Ko gre za razumevanje oblike grozdov mehurčkov, matematiki že tisočletja dohitevajo naše fizične intuicije. Skupki milnih mehurčkov v naravi se pogosto zdi, da takoj preidejo v stanje z najnižjo energijo, tisto, ki zmanjša skupno površino njihovih sten (vključno s stenami med mehurčki). Toda preverjanje, ali milni mehurčki dobro opravljajo to nalogo - ali samo napovedovanje, kako bi morale izgledati velike skupine mehurčkov - je eden najtežjih problemov v geometriji. Matematiki so potrebovali vse do konca 19. stoletja, da so dokazali, da je krogla najboljši posamezni mehurček, čeprav je grški matematik Zenodorus to trdil več kot 2,000 let prej.
Težava z mehurčki je dovolj preprosta, da jo navedemo: začnete s seznamom številk za prostornine in nato vprašate, kako ločeno zapreti te količine zraka z najmanjšo površino. Toda da bi rešili ta problem, morajo matematiki upoštevati široko paleto različnih možnih oblik sten mehurčkov. In če je naloga, da priložimo, recimo, pet zvezkov, si sploh ne privoščimo razkošja, da bi svojo pozornost omejili na skupine petih mehurčkov – morda je najboljši način za zmanjšanje površine ta, da enega od zvezkov razdelimo na več mehurčkov.
Tudi pri enostavnejši nastavitvi dvodimenzionalne ravnine (kjer poskušate zapreti zbirko območij, medtem ko minimizirate obseg), nihče ne pozna najboljšega načina za zapiranje, recimo, devetih ali 10 območij. Ko število mehurčkov raste, "hitro ne morete dobiti nobene verjetne domneve," je dejal Emanuel Milman Technion v Haifi, Izrael.
Toda pred več kot četrt stoletja, John Sullivan, zdaj s Tehnične univerze v Berlinu, je ugotovil, da v določenih primerih obstaja vodilna domneva imeti. Težave z mehurčki so smiselne v kateri koli dimenziji in Sullivan je ugotovil, da dokler je število zvezkov, ki jih poskušate zajeti, največ za eno večje od dimenzije, obstaja poseben način za zapiranje zvezkov, ki je v določenem smislu lepša kot katera koli druga — nekakšna senca popolnoma simetrične kopice mehurčkov na krogli. Domneval je, da bi moral biti ta senčni grozd tisti, ki zmanjša površino.
V desetletju, ki je sledilo, so matematiki napisali vrsto prelomnih dokumentov, ki dokazujejo Sullivanovo domnevo, ko poskušate priložiti samo dva zvezka. Tukaj je rešitev znani dvojni mehurček, ki ste ga morda napihnili v parku na sončen dan, sestavljen iz dveh sferičnih kosov z ravno ali sferično steno med njima (odvisno od tega, ali imata mehurčka enako ali različno prostornino).
Toda dokazovanje Sullivanove domneve za tri zvezke, matematik Frank Morgan kolidža Williams špekulirajo leta 2007, "bi lahko trajalo še sto let."
Zdaj je bilo matematikom prihranjeno to dolgo čakanje - in dobili so veliko več kot le rešitev problema trojnega mehurčka. V papirja maja objavljen na spletu, Milman in Joe Neeman, z Univerze v Teksasu v Austinu, so dokazali Sullivanovo domnevo za trojne mehurčke v dimenzijah tri in več ter štirikratne mehurčke v dimenzijah štiri in več, pri čemer je nadaljnji dokument o petkratnih mehurčkih v dimenzijah pet in več v delu.
In ko gre za šest ali več mehurčkov, sta Milman in Neeman pokazala, da mora imeti najboljša gruča številne ključne lastnosti Sullivanovega kandidata, kar bi lahko matematike spodbudilo k dokazovanju domneve tudi za te primere. "Moj vtis je, da so dojeli bistveno strukturo za Sullivanovo domnevo," je dejal Francesco Maggi Univerze v Teksasu v Austinu.
Milmanov in Neemanov osrednji izrek je "monumentalen," je Morgan zapisal v elektronski pošti. "To je sijajen dosežek z veliko novimi idejami."
Senčni mehurčki
Naše izkušnje s pravimi milnimi mehurčki ponujajo mamljive intuicije o tem, kako naj bi izgledale optimalne gruče mehurčkov, vsaj ko gre za majhne grozde. Zdi se, da imajo trojni ali štirikratni mehurčki, ki jih pihamo skozi milne palčke, sferične stene (in občasno ravne) in se nagibajo k oblikovanju tesnih kep namesto, recimo, dolge verige mehurčkov.
Vendar ni tako enostavno dokazati, da so to res lastnosti optimalnih mehurčkov. Matematiki na primer ne vedo, ali so stene v gruči minimizirajočih mehurčkov vedno sferične ali ravne - vedo le, da imajo stene "konstantno srednjo ukrivljenost", kar pomeni, da povprečna ukrivljenost ostane enaka od ene točke do druge. To lastnost imajo krogle in ravne površine, pa tudi številne druge površine, kot so valji in valovite oblike, imenovane unduloidi. Površine s konstantno srednjo ukrivljenostjo so "popoln živalski vrt", je dejal Milman.
Toda v devetdesetih letih 1990. stoletja je Sullivan spoznal, da ko je število zvezkov, ki jih želite priložiti, največ za eno večje od dimenzije, obstaja grozd kandidatov, za katerega se zdi, da zasenči ostale – en (in samo en) grozd, ki ima lastnosti, ki jih težimo. videti v majhnih grozdih pravih milnih mehurčkov.
Da bi dobili občutek, kako je tak kandidat zgrajen, uporabimo Sullivanov pristop za ustvarjanje grozda s tremi mehurčki v ravni ravnini (tako da bodo naši »mehurčki« regije v ravnini in ne tridimenzionalni predmeti). Začnemo z izbiro štirih točk na krogli, ki so vse enako oddaljene druga od druge. Zdaj si predstavljajte, da je vsaka od teh štirih točk središče drobnega mehurčka, ki živi samo na površini krogle (tako da je vsak mehurček majhen disk). Napihnite štiri mehurčke na krogli, dokler se ne začnejo zaletavati drug v drugega, nato pa napihujte, dokler skupaj ne zapolnijo celotne površine. Na koncu dobimo simetrično skupino štirih mehurčkov, zaradi česar je krogla videti kot napihnjen tetraeder.
Nato to kroglo postavimo na vrh neskončne ravne ravnine, kot da je krogla krogla, ki počiva na neskončnem dnu. Predstavljajte si, da je krogla prozorna in da je na severnem polu svetilka. Stene štirih mehurčkov bodo projecirale sence na tla in tam tvorile stene grozda mehurčkov. Od štirih mehurčkov na krogli bodo trije projicirali navzdol v senčne mehurčke na tleh; četrti mehurček (tisti, ki vsebuje severni pol) bo projiciral navzdol do neskončne površine tal zunaj grozda treh senčnih mehurčkov.
Določen grozd s tremi mehurčki, ki ga dobimo, je odvisen od tega, kako smo postavili kroglo, ko smo jo postavili na tla. Če kroglo zavrtimo tako, da se druga točka premakne k luči na severnem polu, bomo običajno dobili drugačno senco in trije mehurčki na tleh bodo imeli različna področja. Matematiki imajo dokazano da za katere koli tri številke, ki jih izberete za območja, obstaja v bistvu en sam način za postavitev krogle, tako da bodo imeli trije senčni mehurčki natanko ta področja.
Ta postopek lahko izvajamo v kateri koli dimenziji (čeprav je višjedimenzionalne sence težje vizualizirati). Vendar obstaja omejitev, koliko mehurčkov lahko imamo v naši senčni gruči. V zgornjem primeru nismo mogli narediti kopice štirih mehurčkov v ravnini. To bi zahtevalo začetek s petimi točkami na krogli, ki so vse enako oddaljene druga od druge - vendar je nemogoče postaviti toliko enako oddaljenih točk na kroglo (čeprav lahko to storite s kroglami višjih dimenzij). Sullivanov postopek deluje le pri ustvarjanju skupin do treh mehurčkov v dvodimenzionalnem prostoru, štirih mehurčkov v tridimenzionalnem prostoru, petih mehurčkov v štiridimenzionalnem prostoru itd. Zunaj teh razponov parametrov grozdi mehurčkov v Sullivanovem slogu preprosto ne obstajajo.
Toda znotraj teh parametrov nam Sullivanov postopek daje grozde mehurčkov v nastavitvah, ki daleč presegajo tisto, kar lahko naša fizična intuicija razume. "Nemogoče si je predstavljati, kaj je 15-mehurček v [23-dimenzionalnem prostoru]," je dejal Maggi. "Kako sploh sanjaš o opisovanju takega predmeta?"
Vendar Sullivanovi kandidati za mehurčke podedujejo od svojih sferičnih prednikov edinstveno zbirko lastnosti, ki spominjajo na mehurčke, ki jih vidimo v naravi. Njihove stene so vse sferične ali ravne in kjer koli se tri stene srečajo, tvorijo kote 120 stopinj, kot v simetrični obliki Y. Vsak nosilec, ki ga poskušate priložiti, leži v eni sami regiji, namesto da bi bil razdeljen na več regij. In vsak mehurček se dotika vsakega drugega (in zunanjosti) in tvori tesen grozd. Matematiki so pokazali, da so Sullivanovi mehurčki edini grozdi, ki izpolnjujejo vse te lastnosti.
Ko je Sullivan domneval, da bi morali biti to grozdi, ki zmanjšujejo površino, je v bistvu rekel: "Predpostavimo lepoto," je dejal Maggi.
Toda raziskovalci mehurčkov imajo dober razlog za previdnost pri predpostavki, da je predlagana rešitev pravilna samo zato, ker je lepa. "Obstajajo zelo znani problemi ... kjer bi pričakovali simetrijo za minimizatorje, simetrija pa spektakularno odpove," je dejal Maggi.
Na primer, obstaja tesno povezan problem polnjenja neskončnega prostora z mehurčki enake prostornine na način, ki zmanjša površino. Leta 1887 je britanski matematik in fizik Lord Kelvin predlagal, da bi rešitev lahko bila elegantna struktura, podobna satju. Več kot stoletje so mnogi matematiki verjeli, da je to verjeten odgovor – do leta 1993, ko sta dva fizika prepoznal boljšega, čeprav manj simetrična možnost. "Matematika je polna ... primerov, ko se zgodijo takšne nenavadne stvari," je dejal Maggi.
Temna umetnost
Ko je Sullivan leta 1995 objavil svojo domnevo, je njen del z dvojnim mehurčkom lebdel naokoli že stoletje. Matematiki so rešili 2D problem dvojnega mehurčka dve leti prej, v desetletju, ki je sledilo, pa so jo rešili v tridimenzionalni prostor in nato v več dimenzije. Ko pa je prišlo do naslednjega primera Sullivanove domneve – trojnih mehurčkov – bi lahko dokaži domnevo samo v dvodimenzionalni ravnini, kjer so vmesniki med mehurčki še posebej preprosti.
Nato sta leta 2018 Milman in Neeman dokazala analogno različico Sullivanove domneve v okolju, znanem kot problem Gaussovega mehurčka. V tej nastavitvi si lahko predstavljate vsako točko v vesolju kot denarno vrednost: Izvor je najdražja točka in dlje kot se oddaljujete od izvora, cenejša postaja zemlja, ki tvori zvonasto krivuljo. Cilj je ustvariti ohišja s predhodno izbranimi cenami (namesto vnaprej izbranih prostornin) na način, ki zmanjša stroške meja ohišij (namesto površine meja). Ta problem Gaussovega mehurčka se uporablja v računalništvu za sheme zaokroževanja in vprašanja občutljivosti na hrup.
Milman in Neeman sta predložila svoje dokazilo k Anali matematike, verjetno najprestižnejša matematična revija (kjer je bila pozneje sprejeta). Toda par tega ni imel namena preklicati. Njihove metode so se zdele obetavne tudi za klasični problem mehurčkov.
Nekaj let so premetavali ideje sem ter tja. "Imeli smo 200 strani dolg dokument zapiskov," je dejal Milman. Sprva se je zdelo, kot da napredujejo. »A potem se je hitro spremenilo v: 'Poskusili smo to smer - ne. Poskusili smo [to] smer – ne.« Da bi zavarovali svoje stave, sta se oba matematika lotila tudi drugih projektov.
Nato je prejšnjo jesen prišel Milman na dopust in se odločil obiskati Neemana, da bi se lahko osredotočeno lotila problema mehurčkov. "Med počitnicami je pravi čas, da preizkusite vrste stvari z visokim tveganjem in visokim dobičkom," je dejal Milman.
Prvih nekaj mesecev niso prišli nikamor. Končno so se odločili, da si dajo nekoliko lažjo nalogo od Sullivanove popolne domneve. Če svojim mehurčkom zagotovite eno dodatno dimenzijo prostora za dihanje, dobite bonus: najboljši grozd mehurčkov bo imel zrcalno simetrijo na sredinski ravnini.
Sullivanova domneva govori o trojnih mehurčkih v dimenzijah dve in več, štirikratnih mehurčkih v dimenzijah tri in več itd. Da bi dosegla dodatno simetrijo, sta Milman in Neeman svojo pozornost omejila na trojne mehurčke v dimenzijah tri in več, štirikratne mehurčke v dimenzijah štiri in več itd. »Resnično smo napredovali šele, ko smo opustili, da bi ga pridobili za celoten obseg parametrov,« je dejal Neeman.
S to zrcalno simetrijo, ki jima je bila na voljo, sta Milman in Neeman prišla do argumenta o motnjah, ki vključuje rahlo napihovanje polovice grozda mehurčkov, ki leži nad zrcalom, in izpihovanje polovice, ki leži pod njim. Ta motnja ne bo spremenila volumna mehurčkov, lahko pa spremeni njihovo površino. Milman in Neeman sta pokazala, da če ima optimalna kopica mehurčkov kakršne koli stene, ki niso sferične ali ravne, bo obstajal način, kako to motnjo izbrati tako, da bo zmanjšala površino grozda – kar je protislovje, saj ima optimalna grozd že najmanjšo površino območje možno.
Uporaba motenj za preučevanje mehurčkov še zdaleč ni nova ideja, toda ugotoviti, katere motnje bodo zaznale pomembne značilnosti grozda mehurčkov, je "malo temna umetnost", je dejal Neeman.
Če pogledamo nazaj, »ko enkrat vidite [Milmanove in Neemanove motnje], so videti precej naravne,« je dejal Joel Hass Univerze v Kaliforniji, Davis.
Toda prepoznavanje motenj kot naravnih je veliko lažje, kot da bi se jih sploh domislili, je dejal Maggi. "To še zdaleč ni nekaj, kar bi lahko rekli, 'Sčasoma bi ljudje to našli,'" je dejal. "To je res genialno na zelo izjemni ravni."
Milman in Neeman sta lahko uporabila svoje motnje, da bi pokazala, da mora optimalna grozd mehurčkov izpolnjevati vse glavne lastnosti Sullivanovih grozdov, razen morda enega: določilo, da se mora vsak mehurček dotikati drugega. Ta zadnja zahteva je prisilila Milmana in Neemana, da sta se spopadla z vsemi načini, kako bi se mehurčki lahko povezali v gručo. Ko gre za samo tri ali štiri mehurčke, ni toliko možnosti, ki bi jih bilo treba upoštevati. Ko pa povečujete število mehurčkov, raste število različnih možnih povezovalnih vzorcev, celo hitreje kot eksponentno.
Milman in Neeman sta sprva upala, da bosta našla krovno načelo, ki bi zajemalo vse te primere. Toda po tem, ko so si nekaj mesecev »razbijali glave«, je dejal Milman, so se odločili, da se bodo za zdaj zadovoljili z bolj ad hoc pristopom, ki jim je omogočil obvladovanje trojnih in štirih mehurčkov. Objavili so tudi neobjavljen dokaz, da je Sullivanov petkratni mehurček optimalen, čeprav še niso ugotovili, da je to edina optimalna kopica.
Delo Milmana in Neemana je "popolnoma nov pristop in ne razširitev prejšnjih metod," je Morgan zapisal v elektronski pošti. Maggi je verjetno predvidel, da je mogoče ta pristop potisniti še dlje - morda do skupin več kot petih mehurčkov ali do primerov Sullivanove domneve, ki nimajo zrcalne simetrije.
Nihče ne pričakuje, da bo nadaljnji napredek prišel zlahka; vendar to ni nikoli odvrnilo Milmana in Neemana. "Iz mojih izkušenj," je dejal Milman, "vse glavne stvari, ki sem jih imel srečo, da sem jih lahko naredil, so zahtevale, da se preprosto ne predam."
