การระบายสีตามตัวเลขจะแสดงรูปแบบเลขคณิตในเศษส่วน

หนึ่งปีหลังจากที่เขาเริ่มปริญญาเอก ในวิชาคณิตศาสตร์ที่ McGill University Matt Bowen มีปัญหา “ฉันทำข้อสอบที่มีคุณสมบัติเหมาะสมและทำข้อสอบได้แย่มาก” เขากล่าว Bowen แน่ใจว่าคะแนนของเขาไม่ได้สะท้อนถึงทักษะทางคณิตศาสตร์ของเขา และเขาตัดสินใจที่จะพิสูจน์ เมื่อฤดูใบไม้ร่วงครั้งสุดท้าย เมื่อเขาและที่ปรึกษาของเขา มาร์ซิน ซาบก, โพสต์ล่วงหน้าที่สำคัญ ในสาขาที่เรียกว่า ทฤษฎีแรมซีย์.

เป็นเวลาเกือบศตวรรษที่นักทฤษฎีของแรมซีย์ได้รวบรวมหลักฐานว่าโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ยังคงอยู่ในสถานการณ์ที่ไม่เป็นมิตร พวกเขาอาจแบ่งชุดตัวเลขจำนวนมาก เช่น จำนวนเต็มหรือเศษส่วน หรือแบ่งการเชื่อมต่อระหว่างจุดต่างๆ บนเครือข่าย จากนั้นพวกเขาจะหาทางพิสูจน์ว่าโครงสร้างบางอย่างเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ แม้ว่าคุณจะพยายามหลีกเลี่ยงการสร้างมันด้วยการทำลายหรือหั่นด้วยวิธีที่ชาญฉลาดก็ตาม

เมื่อนักทฤษฎีแรมซีย์พูดถึงการแยกชุดของตัวเลข พวกเขามักจะใช้ภาษาของการระบายสี เลือกสีได้หลายสี เช่น แดง น้ำเงิน และเหลือง เป็นต้น ตอนนี้กำหนดสีให้กับทุกหมายเลขในคอลเลกชัน แม้ว่าคุณจะทำแบบสุ่มหรือวุ่นวาย รูปแบบบางอย่างก็จะเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ตราบเท่าที่คุณใช้สีที่แตกต่างกันในจำนวนจำกัด แม้ว่าตัวเลขนั้นจะมากก็ตาม นักทฤษฎีแรมซีย์พยายามค้นหารูปแบบเหล่านี้ โดยค้นหาชุดตัวเลขที่มีโครงสร้างเป็น "สีเดียว" ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นสีเดียวกัน

ผลการระบายสีครั้งแรกย้อนกลับไปในปลายศตวรรษที่ 19 ในปี 1916 Issai Schur ได้พิสูจน์ว่าไม่ว่าคุณระบายสีจำนวนเต็มบวก (หรือที่เรียกว่าจำนวนธรรมชาติ) ก็จะมีคู่ของตัวเลขเสมอ x และ y ดังนั้น x, yและผลรวมของพวกเขา x+y มีสีเดียวกันหมด ตลอดศตวรรษที่ 20 นักคณิตศาสตร์ยังคงทำงานเกี่ยวกับปัญหาการระบายสี ในปี พ.ศ. 1974 นีล ฮินด์แมน ขยายผลลัพธ์ของ Schur เพื่อรวมเซตย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนเต็ม เช่นเดียวกับทฤษฎีบทของ Schur ทฤษฎีบทของ Hindman ใช้ได้ไม่ว่าจำนวนธรรมชาติจะมีสีอย่างไร (ด้วยสีเทียนจำนวนจำกัด) ไม่เพียงแต่จำนวนเต็มในชุดของ Hindman จะมีสีเดียวกันทั้งหมดเท่านั้น แต่หากคุณรวมชุดของจำนวนเต็มเหล่านี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสีนั้นด้วย เซตดังกล่าวมีลักษณะคล้ายกับเลขคู่ เช่นเดียวกับผลรวมใดๆ ของเลขคู่จะเป็นเลขคู่เสมอ ดังนั้นผลรวมของเลขใดๆ ในเซตของฮินด์แมนก็จะรวมอยู่ในเซตนั้นด้วย

“ทฤษฎีบทของฮินด์แมนเป็นคณิตศาสตร์ที่น่าทึ่งมาก” ซาบอกกล่าว “มันเป็นเรื่องราวที่เราสามารถสร้างเป็นภาพยนตร์ได้”

แต่ฮินด์แมนคิดว่าเป็นไปได้มากกว่านั้น เขาเชื่อว่าคุณสามารถหาชุดสีเดียวที่มีขนาดใหญ่ (แต่จำกัด) โดยพลการ ซึ่งไม่เพียงแต่มีผลรวมของสมาชิกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงผลิตภัณฑ์ด้วย “ผมยืนกรานมาตลอดหลายทศวรรษว่านั่นคือความจริง” เขากล่าว พร้อมเสริมว่า “ผมไม่ยืนยันว่าผมสามารถพิสูจน์ได้”

การคาดเดาของ Hindman

หากคุณละทิ้งผลรวมและต้องการเพียงให้แน่ใจว่าผลิตภัณฑ์มีสีเดียวกัน การปรับทฤษฎีบทของ Hindman โดยใช้การยกกำลังเพื่อแปลงผลรวมเป็นผลรวม (เช่นเดียวกับกฎของสไลด์) ก็เป็นเรื่องง่าย

อย่างไรก็ตามการต่อสู้กับผลรวมและผลคูณพร้อมกันนั้นยากกว่ามาก “มันยากมากที่จะทำให้สองคนนี้คุยกัน” เขากล่าว โจเอล โมเรร่านักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Warwick “เข้าใจว่าการบวกและการคูณเกี่ยวข้องกันอย่างไร ในทางใดทางหนึ่ง เกือบจะเป็นพื้นฐานของทฤษฎีจำนวนทั้งหมด”

แม้แต่เวอร์ชันที่เรียบง่ายกว่าที่ Hindman แนะนำครั้งแรกในปี 1970 ก็พิสูจน์ได้ว่าท้าทาย เขาคาดเดาว่าการระบายสีใดๆ ของจำนวนธรรมชาติจะต้องมีชุดสีเดียวของรูปแบบ {x, y, xy, x+y} — ตัวเลขสองตัว x และ yเช่นเดียวกับผลรวมและผลคูณของพวกมัน Bowen กล่าวว่า "ผู้คนไม่ได้สร้างความคืบหน้าใด ๆ เกี่ยวกับปัญหานี้มานานหลายทศวรรษแล้ว “แล้วจู่ๆ ประมาณปี 2010 ผู้คนก็เริ่มพิสูจน์เกี่ยวกับเรื่องนี้มากขึ้นเรื่อยๆ”

Bowen ได้เรียนรู้เกี่ยวกับ {x, y, xy, x+y} ปัญหาในปี 2016 ซึ่งเป็นภาคเรียนที่สองของวิทยาลัย เมื่ออาจารย์คนหนึ่งของเขาที่มหาวิทยาลัย Carnegie Mellon อธิบายปัญหาในชั้นเรียน Bowen รู้สึกทึ่งกับความเรียบง่าย “มันเป็นหนึ่งในเรื่องเจ๋งๆ ที่เอาล่ะ ผมไม่ค่อยรู้คณิตศาสตร์มากนัก แต่ก็พอเข้าใจได้” เขากล่าว

ในปี 2017 โมเรร่า พิสูจน์แล้วว่า ที่ เธอ สามารถ เสมอ ค้นหาชุดสีเดียวที่มีสามในสี่องค์ประกอบที่ต้องการ: x, xyและ x + y. ในขณะเดียวกัน Bowen เริ่มแก้ไขคำถามอย่างไม่เป็นทางการในช่วงปีสุดท้ายของเขา “ผมแก้ปัญหาไม่ได้จริงๆ” เขากล่าว “แต่ฉันจะกลับมาทุก ๆ หกเดือนหรือมากกว่านั้น” หลังจากที่เขาทำผลงานได้ไม่ดีนักในปริญญาเอก การสอบคัดเลือกในปี 2020 เขาเพิ่มความพยายามเป็นสองเท่า ไม่กี่วันต่อมา เขาได้พิสูจน์ {x, y, xy, x+y} การคาดเดาสำหรับกรณีของสองสี ซึ่งเป็นผลที่รอน เกรแฮมได้พิสูจน์แล้วย้อนกลับไปในทศวรรษที่ 1970 ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์

ด้วยความสำเร็จนั้น Bowen จึงทำงานร่วมกับ Sabok เพื่อขยายผลลัพธ์ไปยังสีจำนวนเท่าใดก็ได้ แต่พวกเขาก็เข้าไปพัวพันกับรายละเอียดทางเทคนิคอย่างรวดเร็ว “ความซับซ้อนของปัญหาเพิ่มขึ้นอย่างควบคุมไม่ได้เมื่อจำนวนสีมีจำนวนมาก” Sabok กล่าว เป็นเวลา 18 เดือนที่พวกเขาพยายามทำให้ตัวเองหลุดพ้นด้วยโชคเพียงเล็กน้อย “ในช่วงปีครึ่งนี้ เรามีหลักฐานผิดพลาดประมาณล้านข้อ” ซาบอกกล่าว

โดยเฉพาะอย่างยิ่งความยากลำบากอย่างหนึ่งที่ทำให้นักคณิตศาสตร์สองคนไม่ก้าวหน้า หากคุณสุ่มเลือกจำนวนเต็มสองจำนวน คุณอาจไม่สามารถหารมันได้ การหารจะใช้ได้เฉพาะในกรณีที่หายากเท่านั้น โดยที่เลขตัวแรกเป็นจำนวนหลายตัวของเลขตัวที่สอง สิ่งนี้กลายเป็นข้อจำกัดอย่างมาก เมื่อตระหนักเช่นนั้น Bowen และ Sabok จึงหันมาพิสูจน์ {x, y, xy, x+y} การคาดเดาในจำนวนตรรกยะ (ตามที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่าเศษส่วน) แทน ที่นั่น ตัวเลขสามารถถูกหารด้วยการละทิ้ง

การพิสูจน์ของ Bowen และ Sabok นั้นงดงามที่สุดเมื่อสีทั้งหมดที่เกี่ยวข้องปรากฏขึ้นบ่อยครั้งตลอดทั้งจำนวนตรรกยะ สีสามารถปรากฏ "บ่อย" ได้หลายวิธี แต่ละอันอาจครอบคลุมเส้นจำนวนจำนวนมาก หรืออาจหมายความว่าคุณไม่สามารถเดินทางไปตามเส้นจำนวนได้ไกลเกินไปโดยไม่เห็นทุกสี อย่างไรก็ตาม โดยปกติแล้วสีจะไม่เป็นไปตามกฎดังกล่าว ในกรณีดังกล่าว คุณสามารถมุ่งเน้นไปที่พื้นที่เล็กๆ ภายในจำนวนตรรกยะ ซึ่งสีต่างๆ จะปรากฏบ่อยขึ้น Sabok อธิบาย “นี่คือที่มาของงานจำนวนมาก” เขากล่าว

ในเดือนตุลาคม 2022 Bowen และ Sabok ได้โพสต์หลักฐานว่าหากคุณระบายสีจำนวนตรรกยะด้วยสีจำนวนจำกัด จะมีชุดรูปแบบ {x, y, xy, x+y} ซึ่งองค์ประกอบทั้งหมดมีสีเดียวกัน “มันเป็นข้อพิสูจน์ที่ชาญฉลาดอย่างเหลือเชื่อ” กล่าว อิมเร ลีดเดอร์ ของมหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. “มันใช้ผลลัพธ์ที่ทราบ แต่เป็นการรวมเข้าด้วยกันอย่างยอดเยี่ยม ไม่เหมือนใคร และสร้างสรรค์มาก”

ยังคงมีคำถามมากมาย เบอร์สามก็ได้ z จะถูกเพิ่มเข้าไปในคอลเลกชันพร้อมกับผลรวมและผลิตภัณฑ์ที่ตามมาหรือไม่? การคาดเดาที่กล้าหาญที่สุดของ Hindman ให้เป็นที่พอใจนั้นหมายถึงการเพิ่มจำนวนหนึ่งในสี่ หนึ่งในห้า และท้ายที่สุดตามอำเภอใจให้กับหมายเลขใหม่จำนวนมากในลำดับ นอกจากนี้ยังจำเป็นต้องย้ายจากจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนธรรมชาติและหาทางแก้ไขปริศนาการแบ่งส่วนที่ขัดขวางความพยายามของโบเวนและซาบอค

ลีดเดอร์เชื่อว่าการที่โมเรรา, โบเวน และซาบอคช่วยกันแก้ไขปัญหา หลักฐานนั้นอาจอยู่ไม่ไกล “คนเหล่านั้นดูฉลาดเป็นพิเศษในการหาวิธีใหม่ๆ ในการทำสิ่งต่างๆ” เขากล่าว “ดังนั้นฉันจึงมองโลกในแง่ดีว่าพวกเขาหรือเพื่อนร่วมงานบางคนอาจพบสิ่งนี้”

Sabok ระมัดระวังมากขึ้นในการทำนายของเขา แต่เขาไม่ได้ปกครองอะไรออก “เสน่ห์อย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์คือก่อนที่คุณจะได้รับการพิสูจน์ ทุกอย่างเป็นไปได้” เขากล่าว