หนึ่งศตวรรษต่อมา คณิตศาสตร์ใหม่ทำให้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปราบรื่นขึ้น | นิตยสารควอนต้า

ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ประสบความสำเร็จอย่างมากในการอธิบายว่าแรงโน้มถ่วงทำงานอย่างไร และแรงโน้มถ่วงกำหนดรูปร่างโครงสร้างขนาดใหญ่ของจักรวาลอย่างไร สรุปไว้ในคำพูดของนักฟิสิกส์ จอห์น วีลเลอร์: “กาล-อวกาศบอกสิ่งสำคัญว่าจะเคลื่อนไหวอย่างไร สสารบอกกาลอวกาศว่าโค้งอย่างไร” แต่คณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปก็ยังขัดกับสัญชาตญาณอย่างลึกซึ้งเช่นกัน

เนื่องจากสมการพื้นฐานของมันซับซ้อนมาก แม้แต่ข้อความที่ฟังดูง่ายที่สุดก็ยังพิสูจน์ได้ยาก ตัวอย่างเช่น จนกระทั่งประมาณปี 1980 นักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ในฐานะส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทหลักในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ว่าระบบทางกายภาพหรืออวกาศที่แยกเดี่ยวหรืออวกาศที่ไม่มีมวลใดๆ จะต้องแบนราบ

สิ่งนี้ทำให้คำถามที่ว่าอวกาศนั้นเกือบจะเป็นสุญญากาศจะมีหน้าตาเป็นอย่างไรและมีมวลเพียงเล็กน้อยก็ไม่ได้รับการแก้ไข มันจำเป็นต้องเกือบจะแบนเหรอ?

แม้ว่าอาจดูชัดเจนว่ามวลน้อยจะนำไปสู่ความโค้งที่เล็กลง แต่สิ่งต่างๆ ไม่ได้ถูกตัดขาดและแห้งเสียนักเมื่อพูดถึงทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ตามทฤษฎีแล้ว ความเข้มข้นที่หนาแน่นของสสารสามารถ "บิดเบี้ยว" ส่วนหนึ่งของอวกาศ ทำให้มันโค้งงออย่างมาก ในบางกรณี ความโค้งนี้อาจรุนแรงจนอาจนำไปสู่การก่อตัวของหลุมดำได้ สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นได้แม้ในพื้นที่ที่มีสสารจำนวนน้อย หากมีความเข้มข้นเพียงพอ

ในล่าสุด กระดาษ, คองฮันดงนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาจากมหาวิทยาลัย Stony Brook และ แอนทอนซองผู้ช่วยศาสตราจารย์ที่สถาบันเทคโนโลยีแคลิฟอร์เนีย ได้พิสูจน์ว่าลำดับของช่องว่างโค้งที่มีมวลน้อยและน้อยลงจะมาบรรจบกันเป็นพื้นที่ราบที่มีความโค้งเป็นศูนย์ในที่สุด

ผลลัพธ์นี้เป็นความก้าวหน้าที่น่าสังเกตในการสำรวจทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ซึ่งเป็นการแสวงหาผลประโยชน์ที่ยังคงจ่ายเงินปันผลมานานกว่าศตวรรษหลังจากที่ไอน์สไตน์คิดค้นทฤษฎีของเขา แดน ลีนักคณิตศาสตร์จากวิทยาลัยควีนส์ซึ่งศึกษาคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแต่ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการวิจัยนี้ กล่าวว่าข้อพิสูจน์ของตงและซ่งสะท้อนความเข้าใจอย่างลึกซึ้งว่าความโค้งและมวลมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร

สิ่งที่พวกเขาพิสูจน์แล้ว

การพิสูจน์โดยดงและซ่งเกี่ยวข้องกับปริภูมิสามมิติ แต่ก่อนอื่นให้พิจารณาตัวอย่างสองมิติเพื่อประกอบเป็นภาพประกอบ ลองนึกภาพพื้นที่ราบที่ไม่มีมวลเหมือนกระดาษแผ่นเรียบธรรมดา ในกรณีนี้ พื้นที่ที่มีมวลน้อยอาจดูคล้ายกันเมื่อมองจากระยะไกล กล่าวคือ ส่วนใหญ่จะราบเรียบ อย่างไรก็ตาม การตรวจสอบอย่างใกล้ชิดอาจเผยให้เห็นหนามแหลมคมหรือฟองสบู่โผล่ขึ้นมาตรงนี้และตรงนั้น ซึ่งเป็นผลมาจากการรวมกลุ่มของสสาร การโผล่ขึ้นมาแบบสุ่มเหล่านี้จะทำให้กระดาษมีลักษณะคล้ายกับสนามหญ้าที่ได้รับการดูแลอย่างดี โดยมีเห็ดหรือก้านโผล่ออกมาจากพื้นผิวเป็นครั้งคราว

ดงและซ่งพิสูจน์แล้ว การคาดเดา ที่ถูกคิดค้นขึ้นในปี 2001 โดยนักคณิตศาสตร์ แกร์ฮาร์ด ฮุสเกน และ ทอม อิลมาเนน. การคาดเดาระบุว่าเมื่อมวลของอวกาศเข้าใกล้ศูนย์ ความโค้งของมันก็ต้องเป็นเช่นนั้นด้วย อย่างไรก็ตาม Huisken และ Ilmanen ตระหนักดีว่าสถานการณ์นี้มีความซับซ้อนเนื่องจากมีฟองอากาศและหนามแหลม (ซึ่งมีความแตกต่างกันในทางคณิตศาสตร์) พวกเขาตั้งสมมติฐานว่าฟองอากาศและหนามแหลมสามารถตัดออกได้ในลักษณะที่พื้นที่ขอบเขตที่ทิ้งไว้บนพื้นผิวของช่องว่างโดยการตัดตอนแต่ละครั้งมีขนาดเล็ก พวกเขาเสนอแนะแต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าพื้นที่ที่เหลืออยู่หลังจากเอาส่วนที่ลำบากเหล่านี้ออกแล้วจะเกือบจะแบนราบ พวกเขายังไม่แน่ใจด้วยว่าควรทำการตัดเช่นนี้อย่างไร

“คำถามเหล่านี้เป็นเรื่องยาก และฉันไม่ได้คาดหวังว่าจะได้เห็นวิธีแก้ปัญหาของการคาดเดาของ Huisken-Ilmanen” ลีกล่าว

หัวใจของการคาดเดาคือการวัดความโค้ง อวกาศสามารถโค้งงอได้หลายวิธี จำนวนต่างกัน และทิศทางต่างกัน เช่น อาน (ในสองมิติ) ที่โค้งขึ้นไปข้างหน้าและข้างหลัง แต่ลงไปทางซ้ายและขวา ดงและซ่งเพิกเฉยต่อรายละเอียดเหล่านั้น พวกเขาใช้แนวคิดที่เรียกว่าความโค้งสเกลาร์ ซึ่งแสดงถึงความโค้งเป็นตัวเลขเดียวที่สรุปความโค้งทั้งหมดในทุกทิศทาง

งานใหม่ของดงและซองกล่าวว่า แดเนียลสเติร์น ของมหาวิทยาลัย Cornell คือ "หนึ่งในผลลัพธ์ที่แข็งแกร่งที่สุดที่เรามีจนถึงตอนนี้ ซึ่งแสดงให้เราเห็นว่าความโค้งสเกลาร์ควบคุมเรขาคณิต [the]" ของอวกาศโดยรวมอย่างไร บทความของพวกเขาแสดงให้เห็นว่า “ถ้าเรามีความโค้งแบบสเกลาร์ที่ไม่เป็นลบและมีมวลน้อย เราก็จะเข้าใจโครงสร้างของอวกาศได้เป็นอย่างดี”

หลักฐาน

การคาดเดาแบบฮุสเคิน-อิลมาเนนเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของปริภูมิที่มีมวลลดลงอย่างต่อเนื่อง โดยกำหนดวิธีการเฉพาะในการบอกว่าพื้นที่ที่มีมวลน้อยอยู่ใกล้พื้นที่เรียบเพียงใด การวัดนั้นเรียกว่าระยะทาง Gromov-Hausdorff ซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ มิคาเอล กรอมอฟ และเฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟ การคำนวณระยะทาง Gromov-Hausdorff เป็นกระบวนการสองขั้นตอน

ขั้นตอนแรกคือการหาระยะทางเฮาส์ดอร์ฟ สมมติว่าคุณมีวงกลมสองวง A และ B เริ่มจากจุดใดก็ได้บน A แล้วหาว่าห่างจากจุดที่ใกล้ที่สุดบน B แค่ไหน

ทำซ้ำทุกๆ จุดบน A ระยะทางที่ใหญ่ที่สุดที่คุณพบคือระยะเฮาส์ดอร์ฟฟ์ระหว่างวงกลม

เมื่อคุณได้ระยะทางเฮาส์ดอร์ฟแล้ว คุณสามารถคำนวณระยะทางกรอมอฟ-เฮาส์ดอร์ฟได้ ในการทำเช่นนั้น ให้วางวัตถุของคุณในพื้นที่ที่ใหญ่กว่าเพื่อลดระยะห่างระหว่างเฮาส์ดอร์ฟระหว่างวัตถุเหล่านั้น ในกรณีของวงกลมสองวงที่เหมือนกัน เนื่องจากคุณสามารถวางวงกลมทั้งสองวงซ้อนกันได้ ระยะห่างของกรอมอฟ-เฮาส์ดอร์ฟระหว่างวงกลมทั้งสองจึงเป็นศูนย์ วัตถุที่มีรูปทรงเหมือนกันทางเรขาคณิตเช่นนี้เรียกว่า “มีมิติเท่ากัน”

แน่นอนว่าการวัดระยะทางจะยากขึ้น เมื่อวัตถุหรือช่องว่างที่เปรียบเทียบเหมือนกันแต่ไม่เหมือนกัน ระยะห่างกรอมอฟ-เฮาสดอร์ฟให้การวัดที่แม่นยำของความเหมือน (หรือความแตกต่าง) ระหว่างรูปร่างของวัตถุสองชิ้นที่เริ่มแรกอยู่ในช่องว่างที่ต่างกัน “ระยะทางกรอมอฟ-เฮาสดอร์ฟเป็นหนึ่งในวิธีที่ดีที่สุดในการบอกว่าช่องว่างทั้งสองเกือบจะมีมิติเท่ากัน และมันให้ตัวเลขที่ 'เกือบ'” สเติร์นกล่าว

ก่อนที่ดงและซ่งจะเปรียบเทียบระหว่างพื้นที่ที่มีมวลน้อยกับพื้นที่ที่แบนราบได้อย่างสมบูรณ์ พวกเขาต้องตัดส่วนที่ยื่นออกมาที่น่ารำคาญออกไป นั่นคือส่วนที่ยื่นออกมาแคบๆ ที่สสารอัดแน่นและแม้แต่ฟองที่หนาแน่นกว่าซึ่งอาจเป็นที่ซ่อนของหลุมดำเล็กๆ “เราตัดพวกมันเพื่อให้พื้นที่ขอบเขต [ที่ทำชิ้นนั้น] มีขนาดเล็ก” Song กล่าว “และเราแสดงให้เห็นว่าพื้นที่นั้นเล็กลงเมื่อมวลลดลง”

แม้ว่ากลยุทธ์ดังกล่าวอาจฟังดูเหมือนเป็นการโกง แต่สเติร์นกล่าวว่าอนุญาตให้พิสูจน์การคาดเดาได้ว่าจะทำการประมวลผลล่วงหน้าโดยการตัดฟองอากาศและหนามแหลมออกซึ่งพื้นที่จะหดตัวลงเหลือศูนย์เมื่อมวลลดลง

ในฐานะตัวแทนสำหรับพื้นที่ที่มีมวลน้อย เขาแนะนำว่า เราอาจจินตนาการถึงกระดาษที่ยับยู่ยี่ซึ่งหลังจากเรียบออกอีกครั้งแล้ว ก็ยังมีรอยพับและรอยพับที่แหลมคมอยู่ คุณสามารถใช้การเจาะรูเพื่อขจัดสิ่งผิดปกติที่โดดเด่นที่สุด โดยเหลือกระดาษที่ไม่เรียบเล็กน้อยไว้และมีรูอยู่บ้าง เมื่อขนาดของรูเหล่านั้นลดลง ภูมิประเทศของกระดาษก็จะไม่สม่ำเสมอเช่นกัน เมื่อถึงขีดจำกัด คุณอาจพูดได้ว่ารูจะหดตัวลงจนเหลือศูนย์ เนินดินและสันเขาจะหายไป และคุณก็จะเหลือกระดาษแผ่นเดียวที่เรียบสม่ำเสมอกัน ซึ่งถือเป็นของแท้สำหรับพื้นที่เรียบ

นั่นคือสิ่งที่ดงและซ่งพยายามพิสูจน์ ขั้นตอนต่อไปคือการดูว่าช่องว่างที่ถูกละเลยเหล่านี้ซึ่งถูกตัดขาดจากลักษณะคร่าวๆ นั้น ซ้อนกันอย่างไรกับมาตรฐานความเรียบที่สุด กลยุทธ์ที่พวกเขาดำเนินการได้ใช้แผนที่ชนิดพิเศษ ซึ่งเป็นวิธีการเปรียบเทียบสองช่องว่างโดยการเชื่อมโยงจุดต่างๆ ในช่องว่างหนึ่งกับจุดในอีกจุดหนึ่ง แผนที่ที่พวกเขาใช้ได้รับการพัฒนาใน กระดาษ เขียนโดยสเติร์นและเพื่อนร่วมงานสามคน ได้แก่ Hubert Bray, Demetre Kazaras และ Marcus Khuri ขั้นตอนนี้สามารถบอกได้อย่างแน่ชัดว่าช่องว่างสองช่องอยู่ใกล้กันเพียงใด

เพื่อให้งานของพวกเขาง่ายขึ้น ดงและซองได้นำเคล็ดลับทางคณิตศาสตร์อีกอย่างหนึ่งจากสเติร์นและผู้เขียนร่วมของเขามาใช้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าพื้นที่สามมิติสามารถแบ่งออกเป็นชิ้นสองมิติจำนวนอนันต์ที่เรียกว่าชุดระดับได้มากเท่ากับไข่ต้มสุกสามารถ แบ่งเป็นแผ่นแคบ ๆ โดยใช้ลวดตึงของเครื่องหั่นไข่

ชุดระดับจะสืบทอดความโค้งของพื้นที่สามมิติที่ประกอบด้วย ด้วยการมุ่งความสนใจไปที่ฉากระดับมากกว่าพื้นที่สามมิติที่ใหญ่กว่า Dong และ Song สามารถลดมิติของปัญหาจากสามเหลือสองได้ ซ่งกล่าวซึ่งเป็นประโยชน์มาก เพราะ “เรารู้มากเกี่ยวกับวัตถุสองมิติ … และเรามีเครื่องมือมากมายให้ศึกษาพวกมัน”

หากพวกเขาสามารถแสดงให้เห็นได้สำเร็จว่าฉากแต่ละระดับนั้น "ค่อนข้างแบน" Song กล่าว สิ่งนี้จะช่วยให้พวกเขาบรรลุเป้าหมายโดยรวมในการแสดงให้เห็นว่าพื้นที่สามมิติที่มีมวลน้อยนั้นใกล้กับพื้นที่ราบ โชคดีที่กลยุทธ์นี้หลุดออกไป

ขั้นตอนถัดไป

เมื่อมองไปข้างหน้า ซ่งกล่าวว่าหนึ่งในความท้าทายถัดไปของสาขานี้คือการทำให้การพิสูจน์มีความชัดเจนมากขึ้น โดยการวางขั้นตอนที่แม่นยำในการกำจัดฟองอากาศและหนามแหลม และอธิบายบริเวณที่ถูกตัดออกได้ดีขึ้น แต่สำหรับตอนนี้ เขายอมรับว่า "เราไม่มีกลยุทธ์ที่ชัดเจนในการบรรลุเป้าหมายนั้น"

 อีกหนทางหนึ่งที่มีแนวโน้มดี Song กล่าวว่าจะเป็นการสำรวจ การคาดเดาที่แยกจากกัน ที่ได้รับการกำหนดขึ้นในปี 2011 โดย Lee และ คริสตินา ซอร์มานีเป็นนักคณิตศาสตร์จาก City University of New York การคาดเดาของลี-ซอร์มานีถามคำถามเดียวกันกับคำถามของฮุสเกนและอิลมาเนน แต่อาศัยวิธีการวัดความแตกต่างระหว่างรูปร่างที่แตกต่างกัน แทนที่จะพิจารณาระยะห่างสูงสุดระหว่างรูปทรงทั้งสอง เหมือนกับที่ระยะห่างของกรอมอฟ-เฮาส์ดอร์ฟฟ์ทำ วิธีของลี-ซอร์มานีถามเกี่ยวกับ ปริมาณของพื้นที่ ระหว่างพวกเขา. ยิ่งปริมาตรน้อยเท่าไรก็ยิ่งอยู่ใกล้มากขึ้นเท่านั้น

ในขณะเดียวกัน Song หวังที่จะพิจารณาคำถามพื้นฐานเกี่ยวกับความโค้งของสเกลาร์ที่ไม่ได้รับแรงบันดาลใจจากฟิสิกส์ “ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป” เขากล่าว “เราจัดการกับปริภูมิพิเศษมากซึ่งแทบจะแบนราบที่อนันต์ แต่ในเรขาคณิตเราสนใจปริภูมิทุกประเภท”

“มีความหวังว่าเทคนิคเหล่านี้อาจมีคุณค่าในสภาพแวดล้อมอื่นๆ” ที่ไม่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป สเติร์นกล่าว “มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกันมากมาย” เขากล่าว ซึ่งกำลังรอการสำรวจ

ควอนตั้ม กำลังดำเนินการสำรวจชุดต่างๆ เพื่อให้บริการผู้ชมของเราได้ดียิ่งขึ้น เอาของเรา แบบสำรวจผู้อ่านคณิตศาสตร์ และคุณจะถูกป้อนเพื่อรับรางวัลฟรี ควอนตั้ม merch