หอคอยแห่งการคาดเดาที่วางอยู่บนเข็ม | นิตยสารควอนต้า

ในทางคณิตศาสตร์ ปัญหาง่ายๆ มักไม่เป็นไปตามที่เห็น เมื่อช่วงต้นฤดูร้อนนี้ ควอนตั้ม รายงานเกี่ยวกับปัญหาดังกล่าวอย่างหนึ่ง: พื้นที่ที่เล็กที่สุดที่คุณสามารถกวาดออกไปได้ในขณะที่หมุนเข็มที่บางไม่สิ้นสุดในทุกทิศทางที่เป็นไปได้คืออะไร? หมุนไปรอบๆ จุดศูนย์กลางเหมือนแป้นหมุน แล้วคุณจะได้วงกลม แต่หมุนอย่างชาญฉลาดยิ่งขึ้น และคุณสามารถครอบคลุมพื้นที่ส่วนเล็กๆ ได้ตามใจชอบ หากคุณไม่ต้องการให้เข็มขยับต่อเนื่องเพียงครั้งเดียว แต่แทนที่จะแทงเข็มไปในทุกทิศทาง คุณก็สามารถสร้างการจัดเรียงเข็มที่ไม่ครอบคลุมพื้นที่ใดๆ ได้เลย

นักคณิตศาสตร์เรียกการจัดเรียงเหล่านี้ว่าเซตคาเคยะ แม้ว่าพวกเขาจะรู้ว่าชุดดังกล่าวอาจมีขนาดเล็กในแง่ของพื้นที่ (หรือปริมาตร หากคุณจัดเรียงเข็มในสามมิติขึ้นไป) พวกเขาเชื่อว่าชุดดังกล่าวจะต้องมีขนาดใหญ่เสมอหากวัดขนาดด้วยหน่วยเมตริกที่เรียกว่า Hausdorff มิติ.

นักคณิตศาสตร์ยังไม่ได้พิสูจน์ข้อความนี้ ซึ่งเรียกว่าการคาดเดาแบบคาเคยะ แต่ในขณะที่เห็นได้ชัดว่าเป็นคำถามง่ายๆ เกี่ยวกับเข็ม แต่ "เรขาคณิตของชุด Kakeya เหล่านี้สนับสนุนคำถามมากมายในสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย การวิเคราะห์ฮาร์มอนิก และด้านอื่นๆ" กล่าว โจนาธาน ฮิคแมน ของมหาวิทยาลัยเอดินเบอระ

การคาดเดาของ Kakeya อยู่ที่ฐานของลำดับชั้นของปัญหาหลักสามประการในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก ซึ่งเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาว่าฟังก์ชันสามารถแสดงเป็นผลรวมของฟังก์ชันคาบเช่นคลื่นไซน์ที่สั่นเป็นประจำได้อย่างไร

ขั้นตอนถัดไปในลำดับชั้นนั้นคือการคาดเดา "ข้อจำกัด" ถ้าเป็นจริง การคาดเดาของกะเคยะก็เป็นเช่นนั้น (นี่ก็หมายความว่า ถ้าการคาดเดาของ Kakeya กลายเป็นเท็จ การคาดเดาเกี่ยวกับข้อจำกัดจะไม่สามารถเป็นจริงได้) ในทางกลับกัน การคาดเดาเกี่ยวกับข้อจำกัดก็แสดงเป็นนัยโดยการคาดเดาของ Bochner-Riesz และที่ด้านบนสุดคือการคาดเดาที่ราบรื่นในท้องถิ่น

การคาดเดาสองข้อแรกเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของการแปลงฟูริเยร์ ซึ่งเป็นเทคนิคในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกสำหรับการคำนวณวิธีการแสดงฟังก์ชันเกือบทุกชนิดเป็นผลรวมของคลื่นไซน์ เป็นหนึ่งในเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังที่สุดสำหรับนักฟิสิกส์และวิศวกร การแปลงฟูริเยร์มีบทบาทสำคัญในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ การแสดงแนวคิดเชิงกลควอนตัม เช่น หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก และการวิเคราะห์และประมวลผลสัญญาณ ทำให้สิ่งต่างๆ เช่น โทรศัพท์มือถือสมัยใหม่เป็นไปได้

เนื่องจากแต่ละข้อความในลำดับชั้นบอกเป็นนัยถึงข้อความที่อยู่ด้านล่าง ถ้าการคาดเดาของคะเคยะเป็นเท็จ การคาดเดาอื่นๆ ก็ไม่เป็นจริง หอคอยทั้งหมดจะพังทลายลงมา “คุณสามารถสร้างตัวอย่างตอบโต้ของซุปเปอร์มอนสเตอร์ที่จะทำลายการคาดเดาได้มากมาย” ฮิคแมนกล่าว

ในทางกลับกัน การพิสูจน์การคาดเดาแบบคาเคยะว่าเป็นจริงไม่ได้หมายความถึงความจริงของการคาดเดาอื่นๆ เหล่านั้นโดยอัตโนมัติ แต่จะให้ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญแก่นักคณิตศาสตร์เกี่ยวกับวิธีการดำเนินการต่อ

ดังนั้น “เกือบครึ่งหนึ่งของชุมชนการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกที่ฉันรู้จักกำลังทำงานเกี่ยวกับเรื่องนี้และปัญหาที่เกี่ยวข้อง หรือเคยแก้ไขปัญหาเหล่านี้มาบ้างแล้ว” กล่าว เส้าหมิง กัว ของมหาวิทยาลัยวิสคอนซิน เมดิสัน

เมื่อเร็วๆ นี้ นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบด้วยความประหลาดใจว่าเทคนิคที่พวกเขาพัฒนาขึ้นเพื่อจัดการกับปัญหาเหล่านี้ ยังสามารถใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่สำคัญในสาขาทฤษฎีตัวเลขที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกันอีกด้วย “มันเป็นปรากฏการณ์ทั่วไปมากกว่าที่ผู้คนคิด” กัวกล่าว

เค้ก

เรื่องราวเริ่มต้นด้วยการแปลงฟูริเยร์ “คุณต้องการแยก [ฟังก์ชั่น] ออกเป็นชิ้นเล็กๆ วิเคราะห์ปฏิสัมพันธ์ของพวกเขา และเพิ่มกลับเข้าไปรวมกัน” กล่าว หยูเหมิง อู ของมหาวิทยาลัยเพนซิลวาเนีย สำหรับฟังก์ชันหนึ่งมิติ — เส้นโค้งที่คุณสามารถพล็อตบนกระดาษ — นักคณิตศาสตร์มีความเข้าใจที่ดีเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้ แม้ว่าจะต้องกลับการแปลงฟูริเยร์โดยใช้เพียงบางส่วนเท่านั้นก็ตาม

แต่ในสองมิติขึ้นไป สิ่งต่างๆ อาจยุ่งเหยิงได้

ใน 1971, ชาร์ลี เฟเฟอร์แมนนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน ค้นพบวิธีใช้ชุด Kakeya เพื่อแสดงให้เห็นว่าการกลับการแปลงฟูริเยร์สามารถนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แปลกและน่าประหลาดใจในหลายมิติ

นักคณิตศาสตร์พบวิธีแก้ไขในรูปแบบของการคาดเดาของบอชเนอร์-รีส ซึ่งกล่าวโดยพื้นฐานว่ามีวิธีที่ซับซ้อนกว่าในการกู้คืนฟังก์ชันดั้งเดิมที่ไม่พังทลายเหมือนตัวอย่างของเฟฟเฟอร์แมน แต่การแก้ไขนั้นขึ้นอยู่กับความจริงของการคาดเดาของคาเคยะ

หากเป็นจริง “การตัดทอนความถี่จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดเพียงเล็กน้อยเท่านั้น” กล่าว เบ็ตซี่ สโตวัล ของมหาวิทยาลัยวิสคอนซิน เมดิสัน “มันหมายความว่าข้อผิดพลาดเล็กๆ น้อยๆ จะไม่ระเบิด”

ดังนั้นลำดับชั้นจึงเริ่มต้นขึ้น ต่อมา นักคณิตศาสตร์ได้ค้นพบความเชื่อมโยงที่สำคัญอีกประการหนึ่ง: หากเป็นจริง การคาดเดาของบอชเนอร์-รีสซ์ยังบอกเป็นนัยถึงข้อความที่เรียกว่าการคาดเดาข้อจำกัดด้วย การคาดเดานี้ระบุว่าหากคุณเริ่มต้นด้วยการแปลงฟูริเยร์ในเวอร์ชันที่จำกัด — “จำกัด” ค่าที่คุณดูเฉพาะค่าที่อยู่บนพื้นผิวใดพื้นผิวหนึ่งเท่านั้น สิ่งนี้ยังสามารถให้ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับฟังก์ชันดั้งเดิมแก่คุณได้ และปรากฎว่าถ้าการคาดเดาข้อจำกัดเป็นจริง การคาดเดาคาเคยะก็เป็นเช่นนั้น (นี่เป็นการคาดเดาข้อจำกัดระหว่าง Kakeya และ Bochner-Riesz ในหอคอย)

ปัญหายอดในลำดับชั้น เรียกว่าการคาดเดาการปรับให้เรียบเฉพาะที่ ไม่ได้เกี่ยวข้องกับการแปลงฟูริเยร์โดยตรง แต่เป็นการจำกัดขนาดของคำตอบของสมการที่อธิบายพฤติกรรมของคลื่น

คุณสามารถคิดถึงสิ่งนี้ได้เช่นกัน ในแง่ของเรขาคณิตของเส้นในชุด Kakeya คุณสามารถแยกคำตอบทั่วไปของสมการคลื่นออกเป็นส่วนๆ ที่เคลื่อนที่ไปในทิศทางที่ต่างกัน และโต้ตอบกันด้วยวิธีที่ต่างกันเมื่อเวลาผ่านไป แต่ละชิ้นเหล่านั้นมีลักษณะทางคณิตศาสตร์คล้ายกับเข็มในชุดคาเคยะ การคาดเดาของ Kakeya ยืนยันว่าการกำหนดค่าดังกล่าวต้องไม่ทับซ้อนกันมากเกินไป ในบริบททางกายภาพนี้ การทับซ้อนกันจะสอดคล้องกับการคงอยู่ของพฤติกรรมที่ผิดปกติและไม่คาดคิดในโซลูชัน ตัวอย่างเช่น คลื่นเสียงสามารถขยายได้ในหลายภูมิภาคในเวลาที่ต่างกัน

การคาดเดาแบบเรียบในท้องถิ่นระบุว่าความผิดปกติดังกล่าวควรเป็นค่าเฉลี่ย “มันเหมือนกับการเอาค่าเฉลี่ยของตลาดการเงิน” กล่าว ชิปเรียน ดีมีเตอร์ ของมหาวิทยาลัยอินเดียนา บลูมิงตัน “อาจมีเหตุขัดข้องเกิดขึ้นบ้าง แต่หากคุณลงทุนเงินและเกษียณอายุในอีก 40 ปีข้างหน้า คุณก็มีโอกาสที่ดีที่คุณจะได้รับการลงทุนที่ดี”

แต่เช่นเดียวกับการคาดเดาทั้งหมดในลำดับชั้น นั่นขึ้นอยู่กับความจริงของการคาดเดาแบบคาเคยะ “แนวคิดก็คือ หากคุณตัดจุดตัดกันจำนวนมากในชุด Kakeya นั่นหมายความว่าคุณสามารถตัดทอนสถานการณ์เหล่านี้ที่ส่วนหนึ่งของโซลูชันของคุณสมคบคิดกันเพื่อสร้างการระเบิดบางประเภท” Stovall กล่าว

การคาดเดานี้เป็นสิ่งที่ยากที่สุดในกลุ่มนี้: แม้ว่ากรณีสองมิติของ Kakeya, ข้อจำกัด และปัญหา Bochner-Riesz ได้รับการแก้ไขเมื่อหลายสิบปีก่อน แต่การคาดเดาการปรับให้เรียบเฉพาะที่แบบสองมิติได้รับการพิสูจน์เมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมา (ในมิติที่สูงกว่า ปัญหาเหล่านี้ทั้งหมดยังคงเปิดอยู่)

แต่ถึงแม้จะมีความคืบหน้าช้าในการพิสูจน์การคาดเดาที่ราบรื่นในท้องถิ่น แต่การทำงานได้นำไปสู่ความก้าวหน้าอย่างมากในที่อื่น ในปี 1999 ขณะที่พยายามจัดการกับการคาดเดา นักคณิตศาสตร์ โธมัส วูล์ฟฟ์ ได้แนะนำวิธีการที่เรียกว่าการแยกส่วน ตั้งแต่นั้นมา เทคนิคดังกล่าวก็ได้ดำเนินไปในแนวทางของตัวเอง โดยได้ถูกนำมาใช้เพื่อสร้างความก้าวหน้าครั้งสำคัญ ไม่ใช่แค่ในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีจำนวน เรขาคณิต และด้านอื่นๆ ด้วย “เมื่อใช้ผลลัพธ์แบบแยกส่วน ตอนนี้คุณมีสถิติโลกในปัญหาที่สำคัญและโด่งดังมาก” กล่าว คริสโตเฟอร์ ซ็อกเก้ ของมหาวิทยาลัยจอห์น ฮอปกินส์ ซึ่งเป็นผู้คิดค้นแนวคิดเรื่องการปรับให้เรียบในท้องถิ่นขึ้นเป็นครั้งแรกในทศวรรษ 1990 ตัวอย่างเช่น การแยกส่วนถูกนำมาใช้เพื่อช่วยนับจำนวนเต็มที่สามารถแทนผลรวมของกำลังสอง ลูกบาศก์ หรือกำลังอื่นๆ ได้หลายวิธี

ดังที่ Demeter กล่าวไว้ ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นไปได้เพราะ “เราสามารถมองตัวเลขเป็นคลื่นได้” การที่ปัญหาเหล่านี้เชื่อมโยงกลับไปยังชุดเข็มของ Kakeya “ช่างน่าทึ่ง” เขากล่าวเสริม “คุณไม่คิดว่าความสวยงาม ความยากลำบาก และความสำคัญมากมายขนาดนี้สามารถซ่อนอยู่ในบางสิ่งที่สามารถกำหนดสูตรได้โดยใช้ส่วนของเส้นตรง”