คอมพิวเตอร์พิสูจน์ 'ระเบิด' สมการของไหลอายุหลายศตวรรษ

เป็นเวลาหลายศตวรรษที่นักคณิตศาสตร์พยายามทำความเข้าใจและสร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่ของของไหล สมการที่อธิบายว่าระลอกคลื่นทำให้เกิดพื้นผิวของสระน้ำได้อย่างไร ยังช่วยนักวิจัยในการทำนายสภาพอากาศ ออกแบบเครื่องบินที่ดีขึ้น และระบุลักษณะการไหลเวียนของเลือดผ่านระบบไหลเวียนโลหิต สมการเหล่านี้ง่ายจนไม่น่าเชื่อเมื่อเขียนด้วยภาษาทางคณิตศาสตร์ที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตาม วิธีแก้ปัญหาของพวกเขานั้นซับซ้อนมากจนการทำความเข้าใจแม้แต่คำถามพื้นฐานเกี่ยวกับพวกเขาก็อาจเป็นเรื่องยากอย่างห้ามปราม

บางทีสมการที่เก่าแก่ที่สุดและโดดเด่นที่สุดของสมการเหล่านี้ซึ่งคิดค้นขึ้นโดย Leonhard Euler เมื่อกว่า 250 ปีที่แล้ว อธิบายการไหลของของไหลในอุดมคติที่ไม่สามารถบีบอัดได้ นั่นคือของไหลที่ไม่มีความหนืดหรือแรงเสียดทานภายในที่ไม่สามารถบังคับให้มีปริมาตรน้อยลงได้ “สมการของไหลที่ไม่เชิงเส้นเกือบทั้งหมดมาจากสมการออยเลอร์” กล่าว ทาเร็ก เอลกินดีนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยดุ๊ก “พวกเขาเป็นคนแรกที่คุณพูดได้”

ยังมีอีกมากที่ยังไม่ทราบเกี่ยวกับสมการออยเลอร์ ซึ่งรวมถึงว่าสมการเหล่านี้เป็นแบบจำลองการไหลของของไหลในอุดมคติที่ถูกต้องหรือไม่ หนึ่งในปัญหาหลักในไดนามิกของของไหลคือการหาว่าสมการเคยล้มเหลวหรือไม่ โดยแสดงค่าที่ไร้สาระซึ่งทำให้สมการไม่สามารถทำนายสถานะในอนาคตของของไหลได้

นักคณิตศาสตร์สงสัยมานานแล้วว่ามีเงื่อนไขเริ่มต้นที่ทำให้สมการพังทลาย แต่พวกเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้

In พิมพ์ล่วงหน้า โพสต์ออนไลน์เมื่อเดือนที่แล้ว นักคณิตศาสตร์คู่หนึ่งได้แสดงให้เห็นว่าสมการออยเลอร์รุ่นใดรุ่นหนึ่งนั้นล้มเหลวในบางครั้ง การพิสูจน์ถือเป็นความก้าวหน้าครั้งสำคัญ และแม้ว่าจะไม่สามารถแก้ปัญหาสำหรับสมการเวอร์ชันทั่วไปได้อย่างสมบูรณ์ แต่ก็ให้ความหวังว่าวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวจะอยู่ใกล้แค่เอื้อม “มันเป็นผลลัพธ์ที่น่าอัศจรรย์” กล่าว ทริสตัน บัคมาสเตอร์นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยแมริแลนด์ที่ไม่ได้มีส่วนร่วมในงานนี้ “ไม่มีผลลัพธ์ประเภทนี้ในวรรณกรรม”

มีเพียงหนึ่งจับ

หลักฐาน 177 หน้าซึ่งเป็นผลมาจากโครงการวิจัยที่ยาวนานนับทศวรรษ ใช้ประโยชน์จากคอมพิวเตอร์อย่างมีนัยสำคัญ สิ่งนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์คนอื่นตรวจสอบได้ยาก (ในความเป็นจริง พวกเขายังอยู่ในกระบวนการดำเนินการ แม้ว่าผู้เชี่ยวชาญหลายคนเชื่อว่างานใหม่จะออกมาถูกต้องก็ตาม) นอกจากนี้ยังบังคับให้พวกเขาคำนึงถึงคำถามเชิงปรัชญาว่า “หลักฐาน” คืออะไร และอะไรจะเกิดขึ้น หมายความว่าวิธีเดียวที่ใช้การได้ในการแก้ปัญหาสำคัญเช่นนี้ในอนาคตคือใช้คอมพิวเตอร์ช่วย

การมองเห็นสัตว์ร้าย

ตามหลักการแล้ว หากคุณทราบตำแหน่งและความเร็วของแต่ละอนุภาคในของไหล สมการออยเลอร์ควรจะสามารถทำนายได้ว่าของไหลจะวิวัฒนาการอย่างไรตลอดเวลา แต่นักคณิตศาสตร์ต้องการทราบว่าเป็นเช่นนั้นจริงหรือไม่ บางทีในบางสถานการณ์ สมการจะดำเนินการตามที่คาดไว้ โดยสร้างค่าที่แม่นยำสำหรับสถานะของของไหล ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง เฉพาะค่าใดค่าหนึ่งเท่านั้นที่จะพุ่งสูงขึ้นอย่างรวดเร็วจนไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อถึงจุดนั้น สมการออยเลอร์ได้รับการกล่าวขานว่าก่อให้เกิด "ภาวะเอกฐาน" หรือที่มากกว่านั้นก็คือ "ระเบิด"

สมการจะไม่สามารถคำนวณการไหลของของไหลได้อีกต่อไป แต่ “เมื่อไม่กี่ปีที่ผ่านมา สิ่งที่ผู้คนสามารถทำได้นั้นยังห่างไกลจาก [พิสูจน์การระเบิด]” กล่าว ชาร์ลี เฟเฟอร์แมนนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน

มันจะยิ่งซับซ้อนมากขึ้นหากคุณพยายามสร้างแบบจำลองของไหลที่มีความหนืด (เช่นเดียวกับของเหลวในโลกแห่งความจริงเกือบทั้งหมดทำ) รางวัลสหัสวรรษมูลค่าล้านดอลลาร์จาก Clay Mathematics Institute กำลังรอใครก็ตามที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าความล้มเหลวในลักษณะเดียวกันนี้เกิดขึ้นในสมการ Navier-Stokes หรือไม่ ซึ่งเป็นสมการทั่วไปของสมการออยเลอร์ที่อธิบายความหนืด

ใน 2013, โทมัส โฮนักคณิตศาสตร์ที่ California Institute of Technology และ กัวหลัวซึ่งขณะนี้อยู่ที่มหาวิทยาลัยฮั่งเส็งแห่งฮ่องกง ได้เสนอสถานการณ์สมมติที่สมการออยเลอร์จะนำไปสู่ภาวะเอกฐาน พวกเขาพัฒนาการจำลองด้วยคอมพิวเตอร์ของของไหลในทรงกระบอกที่ครึ่งบนหมุนตามเข็มนาฬิกาในขณะที่ครึ่งล่างหมุนทวนเข็มนาฬิกา ขณะที่พวกเขาดำเนินการจำลอง กระแสน้ำที่ซับซ้อนมากขึ้นก็เริ่มเคลื่อนที่ขึ้นและลง ในที่สุดก็นำไปสู่พฤติกรรมแปลก ๆ ตามแนวขอบของทรงกระบอกที่ไหลมาบรรจบกัน การหมุนวนของของไหล - การวัดการหมุน - เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจนดูเหมือนพร้อมที่จะระเบิด

งานของ Hou และ Luo เป็นการชี้นำ แต่ไม่ใช่ข้อพิสูจน์ที่แท้จริง นั่นเป็นเพราะคอมพิวเตอร์ไม่สามารถคำนวณค่าอนันต์ได้ มันสามารถเข้าใกล้การมองเห็นเอกฐานได้ แต่จริงๆ แล้วไปไม่ถึง — หมายความว่าคำตอบนั้นอาจแม่นยำมาก แต่ก็ยังเป็นการประมาณค่า หากไม่มีหลักฐานทางคณิตศาสตร์สนับสนุน ค่าของกระแสน้ำวนอาจดูเหมือนเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์เพียงเพราะสิ่งประดิษฐ์บางอย่างของการจำลอง วิธีแก้ปัญหาอาจเพิ่มขึ้นเป็นจำนวนมหาศาลก่อนที่จะลดลงอีกครั้ง

การกลับรายการดังกล่าวเคยเกิดขึ้นมาก่อน: การจำลองจะระบุว่าค่าในสมการหายไป เฉพาะวิธีการคำนวณที่ซับซ้อนกว่าเท่านั้นที่จะแสดงเป็นอย่างอื่น “ปัญหาเหล่านี้ละเอียดอ่อนมากจนถนนเต็มไปด้วยซากปรักหักพังของแบบจำลองก่อนหน้านี้” เฟฟเฟอร์แมนกล่าว ความจริงแล้ว Hou ได้เริ่มต้นในด้านนี้: ผลลัพธ์ก่อนหน้านี้หลายชิ้นของเขาหักล้างการก่อตัวของเอกพจน์สมมุติฐาน

ถึงกระนั้น เมื่อเขาและ Luo เผยแพร่วิธีแก้ปัญหาของพวกเขา นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่คิดว่ามันน่าจะเป็นภาวะเอกฐานที่แท้จริง “มันพิถีพิถันมาก แม่นยำมาก” กล่าว วลาดิเมียร์ สเวรัคนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยมินนิโซตา “พวกเขาพยายามอย่างมากที่จะพิสูจน์ว่านี่เป็นสถานการณ์จริง” ผลงานต่อมาของ Elgindi, Sverak และคนอื่นๆ ทำให้ความเชื่อมั่นนั้นแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น.

แต่หลักฐานก็ยาก “คุณเคยเห็นสัตว์ร้าย” เฟฟเฟอร์แมนกล่าว “งั้นคุณก็พยายามจับมันให้ได้” นั่นหมายถึงการแสดงให้เห็นว่าคำตอบโดยประมาณที่ Hou และ Luo จำลองอย่างระมัดระวังนั้น ในแง่ทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงนั้น ใกล้เคียงกับคำตอบของสมการที่แน่นอนมาก

ตอนนี้ เก้าปีหลังจากการพบเห็นครั้งแรกนั้น Hou และอดีตนักศึกษาปริญญาโทของเขา เจียเจียเฉิน ในที่สุดก็ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์การมีอยู่ของภาวะเอกฐานใกล้เคียงนั้น

การย้ายไปยังดินแดนที่มีลักษณะคล้ายคลึงกัน

Hou ซึ่งต่อมาเข้าร่วมโดย Chen ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อวิเคราะห์อย่างใกล้ชิด วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณจากปี 2013 ดูเหมือนจะมีโครงสร้างพิเศษ เมื่อสมการต่างๆ พัฒนาไปตามกาลเวลา วิธีแก้ปัญหาได้แสดงสิ่งที่เรียกว่ารูปแบบคล้ายตนเอง: รูปร่างของมันในภายหลังดูคล้ายกับรูปร่างก่อนหน้านี้มาก เพียงแต่ปรับขนาดใหม่ด้วยวิธีเฉพาะ

ด้วยเหตุนี้ นักคณิตศาสตร์จึงไม่จำเป็นต้องพยายามมองหาภาวะเอกฐานด้วยตัวมันเอง แต่พวกเขาสามารถศึกษาทางอ้อมโดยมุ่งเน้นไปที่ช่วงเวลาก่อนหน้า ด้วยการซูมเข้าที่ส่วนนั้นของโซลูชันในอัตราที่เหมาะสม ซึ่งพิจารณาจากโครงสร้างที่คล้ายคลึงกันของโซลูชัน พวกเขาสามารถจำลองสิ่งที่จะเกิดขึ้นในภายหลัง รวมถึงที่เอกฐานด้วย

พวกเขาใช้เวลาไม่กี่ปีในการหาสิ่งที่คล้ายตัวเองกับเหตุการณ์ระเบิดในปี 2013 (เมื่อต้นปีนี้ ทีมนักคณิตศาสตร์อีกทีมหนึ่ง ซึ่งรวมถึง Buckmaster ได้ใช้วิธีต่างๆ ค้นหาวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณที่คล้ายกัน. ขณะนี้พวกเขากำลังใช้วิธีแก้ปัญหานั้นเพื่อพัฒนาหลักฐานอิสระของการก่อตัวของภาวะเอกฐาน)

ด้วยวิธีแก้ปัญหาที่คล้ายกันโดยประมาณในมือ Hou และ Chen จำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่ามีโซลูชันที่แน่นอนอยู่ในบริเวณใกล้เคียง ในทางคณิตศาสตร์ นี่เทียบเท่ากับการพิสูจน์ว่าคำตอบที่คล้ายกับตนเองโดยประมาณนั้นเสถียร — แม้ว่าคุณจะรบกวนมันเล็กน้อยแล้วพัฒนาสมการโดยเริ่มต้นจากค่าที่รบกวนเหล่านั้น ก็ไม่มีทางที่จะหลีกหนีจากย่านเล็กๆ รอบๆ วิธีแก้ปัญหาโดยประมาณ “มันเหมือนหลุมดำ” Hou กล่าว “ถ้าคุณเริ่มต้นด้วยโปรไฟล์ใกล้ๆ คุณจะถูกดูดเข้าไป”

แต่การมีกลยุทธ์ทั่วไปเป็นเพียงขั้นตอนเดียวในการแก้ปัญหา “รายละเอียดจุกจิกเป็นเรื่องสำคัญ” เฟฟเฟอร์แมนกล่าว ขณะที่ Hou และ Chen ใช้เวลาหลายปีถัดมาในการหารายละเอียดเหล่านั้น พวกเขาพบว่าพวกเขาต้องพึ่งพาคอมพิวเตอร์อีกครั้ง แต่คราวนี้ในรูปแบบใหม่ทั้งหมด

วิธีการแบบผสมผสาน

ความท้าทายประการแรกคือการหาคำที่แน่นอนซึ่งพวกเขาต้องพิสูจน์ พวกเขาต้องการแสดงให้เห็นว่าหากพวกเขานำชุดค่าใดๆ ที่ใกล้เคียงกับผลเฉลยโดยประมาณของพวกเขามาเสียบเข้ากับสมการ ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่สามารถคลาดเคลื่อนไปได้ไกล แต่การป้อนข้อมูลที่ "ใกล้เคียง" กับโซลูชันโดยประมาณหมายความว่าอย่างไร พวกเขาต้องระบุสิ่งนี้ในข้อความทางคณิตศาสตร์ แต่มีหลายวิธีในการกำหนดแนวคิดของระยะทางในบริบทนี้ เพื่อให้หลักฐานทำงานได้ พวกเขาจำเป็นต้องเลือกอันที่ถูกต้อง

"มันต้องวัดผลกระทบทางกายภาพที่แตกต่างกัน" กล่าว ราฟาเอล เดอ ลา ลาฟนักคณิตศาสตร์แห่งสถาบันเทคโนโลยีแห่งจอร์เจีย “ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเลือกโดยใช้ความเข้าใจอย่างลึกซึ้งในปัญหา”

เมื่อพวกเขามีวิธีที่ถูกต้องในการอธิบาย "ความใกล้ชิด" Hou และ Chen จะต้องพิสูจน์ข้อความดังกล่าว ซึ่งสรุปเป็นอสมการที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับคำศัพท์จากทั้งสมการที่ปรับขนาดใหม่และคำตอบโดยประมาณ นักคณิตศาสตร์ต้องทำให้แน่ใจว่าค่าของคำศัพท์ทั้งหมดนั้นสมดุลกับค่าที่เล็กน้อยมาก: หากค่าหนึ่งมีค่ามาก ค่าอื่นๆ จะต้องเป็นค่าลบหรือควบคุมไว้

“ถ้าคุณทำบางสิ่งที่ใหญ่เกินไปหรือเล็กเกินไป สิ่งทั้งหมดจะพังลง” กล่าว ฮาเวียร์ โกเมซ-เซร์ราโนนักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยบราวน์ “ดังนั้นมันจึงเป็นงานที่ละเอียดรอบคอบและละเอียดอ่อนมาก”

“มันเป็นการต่อสู้ที่ดุเดือดจริงๆ” เอลกินดีกล่าวเสริม

เพื่อให้ได้ขอบเขตที่แน่นแฟ้นที่พวกเขาต้องการในเงื่อนไขต่างๆ เหล่านี้ Hou และ Chen จึงแบ่งความไม่เท่าเทียมกันออกเป็นสองส่วนหลัก พวกเขาสามารถดูแลส่วนแรกด้วยมือ ด้วยเทคนิคต่างๆ ซึ่งรวมถึงส่วนที่ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 18 เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Gaspard Monge หาวิธีที่ดีที่สุดในการขนส่งดินเพื่อสร้างป้อมปราการสำหรับกองทัพของนโปเลียน “สิ่งนี้เคยทำมาก่อน แต่ฉันพบว่ามันน่าทึ่งที่ [Hou and Chen] ใช้มันเพื่อสิ่งนี้” Fefferman กล่าว

นั่นเหลือส่วนที่สองของอสมการ การแก้ปัญหาจะต้องใช้คอมพิวเตอร์ช่วย สำหรับผู้เริ่มต้น มีการคำนวณมากมายที่ต้องทำ และต้องใช้ความแม่นยำอย่างมาก จน "ปริมาณงานที่คุณต้องทำด้วยดินสอและกระดาษคงจะมากเกินไป" de la Llave กล่าว เพื่อให้ได้คำศัพท์ต่างๆ มาสมดุลกัน นักคณิตศาสตร์ต้องทำโจทย์การปรับให้เหมาะสมซึ่งค่อนข้างง่ายสำหรับคอมพิวเตอร์แต่ใช้เวลานานมากสำหรับมนุษย์ ค่าบางอย่างยังขึ้นอยู่กับปริมาณจากสารละลายโดยประมาณ เนื่องจากคำนวณโดยใช้คอมพิวเตอร์ การใช้คอมพิวเตอร์ทำการคำนวณเพิ่มเติมเหล่านี้จึงง่ายกว่า

“ถ้าคุณพยายามประเมินค่าเหล่านี้ด้วยตนเอง คุณอาจประเมินค่าสูงเกินไปในจุดหนึ่ง และจากนั้นคุณก็จะแพ้” โกเมซ-เซอร์ราโนกล่าว “ตัวเลขเล็กและแน่นมาก … และขอบบางอย่างไม่น่าเชื่อ”

แต่เนื่องจากคอมพิวเตอร์ไม่สามารถจัดการตัวเลขจำนวนไม่สิ้นสุดได้ ข้อผิดพลาดเล็กๆ น้อยๆ จึงเกิดขึ้นอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ Hou และ Chen ต้องติดตามข้อผิดพลาดเหล่านั้นอย่างรอบคอบ เพื่อให้แน่ใจว่าพวกเขาจะไม่รบกวนการทำงานสมดุลที่เหลือ

ในที่สุด พวกเขาสามารถหาขอบเขตของเงื่อนไขทั้งหมด และทำการพิสูจน์ให้เสร็จสิ้น: สมการได้ก่อให้เกิดภาวะเอกฐานอย่างแท้จริง

พิสูจน์ด้วยคอมพิวเตอร์

มันยังคงเปิดอยู่ไม่ว่าสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น - สมการออยเลอร์ที่ไม่มีขอบเขตของทรงกระบอกและสมการนาเวียร์-สโตกส์ - สามารถพัฒนาภาวะเอกฐานได้หรือไม่ “แต่ [งานนี้] อย่างน้อยก็ทำให้ฉันมีความหวัง” Hou กล่าว “ฉันมองเห็นหนทางข้างหน้า หนทางที่จะแก้ไขปัญหาแห่งสหัสวรรษเต็มรูปแบบได้ในที่สุด”

ในขณะเดียวกัน Buckmaster และ Gómez-Serrano กำลังทำงานพิสูจน์หลักฐานโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย ซึ่งพวกเขาหวังว่าจะเป็นแบบกว้างๆ มากขึ้น ดังนั้นจึงสามารถจัดการได้ไม่เพียงแค่ปัญหาที่ Hou และ Chen แก้ไขได้เท่านั้น แต่ยังรวมถึงปัญหาอื่นๆ อีกจำนวนมากด้วย

ความพยายามเหล่านี้เป็นแนวโน้มที่เพิ่มขึ้นในด้านพลศาสตร์ของไหล: การใช้คอมพิวเตอร์เพื่อแก้ปัญหาที่สำคัญ

“ในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ มันเกิดขึ้นบ่อยขึ้นเรื่อยๆ” กล่าว ซูซาน ฟรีดแลนเดอร์นักคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัยเซาเทิร์นแคลิฟอร์เนีย

แต่ในกลศาสตร์ของไหล การพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยยังคงเป็นเทคนิคที่ค่อนข้างใหม่ ในความเป็นจริง เมื่อกล่าวถึงการกำเนิดภาวะเอกฐาน การพิสูจน์ของ Hou และ Chen ถือเป็นครั้งแรกในประเภทนี้: การพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยก่อนหน้านี้สามารถจัดการกับปัญหาของเล่นในพื้นที่เท่านั้น

การพิสูจน์ดังกล่าวไม่ได้ขัดแย้งกันมากเท่ากับ "เรื่องของรสนิยม" กล่าว ปีเตอร์ คอนสแตนติน ของมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. โดยทั่วไปแล้ว นักคณิตศาสตร์ยอมรับว่าการพิสูจน์ต้องโน้มน้าวนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ว่าการให้เหตุผลบางบรรทัดนั้นถูกต้อง แต่หลายคนแย้งว่าควรปรับปรุงความเข้าใจว่าทำไมข้อความใดข้อความหนึ่งถึงเป็นความจริง แทนที่จะให้คำยืนยันว่าถูกต้อง “เราเรียนรู้อะไรใหม่ ๆ ที่เป็นพื้นฐานหรือเราแค่รู้คำตอบของคำถาม” เอลกินดีกล่าว “ถ้าคุณมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศิลปะ มันก็ไม่น่าอภิรมย์เอาซะเลย”

“คอมพิวเตอร์สามารถช่วยได้ มันวิเศษมาก มันทำให้ฉันเข้าใจ แต่มันไม่ได้ทำให้ฉันเข้าใจอย่างถ่องแท้” คอนสแตนตินกล่าวเสริม “ความเข้าใจมาจากเรา”

ในส่วนของเขา Elgindi ยังคงหวังที่จะหาทางเลือกในการพิสูจน์การระเบิดด้วยมือทั้งหมด “ผมมีความสุขโดยรวมที่มีสิ่งนี้” เขากล่าวถึงงานของ Hou และ Chen "แต่ฉันใช้มันเป็นแรงจูงใจมากขึ้นในการพยายามทำในลักษณะที่พึ่งพาคอมพิวเตอร์น้อยลง"

นักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ มองว่าคอมพิวเตอร์เป็นเครื่องมือใหม่ที่สำคัญซึ่งจะทำให้สามารถโจมตีปัญหาที่ยากจะแก้ไขได้ก่อนหน้านี้ “ตอนนี้งานไม่ใช่แค่กระดาษกับดินสออีกต่อไป” เฉินกล่าว “คุณมีทางเลือกในการใช้สิ่งที่ทรงพลังกว่า”

ตามที่เขาและคนอื่น ๆ (รวมถึง Elgindi แม้ว่าเขาจะชอบการเขียนพิสูจน์ด้วยมือเป็นการส่วนตัว) มีความเป็นไปได้ที่ดีที่วิธีเดียวที่จะแก้ปัญหาใหญ่ ๆ ในพลศาสตร์ของไหล - นั่นคือปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการที่ซับซ้อนมากขึ้น - อาจต้องอาศัย ความช่วยเหลือด้านคอมพิวเตอร์เป็นอย่างมาก Fefferman กล่าวว่า "สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าการพยายามทำสิ่งนี้โดยไม่ใช้คอมพิวเตอร์ช่วยพิสูจน์อย่างหนักก็เหมือนกับการผูกมือหนึ่งหรือสองมือไว้ด้านหลัง" Fefferman กล่าว

หากเป็นเช่นนั้นและ “คุณไม่มีทางเลือก” Elgindi กล่าว “ถ้าเช่นนั้นผู้คน … เช่นตัวฉันเอง ที่จะบอกว่าสิ่งนี้ไม่ดี ก็ควรเงียบ” นั่นก็หมายความว่านักคณิตศาสตร์จำนวนมากขึ้นจะต้องเริ่มเรียนรู้ทักษะที่จำเป็นในการเขียนการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย ซึ่งหวังว่างานของ Hou และ Chen จะเป็นแรงบันดาลใจ “ผมคิดว่ามีผู้คนจำนวนมากที่รอใครสักคนที่จะแก้ปัญหาดังกล่าวก่อนที่จะลงทุนเวลาของตนเองในแนวทางนี้” Buckmaster กล่าว

ที่กล่าวว่า เมื่อพูดถึงขอบเขตที่นักคณิตศาสตร์ควรพึ่งพาคอมพิวเตอร์ “ไม่ใช่ว่าคุณต้องเลือกข้าง” Gómez-Serrano กล่าว “การพิสูจน์ของ [Hou และ Chen] จะไม่ทำงานหากไม่มีการวิเคราะห์ และการพิสูจน์จะไม่ทำงานหากไม่มีคอมพิวเตอร์ช่วย … ฉันคิดว่าคุณค่าคือการที่คนสามารถพูดได้สองภาษา”

ด้วยเหตุนี้ เดอ ลา เลฟจึงกล่าวว่า “มีเกมใหม่ในเมืองนี้”