Nikoli ponavljajoče se ploščice lahko varujejo kvantne informacije | Revija Quanta

Če želite pokriti tla v kopalnici, so kvadratne ploščice najpreprostejša možnost – prilegajo se brez vrzeli v mrežni vzorec, ki se lahko nadaljuje v nedogled. Ta kvadratna mreža ima lastnost, ki je enaka številnim drugim razporeditvam: premaknite celotno mrežo za fiksno vrednost in nastali vzorec se ne bo razlikoval od izvirnika. Toda za mnoge matematike so takšna "periodična" polaganja dolgočasna. Če ste videli eno majhno zaplato, ste videli vse.

V šestdesetih letih prejšnjega stoletja so začeli študirati matematiki “aperiodične” garniture ploščic z veliko bogatejšim vedenjem. Morda je najbolj znana ploščica v obliki diamanta, ki jo je v sedemdesetih letih prejšnjega stoletja odkril polimatični fizik in bodoči Nobelov nagrajenec. Roger Penrose. Kopije teh dveh ploščic lahko tvorijo neskončno veliko različnih vzorcev, ki trajajo večno, imenujemo jih Penroseove ploščice. Ne glede na to, kako razporedite ploščice, nikoli ne boste dobili občasno ponavljajočega se vzorca.

"To so ploščice, ki v resnici ne bi smele obstajati," je rekel Nikolas Breuckmann, fizik na Univerzi v Bristolu.

Že več kot pol stoletja aperiodične ploščice navdušujejo matematike, hobiste in raziskovalce na mnogih drugih področjih. Sedaj sta dva fizika odkrila povezavo med aperiodičnimi ploščicami in na videz nepovezano vejo računalništva: študijo o tem, kako lahko prihodnji kvantni računalniki kodirajo informacije v zaščititi pred napakami. V papirja novembra objavljen na strežniku za prednatis arxiv.org, so raziskovalci pokazali, kako preoblikovati Penrosove ploščice v popolnoma novo vrsto kode za kvantno odpravljanje napak. Konstruirali so tudi podobne kode, ki temeljijo na dveh drugih vrstah aperiodičnih ploščic.

V središču korespondence je preprosta ugotovitev: tako pri aperiodičnih razporeditvah kot pri kodah za kvantno odpravljanje napak učenje o majhnem delu velikega sistema ne razkrije ničesar o sistemu kot celoti.

"To je ena tistih lepih stvari, ki se zdijo očitne v retrospektivi," je rekel Toby Cubitt, raziskovalec kvantnih informacij na University College London. »Vprašate si: 'Zakaj nisem pomislil na to?'«

Prepovedano znanje

Običajni računalniki predstavljajo informacije z uporabo bitov z dvema različnima stanjema, označenima z 0 in 1. Kvantni biti ali kubiti imajo prav tako dve stanji, vendar jih je mogoče spraviti tudi v tako imenovane superpozicije, v katerih stanji 0 in 1 sobivata. Z uporabo bolj izdelanih superpozicij, ki vključujejo veliko kubitov, kvantni računalniki lahko izvede določene izračune veliko hitreje kot kateri koli običajen stroj.

Vendar so kvantne superpozicije plašna bitja. Izmerite qubit v stanju superpozicije in zrušil se bo na 0 ali 1, kar bo izbrisalo vse izračune v teku. Da bi bile stvari še hujše, lahko napake, ki izhajajo iz šibkih interakcij med kubiti in njihovim okoljem, posnemajo uničujoče učinke meritev. Vse, kar qubit drgne narobe, pa naj bo to radoveden raziskovalec ali potepuški foton, lahko pokvari izračun.

Zaradi te izjemne krhkosti se lahko kvantno računalništvo sliši brezupno. Toda leta 1995 uporabni matematik Peter Shor odkril pameten način za shranjevanje kvantnih informacij. Njegovo kodiranje je imelo dve ključni lastnosti. Prvič, lahko je toleriral napake, ki so vplivale samo na posamezne kubite. Drugič, prišel je s postopkom za popravljanje napak, ko so se pojavile, s čimer je preprečil, da bi se kopičile in iztirile izračun. Shorjevo odkritje je bil prvi primer kvantne kode za popravljanje napak in njeni dve ključni lastnosti sta opredeljujoči značilnosti vseh takih kod.

Prva lastnost izhaja iz preprostega načela: tajni podatki so manj ranljivi, če so razdeljeni. Vohunska omrežja uporabljajo podobno strategijo. Vsak vohun ve zelo malo o omrežju kot celoti, zato je organizacija varna, tudi če je kateri koli posameznik ujet. Toda kvantne kode za popravljanje napak popeljejo to logiko do skrajnosti. V kvantnem vohunskem omrežju noben vohun ne bi vedel ničesar, skupaj pa bi vedela veliko.

Vsaka kvantna koda za odpravljanje napak je poseben recept za distribucijo kvantnih informacij med številnimi kubiti v kolektivnem stanju superpozicije. Ta postopek učinkovito pretvori gručo fizičnih kubitov v en virtualni kubit. Postopek večkrat ponovite z velikim nizom kubitov in dobili boste veliko virtualnih kubitov, ki jih lahko uporabite za izvajanje izračunov.

Fizični kubiti, ki sestavljajo vsak virtualni kubit, so kot tisti nepozabni kvantni vohuni. Izmerite katerega koli od njih in ne boste izvedeli ničesar o stanju virtualnega kubita, katerega del je – lastnost, ki se imenuje lokalna neločljivost. Ker vsak fizični kubit ne kodira nobenih informacij, napake v posameznih kubitih ne bodo uničile izračuna. Informacije, ki so pomembne, so nekako povsod, a nikjer posebej.

"Ne morete ga pripisati nobenemu posameznemu kubitu," je dejal Cubitt.

Vse kode za kvantno popravljanje napak lahko absorbirajo vsaj eno napako brez kakršnega koli vpliva na kodirane informacije, vendar bodo vse sčasoma podlegle, ko se bodo napake kopičile. Tu nastopi druga lastnost kod kvantnega popravljanja napak – dejansko popravljanje napak. To je tesno povezano z lokalno neločljivostjo: Ker napake v posameznih kubitih ne uničijo nobenih informacij, je vedno mogoče odpraviti morebitno napako uporabo uveljavljenih postopkov, specifičnih za vsako kodo.

Preizkušena

Zhi Li, podoktor na Inštitutu za teoretično fiziko Perimeter v Waterlooju v Kanadi, je bil dobro seznanjen s teorijo kvantne korekcije napak. Toda ta tema mu je bila daleč od glave, ko je začel pogovor s kolegom Latham Boyle. Bilo je jeseni 2022 in fizika sta bila na večernem prevozu iz Waterlooja v Toronto. Boyle, strokovnjak za aperiodične ploščice, ki je takrat živel v Torontu in je zdaj na univerzi v Edinburghu, je bil znan obraz na teh vožnjah z avtobusi, ki so pogosto obstali v gostem prometu.

"Običajno so lahko zelo nesrečni," je dejal Boyle. "To je bilo kot največje vseh časov."

Pred tem usodnim večerom sta Li in Boyle poznala delo drug drugega, vendar se njuni raziskovalni področji nista neposredno prekrivali in nikoli nista imela pogovora ena na ena. Toda kot nešteto raziskovalcev na nepovezanih področjih je bil Li radoveden glede aperiodičnih ploščic. "Zelo težko je biti nezainteresiran," je dejal.

Zanimanje se je spremenilo v fascinacijo, ko je Boyle omenil posebno lastnost aperiodičnih ploščic: lokalno neločljivost. V tem kontekstu izraz pomeni nekaj drugega. Isti nabor ploščic lahko tvori neskončno veliko ploščic, ki so na splošno videti popolnoma različno, vendar je nemogoče ločiti kateri koli ploščici narazen s preučevanjem katerega koli lokalnega območja. To je zato, ker se bo vsak končni del katere koli ploščice, ne glede na to, kako velik, pojavil nekje v vsaki drugi ploščici.

»Če te vržem v eno ali drugo ploščico in ti dam preostanek življenja, da raziskuješ, nikoli ne boš mogel ugotoviti, ali sem te položil v tvojo ali svojo ploščico,« je dejal Boyle.

Liju se je to zdelo nadvse podobno definiciji lokalne neločljivosti pri kvantni korekciji napak. Omenil je povezavo z Boylom, ki je bil takoj očaran. Osnovna matematika v obeh primerih je bila precej različna, vendar je bila podobnost preveč zanimiva, da bi jo zavrnili.

Li in Boyle sta se spraševala, ali bi lahko potegnila natančnejšo povezavo med obema definicijama lokalne neločljivosti z izgradnjo kvantne kode za popravljanje napak, ki temelji na razredu aperiodičnih ploščic. Nadaljevali so s pogovorom skozi celo dvourno vožnjo z avtobusom in do takrat, ko so prispeli v Toronto, so bili prepričani, da je takšna koda mogoča - šlo je le za sestavo formalnega dokaza.

Kvantne ploščice

Li in Boyle sta se odločila začeti s Penrose tilingi, ki so bili preprosti in znani. Da bi jih preoblikovali v kvantno kodo za popravljanje napak, bi morali najprej definirati, kakšna bi bila kvantna stanja in napake v tem nenavadnem sistemu. Ta del je bil enostaven. Neskončno dvodimenzionalno ravnino, prekrito s Penrose ploščicami, kot je mreža kubitov, je mogoče opisati z uporabo matematičnega okvira kvantne fizike: kvantna stanja so specifične ploščice namesto 0 in 1. Napaka preprosto izbriše en sam obliž vzorca ploščic, tako kot določene napake v nizih kubitov izbrišejo stanje vsakega kubita v majhni gruči.

Naslednji korak je bil identificirati konfiguracije ploščic, na katere ne bi vplivale lokalizirane napake, kot so stanja navideznega kubita v običajnih kodah za kvantno odpravljanje napak. Rešitev je bila, tako kot v navadni kodi, uporaba superpozicij. Skrbno izbrana superpozicija ploščic Penrose je podobna razporeditvi kopalniških ploščic, ki jo predlaga najbolj neodločen notranji opremljevalec na svetu. Tudi če del tega zmešanega načrta manjka, to ne bo izdalo nobenih informacij o celotnem tlorisu.

Da bi ta pristop deloval, sta morala Li in Boyle najprej ločiti dva kvalitativno različna razmerja med različnimi Penrosevimi ploščicami. Za katero koli ploščico lahko ustvarite neskončno število novih ploščic, tako da jo premaknete v katero koli smer ali zavrtite. Množica vseh ploščic, ustvarjenih na ta način, se imenuje ekvivalentni razred.

Vendar vse Penroseove ploščice ne spadajo v isti enakovrednostni razred. Ploščice v enem enakovrednem razredu ni mogoče preoblikovati v ploščico v drugem razredu s katero koli kombinacijo vrtenja in prevajanja — dva neskončna vzorca sta kvalitativno različna, vendar še vedno lokalno nerazločljiva.

S tem razlikovanjem sta lahko Li in Boyle končno sestavila kodo za popravljanje napak. Spomnimo se, da je v običajni kvantni kodi za odpravljanje napak virtualni kubit kodiran v superpozicijah fizičnih kubitov. V njihovi kodi, ki temelji na ploščicah, so analogna stanja superpozicije vseh ploščic znotraj enega enakovrednega razreda. Če je ravnina prekrita s to vrsto superpozicije, obstaja postopek za zapolnjevanje vrzeli, ne da bi razkrili kakršne koli informacije o celotnem kvantnem stanju.

"Penroseova ploščica je nekako vedela za kvantno popravljanje napak pred izumom kvantnega računalnika," je dejal Boyle.

Lijeva in Boylova intuicija med vožnjo z avtobusom je bila pravilna. Na globoki ravni sta bili obe definiciji lokalne neločljivosti sami neločljivi.

Iskanje vzorca

Čeprav je bila matematično dobro definirana, nova koda Li in Boyle ni bila praktična. Robovi ploščic v Penroseovih ploščicah ne padajo v enakomernih intervalih, zato določanje njihove porazdelitve zahteva zvezna realna števila namesto diskretnih celih števil. Po drugi strani pa kvantni računalniki običajno uporabljajo diskretne sisteme, kot so mreže kubitov. Še huje, Penrosove ploščice so samo lokalno nerazločljive na neskončni ravnini, kar se ne prevede dobro v končni realni svet.

"To je zelo radovedna povezava," je rekel Barbara Terhal, raziskovalec kvantnega računalništva na Tehnološki univerzi v Delftu. "Toda dobro je tudi, če ga spravimo na zemljo."

Li in Boyle sta že naredila korak v tej smeri s konstruiranjem dveh drugih kod, ki temeljita na ploščicah, v katerih je osnovni kvantni sistem v enem primeru končen, v drugem pa diskreten. Diskretno kodo je mogoče narediti tudi končno, vendar ostajajo drugi izzivi. Obe končni kodi lahko popravljata le napake, ki so združene v gruče, medtem ko lahko najbolj priljubljene kode za kvantno popravljanje napak obravnavajo naključno porazdeljene napake. Ni še jasno, ali je to inherentna omejitev kod, ki temeljijo na ploščicah, ali bi jo bilo mogoče zaobiti s pametnejšo zasnovo.

"Mogoče je opraviti veliko nadaljnjega dela," je rekel Felix Flicker, fizik na Univerzi v Bristolu. "Vsi dobri časopisi bi morali to storiti."

Ne gre le za tehnične podrobnosti, ki jih je treba bolje razumeti - novo odkritje odpira tudi temeljnejša vprašanja. En očiten naslednji korak je ugotoviti, katere druge ploščice delujejo tudi kot kode. Šele lani so matematiki odkrili družina aperiodičnih ploščic da vsak uporablja samo eno ploščico. "Fascinantno bi bilo videti, kako bi se ta nedavni razvoj morda povezal s problemom kvantnega odpravljanja napak," je Penrose zapisal v elektronskem sporočilu.

Druga smer vključuje raziskovanje povezav med kvantnimi kodami za popravljanje napak in nekaterimi modeli kvantne gravitacije. V Papir 2020, Boyle, Flicker in pokojna Madeline Dickens so pokazali, da se v prostorsko-časovni geometriji teh modelov pojavljajo aperiodične ploščice. Toda ta povezava je izhajala iz lastnosti ploščic, ki v Lijevem in Boylovem delu ne igra nobene vloge. Zdi se, da so kvantna gravitacija, kvantna korekcija napak in aperiodične ploščice različni kosi sestavljanke, katere konture raziskovalci šele začenjajo razumeti. Tako kot pri samih aperiodičnih ploščicah je lahko ugotovitev, kako se ti deli prilegajo skupaj, izjemno subtilna.

"Te različne stvari povezujejo globoke korenine," je dejal Flicker. "Ta mamljiv nabor povezav kar prosi, da se ga razišče."