การคาดเดาแบบเก่าทำให้ทรงกลมซับซ้อนมากขึ้น | นิตยสารควอนต้า

ในช่วงต้นเดือนมิถุนายน มีเสียงฮือฮาเกิดขึ้นในขณะที่นักคณิตศาสตร์เดินทางมาถึงสนามบินฮีทโธรว์ในลอนดอน จุดหมายปลายทางของพวกเขาคือมหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ดและก การประชุม เนื่องในโอกาสวันคล้ายวันเกิดปีที่ 65 ของ Michael Hopkinsนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดซึ่งเคยทำหน้าที่เป็นที่ปรึกษาให้กับผู้เข้าร่วมจำนวนมาก

ฮอปกินส์สร้างชื่อให้ตัวเองในช่วงปลายทศวรรษ 1980 จากการทำงานเกี่ยวกับการคาดเดาเจ็ดประการ ดั๊ก เรเวนเนล ของมหาวิทยาลัยโรเชสเตอร์ได้กำหนดไว้เมื่อทศวรรษก่อนหน้านี้ พวกเขาต้องใช้เทคนิคในการพิจารณาว่าเมื่อใดที่รูปร่างหรือช่องว่างสองแบบที่อาจดูแตกต่างกันจะเหมือนกันจริงๆ ฮอปกินส์และผู้ร่วมงานของเขาได้พิสูจน์การคาดเดาทั้งหมดของเรเวนเนลว่าช่วยได้ ปัญหาหนึ่งคือชื่อที่มีการชี้นำแต่ลึกลับที่เรียกว่าการคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์

ในเวลานั้น ฮอปกินส์ได้วางงานของเขาเกี่ยวกับการคาดเดาของ Ravenel เพื่อพักผ่อน เป็นเวลาหลายทศวรรษหลังจากนั้น การคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์ดูเหมือนจะไม่มีทางแก้ไขได้

“คุณไม่สามารถสัมผัสทฤษฎีบทแบบนั้นได้” ฮอปกินส์กล่าว

แต่เมื่อนักคณิตศาสตร์เดินทางถึงลอนดอน ก็มีข่าวลือว่ากลุ่มนี้ทำโดยนักคณิตศาสตร์สี่คนที่มีความเกี่ยวข้องกับสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ โดยสามคนได้รับคำแนะนำจากฮอปกินส์ในระดับบัณฑิตศึกษา น้องคนสุดท้องในบรรดาสี่คนเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาชื่อ อิชาน เลวี่มีกำหนดจะกล่าวปาฐกถาในวันอังคารซึ่งเป็นวันที่สองของการประชุม ซึ่งดูเหมือนว่าจะเป็นช่วงที่อาจมีการประกาศหลักฐาน

“ฉันได้ยินข่าวลือว่าเหตุการณ์นี้กำลังจะเกิดขึ้น และฉันไม่รู้ว่าจะคาดหวังอะไรได้แน่ชัด” กล่าว เวสนา สโตยานอสกาเป็นนักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ เออร์บานา-แชมเปญจน์ที่เข้าร่วมการประชุมครั้งนี้

ในไม่ช้าก็ชัดเจนว่าข่าวลือนั้นเป็นเรื่องจริง เริ่มตั้งแต่วันอังคาร และในอีกสามวันข้างหน้า เลวีและผู้เขียนร่วมของเขา — โรเบิร์ต เบิร์กลันด์, เจเรมี ฮาห์น และ โทเมอร์ ชลังค์ — อธิบายให้กลุ่มนักคณิตศาสตร์ 200 คนฟังว่าพวกเขาพิสูจน์ได้อย่างไรว่าการคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์นั้นเป็นเท็จ ทำให้การคาดเดาดั้งเดิมของเรเวนเนลเป็นเพียงการคาดเดาเดียวเท่านั้นที่ไม่เป็นจริง

การปฏิเสธการคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์มีผลกระทบในวงกว้าง แต่สิ่งหนึ่งที่ง่ายและลึกซึ้งที่สุดคือ: หมายความว่าในมิติที่สูงมาก (ลองนึกถึงทรงกลม 100 มิติ) จักรวาลที่มีรูปร่างต่างกันจะซับซ้อนกว่ามาก นักคณิตศาสตร์คาดการณ์ไว้

การทำแผนที่แผนที่

ในการจำแนกรูปร่างหรือปริภูมิทอพอโลยี นักคณิตศาสตร์จะแยกแยะระหว่างความแตกต่างที่สำคัญกับที่ไม่มีความสำคัญ ทฤษฎี Homotopy เป็นมุมมองที่จะสร้างความแตกต่างเหล่านั้น โดยพื้นฐานแล้วถือว่าลูกบอลและไข่เป็นพื้นที่โทโพโลยีเดียวกัน เนื่องจากคุณสามารถโค้งงอและยืดอันหนึ่งเข้าหากันโดยไม่ทำให้ฉีกขาด ในทำนองเดียวกัน ทฤษฎีโฮโมโทพีถือว่าลูกบอลและยางในมีความแตกต่างกันโดยพื้นฐาน เนื่องจากคุณต้องฉีกรูในลูกบอลเพื่อทำให้ลูกบอลเปลี่ยนรูปเป็นยางใน

Homotopy มีประโยชน์ในการจำแนกปริภูมิทอพอโลยี - การสร้างแผนภูมิของรูปร่างทุกประเภทที่เป็นไปได้ การทำความเข้าใจสิ่งอื่นที่นักคณิตศาสตร์สนใจเป็นสิ่งสำคัญเช่นกัน: แผนที่ระหว่างช่องว่าง หากคุณมีช่องว่างทอพอโลยีสองช่อง วิธีหนึ่งในการตรวจสอบคุณสมบัติของช่องว่างคือการค้นหาฟังก์ชันที่แปลง หรือแมป ชี้จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง — ป้อนจุดบนช่องว่าง A รับจุดบนช่องว่าง B เป็นเอาต์พุตของคุณ และทำอย่างนั้นกับทุกจุดบน A

หากต้องการดูว่าแผนที่เหล่านี้ทำงานอย่างไร และเหตุใดจึงทำให้เห็นคุณสมบัติของพื้นที่ที่เกี่ยวข้อง ให้เริ่มจากวงกลม ตอนนี้วาดมันลงบนทรงกลมสองมิติซึ่งเป็นพื้นผิวของลูกบอล มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ หากคุณจินตนาการว่าทรงกลมเป็นพื้นผิวโลก คุณสามารถวางวงกลมไว้ที่เส้นละติจูดใดก็ได้ เป็นต้น จากมุมมองของทฤษฎีโฮโมโทปี พวกมันทั้งหมดเท่ากันหรือโฮโมโทปิก เพราะว่าพวกมันสามารถหดตัวลงจนถึงจุดที่ขั้วโลกเหนือหรือขั้วโลกใต้ได้

จากนั้น วางวงกลมลงบนพื้นผิวสองมิติของท่อด้านใน (ทอรัสแบบรูเดียว) ขอย้ำอีกครั้งว่ามีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ และส่วนใหญ่เป็นแบบโฮโมโทปิก แต่ไม่ใช่ทั้งหมด คุณสามารถวางวงกลมในแนวนอนหรือแนวตั้งรอบพรู และไม่สามารถเปลี่ยนรูปเป็นอีกวงได้อย่างราบรื่น นี่เป็นสองวิธี (จากหลายๆ วิธี) ในการทำแผนที่วงกลมบนพรู ในขณะที่มีวิธีเดียวในการทำแผนที่วงกลมบนพรู ซึ่งสะท้อนถึงความแตกต่างพื้นฐานระหว่างช่องว่างทั้งสอง: พรูมีหนึ่งรูในขณะที่ทรงกลมไม่มี

เป็นเรื่องง่ายที่จะนับวิธีที่เราสามารถสร้างแผนผังจากวงกลมไปยังทรงกลมหรือทอรัสสองมิติได้ เป็นพื้นที่คุ้นเคยที่มองเห็นได้ง่าย แต่การนับแผนที่จะยากกว่ามากเมื่อมีมิติที่สูงกว่าเข้ามาเกี่ยวข้อง

ความแตกต่างมิติ

หากทรงกลมสองอันมีมิติเท่ากัน จะมีแผนที่มากมายอยู่ระหว่างทรงกลมนั้นเสมอ และถ้าพื้นที่ที่คุณกำลังทำแผนที่มีมิติต่ำกว่าพื้นที่ที่คุณกำลังทำแผนที่ (ดังตัวอย่างของเราเกี่ยวกับวงกลมหนึ่งมิติที่จับคู่กับทรงกลมสองมิติ) จะมีแผนที่เพียงอันเดียวเสมอ

ส่วนหนึ่งด้วยเหตุผลดังกล่าว การนับแผนที่จึงน่าสนใจที่สุดเมื่อพื้นที่ที่คุณกำลังทำแผนที่มีขนาดที่สูงกว่าพื้นที่ที่คุณกำลังทำแผนที่ เช่น เมื่อคุณทำแผนที่ทรงกลมเจ็ดมิติลงบนทรงกลมสามมิติ ในกรณีเช่นนี้ จำนวนแผนที่จะมีจำกัดเสมอ

“แผนที่ระหว่างทรงกลมโดยทั่วไปมีแนวโน้มที่จะน่าสนใจมากขึ้นเมื่อแหล่งกำเนิดมีมิติที่ใหญ่กว่า” ฮาห์นกล่าว

นอกจากนี้ จำนวนแผนที่ยังขึ้นอยู่กับความแตกต่างของจำนวนมิติเท่านั้น (เมื่อมิติมีขนาดใหญ่พอเมื่อเทียบกับความแตกต่าง) กล่าวคือ จำนวนแผนที่จากทรงกลม 73 มิติถึงทรงกลม 53 มิติจะเท่ากับจำนวนแผนที่จากทรงกลม 225 มิติถึงทรงกลม 205 มิติ เพราะในทั้งสองกรณีมีความแตกต่างในมิติคือ 20.

นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบจำนวนแผนที่ระหว่างช่องว่างที่มีมิติต่างกัน พวกเขาสามารถคำนวณจำนวนแผนที่สำหรับความแตกต่างเกือบทั้งหมดในมิติได้มากถึง 100 แผนที่: มีแผนที่ 24 แผนที่ระหว่างทรงกลมเมื่อความแตกต่างคือ 20 และ 3,144,960 เมื่อเป็น 23

แต่การคำนวณจำนวนแผนที่สำหรับส่วนต่างที่มากกว่า 100 จะทำให้พลังการประมวลผลสมัยใหม่หมดไป และในเวลาเดียวกัน นักคณิตศาสตร์ยังไม่พบรูปแบบในจำนวนแผนที่มากพอที่จะคาดเดาเพิ่มเติมได้ เป้าหมายของพวกเขาคือการกรอกตารางที่ระบุจำนวนแผนที่สำหรับมิติที่แตกต่างกัน แต่เป้าหมายนั้นรู้สึกว่ายังห่างไกลมาก

“นี่ไม่ใช่คำถามที่ฉันคาดหวังว่าจะมีวิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์ในช่วงชีวิตของลูกหลานของฉัน” ราเวนเนล ซึ่งมีอายุ 76 ปีกล่าว

การคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์ช่วยทำนายว่าจำนวนแผนที่จะเพิ่มขึ้นอย่างไรเมื่อความแตกต่างในมิติเพิ่มขึ้น ส่งผลให้คาดการณ์ว่าตัวเลขจะเติบโตอย่างช้าๆ ถ้ามันเป็นจริง มันจะทำให้ปัญหาในการกรอกตารางนั้นง่ายขึ้นอีกหน่อย

สงสัยจนหมดศรัทธา

การคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์มีชื่อในลักษณะที่ไม่น่าจะเป็นไปได้

เริ่มต้นจากความจริงที่ว่าในมิติที่สูงมาก สัญชาตญาณทางเรขาคณิตที่เกิดขึ้นในมิติที่ต่ำกว่ามักจะพังทลายลง และเป็นการยากที่จะนับแผนที่ระหว่างทรงกลม แต่ในการตั้งสมมติฐาน ราเวนเนลเข้าใจว่าคุณไม่จำเป็นต้องทำ แทนที่จะนับแผนที่ระหว่างทรงกลม คุณสามารถนับพร็อกซีแผนที่ระหว่างทรงกลมกับวัตถุที่เรียกว่ากล้องโทรทรรศน์ได้ง่ายขึ้น

กล้องโทรทรรศน์เกี่ยวข้องกับชุดสำเนาของเส้นโค้งที่มีมิติสูงกว่าแบบปิด โดยแต่ละอันเป็นเวอร์ชันที่ลดขนาดลงของอันที่อยู่ก่อนหน้านั้น ชุดของเส้นโค้งมีลักษณะคล้ายกับท่อที่เชื่อมต่อกันของกล้องโทรทรรศน์แบบพับได้จริง “ฟังดูแปลกประหลาดพอๆ กับกล้องโทรทรรศน์นี้เมื่อคุณอธิบาย จริงๆ แล้วมันเป็นวัตถุที่จัดการได้ง่ายกว่าทรงกลม” ราเวนเนลกล่าว

แต่ถึงกระนั้น ทรงกลมสามารถทำแผนที่บนกล้องโทรทรรศน์ได้หลายวิธี และความท้าทายคือการรู้ว่าเมื่อใดที่แผนที่เหล่านั้นมีความแตกต่างอย่างแท้จริง

เพื่อตรวจสอบว่าช่องว่างสองช่องเป็นแบบโฮโมโทปิกหรือไม่ จำเป็นต้องมีการทดสอบทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าค่าคงที่ ซึ่งเป็นการคำนวณตามคุณสมบัติของช่องว่าง หากการคำนวณให้ค่าที่แตกต่างกันสำหรับแต่ละสเปซ คุณจะรู้ว่าค่าเหล่านั้นไม่ซ้ำกันจากมุมมองของโฮโมโทพี

ค่าคงที่มีหลายประเภท และบางชนิดสามารถรับรู้ความแตกต่างที่ค่าคงที่อื่นๆ มองไม่เห็น การคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์ทำนายว่าค่าคงที่เรียกว่าโมราวา E-ทฤษฎี (และสมมาตรของมัน) สามารถแยกแยะแผนที่ทั้งหมดระหว่างทรงกลมและกล้องโทรทรรศน์ได้อย่างสมบูรณ์แบบ จนถึงแบบโฮโมโทพี - นั่นคือถ้าโมราวา E-ทฤษฎีบอกว่าแผนที่มีความแตกต่างกัน และถ้ามันบอกว่าเหมือนกัน มันก็เหมือนกัน

แต่ในปี 1989 เรเวนเนลเริ่มสงสัยว่ามันเป็นเรื่องจริง ความสงสัยของเขาเกิดขึ้นจากการคำนวณที่เขาทำซึ่งดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับการคาดเดา แต่จนกระทั่งเดือนตุลาคมของปีนั้น เมื่อเกิดแผ่นดินไหวครั้งใหญ่ที่บริเวณอ่าวขณะที่เขาอยู่ในเบิร์กลีย์ ความสงสัยเหล่านั้นถูกประมวลผลจนกลายเป็นความไม่เชื่ออย่างเต็มตัว

“ฉันได้ข้อสรุปนี้ภายในหนึ่งหรือสองวันหลังเกิดแผ่นดินไหว ดังนั้นฉันจึงชอบคิดว่ามีบางอย่างเกิดขึ้นซึ่งทำให้ฉันคิดว่ามันไม่เป็นความจริง” ราเวนเนลกล่าว

การพิสูจน์หักล้างการคาดเดาด้วยกล้องโทรทรรศน์จะต้องค้นหาค่าคงที่ที่ทรงพลังกว่าซึ่งสามารถมองเห็นสิ่งต่าง ๆ ในโมราวาได้ E-ทฤษฎีทำไม่ได้ เป็นเวลาหลายทศวรรษแล้วที่ดูเหมือนจะไม่มีค่าคงที่ดังกล่าวเกิดขึ้น ทำให้การคาดเดานั้นอยู่ไกลเกินเอื้อม แต่ความก้าวหน้าในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาได้เปลี่ยนแปลงไป และ Burklund, Hahn, Levy และ Schlank ก็ใช้ประโยชน์จากมัน

ความแปลกใหม่ที่ระเบิดได้

การพิสูจน์อาศัยชุดเครื่องมือที่เรียกว่าพีชคณิต K- ทฤษฎีซึ่งก่อตั้งขึ้นในทศวรรษ 1950 โดย Alexander Grothendieck และได้รับการพัฒนาอย่างรวดเร็วในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา มีการใช้งานในคณิตศาสตร์ รวมถึงในเรขาคณิตด้วย ซึ่งมีความสามารถในการอัดประจุค่าคงที่มากเกินไป

ผู้เขียนทั้งสี่คนใช้พีชคณิต K-ทฤษฎีเป็นอุปกรณ์: พวกเขาป้อน Morava E-ทฤษฎี และผลลัพธ์ของพวกมันคือค่าคงที่ใหม่ที่พวกเขาเรียกว่าพีชคณิต K-ทฤษฎีจุดคงที่ของโมราวา E-ทฤษฎี. จากนั้นพวกเขาใช้ค่าคงที่ใหม่นี้กับแผนที่ตั้งแต่ทรงกลมไปจนถึงกล้องโทรทรรศน์ และพิสูจน์ว่ามันสามารถมองเห็นแผนที่ที่ Morava E-ทฤษฎีทำไม่ได้

และไม่ใช่แค่ว่าค่าคงที่ใหม่นี้จะเห็นแผนที่เพิ่มเติมอีกเล็กน้อย มองเห็นอะไรอีกมากมาย ยิ่งกว่านั้นอีกนับไม่ถ้วน อีกมากมายที่พูดได้อย่างยุติธรรมว่าโมราวา E-ทฤษฎีแทบไม่ได้เกาพื้นผิวเลยเมื่อต้องระบุแผนที่ตั้งแต่ทรงกลมไปจนถึงกล้องโทรทรรศน์

แผนที่ที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุดจากทรงกลมไปจนถึงกล้องโทรทรรศน์ หมายถึงแผนที่ระหว่างทรงกลมที่เพิ่มมากขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด จำนวนของแผนที่ดังกล่าวมีจำกัดสำหรับความแตกต่างในมิติ แต่ข้อพิสูจน์ใหม่แสดงให้เห็นว่าจำนวนนั้นเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วและไม่สิ้นสุด

มีแผนที่จำนวนมากชี้ให้เห็นถึงความเป็นจริงทางเรขาคณิตที่ไม่มั่นคง: มีทรงกลมมากมาย

ในปี 1956 จอห์น มิลเนอร์ ระบุตัวอย่างแรกของสิ่งที่เรียกว่าทรงกลม "แปลกตา" เหล่านี้เป็นช่องว่างที่สามารถเปลี่ยนรูปให้เป็นทรงกลมจริงจากมุมมองของโฮโมโทพี แต่แตกต่างจากทรงกลมในแง่ที่แน่นอน ทรงกลมแปลกตาไม่มีอยู่ในมิติ 16,256, 15 หรือ 523,264 เลย และไม่มีใครค้นพบตัวอย่างของทรงกลมเหล่านี้ที่อยู่ต่ำกว่ามิติ 19 ซึ่งเป็นมิติที่มิลนอร์ค้นพบพวกมันเป็นครั้งแรก แต่เมื่อมิติเติบโตขึ้น จำนวนทรงกลมแปลกใหม่ก็ระเบิด มี XNUMX ในมิติ XNUMX และ XNUMX ในมิติ XNUMX

ถึงกระนั้น แม้ว่าจะมีจำนวนมหาศาลก็ตาม การปฏิเสธการคาดเดาของกล้องโทรทรรศน์ หมายความว่ายังมีอีกมาก การไม่พิสูจน์หมายความว่ามีแผนระหว่างทรงกลมมากกว่าที่คาดไว้เมื่อ Ravenel ระบุการคาดเดา และวิธีเดียวที่คุณจะได้รับแผนที่มากขึ้นก็คือการมีทรงกลมที่หลากหลายมากขึ้นเพื่อทำแผนที่ระหว่างกัน

มีความก้าวหน้าหลายประเภทในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ประเภทหนึ่งนำความสงบเรียบร้อยมาสู่ความโกลาหล แต่อีกคนหนึ่งกลับทำให้ความวุ่นวายรุนแรงขึ้นด้วยการขจัดสมมติฐานที่มีความหวังซึ่งไม่เป็นความจริง การปฏิเสธการคาดเดาของกล้องโทรทรรศน์เป็นเช่นนั้น มันทำให้ความซับซ้อนของเรขาคณิตลึกซึ้งยิ่งขึ้น และเพิ่มโอกาสที่ลูกหลานหลายรุ่นจะมาและไปก่อนที่ใครจะเข้าใจแผนที่ระหว่างทรงกลมอย่างถ่องแท้

“ความก้าวหน้าครั้งสำคัญของวิชานี้ดูเหมือนจะบอกเราว่าคำตอบนั้นซับซ้อนกว่าที่เราคิดไว้มาก” ราเวนเนลกล่าว