Presenetljivo preprosta matematika za zagonetnimi tekmami | Revija Quanta

To je prvenstvena tekma Imaginary Math League, kjer se bodo Atlanta Algebras pomerili z Carolina Cross Products. Ekipi v tej sezoni še nista igrali med seboj, toda v začetku leta je Atlanta premagala Brooklyn Sisectors z rezultatom 10 proti 5, Brooklyn pa Carolino z rezultatom 7 proti 3. Ali nam to daje vpogled v to, kdo bo prevzel naslov?

No, tukaj je ena vrstica misli. Če je Atlanta premagala Brooklyn, potem je Atlanta boljša od Brooklyna, in če je Brooklyn premagal Carolino, potem je Brooklyn boljši od Caroline. Torej, če je Atlanta boljša od Brooklyna in Brooklyn boljši od Caroline, potem bi morala biti Atlanta boljša od Caroline in osvojiti prvenstvo.

Če igrate tekmovalne igre ali šport, veste, da napovedovanje izida tekme nikoli ni tako preprosto. Toda s povsem matematičnega vidika je ta argument nekoliko privlačen. Uporablja pomembno idejo v matematiki, znano kot tranzitivnost, znano lastnost, ki nam omogoča sestavljanje nizov primerjav med odnosi. Tranzitivnost je ena tistih matematičnih lastnosti, ki so tako temeljne, da jih morda sploh ne opazite.

Na primer, enakost števil je tranzitivna. To pomeni, da če to vemo a = b in b = c, lahko sklepamo, da a = c. Razmerje »večje kot« je tudi prehodno: Za realna števila, če a > b in b > c, Potem a > c. Ko so odnosi prehodni, jih lahko primerjamo in združujemo ter ustvarjamo vrstni red predmetov. Če je Anna višja od Benjija in Benji višji od Carla, potem lahko tri razvrstimo po njihovi višini: A, B, C. Tranzitivnost je tudi za našim naivnim argumentom, da če A je boljši od B in B je boljši od C, Potem A je boljši od C.

Tranzitivnost je prisotna v enakosti, skladnosti, podobnosti, celo vzporednosti. Je del vse osnovne matematike, ki jo izvajamo, zaradi česar je še posebej matematično zanimiv, ko ga ni. Ko analitiki razvrščajo ekipe, ekonomisti preučujejo preference potrošnikov ali državljani glasujejo o svojih najljubših kandidatih, lahko pomanjkanje prehodnosti vodi do presenetljivih rezultatov. Da bi bolje razumeli tovrstne sisteme, matematiki že več kot 50 let preučujejo »netranzitivne kocke« in nedavni dokument iz spletnega matematičnega sodelovanja, znanega kot projekt Polymath, je izboljšal to razumevanje. Da bi dobili občutek, kako neprehodnost izgleda in se počuti, oblikujmo lastno ligo in se poigrajmo.

V naši novi matematični ligi igralci tekmujejo tako, da mečejo kovance po meri in primerjajo rezultate. Recimo igralec A ima kovanec s številko 10 na eni strani in številko 6 na drugi ter igralca BKovanec uporabnika ima številki 8 in 3. Predvidevamo, da sta kovanca poštena – kar pomeni, da je verjetnost, da se bo vsaka stran pojavila, ko se vrže kovanec, enaka – in številke na kovancih bomo predstavili takole.

V igri igralci vržejo svoje kovance in zmagovalec je tisti, ki na kovancu pokaže večje število. Kdo bo kdaj zmagal A igra B?

Seveda je odvisno. včasih A bo včasih zmagal B bo zmagal. Ampak tega ni težko videti A je naklonjen zmagi proti B. Igra se lahko odvija na štiri načine in A zmaga v treh izmed njih.

Torej v igri A v primerjavi z B, A ima 75% možnosti za zmago.

zdaj C prihaja in izziva B na igro. CKovanec ima 5 na eni strani in 4 na drugi strani. Spet obstajajo štiri možnosti.

Tukaj B in C vsak zmaga v dveh od štirih tekem, tako da bo vsak zmagal v 50 % iger. B in C se izenačijo.

Zdaj pa, kaj bi pričakovali, da se bo zgodilo, kdaj A in C igrati? no, A običajno bije Bin B se izenači z C, zato se zdi razumno pričakovati, da A bo verjetno imel prednost proti C.

Ampak A je več kot priljubljena. A prevladuje C, zmagal 100% časa.

To se morda zdi presenetljivo, vendar matematično ni težko razumeti, zakaj se to zgodi. CŠtevilke osebe so vmes Bje, torej C zmaga kadarkoli B obrne njihovo nižjo številko. Ampak Cštevilki sta obe spodaj Aje, torej C tega dvoboja ne bo nikoli zmagal. Ta primer ne krši ideje o tranzitivnosti, vendar kaže, da so stvari morda bolj zapletene kot le A > B > C. Rahla sprememba naše igre kaže, kako bolj zapletena je lahko.

Naši tekmovalci se igre dvostranskega metanja kovancev hitro naveličajo, saj jo je matematično enostavno povsem razumeti (za več podrobnosti glejte vaje na koncu stolpca), zato se liga odloči za nadgradnjo na tristranske kovance. (Ena od prednosti igranja v namišljeni matematični ligi je, da je vse mogoče.)

Tukaj A in Bkovanci osebe:

Kdo ima prednost v igri med A in B? No, obstajajo trije rezultati za Amet kovanca in tri za B, kar vodi do devetih možnih izidov igre, ki jih lahko preprosto narišemo.

Ponovno predpostavimo, da so vsi izidi enako verjetni, A utripov B v petih od devetih rezultatov. To pomeni A bi moral osvojiti $latex frac{5}{9} približno 55 % časa, torej A ima prednost proti B.

Počutiti se nekoliko potrto glede svojih možnosti, B izzivi C na igro. CŠtevilke osebe so prikazane spodaj. Ti je všeč Bmožnosti?

Spet je v igri devet možnih izidov B v primerjavi z C, tako da jih lahko samo naštejemo.

To lahko vidimo B izgleda precej dobro proti C. V petih od devetih možnih izidov, B zmaga. torej B ima prednost proti C.

slaba C zdaj je treba igrati A. Z A naklonjen proti B in B naklonjen proti C, kaj naredi priložnost C moraš zmagati? Precej dober, kot se je izkazalo.

V petih od devetih možnih izidov tukaj, C utripov A. To pomeni da C ima prednost proti A, čeprav Aima prednost proti B in B ima prednost proti C.

To je primer neprehodnega sistema. V bolj tehničnem smislu relacija »biti naklonjen« v naši igri ni tranzitivna: A ima prednost proti Bin B ima prednost proti C, Vendar A ni nujno, da ima prednost proti C.

Tega pri matematiki ne vidimo pogosto, a tovrstno vedenje ljubiteljev športa ne bi presenetilo. Če bi Giants premagali Eaglese in Eagles Cowboyse, bi Cowboysi še vedno lahko premagali Giantse. Na izid posamezne igre vpliva veliko dejavnikov. Ekipe lahko postanejo boljše s prakso ali pa stagnirajo, če ne uvajajo inovacij. Igralci lahko menjajo ekipe. Podrobnosti, kot je lokacija tekme – doma ali v gosteh – ali kako nedavno so ekipe igrale, lahko vplivajo na to, kdo zmaga in kdo izgubi.

Toda ta preprost primer kaže, da tudi za to vrsto neprehodnosti obstajajo povsem matematični razlogi. In ta povsem matematični premislek ima nekaj skupnega z omejitvami konkurence v resničnem svetu: tekme.

Tukaj so številke za A, B in C.

Če ju gledamo drug ob drugem, lažje vidimo, zakaj v tej situaciji pride do neprehodnosti. čeprav B je naklonjen zmagi proti C, CNjegovi dve srednje visoki številki – 7 in 6 – jim dajeta prednost pred A da B nima. Čeprav A ima prednost proti B in B ima prednost proti C, C se ujema z A bolje kot B počne. To je podobno temu, kako se slabša športna ekipa lahko dobro kosa z boljšim nasprotnikom, ker ta ekipa težko obvladuje njihov slog igre ali ker jim igralec ali trener daje prednost pred tem določenim nasprotnikom.

Dejstvo, da so športi neprehodni, je del tega, zaradi česar so zabavni in privlačni. Konec koncev, če A utripov B in B utripov C, C ne bo samo izgubil zaradi prehodnosti, ko se bodo soočili z A. V konkurenci se lahko zgodi vse. Kot je marsikateri komentator rekel po razburjenju: "Zato igrajo igro."

In zato se igramo z matematiko. Najti tisto, kar je zabavno, prepričljivo in presenetljivo. Vse se lahko zgodi.

vaje

1. Predpostavimo, da dva igralca igrata igro z dvostranskimi kovanci in so vse štiri številke iz dveh kovancev različne. V bistvu obstaja le šest možnih scenarijev, kdo zmaga in kako pogosto. Kaj so oni?

2. V zgoraj opisanem scenariju tristranske igre poiščite drug tristranski kovanec za C tako da B ima še vedno prednost proti C in C ima še vedno prednost proti A.

3. Dokažite, da v igri z dvostranskimi kovanci ni mogoče imeti treh igralcev A, B, C tako, da A ima prednost proti B, B ima prednost proti Cin C ima prednost proti A.