Kvantna merilna omrežja: Nova vrsta tenzorskega omrežja

Kvantna merilna omrežja: Nova vrsta tenzorskega omrežja

Časovni žig: 14. september 2023 11

Kevin Slagle

Oddelek za elektrotehniko in računalništvo, Univerza Rice, Houston, Teksas 77005 ZDA
Oddelek za fiziko, Kalifornijski inštitut za tehnologijo, Pasadena, Kalifornija 91125, ZDA
Inštitut za kvantne informacije in snov in Inštitut Walter Burke za teoretično fiziko, Kalifornijski tehnološki inštitut, Pasadena, Kalifornija 91125, ZDA

Se vam zdi ta članek zanimiv ali želite razpravljati? Zaslišite ali pustite komentar na SciRate.

Minimalizem

Čeprav so tenzorska omrežja močna orodja za simulacijo nizkodimenzionalne kvantne fizike, so algoritmi tenzorskih omrežij računsko zelo dragi v višjih prostorskih dimenzijah. Predstavljamo $textit{quantum gauge networks}$: drugačno anzatz tenzorskega omrežja, za katerega se računski stroški simulacij eksplicitno ne povečajo za večje prostorske dimenzije. Navdih jemljemo pri merilni sliki kvantne dinamike, ki je sestavljena iz lokalne valovne funkcije za vsak del prostora, s sosednjimi deli, ki so povezani z enotnimi povezavami. Mreža kvantnega merilnika (QGN) ima podobno strukturo, le da so dimenzije Hilbertovega prostora lokalnih valovnih funkcij in povezav okrnjene. Opisujemo, kako je mogoče dobiti QGN iz generične valovne funkcije ali stanja matričnega produkta (MPS). Vse $2k$-točkovne korelacijske funkcije katere koli valovne funkcije za $M$ številne operatorje je mogoče natančno kodirati s QGN z dimenzijo vezi $O(M^k)$. Za primerjavo, za samo $k=1$ je za MPS kubitov na splošno potrebna eksponentno večja dimenzija vezi $2^{M/6}$. Nudimo preprost algoritem QGN za približne simulacije kvantne dinamike v kateri koli prostorski dimenziji. Približna dinamika lahko doseže natančno ohranitev energije za časovno neodvisne hamiltonije, prostorske simetrije pa je mogoče tudi natančno vzdrževati. Algoritem primerjamo s simulacijo kvantnega dušenja fermionskih hamiltonianov v največ treh prostorskih dimenzijah.

Quantum Gauge Networks: A New Kind of Tensor Network PlatoBlockchain Data Intelligence. Vertical Search. Ai.

Predstavljena slika: Na merilni sliki so različni zaplati prostora (ovali na sliki) povezani z lastnimi Hilbertovimi prostori in valovno funkcijo, ki so povezani s časovno razvijajočimi se enotnimi transformacijami. Vsak od teh Hilbertovih prostorov ima običajno dimenzijo $2^n$ za sistem $n$ kubitov. Mreže s kvantnimi merilniki izkoriščajo prednosti teh večih Hilbertovih prostorov tako, da vsak Hilbertov prostor učinkovito skrajšajo v manjši podprostor stanj, ki je najpomembnejši za lokalno fiziko povezanega zaplata z uporabo linearne zemljevida okrnitve.

[Vgrajeni vsebina]

Priljubljen povzetek

Simulacija večdelčnih ali mnogokubitnih kvantnih sistemov je računsko zahtevna zaradi eksponentne rasti dimenzije Hilbertovega prostora s številom delcev ali kubitov. Razred anzatz valovne funkcije, znan kot "tenzorska omrežja", lahko učinkovito parametrira te ogromne Hilbertove prostore z uporabo krčenja mreže tenzorjev. Medtem ko so pokazali opazen uspeh v eni prostorski dimenziji (prek npr. algoritma "DMRG"), so algoritmi tenzorskih omrežij manj učinkoviti in bolj zapleteni v dveh ali več prostorskih dimenzijah.

Naše delo je začetek študije nove valovne funkcije ansatz, imenovane "mreža kvantnega merilnika". Pokažemo, da so omrežja s kvantnimi merilniki povezana s tenzorskimi mrežami v eni prostorski dimenziji, vendar so algoritemsko preprostejša in potencialno učinkovitejša v dveh ali več prostorskih dimenzijah. Mreže kvantnega merilnika uporabljajo novo sliko kvantne mehanike, imenovano "slika merilnika", ki je na kratko opisana na prikazani sliki. Nudimo preprost algoritem za približno simulacijo časovnega razvoja valovne funkcije z uporabo mreže kvantnih merilnikov. Algoritem primerjamo na sistemu fermionov v največ treh prostorskih dimenzijah. Simulacija tridimenzionalnega sistema z uporabo tenzorskih mrež bi bila izjemno zahtevna. Vendar pa so potrebne nadaljnje raziskave, da bi bolje razumeli teorijo mreže kvantnega merilnika in razvili več algoritmov, kot je algoritem za optimizacijo osnovnega stanja.

► BibTeX podatki

► Reference

[1] Kevin Slagle. »Merilna slika kvantne dinamike« (2022). arXiv:2210.09314.
arXiv: 2210.09314

[2] Roman Orús. “Tenzorska omrežja za kompleksne kvantne sisteme”. Nature Reviews Physics 1, 538–550 (2019). arXiv:1812.04011.
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s42254-019-0086-7
arXiv: 1812.04011

[3] Roman Orús. “Praktičen uvod v tenzorska omrežja: stanja matričnega produkta in predvidena stanja zapletenih parov”. Annals of Physics 349, 117–158 (2014). arXiv:1306.2164.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2014.06.013
arXiv: 1306.2164

[4] Garnet Kin-Lic Chan, Anna Keselman, Naoki Nakatani, Zhendong Li in Steven R. White. »Operatorji matričnih produktov, stanja matričnih produktov in ab initio algoritmi skupin za renormalizacijo matrike gostote« (2016). arXiv:1605.02611.
arXiv: 1605.02611

[5] Ignacio Cirac, David Perez-Garcia, Norbert Schuch in Frank Verstraete. »Stanja produkta matrike in predvidena stanja zapletenega para: koncepti, simetrije in izreki« (2020). arXiv:2011.12127.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.93.045003
arXiv: 2011.12127

[6] Shi-Ju Ran, Emanuele Tirrito, Cheng Peng, Xi Chen, Luca Tagliacozzo, Gang Su in Maciej Lewenstein. “Konkcije tenzorskega omrežja” (2020). arXiv:1708.09213.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​978-3-030-34489-4
arXiv: 1708.09213

[7] Jacob C. Bridgeman in Christopher T. Chubb. “Mahanje z rokami in interpretativni ples: uvodni tečaj o tenzorskih mrežah”. Journal of Physics A Mathematical General 50, 223001 (2017). arXiv:1603.03039.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8121/​aa6dc3
arXiv: 1603.03039

[8] Michael P. Zaletel in Frank Pollmann. “Stanja izometričnega tenzorskega omrežja v dveh dimenzijah”. Phys. Rev. Lett. 124, 037201 (2020). arXiv:1902.05100.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.124.037201
arXiv: 1902.05100

[9] Katharine Hyatt in EM Stoudenmire. »Pristop DMRG k optimizaciji dvodimenzionalnih tenzorskih omrežij« (2019). arXiv:1908.08833.
arXiv: 1908.08833

[10] Reza Haghshenas, Matthew J. O'Rourke in Garnet Kin-Lic Chan. "Pretvorba predvidenih stanj zapletenega para v kanonično obliko". Phys. Rev. B 100, 054404 (2019). arXiv:1903.03843.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.100.054404
arXiv: 1903.03843

[11] Maurits SJ Tepaske in David J. Luitz. "Tridimenzionalna izometrična tenzorska omrežja". Physical Review Research 3, 023236 (2021). arXiv:2005.13592.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevResearch.3.023236
arXiv: 2005.13592

[12] G. Vidal. "Razred kvantnih stanj več teles, ki jih je mogoče učinkovito simulirati". Phys. Rev. Lett. 101, 110501 (2008). arXiv:quant-ph/​0610099.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.101.110501
arXiv: kvant-ph / 0610099

[13] G. Evenbly in G. Vidal. "Razred močno zapletenih stanj več teles, ki jih je mogoče učinkovito simulirati". Phys. Rev. Lett. 112, 240502 (2014). arXiv:1210.1895.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.112.240502
arXiv: 1210.1895

[14] G. Evenbly in G. Vidal. “Algoritmi za renormalizacijo prepletenosti”. Phys. Rev. B 79, 144108 (2009). arXiv:0707.1454.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.144108
arXiv: 0707.1454

[15] Arturo Acuaviva, Visu Makam, Harold Nieuwboer, David Pérez-García, Friedrich Sittner, Michael Walter in Freek Witteveen. “Minimalna kanonična oblika tenzorske mreže” (2022). arXiv:2209.14358.
arXiv: 2209.14358

[16] Giovanni Ferrari, Giuseppe Magnifico in Simone Montangero. "Prilagodljivo utežena drevesna tenzorska omrežja za neurejene kvantne sisteme več teles". Phys. Rev. B 105, 214201 (2022). arXiv:2111.12398.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.214201
arXiv: 2111.12398

[17] Časovno dinamiko prostega fermionskega hamiltoniana $hat{H} = sum_{ij} h_{ij} hat{c}_i^dagger hat{c}_j$ je mogoče natančno simulirati z izračunom časovno razvitih napolnjenih enofermionskih valovnih funkcij $|{phi_alpha(t)rangle} = e^{-iht} |{phi_alpha(0)rangle}$. Valovna funkcija $|{Psi}rangle = prod_alpha^text{filled} big(sum_i langle{i|phi_alpha}rangle hat{c}_i^daggerbig) |{0}rangle$ ni nikoli eksplicitno izračunana. $prod_alpha^text{filled}$ označuje zmnožek čez napolnjene enofermionske valovne funkcije, $|{0}rangle$ pa je prazno stanje brez fermionov. Potem je $langle{hat{n}_i(t)}rangle = sum_alpha^text{filled} |langle{i|phi_alpha(t)rangle}|^2$, kjer je $|{i}rangle$ enojni fermion valovna funkcija za fermion na mestu $i$.

[18] Roman Orús. “Napredek teorije tenzorskih mrež: simetrije, fermioni, prepletenost in holografija”. European Physical Journal B 87, 280 (2014). arXiv:1407.6552.
https: / / doi.org/ 10.1140 / epjb / e2014-50502-9
arXiv: 1407.6552

[19] Philippe Corboz in Guifré Vidal. “Fermionski večstopenjski renormalizacijski ansatz prepletenosti”. Phys. Rev. B 80, 165129 (2009). arXiv:0907.3184.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.80.165129
arXiv: 0907.3184

[20] Andrew M. Childs, Yuan Su, Minh C. Tran, Nathan Wiebe in Shuchen Zhu. “Teorija trotterjeve napake s skaliranjem komutatorja”. Phys. Rev. X 11, 011020 (2021). arXiv:1912.08854.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.11.011020
arXiv: 1912.08854

[21] Bram Vanhecke, Laurens Vanderstraeten in Frank Verstraete. »Simetrične razširitve gruč s tenzorskimi mrežami« (2019). arXiv:1912.10512.
https://doi.org/ 10.1103/PhysRevA.103.L020402
arXiv: 1912.10512

[22] Yi-Kai Liu. "Konsistentnost matrik lokalne gostote je qma-popolna". V Josep Díaz, Klaus Jansen, José DP Rolim in Uri Zwick, uredniki, Approximation, Randomization, and Combinatorial Optimization. Algoritmi in tehnike. Strani 438–449. Berlin, Heidelberg (2006). Springer Berlin Heidelberg. arXiv:quant-ph/​0604166.
arXiv: kvant-ph / 0604166

[23] Aleksander A. Kljačko. “Kvantni mejni problem in N-predstavljivost”. V seriji konferenc Journal of Physics. Zvezek 36 Journal of Physics Conference Series, strani 72–86. (2006). arXiv:quant-ph/​0511102.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​36/​1/​014
arXiv: kvant-ph / 0511102

[24] Jianxin Chen, Zhengfeng Ji, Nengkun Yu in Bei Zeng. "Odkrivanje konsistentnosti prekrivajočih se kvantnih marginalov z ločljivostjo". Phys. Rev. A 93, 032105 (2016). arXiv:1509.06591.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.93.032105
arXiv: 1509.06591

[25] David A. Mazziotti. “Struktura fermionskih gostotnih matrik: popolni $n$-predstavljivi pogoji”. Phys. Rev. Lett. 108, 263002 (2012). arXiv:1112.5866.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.108.263002
arXiv: 1112.5866

[26] Xiao-Gang Wen. “Kolokvij: Zoološki vrt kvantno-topoloških faz materije”. Reviews of Modern Physics 89, 041004 (2017). arXiv:1610.03911.
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.89.041004
arXiv: 1610.03911

[27] Zheng-Cheng Gu, Michael Levin, Brian Swingle in Xiao-Gang Wen. “Predstavitve tenzorskih produktov za kondenzirana stanja nizov”. Phys. Rev. B 79, 085118 (2009). arXiv:0809.2821.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085118
arXiv: 0809.2821

[28] Oliver Buerschaper, Miguel Aguado in Guifré Vidal. “Eksplicitna predstavitev tenzorske mreže za osnovna stanja modelov mreže nizov”. Phys. Rev. B 79, 085119 (2009). arXiv:0809.2393.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.79.085119
arXiv: 0809.2393

[29] Dominic J. Williamson, Nick Bultinck in Frank Verstraete. »Simetrično obogatena topološka ureditev v tenzorskih omrežjih: napake, merjenje in poljubna kondenzacija« (2017). arXiv:1711.07982.
arXiv: 1711.07982

[30] Tomohiro Soejima, Karthik Siva, Nick Bultinck, Shubhayu Chatterjee, Frank Pollmann in Michael P. Zaletel. “Izometrična tenzorska mrežna predstavitev tekočin z mrežo nizov”. Phys. Rev. B 101, 085117 (2020). arXiv:1908.07545.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.101.085117
arXiv: 1908.07545

[31] Guifré Vidal. “Učinkovita simulacija enodimenzionalnih kvantnih sistemov več teles”. Phys. Rev. Lett. 93, 040502 (2004). arXiv:quant-ph/​0310089.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.040502
arXiv: kvant-ph / 0310089

[32] Sebastian Paeckel, Thomas Köhler, Andreas Swoboda, Salvatore R. Manmana, Ulrich Schollwöck in Claudius Hubig. »Metode časovnega razvoja za stanja matričnega produkta«. Annals of Physics 411, 167998 (2019). arXiv:1901.05824.
https: / / doi.org/ 10.1016 / j.aop.2019.167998
arXiv: 1901.05824

[33] Steven R. White in Adrian E. Feiguin. »Evolucija v realnem času z uporabo skupine za renormalizacijo matrike gostote«. Phys. Rev. Lett. 93, 076401 (2004). arXiv:cond-mat/​0403310.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.93.076401
arXiv: cond-mat / 0403310

[34] Jutho Haegeman, Christian Lubich, Ivan Oseledets, Bart Vandereycken in Frank Verstraete. »Poenotenje časovnega razvoja in optimizacije s stanji matričnega izdelka«. Phys. Rev. B 94, 165116 (2016). arXiv:1408.5056.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.94.165116
arXiv: 1408.5056

[35] Eyal Leviatan, Frank Pollmann, Jens H. Bardarson, David A. Huse in Ehud Altman. »Dinamika kvantne termalizacije s stanji matričnega izdelka« (2017). arXiv:1702.08894.
arXiv: 1702.08894

[36] Christian B. Mendl. »Časovna evolucija operaterjev matričnih produktov z varčevanjem z energijo« (2018). arXiv:1812.11876.
arXiv: 1812.11876

[37] Piotr Czarnik, Jacek Dziarmaga in Philippe Corboz. "Časovna evolucija neskončnega predvidenega stanja zapletenega para: učinkovit algoritem". Phys. Rev. B 99, 035115 (2019). arXiv:1811.05497.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.99.035115
arXiv: 1811.05497

[38] Daniel Bauernfeind in Markus Aichhorn. “Časovno odvisno variacijsko načelo za drevesna tenzorska omrežja”. SciPost Physics 8, 024 (2020). arXiv:1908.03090.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.8.2.024
arXiv: 1908.03090

[39] Christopher David White, Michael Zaletel, Roger SK Mong in Gil Refael. “Kvantna dinamika termalnih sistemov”. Phys. Rev. B 97, 035127 (2018). arXiv:1707.01506.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.97.035127
arXiv: 1707.01506

[40] Tibor Rakovszky, CW von Keyserlingk in Frank Pollmann. »Razvojna metoda operaterja s pomočjo disipacije za zajem hidrodinamičnega transporta«. Phys. Rev. B 105, 075131 (2022). arXiv:2004.05177.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.105.075131
arXiv: 2004.05177

[41] Mingru Yang in Steven R. White. “Časovno odvisen variacijski princip s pomožnim Krylovovim podprostorom”. Phys. Rev. B 102, 094315 (2020). arXiv:2005.06104.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.102.094315
arXiv: 2005.06104

[42] Benedikt Kloss, David Reichman in Jevgenij Bar Lev. "Proučevanje dinamike v dvodimenzionalnih kvantnih mrežah z uporabo stanj drevesnega tenzorskega omrežja". SciPost Physics 9, 070 (2020). arXiv:2003.08944.
https: / / doi.org/ 10.21468 / SciPostPhys.9.5.070
arXiv: 2003.08944

[43] Álvaro M. Alhambra in J. Ignacio Cirac. "Lokalno natančne tenzorske mreže za toplotna stanja in razvoj časa". PRX Quantum 2, 040331 (2021). arXiv:2106.00710.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PRXQuantum.2.040331
arXiv: 2106.00710

[44] Sheng-Hsuan Lin, Michael Zaletel in Frank Pollmann. »Učinkovita simulacija dinamike v dvodimenzionalnih kvantnih spinskih sistemih z izometričnimi tenzorskimi mrežami« (2021). arXiv:2112.08394.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevB.106.245102
arXiv: 2112.08394

[45] Markus Schmitt in Markus Heyl. "Kvantna dinamika več teles v dveh dimenzijah z umetnimi nevronskimi mrežami". Phys. Rev. Lett. 125, 100503 (2020). arXiv:1912.08828.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.125.100503
arXiv: 1912.08828

[46] Irene López Gutiérrez in Christian B. Mendl. "Evolucija v realnem času s kvantnimi stanji nevronske mreže". Quantum 6, 627 (2022). arXiv:1912.08831.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-01-20-627
arXiv: 1912.08831

[47] Sheng-Hsuan Lin in Frank Pollmann. »Skaliranje kvantnih stanj nevronskih omrežij za časovno evolucijo«. Physica Status Solidi B Temeljne raziskave 259, 2100172 (2022). arXiv:2104.10696.
https://​/​doi.org/​10.1002/​pssb.202100172
arXiv: 2104.10696

[48] Dariia Yehorova in Joshua S. Kretchmer. »Večfragmentna razširitev teorije vdelave matrike projicirane gostote v realnem času: neravnovesna dinamika elektronov v razširjenih sistemih« (2022). arXiv:2209.06368.
https: / / doi.org/ 10.1063 / 5.0146973
arXiv: 2209.06368

[49] G. Münster in M. Walzl. “Teorija merilne rešetke – kratek uvod” (2000). arXiv:hep-lat/​0012005.
arXiv:hep-lat/0012005

[50] Janez B. Kogut. “Uvod v teorijo merilne mreže in spinske sisteme”. Rev. Mod. Phys. 51, 659–713 (1979).
https: / / doi.org/ 10.1103 / RevModPhys.51.659

[51] Kevin Slagle in John Preskill. »Emergentna kvantna mehanika na meji lokalnega klasičnega mrežnega modela« (2022). arXiv:2207.09465.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevA.108.012217
arXiv: 2207.09465

[52] Scott Aaronson. "Multilinearne formule in skepticizem kvantnega računalništva". V zborniku šestintridesetega letnega simpozija ACM o teoriji računalništva. Stran 118–127. STOC '04New York, NY, ZDA (2004). Združenje za računalniške stroje. arXiv:quant-ph/​0311039.
https: / / doi.org/ 10.1145 / 1007352.1007378
arXiv: kvant-ph / 0311039

[53] Gerard 't Hooft. »Deterministična kvantna mehanika: matematične enačbe« (2020). arXiv:2005.06374.
arXiv: 2005.06374

[54] Stephen L Adler. “Kvantna teorija kot nastajajoči pojav: Temelji in fenomenologija”. Journal of Physics: Conference Series 361, 012002 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012002

[55] Vitalij Vančurin. "Entropska mehanika: na poti k stohastičnemu opisu kvantne mehanike". Osnove fizike 50, 40–53 (2019). arXiv:1901.07369.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s10701-019-00315-6
arXiv: 1901.07369

[56] Edward Nelson. “Pregled stohastične mehanike”. Journal of Physics: Conference Series 361, 012011 (2012).
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1742-6596/​361/​1/​012011

[57] Michael JW Hall, Dirk-André Deckert in Howard M. Wiseman. "Kvantni pojavi, modelirani z interakcijami med številnimi klasičnimi svetovi". Physical Review X 4, 041013 (2014). arXiv:1402.6144.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevX.4.041013
arXiv: 1402.6144

[58] Guifré Vidal. »Učinkovita klasična simulacija rahlo zapletenih kvantnih izračunov«. Phys. Rev. Lett. 91, 147902 (2003). arXiv:quant-ph/​0301063.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.91.147902
arXiv: kvant-ph / 0301063

[59] G. Vidal. “Klasična simulacija kvantnih mrežnih sistemov neskončne velikosti v eni prostorski dimenziji”. Phys. Rev. Lett. 98, 070201 (2007). arXiv:cond-mat/​0605597.
https: / / doi.org/ 10.1103 / PhysRevLett.98.070201
arXiv: cond-mat / 0605597

[60] Stephan Ramon Garcia, Matthew Okubo Patterson in William T. Ross. »Delno izometrične matrike: kratka in selektivna raziskava« (2019). arXiv:1903.11648.
arXiv: 1903.11648

[61] CJ Hamer. "Skaliranje končne velikosti v prečnem Isingovem modelu na kvadratni mreži". Journal of Physics A Mathematical General 33, 6683–6698 (2000). arXiv:cond-mat/​0007063.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​0305-4470/​33/​38/​303
arXiv: cond-mat / 0007063

Navedel

[1] Sayak Guha Roy in Kevin Slagle, "Interpolacija med merilnimi in Schrödingerjevimi slikami kvantne dinamike", arXiv: 2307.02369, (2023).

[2] Kevin Slagle, "The Gauge Picture of Quantum Dynamics", arXiv: 2210.09314, (2022).

Zgornji citati so iz SAO / NASA ADS (zadnjič posodobljeno 2023-09-15 05:31:41). Seznam je morda nepopoln, saj vsi založniki ne dajejo ustreznih in popolnih podatkov o citiranju.

On Crossref je navedel storitev ni bilo najdenih podatkov o navajanju del (zadnji poskus 2023-09-15 05:31:39).

Ta dokument je objavljen v Quantumu pod Priznanje avtorstva Creative Commons 4.0 International (CC BY 4.0) licenca. Avtorske pravice ostajajo pri izvirnih imetnikih avtorskih pravic, kot so avtorji ali njihove ustanove.

Časovni žig:

Več od Quantum Journal