Teoretik, ki vidi matematiko v umetnosti, glasbi in pisanju | Revija Quanta

Sarah Hart je vedno imela oko za prikrite načine, kako matematika prežema druga področja. Kot otroka jo je presenetila vseprisotnost števila 3 v njenih pravljicah. Hartova mati, učiteljica matematike, jo je spodbujala k iskanju vzorcev in ji dajala matematične uganke, da si je krajšala čas.

Hart je leta 2000 doktoriral iz teorije skupin in kasneje postal profesor na Birkbecku, Univerza v Londonu. Hartova raziskava je raziskala strukturo Coxeterjevih skupin, bolj splošnih različic struktur, ki katalogizirajo simetrije poligonov in prizem. Leta 2023 je objavila Once Upon a Prime, knjiga o tem, kako se matematika pojavlja v leposlovju in poeziji. »Ker smo ljudje del vesolja, je povsem naravno, da bodo naše oblike ustvarjalnega izražanja, med njimi literatura, prav tako pokazale nagnjenost k vzorcu in strukturi,« je zapisal Hart. "Matematika je torej ključ do popolnoma drugačnega pogleda na literaturo."

Od leta 2020 je Hart profesor geometrije na Gresham College v Londonu. Gresham nima tradicionalnih tečajev; namesto tega imajo profesorji vsak po več javnih predavanj na leto. Hartova je prva ženska na 428 let starem položaju, ki ga je v 17. stoletju zasedel Isaac Barrow, znan po tem, da je poučeval drugega Isaaca (Newtona). Nedavno ga je imel Roger Penrose, matematik, ki je leta 2020 prejel Nobelovo nagrado za fiziko. Hart je govoril z Quanta o tem, kako matematika in umetnost vplivata druga na drugo. Intervju je bil zgoščen in urejen zaradi jasnosti.

Zakaj ste se odločili napisati knjigo o povezavah med matematiko in literaturo?

Te povezave so manj raziskane in manj poznane kot tiste med matematiko in, recimo, glasbo. Povezave med matematiko in glasbo so slavili vsaj že od Pitagorejcev. Vendar, čeprav je bilo pisanja in akademskih raziskav o določenih knjigah, avtorjih ali žanrih, še nisem videl knjige za splošno občinstvo o širših povezavah med matematiko in literaturo.

Kako naj ljudje v umetnosti razmišljajo o matematiki?

Med matematiko in, naj rečem, drugimi umetnostmi je veliko skupnega. V literaturi, pa tudi v glasbi in umetnosti, nikoli ne začneš z ničemer. Če ste pesnik, se odločate: ali bom imel haiku z zelo natančnimi številčnimi omejitvami ali bom napisal sonet z določenim številom vrstic, določeno shemo rim, določenim metrom? Tudi nekaj, kar nima sheme rime, bo imelo prelome vrstic, ritem. Prisotne bodo omejitve, ki navdihujejo ustvarjalnost in vam pomagajo, da se osredotočite.

Pri matematiki imamo isto. Imamo nekaj osnovnih pravil. Znotraj tega lahko raziskujemo, lahko se igramo in dokazujemo izreke. Kar lahko matematika naredi za umetnost, je pomagati najti nove strukture, pokazati, kakšne so možnosti. Kako bi izgledalo glasbeno delo, ki nima ključnega podpisa? Lahko razmišljamo o 12 tonih in jih razporedimo drugače, tukaj pa so vsi načini, kako lahko to storite. Tu so različne barvne sheme, ki si jih lahko izmislite, tu so različne oblike pesniškega metra.

Kateri je primer, kako je literatura vplivala na matematiko?

Pred tisočletji v Indiji so pesniki poskušali razmišljati o možnih metrih. V sanskrtski poeziji imate dolge in kratke zloge. Dolga je dvakrat daljša od kratke. Če želite izračunati, koliko jih je, ki potrebujejo čas tri, lahko izberete kratko, kratko, kratko ali dolgo, kratko ali kratko, dolgo. Obstajajo trije načini za izdelavo treh. Obstaja pet načinov, kako narediti frazo dolžine štiri. In obstaja osem načinov, kako narediti frazo dolžine pet. To zaporedje, ki ga dobite, je tisto, kjer je vsak člen vsota prejšnjih dveh. Natančno reproducirate to, kar danes imenujemo Fibonaccijevo zaporedje. Toda to je bilo stoletja pred Fibonaccijem.

Kaj pa vpliv matematike na literaturo?

Precej preprosto zaporedje, a deluje zelo, zelo močno, je knjiga Eleanor Catton Svetilniki, ki je izšla leta 2013. Uporabila je zaporedje, ki gre 1,1/2, 1/4, 1/8, 1/16. Vsako poglavje v tej knjigi je za polovico krajše od prejšnjega. Ustvari ta res fascinanten učinek, ker se tempo pospešuje, izbira likov pa je bolj omejena. Vse drvi proti svojemu koncu. Na koncu so poglavja izjemno kratka.

Drug primer nekoliko bolj zapletene matematične strukture so tako imenovani ortogonalni latinski kvadrati. Latinski kvadrat je nekako kot sudoku mreža. V tem primeru bi bila to mreža 10 krat 10. Vsaka številka se pojavi natanko enkrat v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu. Pravokotni latinski kvadrati so oblikovani s prekrivanjem dveh latinskih kvadratov, tako da je v vsakem prostoru par števil. Mreža, ki jo tvori prvo število v vsakem paru, je latinski kvadrat, prav tako mreža, ki jo tvori drugo število v vsakem paru. Poleg tega se v mreži parov noben par ne pojavi več kot enkrat.

Te so zelo uporabne na vse načine. Iz njih lahko naredite kode za popravljanje napak, ki so uporabne za pošiljanje sporočil po nekakšnih hrupnih kanalih. Toda ena od odličnih stvari teh posebnih, velikosti 10, je ta, da je eden največjih matematikov vseh časov, Leonhard Euler, mislil, da ne morejo obstajati. To je bil eden redkih trenutkov, ko je naredil napako; zato je bilo tako razburljivo. Dolgo po tem, ko je izrekel to domnevo, da te stvari ne morejo obstajati za določene velikosti, je bila ovržena in leta 1959 so bili najdeni kvadrati te velikosti. pokrov of Scientific American leto.

Leta po tem je francoski pisatelj Georges Perec iskal strukturo, ki bi jo uporabil za svojo knjigo Življenje: Uporabniški priročnik. Izbral je enega od teh pravokotnih latinskih kvadratov. Svojo knjigo je postavil v pariški stanovanjski blok, ki je imel 100 sob, kvadratov 10 krat 10. Vsako poglavje je bilo v drugi sobi in vsako poglavje je imelo svoj edinstven okus. Imel je sezname 10 stvari - različne tkanine, barve in podobno. Vsako poglavje bi uporabilo edinstveno kombinacijo. To je res fascinanten način strukturiranja knjige.

Očitno cenite dobro pisanje. Kaj menite o kakovosti pisanja matematičnih raziskovalnih nalog?

Zelo je spremenljivo! Vem, da cenimo kratkost, vendar mislim, da je včasih to šlo predaleč. Preveč je prispevkov, ki nimajo uporabnih primerov.

Kar pravzaprav cenimo, je genialen argument, ki je, ker tako pametno zajema vse primere hkrati, tudi kratek in eleganten. To ni isto, kot če bi svoj dolgi argument stlačili na manjši prostor, kot ga potrebuje, tako da stran prekrijete s skrivnostnimi sigili, ki ste jih ustvarili, da bi bil zapis krajši, a jih boste morali ne le bralec, ampak verjetno tudi sami z muko razpakirati. znova, da bi razumeli, kaj se dogaja.

Premalo razmišljamo o koristnem zapisu, ki bralca spomni, kaj je mišljeno. Pravi zapis lahko absolutno spremeni del matematike in lahko naredi prostor tudi za posplošitve. Pomislite na zgodovinski prehod od pisanja neznanke, njenega kvadrata in njene kocke s tremi različnimi črkami, in koliko bolj verjetno in celo možno je, da začnete razmišljati o tem,  kdaj ste začeli pisati  in  namesto tega.

Ali vidite evolucijo v povezavah med matematiko in umetnostjo?

Ves čas so nove stvari. Fraktali so bili v devetdesetih povsod. Na vsaki steni sobe študentskega doma je bila slika Mandelbrotovega kompleta ali kaj podobnega. Vsi so rekli: "Oh, to je razburljivo, fraktali." Dobite na primer glasbenike, skladatelje, ki v svojih skladbah uporabljajo fraktalne sekvence.

Ko sem imel približno 16 let, so bile te nove stvari, imenovane grafični kalkulatorji. Zelo razburljivo. In prijatelj moje matere mi je dal ta program, ki je lahko narisal Mandelbrotov niz na enem od teh malih grafičnih kalkulatorjev. Imel je približno, ne vem, 200 slikovnih pik. Programiraš to stvar in potem sem jo moral pustiti 12 ur. Teh 200 točk bi narisal na koncu. Tako so se lahko celo navadni šolarji ukvarjali s tem v poznih 80. in zgodnjih 90. letih prejšnjega stoletja in sami ustvarili te slike.

Sliši se, da te je že v šoli zelo zanimala trda matematika.

 Mislim, da me zanima že od prej, ko sem sploh vedel, da to pomeni, da sem matematik. Kot, vedno sem delal vzorce, ko sem bil majhen, majhen otrok.

Ko sem bil čisto majhen, so bile moja najljubša igrača neke zelo preproste lesene poslikane ploščice. Prišli so v vseh različnih barvah. Naredila sem jih v kroje, potem pa sem ga kakšen dan ponosno gledala, nato pa naredila še enega.

Ko sem bil malo starejši, sem se igral s številkami in gledal vzorce. Mama bi bila tista, h kateri bi šel in rekel: "Dolgčas mi je." In potem je rekla: "No, ali lahko ugotovite, kakšen je vzorec števila točk, ki jih potrebujete, da naredite trikotnik?" ali karkoli že je bilo. Dala bi mi, da ponovno odkrijem trikotne številke ali kaj podobnega, in bil bi zelo navdušen.

Moja uboga mama, toliko neverjetnih izumov, s katerimi bi šel k mami. "Razvil sem popolnoma nov način, kako narediti nekaj!" In rekla bi: »V redu, to je zelo lepo. Toda, veste, Descartes je o tem razmišljal že pred stoletji.« In potem bi šel; Nekaj ​​dni pozneje sem prišel do še ene čudovite ideje. »To je čudovito, draga. A tega so imeli stari Grki.«

Se spomnite kakšnega posebej zadovoljujočega trenutka iz vaše raziskovalne kariere matematike?

Trenutki, ko končno razumeš, kakšen je vzorec, ki ga vidiš, so vedno zadovoljujoči, kot tudi ko se ukvarjaš s tem, kako dokončati dokaz, s katerim si se boril. Moji najmočnejši spomini na te občutke veselja, verjetno zato, ker sem jih prvič občutil, so z začetka moje raziskovalne kariere. Še vedno pa je prijeten občutek, ko dobiš tisti "aha", ko končno razumeš, kaj se dogaja.

Že zelo zgodaj sem poskušal dokazati nekaj o neskončnih Coxeterjevih skupinah. Razrešil sem nekaj primerov, pri preučevanju preostalih pa sem prišel do tehnike, ki bi delovala, če bi bilo izpolnjeno določeno merilo. Te odnose lahko zapišete v graf, zato sem začel sestavljati zbirko grafov, za katere bi lahko uporabili mojo tehniko. To je bilo eno leto čez božič.

Čez nekaj časa je moj niz slik začel izgledati kot določen niz grafov, ki so bili navedeni v knjigi o skupinah Coxeter, ki je bila v moji pisarni, in začel sem upati, da je to točno ta niz grafov. Če bi bil, bi to zapolnilo luknjo v mojem dokazu in moj izrek bi bil končan. Vendar nisem mogel zagotovo preveriti, dokler se po božiču nisem vrnil na univerzo – to je bilo, preden si lahko vse prebrskal v Googlu. Mislim, da je pričakovanje, da bom moral počakati, da potrdim svojo slutnjo, še izboljšalo, ko sem prišel do knjige in primerjal svoj ročno napisan niz diagramov s tistimi v knjigi, in res so se ujemali.

Kaj menite o vprašanju, ali je matematika ustvarjena ali odkrita? Skoraj nihče ne bi trdil, da je kateri od romanopiscev, o katerih pišete v svoji knjigi, »odkril« svoje romane. Je to temeljna razlika med matematiko in literaturo ali ne?

Verjetno je, čeprav je še vedno nekaj resonanc.

Ukvarjanje z matematiko se zdi kot odkritje. Če bi izumljali matematiko, stvari zagotovo ne bi bilo tako težko dokazati! Včasih si obupno želimo, da je nekaj res, pa ni. Mislim, da se posledicam logike ne moremo izogniti.

Vse se zdi kot odkritje, ko to počneš. Nekatere izbire odražajo to, kar doživljamo v resničnem svetu, kot so aksiomi geometrije, s katerimi delamo, ki so izbrani, ker se zdi, da je približno takšna, kot je resničnost - čeprav tudi tam ne obstaja "točka" ali " črta« (ker ne moremo narisati nečesa, kar ne zaseda prostora, črta v geometriji pa nima širine in sega neskončno daleč).

Do neke mere obstajajo vzporednice s tem kontinuumom v literaturi. Ko določite pravila soneta, boste težko napisali takšnega, katerega prva vrstica se konča z "pomaranča" ali "dimnik".

Ampak ne morem se upreti, da ne bi delil nečesa J.R.R. Tolkien je rekel o pisanju Hobbit: »Vse se je začelo, ko sem bral izpitne pole, da bi zaslužil nekaj dodatnega denarja. … No, nekega dne sem prišel do prazne strani v izpitni knjižici in sem počečkal nanjo. »V luknji v zemlji je živel hobit.« O teh bitjih nisem vedel nič več kot to, in minila so leta, preden je njegova zgodba zrasla. Ne vem, od kod je prišla beseda."

Hobiti — jih je on ustvaril ali odkril?