda ta model ve, o čem govori.
Strogatz (21:31): To je super. Mislim, to je nekako pomembno, do česa smo pravkar prišli, da – še niste uporabili besede računalniki. Predvidevam pa, da tega ne delaš ročno. Ljudje, ki naštevajo praštevila dvojčka, ne vem, o čem govorimo? Trilijon bilijon bilijon? Mislim, to so velike številke, o katerih govorimo, kajne?
Les (21:49): No, za naštevanje praštevil dvojčkov, to je — to bi absolutno naredil računalnik. Ampak za izdelavo tega modela in pripravo formule, ki jo model daje. Veste, to se v bistvu naredi ročno, tako da matematiki razmišljajo o modelu in ugotavljajo z njim.
Strogatz (22:07): To je tako kul. Torej, tam model pokaže svoje stvari, da lahko model dejansko napove, kaj vidi računalnik. In za to napoved ne potrebuje računalnika. To lahko storijo ročno, ljudje, in lahko dejansko vodi do dokazov. Le da gre za dokaze o lastnostih modela, ne pa nujno še za dokaze stvari, ki vas zanima.
Les (22:28): Prav. In na neki točki se računalnik ustavi. Veste, računalniške moči je le toliko. Toda tista formula, ki bi jo dobili, ki bi vam jo dal model, ki bi jo lahko dokazali, je resnična, še enkrat, v zvezi s tem modelom metanja kovancev, se bo ta formula nadaljevala. V to formulo lahko vnesete vedno večja števila, veliko večja, kot bi lahko vaš računalnik kadarkoli izračunal.
Strogatz (22:53): Malo ste nam torej pripovedovali o tem, kako lahko naključnost pomaga pri ustvarjanju modelov zanimivih pojavov v teoriji števil in prepričan sem, da to velja tudi za druge dele matematike. Ali obstajajo primeri, kjer lahko uporabite naključnost, da zagotovite dejanske dokaze, ne le modelov?
Les (23:10): Vsekakor. Druga veja matematike se imenuje teorija verjetnosti. In v teoriji verjetnosti dokazujejo izreke o naključnih sistemih in njihovem obnašanju. In morda mislite, da če začnete z nečim naključnim in s tem nekaj naredite, boste vedno imeli nekaj naključnega. Toda ena izmed neverjetno lepih stvari, ki jih najdemo v teoriji verjetnosti, je ta, da lahko včasih iz nečesa naključnega dobite nekaj determinističnega.
Strogatz (23:45): No, kako to deluje? Kot kaj?
Les (23:48): Ja. Torej ste videli zvonasto krivuljo ali normalno porazdelitev, temu bi rekli matematiki. V naravi se pojavlja povsod. Kot se zdi, če pogledate krvni tlak ljudi ali porodno težo otroka ali kaj podobnega. In morda si mislite, oh, ta zvonasta krivulja, da je to, to je dejstvo narave. Toda v resnici obstaja izrek, imenovan osrednji mejni izrek v teoriji verjetnosti, ki vam pove, da pravzaprav ta zvonasta krivulja v nekem smislu ni dejstvo narave, ampak dejstvo matematike. Osrednji mejni izrek vam pove, da če neodvisno združite cel kup majhnih naključnih učinkov, se bo rezultat tega vedno ujemal z določeno porazdelitvijo. Ta oblika, ta zvonasta krivulja. Matematika in teorija verjetnosti lahko dokažeta, da če imate — če združite veliko majhnih neodvisnih naključnih stvari, vam bo rezultat vse te kombinacije dal porazdelitev, ki je videti kot tale zvonasta krivulja. In tako — tudi če ne veste, kakšni so bili vložki. In to je res močan izrek in res močno orodje v matematiki.
Strogatz (25:05): Ja, zagotovo je. Všeč mi je bil vaš poudarek na tem, da vam ni treba vedeti, kaj se dogaja z majhnimi učinki. Da se to nekako izpere. Ti podatki niso potrebni. Zvonasta krivulja je predvidljiva, tudi če ne veste, kakšna je narava majhnih učinkov. Dokler jih je veliko in jih je malo. In ne vplivajo drug na drugega, kajne, v nekem smislu so neodvisni.
Les (25:27): Ja, vsekakor. In to je ideja, veste, včasih se temu reče univerzalnost v teoriji verjetnosti, da obstajajo določene vrste strojev, za katere lahko predvidite izhod, če vnesete veliko naključnih vnosov. Kot na primer, da bi dobili to zvonasto krivuljo ali to normalno porazdelitev, tudi če ne veste, kaj ste dali v stroj. In to je neverjetno močno, ko obstajajo stvari, ki jih ne razumemo dobro, ker -
Strogatz (25:56): Ampak tako, ali mi pravite — oh, oprostite, da sem vas prekinil — ali mi pravite, da se to zdaj dogaja tudi v teoriji števil? Da nekako pridobivamo, da se ideja univerzalnosti pojavlja v teoriji števil? Ali pa sanjam?
Les (26:09): No, do neke mere bi rekel, da so to moje sanje, ki se začenjajo. Veste, delamo le prve korake, da bi to uresničili. Torej to niso samo tvoje sanje, to so tudi moje sanje. Nekatera dela, ki jih opravljam danes in na katerih delamo moji sodelavci in jaz, poskušajo uresničiti takšne sanje, tako da bi na nekatera od teh zagonetnih vprašanj o številkah, na katere ne poznamo odgovora, morda razumeti, da obstajajo vzorci, ki se pokažejo, kot zvončasta krivulja, kot normalna porazdelitev, za katere lahko dokažemo, da so izšli iz stroja, tudi če ne vemo, katere skrivnosti so bile vstavljene.
Strogatz (26:55): Pravzaprav je to zelo navdihujoča, vznemirljiva vizija in upam, da se bo vse uresničilo. Najlepša hvala za današnji pogovor z nami, Melanie.
Les (27:03): Hvala. To je bilo zelo zabavno.
Napovedovalka (27:06): Če želite Veselje zakaj, preverite Znanstveni podcast revije Quanta, ki jo vodim jaz, Susan Valot, ena od producentk te oddaje. Povejte tudi svojim prijateljem o tem podcastu in nam všečkajte ali sledite tam, kjer poslušate. Ljudem pomaga najti Veselje zakaj podcast.
Strogatz (27: 26): Veselje zakaj je podcast iz Revija Quanta, uredniško neodvisna publikacija, ki jo podpira Fundacija Simons. Odločitve o financiranju fundacije Simons nimajo vpliva na izbor tem, gostov ali druge uredniške odločitve v tem podcastu ali v Revija Quanta. Veselje zakaj producirata Susan Valot in Polly Stryker. Naša urednika sta John Rennie in Thomas Lin ob podpori Matta Carlstroma, Annie Melchor in Leile Sloman. Našo tematsko glasbo je zložil Richie Johnson. Naš logotip je Jackie King, umetniška dela za epizode pa Michael Driver in Samuel Velasco. Sem vaš gostitelj, Steve Strogatz. Če imate kakršna koli vprašanja ali komentarje za nas, nam pišite na quanta@simonsfoundation.org. Hvala za poslušanje.
