นักคณิตศาสตร์เต้นรำระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิต

เช่นเดียวกับหลาย ๆ คนที่จะกลายเป็นนักคณิตศาสตร์ เว่ย โฮ เติบโตขึ้นมาในการแข่งขันคณิตศาสตร์ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ XNUMX เธอชนะการแข่งขันระดับรัฐของ Mathcounts ในรัฐวิสคอนซิน และทีมของเธอได้อันดับสามในระดับประเทศ

ซึ่งแตกต่างจากนักคณิตศาสตร์ในอนาคตหลายคน เธอไม่แน่ใจว่าเธอเคยต้องการที่จะเป็นหรือไม่

“ผมอยากทำทุกอย่างตลอดเวลา” โฮกล่าว “ฉันเรียนบัลเลต์อย่างจริงจังจนถึงมัธยมต้น ฉันแก้ไขนิตยสารวรรณกรรม ฉันอภิปรายและนิติเวช ฉันเล่นเทนนิส ฟุตบอล เปียโนและไวโอลิน” ในทางตรงข้าม นักคณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จหลายคนดูเหมือนจะหมกมุ่นกับคณิตศาสตร์จนมองข้ามสิ่งอื่นๆ ไปทั้งหมด เธอซึ่งเป็นบุคคลที่มีความหลงใหลมากมายสามารถแข่งขันกับระดับความสนใจนั้นได้อย่างไร?

ในที่สุดโฮก็สนใจวิชาคณิตศาสตร์ เธอยังคงสนุกกับการเต้นบัลเลต์ อ่านนวนิยาย และไขปริศนาอักษรไขว้ที่ลึกลับ แม้ว่าเธอจะช่วยสร้างกลไกทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่ซึ่งเป็นรากฐานของวัตถุทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน เช่น สมการพหุนาม ซึ่งมีคำถามเปิดที่ค้างคามายาวนานและน่าฉงนที่เกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านี้

โฮศึกษาวัตถุทางเรขาคณิตที่คุ้นเคย แต่เธอจัดรูปแบบคำถามใหม่เพื่อให้อยู่ในขอบเขตของจำนวนตรรกยะ ซึ่งเป็นตัวเลขที่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ “จากนั้นทฤษฎีจำนวนก็เริ่มผสมผสานเข้ากับสิ่งเหล่านี้ทั้งหมด” เธอกล่าว

เธอสนใจเป็นพิเศษเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรี ซึ่งกำหนดโดยสมการพหุนามชนิดหนึ่งที่มีการนำไปใช้ในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ เส้นโค้งวงรีปรากฏในการวิเคราะห์ พูดกว้างๆ คือการศึกษาสิ่งต่อเนื่อง เช่น จำนวนจริง และในพีชคณิตซึ่งเกี่ยวกับการค้นหาและกำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ (แม้ว่าจุดเน้นของพวกเขาจะแตกต่างกัน แต่การวิเคราะห์และพีชคณิตถูกแบ่งตามความรู้สึกมากกว่าขอบเขตที่เข้มงวด เนื่องจากมีความทับซ้อนกันมากมาย)

Ho และผู้ทำงานร่วมกันของเธอในเอกสารเตรียมการทำลายสิ่งกีดขวางที่เผยแพร่ในปี 2018 เลเวนท์ อัลโปเก้ ของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ค้นพบขอบเขตบนใหม่ สำหรับจำนวนของผลเฉลยจำนวนเต็มของพหุนามที่กำหนดเส้นโค้งวงรี เทคนิคของพวกเขาดึงเอางานอายุหลายสิบปีของ Louis Mordell นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันที่อพยพไปอังกฤษในปี 1906 ในบทความของพวกเขา Ho และ Alpöge สามารถรวบรวมข้อมูลใหม่เกี่ยวกับการแจกแจงของผลเฉลยจำนวนเต็มเหล่านี้ที่หลบเลี่ยงทีมอื่นที่ศึกษาคล้ายกัน ปัญหา.

โฮกำลังใช้เวลาทั้งปี (ลาจากตำแหน่งอาจารย์ที่มหาวิทยาลัยมิชิแกน) เป็นศาสตราจารย์รับเชิญที่สถาบันเพื่อการศึกษาขั้นสูง ซึ่งเธอเพิ่งได้รับการเสนอชื่อให้เป็นผู้อำนวยการคนแรกของโปรแกรม Women and Mathematics ของ IAS เธอยังเป็นเพื่อนร่วมงานของ American Mathematical Society ในปี 2023 และเป็นนักวิชาการวิจัยที่ Princeton University

เธอหวังว่าการกำกับโครงการ Women and Mathematics จะ “อย่างน้อยก็ช่วยชุมชนได้มากขึ้น ช่วยผู้คนมากขึ้น แทนที่จะเป็นเพียงแค่ฉันในที่ทำงานที่ทำวิจัยทางคณิตศาสตร์ด้วยตัวเองหรือกับผู้ทำงานร่วมกัน” เธอกล่าว “ฉันสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทได้ และบางทีสักวันหนึ่งฉันสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ในอีก 100 ปีข้างหน้าจะมีความสำคัญ อาจจะอาจจะไม่. แต่ฉันรู้สึกว่าฉันสร้างผลกระทบให้กับโลกหรือคนรอบข้างได้ไม่เพียงพอ”

ควอนตั้ม พูดคุยกับ Ho ในการประชุมทางวิดีโอหลายชุด บทสัมภาษณ์ได้รับการย่อและแก้ไขเพื่อความชัดเจน

คุณจะอธิบายวิธีที่คุณทำคณิตศาสตร์ว่าอย่างไร?

บางครั้งนักคณิตศาสตร์แบ่งตัวเราออกเป็นพวกเกี่ยวกับพีชคณิตและนักวิเคราะห์ คณิตศาสตร์ที่ฉันสัมผัสทั้งสองด้าน แต่ใจจริงแล้ว ฉันเป็นนักพีชคณิต แม้ว่าฉันจะคิดแบบเรขาคณิตก็ตาม ฉันมักจะมองว่าพีชคณิตและเรขาคณิตเป็นสิ่งเดียวกัน

นั่นไม่ถูกต้องเสียทีเดียว แต่โดยพื้นฐานแล้วตั้งแต่งานของ Descartes และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในศตวรรษที่แล้ว ทั้งสองเรื่องก็สนิทกันมาก มีพจนานุกรมที่ค่อนข้างแม่นยำซึ่งสามารถช่วยแปลภาพเรขาคณิตเป็นผลทางพีชคณิตได้ในบางสถานการณ์

ในกรณีของฉันเอง รูปภาพเรขาคณิตมักจะช่วยกำหนดข้อความและการคาดเดาและให้สัญชาตญาณ แต่จากนั้นเราจะแปลเป็นพีชคณิตเมื่อเขียน ตรวจหาข้อผิดพลาดได้ง่ายกว่า เนื่องจากโดยทั่วไปพีชคณิตจะเข้มงวดกว่า นอกจากนี้ยังสามารถใช้พีชคณิตได้ง่ายขึ้นเมื่อเรขาคณิตยากเกินไปที่จะมองเห็น

แนวคิดใดที่คุณมุ่งเน้นในงานล่าสุดของคุณ

งานของฉันค่อนข้างจะเกี่ยวข้องกับเส้นโค้งวงรี ซึ่งเป็นวัตถุตามธรรมชาติในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเลขคณิต

มันควรจะเป็นเรื่องยากที่จะมีคำตอบของสมการจำนวนเต็มเช่นนี้ เราคาดว่าโดยพื้นฐานแล้ว เส้นโค้งเกือบทั้งหมดไม่ควรมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม แต่มันยากมากที่จะพิสูจน์ว่า

เลเวนท์กับฉันศึกษาการกระจายของจำนวนจุดอินทิกรัล เราใช้โครงสร้างแบบคลาสสิกจากหนังสือของ Mordell ในปี 1969 สมการไดโอแฟนไทน์. เราสามารถกำหนดขอบเขตบนของจำนวนจุดอินทิกรัลบนเส้นโค้งวงรีได้ คนอื่นได้ให้ขอบเขตบน เราพบขอบเขตที่แตกต่างกันซึ่งง่ายต่อการระบุ

ผลงานก่อนหน้านี้ของ Mordell มีบทบาทอย่างไรในผลงานล่าสุดของคุณ

คำถามของเราเกี่ยวข้องกับจุดอินทิกรัลบนเส้นโค้งวงรี Mordell มีวิธีเชื่อมโยงมันเข้ากับสิ่งอื่นที่เราสามารถศึกษาได้

นั่นคือสิ่งที่เราทำตลอดเวลาในวิชาคณิตศาสตร์: เราต้องการเข้าใจวัตถุ แต่เราต้องหาตัวแทนเพื่อทำความเข้าใจ บางครั้งพร็อกซีนั้นแม่นยำมาก บางครั้งก็สูญเสียข้อมูล แต่เป็นสิ่งที่เราสามารถเข้าถึงได้จริงๆ

เมื่อไหร่ที่คุณตัดสินใจที่จะเน้นคณิตศาสตร์?

ฉันไม่คิดว่าจะมีจุดเปลี่ยนสำหรับฉัน ตอนนี้ฉันมีความสุขกับชีวิตและอาชีพการงานของฉัน แต่ฉันรู้สึกว่าถ้าสิ่งต่าง ๆ เปลี่ยนไปเล็กน้อย ฉันคงมีความสุขในอาชีพต่าง ๆ หรือสาขาอื่น ๆ นั่นอาจเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่พูด เพราะพวกเขาชอบที่จะพูดถึงความหลงใหลในคณิตศาสตร์และวิธีที่พวกเขาไม่เคยคิดถึงเรื่องอื่นเลย สำหรับผม ผมว่าไม่จริง

ฉันอยากรู้เกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ มากมาย บางทีฉันลงเอยด้วยการเป็นนักคณิตศาสตร์เพราะฉันรู้สึกผิดหวังกับการขาดความเข้มงวดในสาขาอื่นๆ ตอนเป็นเด็ก ฉันถูกฝึกให้คิดแบบนักคณิตศาสตร์ เพราะนั่นเป็นวิธีที่เราทำที่บ้าน พ่อของฉันเล่นเกมคณิตศาสตร์กับฉัน ซึ่งหมายความว่าฉันกำลังเรียนรู้การใช้เหตุผลเชิงตรรกะตั้งแต่ยังเด็ก ฉันต้องการให้สิ่งต่าง ๆ ได้รับการพิสูจน์

แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ดี

ทำไม?

ตอนที่ฉันยังเด็กฉันไม่รู้ว่านักคณิตศาสตร์หลายคนที่เป็นเหมือนฉันในรูปแบบต่างๆ เราโยนคำเหล่านี้เกี่ยวกับแบบอย่าง ไม่ใช่แค่ว่าฉันไม่เห็นผู้หญิงหรือผู้หญิงอเมริกันเอเชียมากพอ

ฉันหมายความว่าฉันไม่เห็นคนจำนวนมากที่หลงใหลในสิ่งอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ นั่นทำให้ฉันสงสัยตัวเองมาก ฉันจะประสบความสำเร็จในวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างไร หากฉันไม่ได้ใช้เวลาทั้งหมด 100% ในการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ นั่นคือสิ่งที่ฉันเห็นรอบตัวฉัน ฉันมีความรู้สึกว่าคนอื่นๆ เข้าใกล้คณิตศาสตร์แตกต่างจากฉัน เพื่อนๆ ของฉัน และคนที่อายุมากกว่าฉัน ฉันคิดว่ามันยากที่จะประกอบอาชีพที่ฉันจะไม่เป็นเช่นนั้น ฉันจะมีความสนใจอื่น

แง่มุมของมนุษย์เป็นสิ่งที่ฉันไม่เห็นคนอื่นสนใจมากนัก ฉันกลัวว่าส่วนหนึ่งของฉันจะทำให้ฉันไม่เก่งในการเป็นนักคณิตศาสตร์

คุณเพิ่งได้รับเลือกให้เป็นผู้อำนวยการโครงการ Women and Mathematics ของ IAS โปรแกรมนั้นเสนออะไรให้กับนักคณิตศาสตร์หญิง?

เป็นเวิร์กช็อประยะยาวหนึ่งสัปดาห์สำหรับผู้หญิงในช่วงอาชีพต่างๆ รวมถึงสตรีระดับปริญญาตรี นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา ปริญญาเอก และคณาจารย์ระดับจูเนียร์และอาวุโส เป็นการเรียนรู้คณิตศาสตร์ในสภาพแวดล้อมที่สนับสนุน

นักศึกษาระดับปริญญาตรีที่อาจไม่ทราบว่าพวกเขาต้องการเรียนวิชาคณิตศาสตร์กำลังพบปะกับนักคณิตศาสตร์อาวุโสและได้รับการให้คำปรึกษาตลอดทาง พวกเขาสามารถเห็นผู้คนมากมายในช่วงอาชีพที่แตกต่างกันและพูดคุยกับผู้คนเกี่ยวกับประสบการณ์ของพวกเขา ฉันไม่คิดว่าจะมีโปรแกรมอื่น ๆ อีกมากมายที่มีช่วงทั้งหมดและมุ่งเน้นไปที่ฟิลด์ย่อยเฉพาะ

โปรแกรม 2023 เรียกว่า “รูปแบบในจำนวนเต็ม” มันจะมีผู้คนจำนวนมากในทฤษฎีการบวกเชิงบวกและการวิเคราะห์จำนวน เรานำผู้คนจากเส้นทางอาชีพที่แตกต่างกันมาพบปะกัน

สำหรับนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่มีอายุมากกว่าที่ทำงานในด้านนี้อยู่แล้ว พวกเขากำลังพบปะกับ postdocs คณาจารย์รุ่นเยาว์และรุ่นอาวุโสในสาขาของตน และได้รับโอกาสทำงานร่วมกับพวกเขาเป็นเวลาหนึ่งสัปดาห์

คุณยังมีส่วนร่วมใน โครงการสแต็คซึ่งเป็นแหล่งข้อมูลออนไลน์ที่กว้างขวาง มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับมัน?

ปริมาณที่แท้จริงและการเข้าถึงของมัน มันใหญ่มาก - มากกว่า 7,500 หน้าถ้าคุณพิมพ์ออกมา - โครงการความร่วมมือทางออนไลน์ แต่ในความเป็นจริง [นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยโคลัมเบีย] ไอเซ่ โยฮัน เดอ ยอง เขียนเกือบทั้งหมด เป็นทรัพยากรที่เข้มงวดและเขียนอย่างระมัดระวังสำหรับ geometers เกี่ยวกับพีชคณิต เป็นสิ่งที่น่าอัศจรรย์ที่เขาทำเพื่อชุมชน

ทุกสัปดาห์หรือสองสัปดาห์ก็จะเติบโตขึ้น เป็นข้อมูลอ้างอิงที่เชื่อถือได้สำหรับเกือบทุกอย่าง เนื้อหาครอบคลุมเรขาคณิตเชิงพีชคณิตจำนวนมากซึ่งคุณจะต้องหาหนังสือเรียนกว่า 20 เล่ม

มันอยู่ในความรู้สึกที่ว่าสิ่งต่าง ๆ สามารถเพิ่มและแก้ไขได้ หากมีข้อผิดพลาดจะถูกจับได้

อีกสิ่งหนึ่งที่น่าสนใจคือระบบแท็ก แม้ว่าเอกสารนี้จะเติบโตอย่างต่อเนื่อง แต่คุณยังคงอ้างอิงแท็กใดแท็กหนึ่งได้ตลอดไป มีแท็กถาวรมากกว่า 21,000 แท็กสำหรับผลลัพธ์เฉพาะที่คุณอาจต้องการอ้างอิง Pieter Belmans สร้างส่วนหลังทั้งหมด ซึ่งใช้ในโครงการอื่นๆ เช่นกัน คนอื่นได้ปรับเทคโนโลยีของมัน

ปัญหาคือ — และโยฮันรู้เรื่องนี้ — ในที่สุดเขาก็ไม่สามารถเขียนสิ่งนี้ต่อไปได้ สักวันหนึ่งถ้าเราต้องการให้สิ่งนี้ดำเนินต่อไป จะต้องมีผู้อื่นเข้ามามีส่วนร่วมมากขึ้น

เวิร์กช็อปของคุณมีบทบาทอย่างไรในโครงการ Stacks

ประเด็นคือการเริ่มให้คนที่อายุน้อยกว่าเข้ามามีส่วนร่วม เรากำลังให้พวกเขาเขียนบิตและชิ้นส่วนที่อาจรวมอยู่ในนั้นในที่สุด มีความตึงเครียดอยู่บ้าง เนื่องจากเพื่อให้เว็บไซต์ยังคงถูกต้องและมีคุณภาพสูงในฐานะทรัพยากร จำเป็นต้องได้รับการดูแลอย่างระมัดระวัง ดังนั้น Johan ยังคงต้องทำงานอีกมากในการใส่สิ่งต่างๆลงไป มันไม่เหมือนกับวิกิพีเดียที่ใครๆ ก็แตะต้องได้ น่าเสียดายเล็กน้อย แต่ต้องเกิดขึ้นหากคุณต้องการให้สิ่งนี้ใช้งานได้

เรากำลังพยายามหาวิธีที่จะดึงผู้คนเข้ามามีส่วนร่วมในโครงการ Stacks มากขึ้นอย่างช้าๆ เรากำลังนำผู้ให้คำปรึกษามาทำงานในโครงการกับนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาและ postdocs พวกเขาเรียนรู้เรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต จากนั้นพวกเขาก็เขียนบางอย่างขึ้น

We เผยแพร่เพียง ปริมาณที่มีบทความชี้แจงมากมายที่เราหวังว่าจะเข้าสู่โครงการ Stacks ในที่สุด

โครงการ Stacks สามารถดำเนินต่อไปได้อย่างมีประสิทธิภาพเป็นเวลาหลายร้อยปีหากมีคนเข้ามามีส่วนร่วมมากพอและดำเนินต่อไป