นักคณิตศาสตร์รู้ได้อย่างไรว่าการพิสูจน์ของพวกเขาถูกต้อง?

ใครจะพูดอย่างมั่นใจเกี่ยวกับความไม่มีที่สิ้นสุดได้อย่างไร? เราสามารถรู้อะไรได้บ้างเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะลึกลับโดยที่ไม่รู้ทั้งหมด? เช่นเดียวกับที่นักวิทยาศาสตร์ต้องการข้อมูลเพื่อประเมินสมมติฐาน นักคณิตศาสตร์ก็ต้องการหลักฐานเพื่อพิสูจน์หรือหักล้างการคาดเดา แต่อะไรนับเป็นหลักฐานในขอบเขตที่จับต้องไม่ได้ของทฤษฎีจำนวน? ในตอนนี้ Steven Strogatz จะมาพูดคุยด้วย เมลานี แมทเชตต์ วูดศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด เพื่อเรียนรู้ว่าความน่าจะเป็นและการสุ่มสามารถช่วยสร้างหลักฐานสำหรับข้อโต้แย้งสุญญากาศที่นักคณิตศาสตร์เรียกร้องได้อย่างไร

ฟังต่อ Apple Podcasts, Spotify, Google Podcast, Stitcher, TuneIn หรือแอปพอดแคสต์ที่คุณชื่นชอบ หรือคุณจะ สตรีมจาก ควอนตั้ม.

สำเนา

สตีเว่น สโตรกัซ (00:02): ฉันชื่อ Steve Strogatz และนี่คือ ความสุขของทำไม, พอดคาสต์จาก นิตยสาร Quanta ที่จะพาคุณเข้าสู่คำถามที่ยังไม่มีคำตอบที่ใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ในปัจจุบัน ในครั้งนี้เราจะมาพูดถึง หลักฐานทางคณิตศาสตร์. นักคณิตศาสตร์ใช้หลักฐานประเภทใด อะไรทำให้พวกเขาสงสัยว่าบางสิ่งอาจเป็นจริงก่อนที่จะมีหลักฐานกันน้ำ

(00:26) อาจฟังดูขัดแย้งกัน แต่ปรากฎว่าการใช้เหตุผลตามทฤษฎีความน่าจะเป็น การศึกษาเรื่องโอกาสและความสุ่ม บางครั้งอาจนำไปสู่สิ่งที่นักคณิตศาสตร์กำลังตามหาอยู่ ซึ่งก็คือความแน่นอน ไม่ใช่แค่ความน่าจะเป็นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีจำนวน มีประวัติศาสตร์อันยาวนานในการใช้การสุ่มเพื่อช่วยให้นักคณิตศาสตร์เดาว่าอะไรเป็นความจริง ตอนนี้ ความน่าจะเป็นกำลังถูกใช้เพื่อช่วยพวกเขาพิสูจน์ว่าอะไรเป็นความจริง

(00:53) เราจะเน้นไปที่จำนวนเฉพาะ คุณคงจำเลขเฉพาะได้ใช่ไหม? คุณได้เรียนรู้เกี่ยวกับพวกเขาที่โรงเรียน จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ซึ่งสามารถหารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 7 หรือ 11 สิ่งเหล่านี้เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ 15 ไม่ใช่เพราะ 15 สามารถหารด้วย 3 หรือ 5 ได้เท่าๆ กัน คุณอาจนึกถึงจำนวนเฉพาะเหมือนกับองค์ประกอบในตารางธาตุเคมีในแง่หนึ่ง พวกมันคืออะตอมที่แบ่งแยกไม่ได้ซึ่งประกอบเป็นตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมด

(01:27) จำนวนเฉพาะดูเหมือนควรจะง่าย แต่ปริศนาที่ใหญ่ที่สุดบางประการในวิชาคณิตศาสตร์คือคำถามเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ในบางกรณีคำถามที่คาใจมานานหลายร้อยปี มีบางอย่างที่ละเอียดอ่อนมากเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ดูเหมือนพวกเขาจะอาศัยอยู่ในเขตแดนระหว่างความเป็นระเบียบและความสุ่ม แขกรับเชิญของฉันในวันนี้จะช่วยให้เราเข้าใจธรรมชาติของหลักฐานทางคณิตศาสตร์มากขึ้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่งว่าทำไมการสุ่มจึงบอกเราได้มากมายเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ และเหตุใดแบบจำลองที่อิงตามความน่าจะเป็นจึงมีประโยชน์มากในทฤษฎีตัวเลขที่ล้ำหน้า ที่จะมาร่วมพูดคุยเรื่องทั้งหมดนี้กับฉันตอนนี้คือ Melanie Matchett Wood ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ยินดีต้อนรับเมลานี!

เมลานี แมทเชตต์ วูด (02:09): สวัสดี ยินดีที่ได้คุยกับคุณ

สโตรกัซ (02:11): ดีใจที่ได้คุยกับคุณ ฉันเป็นแฟนตัวยง เรามาพูดถึงคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่สัมพันธ์กันเพราะคำต่างๆ มักจะใช้ร่วมกัน แต่เทคนิคที่เราใช้ในการพิสูจน์และความแน่นอนในคณิตศาสตร์นั้นค่อนข้างแตกต่างจากสิ่งที่เราพยายามทำในทางวิทยาศาสตร์ เช่นเวลาเราพูดถึงการรวบรวมหลักฐานทางคณิตศาสตร์จะเหมือนกันหรือแตกต่างกับการรวบรวมหลักฐานด้วยวิธีวิทยาศาสตร์ในทางวิทยาศาสตร์อย่างไร?

ไม้ (02:38): การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นการโต้แย้งเชิงตรรกะที่สมบูรณ์และแน่นหนาว่าการอ้างทางคณิตศาสตร์บางอย่างต้องเป็นแบบนั้น และไม่สามารถเป็นอย่างอื่นได้ แตกต่างจากทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ ซึ่งอาจเป็นสิ่งที่ดีที่สุดที่เรามีตามหลักฐานที่เรามีในปัจจุบัน แต่เราจะได้รับหลักฐานเพิ่มเติม ในอีก 10 ปีข้างหน้า และบางทีอาจจะมีทฤษฎีใหม่ - การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ บอกว่าคำบางคำต้องเป็นแบบนั้น เราไม่สามารถค้นพบได้ว่ามันจะผิดในอีก 10 ปีหรือ 20 ปีข้างหน้า

สโตรกัซ (03:17): แล้วมีเรื่องอะไรบ้างที่นับเป็นหลักฐานในวิชาคณิตศาสตร์?

ไม้ (03:19): ดังนั้น คุณอาจเห็นว่าบางสิ่งเป็นจริงในตัวอย่างมากมาย และตามความเป็นจริงในหลายๆ ตัวอย่าง ซึ่งคุณอาจพูดได้ว่าเป็นหลักฐานของข้อเท็จจริงนั้น คุณอาจคาดเดาได้สิ่งที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่าการคาดเดา การเดาว่าบางสิ่งเป็นจริง แต่แล้ว สิ่งที่นักคณิตศาสตร์ต้องการคือการพิสูจน์ว่าสิ่งที่คุณเห็นได้ผลในตัวอย่างมากมาย มักจะเป็นไปตามที่คุณอ้างไว้เสมอ

สโตรกัซ (03:49): ใช่ แตกต่างอย่างมากจากน้ำหนักของหลักฐาน นี่เป็นข้อความที่บอกว่ามีเหตุผลว่าทำไมบางสิ่งถึงเป็นจริงตลอดไป ตลอดกาล ในทุกกรณี

ไม้ (03:58): และไม่ใช่แค่ “โอ้ ฉันดูมาหลายล้านคดีแล้ว และมันเป็นเรื่องจริงในทุกกรณี” ซึ่งเป็นเหตุให้เดาหรือคาดเดาว่าจริงเสมอไป แต่ในทางคณิตศาสตร์ เราแยกความแตกต่างระหว่างการเดาที่อาจอิงจากกรณีหรือหลักฐานมากมาย กับการมีทฤษฎีบทหรือการพิสูจน์ ข้อโต้แย้งที่บอกคุณว่ามันจะได้ผลในทุกกรณี แม้แต่กรณีที่คุณมี ไม่ได้พยายาม

สโตรกัซ (04:25): ทีนี้ มันเป็นแค่ว่านักคณิตศาสตร์เป็นคนพิถีพิถันโดยธรรมชาติ หรือมีกรณีที่บางสิ่งที่ดูเหมือนเป็นจริง ไปจนถึงความเป็นไปได้มากมายมหาศาล สุดท้ายกลับกลายเป็นว่าไม่จริงเกินกว่าจำนวนมหาศาลอื่นๆ ?

ไม้ (04:39): โอ้ นั่นเป็นคำถามที่ดี นี่คือตัวอย่างที่ฉันชอบ เพราะฉันชอบจำนวนเฉพาะ ดังนั้นเมื่อคุณดูจำนวนเฉพาะ — 2, 3, 5, 7 — หนึ่งในสิ่งที่คุณสามารถทำได้ คุณอาจมองแล้วพูดว่า “เฮ้ พวกมันหารด้วย 2 ลงตัวหรือเปล่า?” และนั่นกลับกลายเป็นว่าไม่น่าสนใจมากนัก หลัง 2 ไม่มีตัวใดหารด้วย 2 ลงตัว. ล้วนเป็นคี่ล้วน.

(05:10) แล้วคุณอาจคิดว่า “พวกมันหารด้วย 3 ลงตัวหรือเปล่า?” และแน่นอน หลังจาก 3 ก็หารด้วย 3 ลงตัวไม่ได้เช่นกัน เนื่องจากเป็นจำนวนเฉพาะ. อย่างไรก็ตาม คุณอาจสังเกตเห็นว่าบางอันเมื่อคุณหารด้วย 3 คุณจะได้เศษ 1 ซึ่งมันมากกว่าผลคูณของ 1 เป็น 3 ดังนั้น เช่น 7 ซึ่งก็คือ 1 มากกว่า 6 หรือ 13 ซึ่งก็คือ 1 มากกว่า 12 และจำนวนเฉพาะบางตัว เช่น 11 หรือ 17 ซึ่งเท่ากับ 2 มากกว่า 15 จะมีเศษเป็น 2 เมื่อคุณหารด้วย 3 เพราะพวกมันมากกว่า 2 หลายเท่าของ 3

(05:47) และคุณก็นึกถึงช่วงเวลาสำคัญเหล่านี้ในทีมได้ ทีม 1 คือทีมทั้งหมดที่มากกว่าผลคูณของ 1 เป็น 3 และทีม 2 คือทีมทั้งหมดที่มากกว่าผลคูณของ 2 เป็น 3 และเมื่อคุณดูจำนวนเฉพาะและเขียนรายการจำนวนเฉพาะแล้ว คุณสามารถเขียนรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดได้ จำนวนเฉพาะและคุณสามารถนับได้ และดูว่ามีกี่ทีมในทีม 1 และมีกี่ทีมในทีม 2 และถ้าคุณทำสิ่งนั้นได้สูงถึง 600 พันล้าน ทุก ๆ จุด ทุก ๆ หมายเลขสูงถึง 600 พันล้าน คุณจะพบว่า มีจำนวนเฉพาะของทีม 2 มากกว่าจำนวนเฉพาะของทีม 1 ดังนั้น คุณอาจคาดเดาตามหลักฐานนั้นโดยธรรมชาติว่าจะมีจำนวนเฉพาะของทีม 2 มากกว่าจำนวนเฉพาะของทีม 1 เสมอ

สโตรกัซ (06:33): แน่นอน ฟังดูเหมือนมันเลย

ไม้: ปรากฎว่ามีจำนวนประมาณ 608 พันล้านบางอย่าง ฉันลืมตัวเลขที่แน่นอน มันเปลี่ยนไป

สโตรกัซ (06:46): โอ้ เอาน่า.

ไม้: ใช่ มันเปลี่ยนไปจริงๆ และทันใดนั้นทีม 1 ก็เป็นผู้นำ นั่นก็คือ-

สโตรกัซ (06:53): รอสักครู่. รอ แต่มันน่าทึ่งมาก อะไรนะ ตอนนี้พวกเขาเปลี่ยนแปลงอยู่เรื่อยๆ หรือเปล่า? เรารู้หรือไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณดำเนินต่อไป? พวกเขาเปลี่ยนแปลงไปเรื่อย ๆ หรือไม่?

ไม้ (07:01): ใช่ เป็นคำถามที่ดี จริงๆ แล้ว มันเป็นทฤษฎีบทที่พวกเขาจะเปลี่ยนลีดบ่อยครั้งไม่รู้จบ

สโตรกัซ (07:07): จริงเหรอ?

ไม้: ดังนั้นพวกเขาจะซื้อขายโอกาสในการขายต่อไป แต่นี่เป็นตัวอย่างที่ดีจริงๆ ที่ต้องจำไว้เสมอเมื่อคุณศึกษาจำนวนเฉพาะ การที่บางสิ่งเป็นจริงสำหรับ 600 พันล้านกรณีแรกไม่ได้หมายความว่ามันจะเป็นจริงเสมอไป

สโตรกัซ (07:25): โอ้ ว้าว. ดี. ตกลง. เช่นเดียวกับโดยทั่วไป คุณจะเปลี่ยนจากการคาดเดาไปสู่การพิสูจน์ได้อย่างไร

ไม้ (07:31): ขึ้นอยู่กับคดีนี้มาก ฉันหมายถึง มีหลายกรณีของคณิตศาสตร์ที่เรามีการคาดเดาแต่ไม่มีการพิสูจน์ ดังนั้นจึงไม่มีสูตรสำเร็จง่ายๆ ที่จะได้จากการคาดเดาไปสู่การพิสูจน์ ไม่อย่างนั้นเราจะไม่มีปัญหาเปิดที่มีชื่อเสียงมากมายที่มีบางอย่าง — การคาดเดาบางอย่างที่ผู้คนคิดว่าบางสิ่งทำงานในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง แต่เราทำไม่ได้ ไม่รู้แน่ชัด แต่คุณรู้ไหมว่าบางครั้งการคาดเดาอาจบอกเหตุผลที่บางสิ่งบางอย่างเป็นจริง บางครั้ง มันก็แค่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ที่สร้างขึ้นจากทฤษฎีทางคณิตศาสตร์มากขึ้นเรื่อยๆ ที่ผู้คนพัฒนามาเป็นเวลาหลายร้อยปี ทำให้เรามีเครื่องมือและโครงสร้างเพียงพอที่จะทำความเข้าใจสิ่งต่าง ๆ ที่เราคิดขึ้นมาจากการพิสูจน์ แต่ไม่ใช่ว่าการคาดเดาจะนำไปสู่การพิสูจน์เสมอไป การคาดเดาอาจเป็นแรงบันดาลใจให้ผู้คนพยายามค้นหาข้อพิสูจน์ แต่วิธีที่การพิสูจน์เกิดขึ้นอาจแยกออกจากการคาดเดาโดยสิ้นเชิง

สโตรกัซ (08:31): ใช่ ฉันสนใจที่จะแจกแจง หรือแสดงรายการหลักฐานประเภทต่างๆ ที่ไม่มีข้อพิสูจน์ ซึ่งทำให้ผู้คนมีความมั่นใจว่า คุ้มค่าที่จะลองหาข้อพิสูจน์

ไม้ (08:41): ใช่แล้ว อีกสิ่งหนึ่งที่เราอาจเรียกว่าเป็นหลักฐานที่ไม่ใช่แค่ตัวอย่างเท่านั้น จะเป็นการวิเคราะห์พฤติกรรม ฮิวริสติกอาจเป็นสิ่งที่คล้ายกับการโต้แย้ง ยกเว้นที่มีมาตรฐานที่เข้มงวดต่ำกว่ามาก มันก็เหมือนกับว่า มันดูโอเคไหม? ไม่ใช่ “ฉันได้พิสูจน์ข้อเท็จจริงข้อนี้โดยปราศจากข้อสงสัยใดๆ อย่างแน่นอนแล้วหรือ?” แต่ “ทำอย่างนั้น – ใช่ มันดูเป็นไปได้ทีเดียว” ดังนั้นฮิวริสติกอาจเป็นแนวทางการให้เหตุผลที่ดูน่าเชื่อถือ แต่จริงๆ แล้วไม่ใช่ข้อโต้แย้งที่เข้มงวด นั่นเป็นหลักฐานประเภทหนึ่ง

(09:12) บางครั้งอาจมีแบบจำลองที่เราคิดว่าจับองค์ประกอบสำคัญของระบบทางคณิตศาสตร์ที่เราพยายามทำความเข้าใจ ดังนั้นคุณจึงคาดเดาได้ว่าระบบของคุณมีพฤติกรรมเหมือนกับแบบจำลองของคุณ

สโตรกัซ (09:30): เอาล่ะ. เมื่อถึงจุดหนึ่ง ฉันต้องการฟังตัวอย่างของแบบจำลองและการคาดเดา และคุณรู้ไหมว่าแบบจำลองและการคาดเดาเหล่านี้ได้ผลหรือไม่ได้ผลกับคำถามบางข้อหรือไม่ได้ผลกับคำถามอื่นๆ บ้าง แต่ถ้าคุณไม่รังเกียจ ฉันจะ ชอบที่จะย้อนกลับไปสู่เรื่องส่วนตัวเล็กๆ น้อยๆ เพราะว่าเรากำลังพูดถึงตัวเลข และคุณเป็นนักทฤษฎีจำนวน ผู้คนอาจไม่รู้จักนักทฤษฎีจำนวนมากนักในชีวิตประจำวัน ฉันเลยสงสัยว่าคุณจะบอกเราได้ไหม ทฤษฎีจำนวนคืออะไรและทำไมคุณถึงคิดว่ามันน่าสนใจ? ทำไมคุณถึงมาเรียนมัน?

ไม้ (10:02) ทฤษฎีจำนวนคือการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของจำนวนเต็ม ลองคิดดู 1, 2, 3, 4, 5 และที่สำคัญอย่างหนึ่งในจำนวนเต็มก็คือจำนวนเฉพาะ. ดังที่คุณอธิบายไว้ ในตอนเริ่มต้น พวกมันเป็นส่วนสำคัญที่เราสามารถสร้างตัวเลขอื่นๆ ทั้งหมดขึ้นมาได้ผ่านการคูณ เนื่องจากทฤษฎีจำนวนเกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มทั้งหมด มันยังเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบหลัก จำนวนเฉพาะ และวิธีที่จำนวนอื่นๆ แยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ และอย่างไร พวกมันถูกสร้างขึ้นมาจากจำนวนเฉพาะ.

สโตรกัซ (10:37): ดังนั้น สำหรับจุดประสงค์ของเราในวันนี้ ทฤษฎีจำนวน น่าจะเป็นการศึกษาจำนวนเต็ม โดยสนใจเฉพาะจำนวนเฉพาะ นั่นดูเหมือนเป็นการเริ่มต้นที่ดีทีเดียว ฉันคิดว่ามันมากกว่านั้น แต่บางทีนั่นอาจเป็นคำจำกัดความที่ดีสำหรับเราตอนนี้ คุณคิดอย่างนั้นหรือเปล่า?

ไม้ (10:50): ดีเลย เป็นการเริ่มต้นที่ดี ฉันหมายถึง จากตรงนั้น เราจะสำรวจสิ่งต่างๆ เพิ่มเติม เช่น แล้วถ้าคุณเริ่มพิจารณาระบบตัวเลขที่ซับซ้อนมากกว่าแค่จำนวนเต็มล่ะ? เช่นเดียวกับที่คุณเริ่มใส่ตัวเลขอื่นๆ เช่น รากที่สองของ 2 แล้วจะเกิดอะไรขึ้นกับจำนวนเฉพาะและการแยกตัวประกอบ? คุณถูกนำไปสู่คำถามเพิ่มเติม แต่จริงๆ แล้ว มีคณิตศาสตร์ที่สวยงามและสมบูรณ์มากมาย เฉพาะจำนวนเต็มและจำนวนเฉพาะเท่านั้น

สโตรกัซ (11:16): เมื่อคำนึงถึงเรื่องนั้นแล้ว เหตุใดคุณจึงพบว่ามันน่าสนใจ ทำไมถึงชอบเรียนทฤษฎีจำนวน? อะไรทำให้คุณสนใจมัน?

ไม้ (11:22): ฉันคิดว่าฉันชอบที่คำถามสามารถเป็นรูปธรรมได้ รู้ไหม ฉันไปคุยกับเด็กประถม และฉันสามารถบอกพวกเขาถึงบางสิ่งที่ฉันคิดถึงได้ ดังนั้น มันสนุกสำหรับฉันที่ได้ทำงานบางอย่าง ซึ่งด้านหนึ่ง คำถามอาจเป็นรูปธรรมมาก แต่ในทางกลับกัน ปริศนาของการพยายามแก้ไข อาจเป็นเรื่องยากมาก ฉันหมายถึงว่า ผู้คนพยายามตอบคำถามเกี่ยวกับจำนวนเต็ม เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ มาเป็นเวลาหลายพันปีแล้ว

(11:54) และคณิตศาสตร์ก็มีหลายแขนง ส่วนสำคัญประการหนึ่งของทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่คือการที่จะก้าวหน้าต่อคำถามเก่าๆ ที่ยากไร้ซึ่งผู้คนพยายามทำมาเป็นเวลานาน เราจำเป็นต้องนำแนวคิดใหม่ๆ เข้ามา และจำเป็นต้องเชื่อมโยงกับส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ แม้ว่าฉันจะเรียกตัวเองว่าเป็นนักทฤษฎีจำนวน แต่ฉันก็ยังใช้คณิตศาสตร์จากหลากหลายสาขา ตั้งแต่การศึกษา เรขาคณิต โทโพโลยี และรูปทรงของปริภูมิ ไปจนถึงความน่าจะเป็นและการศึกษาความสุ่ม ฉันใช้คณิตศาสตร์ทุกประเภท แต่จะพยายามพูดบางอย่างเกี่ยวกับจำนวนเต็ม จำนวนเฉพาะ และการแยกตัวประกอบ

สโตรกัซ (12:36): ใช่ ฉันชอบวิสัยทัศน์ของคณิตศาสตร์ ที่เป็นเว็บความคิดขนาดยักษ์ที่เชื่อมโยงถึงกัน และคุณคงอยากอยู่ในส่วนใดส่วนหนึ่ง ที่คุณชื่นชอบที่สุด แต่คุณได้กล่าวถึงจำนวนเฉพาะว่าเป็นประเด็นเฉพาะที่น่าสนใจในทฤษฎีจำนวน ซึ่งเป็นส่วนพื้นฐานที่สุดของทฤษฎีนี้จริงๆ มีอะไรยากเกี่ยวกับพวกเขา? ในการสนทนาของเรายังไม่ชัดเจน มีอะไรลึกลับที่นั่น? เช่นเดียวกับที่เรากำหนดไว้ เราอาจจะสามารถแสดงรายการพวกมันต่อไปได้ ฉันคิดว่า ปัญหาที่คุณอ้างถึงซึ่งมีอายุหลายร้อยปีมีอะไรบ้าง

ไม้ (13:05): หนึ่งในคำถามที่ใหญ่ที่สุดและสำคัญที่สุด ซึ่งอาจมีอายุประมาณ 120 ปีโดยประมาณ ก็คือคุณพูดว่า "โอ้ คุณลองเขียนคำถามเหล่านั้นดูสิ ถ้าทำแบบนั้นจะเจอกี่ตัว?” สมมติว่าคุณระบุจำนวนเฉพาะ มากถึงหนึ่งร้อย หรือหนึ่งพัน หรือหนึ่งแสน หรือหนึ่งล้าน หนึ่งพันล้าน ในขณะที่คุณเขียนจำนวนเฉพาะให้เป็นจำนวนที่มากขึ้นเรื่อยๆ ตัวเลขที่คุณอ่านทั้งหมดจะเป็นจำนวนเฉพาะจำนวนเท่าใด ดังนั้นการทำความเข้าใจว่าปริมาณจึงเป็นหัวใจสำคัญของการ สมมติฐานของรีมันน์ซึ่งเป็นหนึ่งในสถาบันเคลย์คณิต ปัญหารางวัลสหัสวรรษมีรางวัลล้านดอลลาร์สำหรับคำตอบ มันเป็นคำถามที่มีชื่อเสียงที่สุดข้อหนึ่ง และเราไม่รู้ว่าจะต้องทำอย่างไร และจริงๆ แล้วมันเป็นคำถามที่ว่า เมื่อคุณเขียนจำนวนเฉพาะเหล่านั้น คุณจะพบจำนวนเท่าใด

สโตรกัซ (13:58): เอาล่ะ. มันตลกใช่มั้ย? เพราะเมื่อคุณเริ่มเขียนรายการ แม้ว่าใครบางคนเพิ่งเริ่มเขียนรายการตัวเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะมากถึง 100 อย่างไม่ได้ตั้งใจ คุณก็จะสังเกตเห็นเรื่องตลกๆ บางอย่าง เช่น วันที่ 11 และ 13 แรก พวกเขาห่างกัน 2 คน สิบห้า นั่นไม่ได้ผล เพราะมันหารด้วย 5 กับ 3 ลงตัว. แล้ว 17 ตอนนี้ก็มีช่องว่างเป็น 4 ระหว่าง 13 กับ 17. แต่ 19 ก็กลับมาใกล้อีกครั้ง. ไม่รู้สิ ฉันหมายถึง ระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะจึงเกะกะได้ เหมือนบางครั้งจะมีช่องว่างขนาดใหญ่ในนั้น และบางครั้งก็อยู่ติดกัน โดยห่างกันเพียง 2

ไม้ (14:31): ใช่แล้ว การทำความเข้าใจว่าระยะห่างและช่องว่างเหล่านั้นเป็นคำถามใหญ่ที่น่าสนใจเช่นกัน มีความก้าวหน้าที่น่าทึ่งในทศวรรษที่ผ่านมาในการทำความเข้าใจระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ แต่ก็ยังมีคำถามพื้นฐานที่ยั่วเย้าจริงๆ ซึ่งเราไม่รู้คำตอบ คุณบอกว่าจำนวนเฉพาะเหล่านี้ 11 กับ 13 อยู่ห่างกันแค่ 2. จำนวนเฉพาะดังกล่าวจึงเรียกว่าจำนวนเฉพาะคู่ เราไม่สามารถคาดหวังให้จำนวนเฉพาะจะเข้าใกล้กันมากกว่า 2 ได้อีก เพราะหลังจาก 2 แล้ว พวกมันทั้งหมดจะต้องเป็นเลขคี่ นี่เป็นคำถามเปิดในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งหมายความว่าเราไม่ทราบคำตอบ นั่นคือ: จำนวนเฉพาะคู่มีมากมายนับไม่ถ้วน? และตรงนี้ มีการคาดเดา การคาดเดาก็คือ ใช่ ฉันหมายถึง ไม่เพียงแต่มีการคาดเดาว่า “ใช่ สิ่งเหล่านี้ควรจะคงอยู่ตลอดไป และควรมีมากกว่านี้เสมอ” แต่ยังมีการคาดเดาเกี่ยวกับว่าคุณจะพบได้มากแค่ไหนเมื่อคุณดำเนินไป แต่นั่นก็เปิดกว้างอย่างสมบูรณ์ เท่าที่เรารู้ อาจเป็นได้ว่าเมื่อคุณได้จำนวนที่มากจริงๆ มันก็หยุดแล้วคุณจะไม่พบจำนวนเฉพาะคู่อีกต่อไป

สโตรกัซ (15:40): มีบางอย่างที่ไพเราะมากเกี่ยวกับเรื่องนั้น ฉุนเฉียว ความคิดแบบนั้น นั่นอาจเป็นจุดสิ้นสุดของบรรทัดในบางจุด ฉันหมายความว่าเราทั้งสองคนคงไม่เชื่ออย่างนั้น แต่ฉันเดาว่ามันเป็นไปได้ ที่จะมีคู่ฝาแฝดโดดเดี่ยวคู่สุดท้ายซุกตัวอยู่ในความมืด คุณก็รู้ บนเส้นจำนวนออกไป

ไม้ (15:57): ใช่ อาจมีก็ได้ และในฐานะนักคณิตศาสตร์ เราจะบอกว่า เราไม่รู้ แม้ว่าคุณจะสร้างกราฟตามจำนวนที่คุณพบได้ แต่ถ้าคุณพลอตกราฟนั้น ดูเหมือนว่ากราฟจะขึ้นๆ ลงๆ ในอัตราที่ไม่มีทางจะพลิกกลับแน่นอน แต่ฉันเดาว่านั่นเป็นส่วนหนึ่งของความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ก็คือเราเก็บความสงสัยนั้นไว้และพูดว่า เราไม่รู้ ฉันหมายถึง บางที ในบางจุด กราฟก็แค่พลิกกลับ และไม่มีอีกแล้ว

สโตรกัซ (16:29): นั่นล่ะ — ฉันชอบภาพของคุณที่เป็นกราฟ เพราะฉันคิดว่าทุกคนสามารถเชื่อมโยงกับแนวคิดนี้ คือการสร้างแผนภูมิ หรือการสร้างกราฟบางประเภทได้ คุณรู้ไหมว่าการคิดถึงจำนวนเฉพาะก็เหมือนกับข้อมูล และผมคิดว่านี่อาจเป็นเวลาที่ดี ที่เราจะหันมาเริ่มพูดถึงทฤษฎีความน่าจะเป็น และดูแปลกนิดหน่อยที่จะพูดถึงความน่าจะเป็นและสถิติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะ เพราะไม่มีโอกาสเกี่ยวข้อง จำนวนเฉพาะถูกกำหนดโดยนิยามที่เราให้ไว้ ซึ่งหารไม่ลงตัว. แต่นักคณิตศาสตร์และนักทฤษฎีจำนวน เช่นคุณ กลับใช้ข้อโต้แย้งทางสถิติหรือความน่าจะเป็น ในการคิดเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ ฉันสงสัยว่าคุณจะวาดภาพแบบนั้นให้ฉันโดยใช้การพลิกเหรียญ แล้วกลับมาที่สิ่งที่เราพูดถึงตอนต้น เลขคี่และเลขคู่ได้ไหม

ไม้ (17:14): เอาล่ะ จริงๆ แล้วเราเข้าใจรูปแบบของเลขคี่และเลขคู่เป็นอย่างดี ซึ่งต่างจากจำนวนเฉพาะ แน่นอนว่าพวกมันเป็นคี่ คู่ คี่ คู่ แต่สมมติว่าเราไม่เข้าใจรูปแบบนั้น และเราใช้สิ่งนี้เพื่อทำความเข้าใจว่าคุณอาจพบเลขคี่จำนวนเท่าใดหากคุณดูตัวเลขทั้งหมดจนถึงหนึ่งล้าน คุณคงจินตนาการได้ เนื่องจากมีความเป็นไปได้สองประการ ตัวเลขหนึ่งอาจเป็นเลขคี่หรือเลขคู่ อาจมีบางคนไปพลิกเหรียญสำหรับแต่ละหมายเลข และถ้าเหรียญขึ้นหัว ตัวเลขนั้นจะเป็นเลขคี่ และถ้าเหรียญขึ้นหาง ตัวเลขก็จะเป็นเลขคู่ ดังนั้น คุณจึงสามารถให้คนโยนเหรียญเดินไปตามเส้นจำนวน โยนเหรียญที่แต่ละหมายเลข แล้วมันขึ้นมาว่า ประกาศว่าเลขนั้นเป็นเลขคี่หรือเลขคู่

(18:03) ในแง่หนึ่ง นั่นมันเป็นเรื่องไร้สาระ ในทางกลับกัน รูปแบบการหยอดเหรียญจะทำให้บางสิ่งบางอย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณบอกว่า คุณรู้คร่าวๆ ว่าจำนวนนับถึงล้านเป็นเลขคู่กี่จำนวน? เรารู้ว่าจำนวนการโยนเหรียญโดยประมาณที่อาจพลิกกลับ หากคุณโยนเหรียญจำนวนมาก เช่น หนึ่งล้าน ก็คือประมาณครึ่งหนึ่ง ดังนั้น โมเดลนั้น ถึงแม้ว่าจะโง่เขลา แต่ก็ยังสามารถทำนายบางอย่างได้อย่างถูกต้อง และฉันควรจะบอกว่านั่นอาจฟังดูงี่เง่าเพราะเรารู้คำตอบสำหรับคำถามนั้นแล้ว แนวคิดก็คือเราสร้างแบบจำลองสำหรับรูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ตำแหน่งที่จำนวนเฉพาะปรากฏท่ามกลางตัวเลข แทนที่จะเป็นเพียงตำแหน่งที่อัตราต่อรองปรากฏ

สโตรกัซ (18:55): ใช่. ฉันหมายถึง ฉันคิดว่าเราต้องเน้นย้ำสิ่งนั้น — ว่าจำนวนเฉพาะนั้นลึกลับเพียงใด ไม่มีสูตรสำหรับจำนวนเฉพาะ มีแต่สูตรสำหรับเลขคี่ เช่น ถ้าคุณคิดว่า โอ้ เอาล่ะ นี่คือ -- เรากำลังพูดถึงเรื่องไร้สาระตรงนี้ การมีแบบจำลองทางสถิติที่สามารถทำนายคุณสมบัติที่เป็นคุณสมบัติโดยเฉลี่ยได้นั้นมีประโยชน์มาก เช่นเดียวกับอะนาล็อก ครึ่งหนึ่งของตัวเลขที่น้อยกว่าจำนวนมากจะเป็นคี่ นี่คือสิ่งที่ ในกรณีของจำนวนเฉพาะ เป็นคำถามที่น่าสนใจและจริงจังมาก เศษส่วนของจำนวนใดที่น้อยกว่าจำนวนมากจึงเป็นจำนวนเฉพาะ? และอย่างที่คุณพูด คุณสามารถสร้างแบบจำลองทางสถิติที่ทำให้ถูกต้องได้ แล้วอะไรล่ะ, โมเดลเดียวกันนั้นสามารถใช้ทำนายได้ว่าจะมีจำนวนเฉพาะคู่จำนวนเท่าใดที่น้อยกว่าจำนวนมาก? รุ่นเดียวกันทำงานได้ดีในกรณีนี้หรือไม่?

ไม้ (19:41): ดังนั้น ในกรณีของจำนวนเฉพาะ หากเรากำลังสร้างแบบจำลอง — คุณก็รู้ และมีแบบจำลองที่นักคณิตศาสตร์ใช้เรียกว่า แบบจำลอง Cramér ของจำนวนเฉพาะ — หากเรากำลังสร้างแบบจำลองการพลิกเหรียญของจำนวนเฉพาะ โดยจินตนาการว่ามีคนกำลังเดินไปตามเส้นจำนวน และในแต่ละหมายเลข คุณก็รู้ โดยการโยนเหรียญเพื่อตัดสินใจว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ เราจะ รวมเท่าที่เรารู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะลงในโมเดลนั้น อย่างแรกเลย เรารู้ว่าจำนวนมากมีโอกาสเป็นจำนวนเฉพาะน้อยกว่าจำนวนที่น้อยกว่า ดังนั้นเหรียญเหล่านั้นจะต้องถูกถ่วงน้ำหนัก และเรา -- เราต้องพยายามใส่น้ำหนักตามที่เราคาดหวังให้แม่นยำ และเรารู้ว่าอย่างเช่น คุณไม่สามารถมีจำนวนเฉพาะสองตัวติดกัน เพราะตัวหนึ่งต้องเป็นเลขคี่ และตัวหนึ่งต้องเป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเราจึงใส่สิ่งนั้นลงในโมเดล แล้วยังมีอีกหลายอย่างที่เรารู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ

(20:37) แบบจำลองนี้เป็นสิ่งที่เริ่มต้นด้วยแบบจำลองการพลิกเหรียญ แต่หลังจากนั้น มันถูกแก้ไขโดยกฎอื่นๆ เหล่านี้ และอย่างอื่นทั้งหมดที่เรารู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ และเมื่อคุณใส่สิ่งที่เรารู้ทั้งหมดลงในแบบจำลองแล้ว คุณก็จะถามว่าแบบจำลองการพลิกเหรียญ คุณเห็นไหม บ่อยครั้งเป็นอนันต์ว่าเหรียญจะแยกออกจากกันเพียง 2 เท่าเท่านั้น และแบบจำลองจะบอกคุณว่า โอ้ ใช่ เราเห็นสิ่งนั้นแล้ว อันที่จริงเราเห็นในอัตราเฉพาะเจาะจงนี้ซึ่งเราสามารถให้สูตรแก่คุณได้ แล้ว ถ้าคุณวาดกราฟจำนวนไพรม์คู่จริง ในจำนวนจริง โดยที่ไม่มีการพลิกเหรียญ เทียบกับสิ่งที่แบบจำลองทำนาย คุณจะเห็นว่าแบบจำลองนี้ให้การทำนายที่แม่นยำมากสำหรับจำนวนคู่ของไพรม์คู่ คุณจะพบเมื่อคุณดำเนินไป แล้วคุณก็คิดว่า บางทีโมเดลนี้อาจรู้ว่ามันกำลังพูดถึงอะไร

สโตรกัซ (21:31): เยี่ยมมาก ฉันหมายถึงว่ามันสำคัญมาก สิ่งที่เราเพิ่งไปถึงจุดนั้น คุณยังไม่เคยใช้คำว่าคอมพิวเตอร์เลย แต่ฉันคิดว่าคุณไม่ได้ทำสิ่งนี้ด้วยมือ ฉันไม่รู้ว่าคนที่กำลังพูดถึงไพรม์คู่อยู่ เรากำลังพูดถึงอะไรอยู่? ล้านล้านล้านล้านล้าน? ฉันหมายความว่านี่เป็นตัวเลขจำนวนมากที่เรากำลังพูดถึงใช่ไหม?

ไม้ (21:49): สำหรับรายการจำนวนเฉพาะคู่ นั่นคือ — จะต้องทำด้วยคอมพิวเตอร์อย่างแน่นอน แต่สำหรับการสร้างโมเดลนี้และมากับสูตรที่โมเดลให้มา คุณรู้ไหมว่ามันทำด้วยมือ โดยนักคณิตศาสตร์กำลังคิดเกี่ยวกับแบบจำลองและหาคำตอบจากมัน

สโตรกัซ (22:07): เจ๋งมาก นั่นคือจุดที่แบบจำลองกำลังแสดงสิ่งต่างๆ แบบจำลองจึงสามารถคาดเดาสิ่งที่คอมพิวเตอร์เห็นได้จริง และไม่ต้องใช้คอมพิวเตอร์ในการทำนายแบบนั้น ซึ่งสามารถทำได้ด้วยมือ คน และนำไปสู่การพิสูจน์ได้จริงๆ ยกเว้นว่ามันเป็นการพิสูจน์คุณสมบัติของแบบจำลอง แต่ยังไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ถึงสิ่งที่คุณสนใจ

ไม้ (22:28): ใช่แล้ว. และเมื่อถึงจุดหนึ่ง คอมพิวเตอร์ก็หยุดทำงาน คุณรู้ไหมว่ามีพลังในการคำนวณมากมายเท่านั้น แต่สูตรนั้นที่คุณจะได้ แบบจำลองจะให้ ที่คุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง อีกครั้ง เกี่ยวกับแบบจำลองสถานการณ์การพลิกเหรียญ สูตรนั้นจะดำเนินต่อไป คุณสามารถใส่ตัวเลขที่มากขึ้นเรื่อยๆ ลงในสูตรนั้น ซึ่งมากกว่าที่คอมพิวเตอร์ของคุณเคยคำนวณมามาก

สโตรกัซ (22:53): คุณได้เล่าให้เราฟังบ้างแล้วว่าการสุ่มช่วยสร้างแบบจำลองของปรากฏการณ์ที่น่าสนใจในทฤษฎีจำนวนได้อย่างไร และผมแน่ใจว่ามันจะเป็นจริงในส่วนอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ด้วย มีบางกรณีที่คุณสามารถใช้การสุ่มเพื่อพิสูจน์จริง ไม่ใช่แค่แบบจำลองหรือไม่

ไม้ (23:10): แน่นอน. คณิตศาสตร์อีกสาขาหนึ่งเรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็น และในทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับระบบสุ่มและพฤติกรรมของมัน และคุณอาจคิดว่า ถ้าคุณเริ่มต้นด้วยบางสิ่งแบบสุ่ม และคุณทำอะไรบางอย่างกับมัน คุณจะมีสิ่งสุ่มอยู่เสมอ แต่สิ่งที่สวยงามอย่างน่าทึ่งประการหนึ่งที่เราพบในทฤษฎีความน่าจะเป็น ก็คือบางครั้ง คุณก็จะได้สิ่งที่กำหนดไว้ได้ จากสิ่งที่สุ่มขึ้นมา

สโตรกัซ (23:45): มันทำงานยังไง? เช่นอะไร?

ไม้ (23:48): ใช่. คุณคงเคยเห็นเส้นโค้งระฆัง หรือการแจกแจงแบบปกติ นักคณิตศาสตร์คงเรียกมันว่า ปรากฏอยู่ทั่วทุกแห่งในธรรมชาติ ดูเหมือนว่าถ้าคุณดูความดันโลหิตของคน น้ำหนักแรกเกิดของทารก หรืออะไรสักอย่าง และคุณอาจคิดว่า โอ้ เส้นโค้งระฆังนี้ ว่านี่คือ a มันคือข้อเท็จจริงของธรรมชาติ แต่ที่จริง มีทฤษฎีบทหนึ่ง เรียกว่าทฤษฎีบทลิมิตจุดศูนย์กลางในทฤษฎีความน่าจะเป็น ที่บอกคุณว่า จริงๆ แล้ว เส้นโค้งรูประฆังนี้ ในแง่หนึ่ง ไม่ใช่ข้อเท็จจริงของธรรมชาติ แต่เป็นข้อเท็จจริงของคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทขีดจำกัดกลางจะบอกคุณว่าหากคุณรวมเอฟเฟกต์สุ่มเล็กๆ ทั้งหมดเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ของผลลัพธ์นั้นจะตรงกับการแจกแจงที่แน่นอนเสมอ รูปร่างนี้ โค้งระฆังนี้ คณิตศาสตร์และทฤษฎีความน่าจะเป็นสามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้าคุณมี — ถ้าคุณรวมสิ่งสุ่มอิสระเล็กๆ น้อยๆ หลายๆ ชิ้นเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ของการรวมกันทั้งหมดนั้นจะทำให้คุณได้การกระจายตัวที่ดูเหมือนเส้นโค้งระฆังนี้ แม้ว่าคุณจะไม่รู้ว่าอินพุตเป็นอย่างไรก็ตาม และนั่นคือทฤษฎีบทที่ทรงพลังมาก และเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังจริงๆ ในวิชาคณิตศาสตร์

สโตรกัซ (25:05): ใช่ มันเป็นอย่างนั้นอย่างแน่นอน และฉันชอบที่คุณเน้นว่าคุณไม่จำเป็นต้องรู้ว่าเกิดอะไรขึ้นกับเอฟเฟกต์เล็กๆ น้อยๆ สิ่งนั้นสิ่งนั้นจะถูกชะล้างออกไป ข้อมูลนั้นไม่จำเป็น เส้นโค้งระฆังเป็นสิ่งที่คาดเดาได้ แม้ว่าคุณจะไม่รู้ว่าธรรมชาติของเอฟเฟกต์เล็กๆ น้อยๆ คืออะไรก็ตาม ตราบใดที่มีมากและมีน้อย และไม่ส่งผลกระทบต่อกันและกัน ใช่แล้ว พวกเขาเป็นอิสระในบางแง่

ไม้ (25:27): ใช่เลย และนั่นคือแนวคิด บางครั้งเรียกว่าความเป็นสากลในทฤษฎีความน่าจะเป็น ว่ามีเครื่องจักรบางประเภท ที่ถ้าคุณใส่อินพุตแบบสุ่มเข้าไปจำนวนมาก คุณสามารถทำนายผลลัพธ์ได้ เช่น คุณจะได้เส้นโค้งระฆังนี้ หรือการแจกแจงแบบปกติ แม้ว่าคุณจะไม่รู้ว่าคุณใส่อะไรเข้าไปในเครื่องก็ตาม และนั่นจะทรงพลังอย่างเหลือเชื่อเมื่อมีสิ่งที่เราไม่เข้าใจเป็นอย่างดี เพราะ-

สโตรกัซ (25:56): แต่คุณกำลังบอกฉันว่า — โอ้ ฉันขอโทษที่ตัดคุณออก — แต่คุณกำลังบอกฉันว่าสิ่งนี้เกิดขึ้นในทฤษฎีจำนวนด้วยหรือไม่ เรากำลังทำให้แนวคิดเรื่องความเป็นสากลปรากฏในทฤษฎีจำนวนใช่ไหม? หรือฉันกำลังฝัน?

ไม้ (26:09): ในระดับหนึ่ง ฉันจะบอกว่านั่นคือความฝันของฉันที่กำลังเริ่มต้น คุณรู้ไหม เราแค่เพียง เรากำลังดำเนินการขั้นแรกเพื่อให้มันเกิดขึ้นจริง ดังนั้นมันจึงไม่ใช่แค่ความฝันของคุณ แต่เป็นความฝันของฉันด้วย งานบางอย่างที่ฉันทำในวันนี้ และที่เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันกำลังทำอยู่ กำลังพยายามทำให้ความฝันแบบนั้นเป็นจริง เพื่อว่าคำถามปริศนาบางข้อเกี่ยวกับตัวเลขที่เราไม่รู้คำตอบ บางทีเราอาจทำได้ เข้าใจว่ามีรูปแบบที่ออกมา เช่น เส้นโค้งระฆัง เหมือนการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าออกมาจากเครื่องจักร แม้ว่าเราจะไม่รู้ว่ามีอะไรลึกลับแฝงอยู่ก็ตาม

สโตรกัซ (26:55): มันเป็นภาพที่สร้างแรงบันดาลใจและน่าตื่นเต้นมาก จริงๆ แล้วฉันหวังว่าทุกอย่างจะเกิดขึ้น ขอบคุณมากที่พูดคุยกับเราวันนี้เมลานี

ไม้ (27:03): ขอบคุณ. นี่สนุกมาก

ผู้ประกาศ (27:06): ถ้าคุณชอบ ความสุขของทำไม, เช็คเอาท์ พอดคาสต์วิทยาศาสตร์นิตยสาร Quantaซึ่งจัดโดยฉัน Susan Valot หนึ่งในโปรดิวเซอร์ของรายการนี้ นอกจากนี้ บอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับพอดแคสต์นี้ และกดไลค์หรือติดตามจากแหล่งที่คุณฟัง มันช่วยให้ผู้คนค้นพบ ความสุขของทำไม พอดคาสต์

สโตรกัซ (27: 26): ความสุขของทำไม เป็นพอดคาสต์จาก นิตยสาร Quantaซึ่งเป็นสิ่งพิมพ์อิสระด้านบรรณาธิการที่สนับสนุนโดยมูลนิธิไซมอนส์ การตัดสินใจด้านเงินทุนโดยมูลนิธิ Simons ไม่มีผลต่อการเลือกหัวข้อ แขกรับเชิญ หรือการตัดสินใจด้านบรรณาธิการอื่นๆ ในพอดคาสต์นี้หรือใน นิตยสาร Quanta. ความสุขของทำไม ผลิตโดย Susan Valot และ Polly Stryker บรรณาธิการของเราคือ John Rennie และ Thomas Lin โดยได้รับการสนับสนุนจาก Matt Carlstrom, Annie Melchor และ Leila Sloman เพลงประกอบของเราแต่งโดย Richie Johnson โลโก้ของเราคือ Jackie King และงานศิลปะสำหรับตอนนี้คือ Michael Driver และ Samuel Velasco ฉันเป็นเจ้าภาพของคุณ สตีฟ สโตรกัทซ์ หากคุณมีคำถามหรือความคิดเห็นใดๆ สำหรับเรา โปรดส่งอีเมลถึงเราที่ quanta@simonsfoundation.org ขอบคุณสำหรับการฟัง.