Ko je bil Daniel Larsen v srednji šoli, je začel oblikovati križanke. Hobi je moral postaviti na vrh svojih drugih zanimanj: šah, programiranje, klavir, violina. Dvakrat se je kvalificiral za Scripps National Spelling Bee blizu Washingtona, D.C., potem ko je zmagal na regionalnem tekmovanju. »Osredotoči se na nekaj in samo pok, pok, pok, dokler mu ne uspe,« je povedala Larsenova mati Ayelet Lindenstrauss. Njegove prve križanke so večji časopisi zavrnili, vendar je vztrajal pri tem in na koncu vlomil. Do danes je drži rekord za najmlajšo osebo, ki bo objavila križanko The New York Times, pri 13 letih. "Je zelo vztrajen," je dejal Lindenstrauss.
Kljub temu se je Larsenova zadnja obsedenost zdela drugačna, "daljša in intenzivnejša od večine njegovih drugih projektov," je dejala. Več kot leto in pol Larsen ni mogel nehati razmišljati o določenem matematičnem problemu.
Imelo je korenine v širšem vprašanju, ki ga je matematik Carl Friedrich Gauss štel za enega najpomembnejših v matematiki: kako razlikovati praštevilo (število, ki je deljivo samo z 1 in samim seboj) od sestavljenega števila. Stotine let so matematiki iskali učinkovit način za to. Težava je postala pomembna tudi v kontekstu sodobne kriptografije, saj nekateri danes najbolj razširjeni kriptosistemi vključujejo aritmetiko z ogromnimi praštevili.
Pred več kot stoletjem so matematiki v iskanju hitrega in zmogljivega preizkusa primalnosti naleteli na skupino povzročiteljev težav – števila, ki preslepijo teste, da mislijo, da so praštevila, čeprav niso. Ta psevdopraštevila, znana kot Carmichaelova števila, je bilo še posebej težko razumeti. Šele sredi devetdesetih so na primer matematiki dokazali, da jih je neskončno veliko. Biti sposoben povedati kaj več o tem, kako so porazdeljeni vzdolž številske premice, je predstavljalo še večji izziv.
Nato je prišel Larsen z njim nov dokaz ravno o tem, ki ga je navdihnilo nedavno epohalno delo na drugem področju teorije števil. Takrat je imel komaj 17 let.
Iskra
Larsena, ki je odraščal v Bloomingtonu v Indiani, je vedno privlačila matematika. Njegova starša, oba matematika, sta njega in njegovo starejšo sestro uvedla v predmet, ko sta bila mlada. (Zdaj pripravlja doktorat iz matematike.) Ko je bil Larsen star 3 leta, se spominja Lindenstrauss, ji je začel postavljati filozofska vprašanja o naravi neskončnosti. "Mislil sem, da ima ta otrok matematični um," je rekel Lindenstraussa, profesor na univerzi Indiana.
Nato je pred nekaj leti – približno v času, ko je bil potopljen v svoje projekte črkovanja in križank – naletel na Dokumentarec o Yitang Zhang, neznani matematik, ki je leta 2013 vstal iz mraka po ki dokazuje prelomni rezultat ki postavljajo zgornjo mejo vrzeli med zaporednimi praštevili. V Larsenu je nekaj kliknilo. Ni mogel nehati razmišljati o teoriji števil in o sorodnem problemu, ki so ga Zhang in drugi matematiki še upali rešiti: domnevi o dvojčkih praštevil, ki pravi, da obstaja neskončno veliko parov praštevil, ki se razlikujejo samo za 2.
Po Zhangovem delu, ki je pokazalo, da obstaja neskončno veliko parov praštevil, ki se razlikujejo za manj kot 70 milijonov, drugi so vskočili da to mejo še znižamo. V nekaj mesecih so matematiki James Maynard in Terence tao neodvisno dokazal še močnejšo trditev o vrzeli med praštevili. Ta razlika se je od takrat zmanjšala na 246.
Larsen je želel razumeti nekaj matematike, na kateri temelji Maynardovo in Taovo delo, "vendar je bilo to zame precej nemogoče," je dejal. Njihovi dokumenti so bili preveč zapleteni. Larsen je poskušal prebrati sorodno delo, vendar se je zdelo tudi nepregledno. Pri tem je skakal od enega rezultata do drugega, dokler ni končno februarja 2021 naletel na papir, ki se mu je zdel hkrati lep in razumljiv. Njena tema: Carmichaelova števila, tista nenavadna sestavljena števila, ki se lahko včasih izdajo za praštevila.
Vse razen Prime
Sredi 17. stoletja je francoski matematik Pierre de Fermat svoji prijateljici in zaupnici Frénicle de Bessy napisal pismo, v katerem je navedel, kar bo kasneje znano kot njegov »mali izrek«. če N je torej praštevilo bN - b je vedno večkratnik N, ne glede na vse b je. Na primer, 7 je praštevilo in posledično 27 – 2 (kar je enako 126) je večkratnik 7. Podobno je 37 – 3 je večkratnik števila 7 in tako naprej.
Matematiki so videli potencial za popoln preizkus, ali je dano število praštevilo ali sestavljeno. Vedeli so, da če N je glavni, bN - b je vedno večkratnik N. Kaj pa, če bi veljalo tudi obratno? To je, če bN - b je večkratnik N za vse vrednosti b, mora N biti glavni?
Žal se je izkazalo, da v zelo redkih primerih, N lahko izpolni ta pogoj in je še vedno sestavljen. Najmanjše takšno število je 561: Za poljubno celo število b, b561 - b je vedno večkratnik 561, čeprav 561 ni praštevilo. Števila, kot so ta, so bila poimenovana po matematiku Robertu Carmichaelu, ki mu pogosto pripisujejo objavo prvega primera leta 1910 (čeprav je češki matematik Václav Šimerka neodvisno odkril primere leta 1885).
Matematiki so želeli bolje razumeti ta števila, ki so tako zelo podobna najbolj temeljnim predmetom v teoriji števil, praštevilom. Izkazalo se je, da je leta 1899 - desetletje pred Carmichaelovim rezultatom - drug matematik, Alwin Korselt, prišel do enakovredne definicije. Preprosto ni vedel, ali obstajajo številke, ki ustrezajo računu.
Po Korseltovem kriteriju št N je Carmichaelovo število, če in samo če izpolnjuje tri lastnosti. Prvič, imeti mora več kot en prafaktor. Drugič, noben glavni dejavnik se ne more ponoviti. In tretjič, za vsako praštevilo p ki deli N, p – 1 tudi deli N – 1. Ponovno razmislite o številu 561. Enako je 3 × 11 × 17, torej očitno izpolnjuje prvi dve lastnosti na Korseltovem seznamu. Za prikaz zadnje lastnosti odštejte 1 od vsakega prafaktorja, da dobite 2, 10 in 16. Poleg tega odštejte 1 od 561. Vsa tri manjša števila so delitelji 560. Število 561 je torej Carmichaelovo število.
Čeprav so matematiki sumili, da obstaja neskončno veliko Carmichaelovih števil, jih je v primerjavi s praštevili razmeroma malo, zaradi česar jih je težko določiti. Nato je leta 1994 Red Alford, Andrew Granville in Carl Pomerance objavili preboj papirja v kateri so končno dokazali, da je teh psevdopraštevil res neskončno veliko.
Na žalost jim tehnike, ki so jih razvili, niso omogočile povedati ničesar o tem, kako so te številke Carmichael izgledale. Ali so se pojavili v skupinah vzdolž številske premice z velikimi vrzelmi vmes? Ali pa bi lahko vedno našli številko Carmichael v kratkem intervalu? "Človek bi si mislil, da če lahko dokažeš, da jih je neskončno veliko," je dejal Granville, "si gotovo lahko dokazal, da med njimi ni velikih vrzeli, da morajo biti razmeroma dobro razporejeni."
Zlasti je on in njegovi soavtorji upali, da bodo dokazali izjavo, ki je odražala to idejo - da glede na dovolj veliko število X, bo med njimi vedno številka Carmichael X in 2X. "To je še en način izražanja, kako vseprisotni so," je dejal Jon Grantham, matematik z Inštituta za obrambne analize, ki je opravil sorodno delo.
Toda desetletja tega nihče ni mogel dokazati. Tehnike, ki so jih razvili Alford, Granville in Pomerance, so »nam omogočile pokazati, da bo veliko Carmichaelovih števil,« je dejal Pomerance, »vendar nam v resnici niso omogočile popolnega nadzora nad tem, kje bodo. ”
Nato je novembra 2021 Granville odprl e-poštno sporočilo Larsena, ki je bil takrat star 17 let in je bil v zadnjem letniku srednje šole. A papirja je bil priložen - in na Granvillovo presenečenje je bil videti pravilen. "To ni bilo najlažje branje doslej," je dejal. »A ko sem prebral, je bilo povsem jasno, da se ni zafrkaval. Imel je briljantne ideje.”
Pomerance, ki je prebral kasnejšo različico dela, se je strinjal. "Njegov dokaz je res precej napreden," je dejal. »To bi bil članek, ki bi ga vsak matematik res ponosno napisal. In tukaj je srednješolec, ki to piše.«
Ključ do Larsenovega dokaza je bilo delo, ki ga je sploh pritegnilo k Carmichaelovim številom: rezultati Maynarda in Taa o pravrzelih.
Malo verjetno — ni nemogoče
Ko je Larsen prvič želel pokazati, da lahko vedno najdete Carmichaelovo število v kratkem intervalu, "se je zdelo, da je tako očitno res, kako težko je to dokazati?" rekel je. Hitro je ugotovil, da je lahko res zelo težko. "To je problem, ki preizkuša tehnologijo našega časa," je dejal.
V svojem dokumentu iz leta 1994 so Alford, Granville in Pomerance pokazali, kako ustvariti neskončno veliko Carmichaelovih števil. Vendar niso mogli nadzorovati velikosti praštevil, ki so jih uporabili za njihovo izdelavo. To je tisto, kar bi moral narediti Larsen, da bi zgradil Carmichaelova števila, ki bi bila relativno blizu velikosti. Težavnost problema je skrbela njegovega očeta Michaela Larsena. "Nisem mislil, da je nemogoče, vendar sem mislil, da je malo verjetno, da mu bo uspelo," je dejal. "Videl sem, koliko časa je porabil za to ... in čutil sem, da bi bilo zanj uničujoče, če bi temu dal toliko sebe in tega ne bi dobil."
Kljub temu se je zavedal, da sina ne sme odvrniti. "Ko se Daniel zaveže nečemu, kar ga resnično zanima, se tega drži v vseh slabih in slabih časih," je dejal.
Tako se je Larsen vrnil k Maynardovim dokumentom - zlasti k delu, ki je pokazal, da mora biti neka podmnožica teh števil praštevilna, če vzamete določena zaporedja dovolj števil. Larsen je spremenil Maynardove tehnike in jih združil z metodami, ki so jih uporabljali Alford, Granville in Pomerance. To mu je omogočilo zagotoviti, da se praštevila, ki jih je dobil, razlikujejo po velikosti - dovolj za ustvarjanje Carmichaelovih števil, ki bi spadala v intervale, ki jih je želel.
"Ima več nadzora nad stvarmi, kot smo ga kdajkoli imeli," je dejal Granville. In to je dosegel s posebno pametno uporabo Maynardovega dela. "Ni enostavno … uporabiti ta napredek na kratkih vrzeli med praštevili," je rekel Kaisa Matomäki, matematik na Univerzi v Turkuju na Finskem. "Prav lepo je, da lahko to združi s tem vprašanjem o Carmichaelovih številkah."
Pravzaprav mu Larsenov argument ni dovoljeval le pokazati, da se mora Carmichaelova številka vedno pojaviti med X in 2X. Njegov dokaz deluje tudi za veliko manjše intervale. Matematiki zdaj upajo, da bo pomagal razkriti tudi druge vidike obnašanja teh čudnih števil. "To je drugačna ideja," je rekel Thomas Wright, matematik na kolidžu Wofford v Južni Karolini, ki dela na psevdopraštevilih. "Spremeni veliko stvari o tem, kako bi lahko dokazali stvari o Carmichaelovih številkah."
Grantham se je strinjal. "Zdaj lahko počnete stvari, na katere nikoli niste pomislili," je dejal.
Larsen je medtem pravkar začel prvi letnik na tehnološkem inštitutu Massachusetts. Ni prepričan, na kateri težavi bi se lahko lotil naslednjega, vendar si želi izvedeti, kaj je tam zunaj. "Samo obiskujem tečaje ... in poskušam biti odprt," je dejal.
"Vse to je naredil brez dodiplomske izobrazbe," je dejal Grantham. "Samo predstavljam si lahko, kaj si bo izmislil na podiplomskem študiju."
