คณิตศาสตร์อย่างง่ายช่วยขับเคลื่อนเข็มได้อย่างไร | นิตยสารควอนต้า

ลองจินตนาการว่าคุณกำลังกลิ้งไปตามถนนด้วยรถยนต์ไร้คนขับ เมื่อคุณพบปัญหาข้างหน้า คนขับรถส่งของของ Amazon ขึ้นรถตู้ผ่านรถบรรทุก UPS ที่จอดอยู่สองคันไปครึ่งทาง ก่อนที่จะรู้ตัวว่าไม่สามารถผ่านไปได้ ตอนนี้พวกเขาติดอยู่ และคุณก็เช่นกัน

ถนนแคบเกินกว่าจะดึง U-ey ออกได้ ดังนั้นรถยนต์ที่ปรับปรุงด้วย AI ของคุณจึงเริ่มเลี้ยวสามจุด ประการแรก รถใช้ทางโค้งไปยังขอบถนนด้านหนึ่ง เมื่อถึงจุดนั้น มันจะเลี้ยวไปทางอื่นและถอยกลับไปทางขอบถนนฝั่งตรงข้าม จากนั้นจะหมุนพวงมาลัยกลับไปในทิศทางของทางโค้งแรกโดยขับไปข้างหน้าและออกจากสิ่งกีดขวาง

อัลกอริธึมทางเรขาคณิตง่ายๆ ในการเลี้ยวกลางคันนี้สามารถช่วยให้คุณเข้าโค้งได้ในสถานการณ์คับขัน (ถ้าคุณเคยจอดรถขนานกัน คุณจะรู้ว่าการขยับไปมาสามารถทำอะไรให้คุณได้บ้าง)

มีปัญหาทางคณิตศาสตร์สนุกๆ เกี่ยวกับพื้นที่ที่คุณต้องใช้ในการเลี้ยวรถ และนักคณิตศาสตร์ก็ได้พัฒนาเวอร์ชันในอุดมคติของรถมาเป็นเวลากว่า 100 ปีแล้ว เรื่องราวเริ่มต้นในปี 1917 เมื่อนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โซอิจิ คาเคยะ ประสบปัญหาที่ฟังดูคล้ายกับรถติดของเราเล็กน้อย สมมติว่าคุณมีเข็มเส้นหนึ่งที่บางเป็นอนันต์ซึ่งมีความยาว 1 พื้นที่ของบริเวณที่เล็กที่สุดที่คุณสามารถหมุนเข็มได้ 180 องศาแล้วกลับไปสู่ตำแหน่งเดิมคือเท่าใด สิ่งนี้เรียกว่าปัญหาเข็มของคาเคยะ และนักคณิตศาสตร์ยังคงศึกษารูปแบบต่างๆ ของมัน เรามาดูเรขาคณิตง่ายๆ ที่ทำให้ปัญหาเข็มของ Kakeya น่าสนใจและน่าประหลาดใจกันดีกว่า

เช่นเดียวกับปัญหาทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับสมมติฐานที่ทำให้ง่ายขึ้นซึ่งทำให้สมจริงน้อยลงแต่สามารถจัดการได้ดีกว่า ตัวอย่างเช่น ความยาวและความกว้างของรถยนต์มีความสำคัญเมื่อคุณขับรถ แต่เราถือว่าเข็มของเรามีความยาว 1 และความกว้างเป็นศูนย์ (ซึ่งหมายความว่าเข็มนั้นมีพื้นที่เป็นศูนย์ ซึ่งมีบทบาทสำคัญในการช่วยให้เราแก้ไขปัญหาได้) นอกจากนี้ เราจะถือว่าเข็มสามารถหมุนรอบส่วนหน้าและส่วนหลังของเข็มได้ไม่เหมือนกับรถยนต์ หรือจุดใดจุดหนึ่งระหว่างนั้น

เป้าหมายคือการหาบริเวณที่เล็กที่สุดที่ทำให้เข็มหมุนได้ 180 องศา การค้นหาสิ่งเล็กๆ น้อยๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขที่กำหนดอาจเป็นเรื่องที่ท้าทาย แต่วิธีเริ่มต้นที่ดีคือการมองหาสิ่งใดก็ตามที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านั้น และดูว่าคุณสามารถเรียนรู้อะไรได้บ้างระหว่างทาง ตัวอย่างเช่น คำตอบง่ายๆ คือเพียงหมุนเข็ม 180 องศารอบจุดสิ้นสุด แล้วเลื่อนกลับขึ้น ซึ่งจะทำให้เข็มกลับสู่ตำแหน่งเดิม แต่ตอนนี้เข็มชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม ตามที่ Kakeya ต้องการ

พื้นที่ที่จำเป็นสำหรับการเลี้ยวคือครึ่งวงกลมที่มีรัศมี 1 ซึ่งมีพื้นที่ $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ 1}{2} ไพ = frac{pi}{2}$. ดังนั้นเราจึงพบภูมิภาคหนึ่งที่ใช้ได้ผล

เราสามารถทำได้ดีขึ้นโดยใช้ประโยชน์จากความสามารถของเข็มทางคณิตศาสตร์ที่มีมนต์ขลังในการหมุนรอบจุดใดก็ได้ แทนที่จะหมุนรอบจุดสิ้นสุด ให้หมุนรอบจุดกึ่งกลางแทน

คุณอาจเรียกสิ่งนี้ว่าเข็มทิศคาเคยะ เข็มของเราเริ่มชี้ไปทางเหนือ แต่เมื่อหมุนแล้ว ก็อยู่ที่จุดเดิมแต่ชี้ไปทางทิศใต้ บริเวณนี้เป็นวงกลมที่มีรัศมี $latex frac{1}{2}$ ดังนั้นพื้นที่ของมันคือ $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. นี่เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ภูมิภาคแรกของเรา ดังนั้นเราจึงมีความคืบหน้า

ไปไหนต่อ? เราสามารถใช้แรงบันดาลใจจากภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกของรถยนต์ไร้คนขับของเรา และลองใช้วิธีหมุนเข็มสามจุด มันใช้งานได้ค่อนข้างดีจริงๆ

บริเวณที่เข็มกวาดออกไปโดยใช้เทคนิคนี้เรียกว่าเดลทอยด์ และก็เป็นไปตามข้อกำหนดของคาเคยะเช่นกัน การคำนวณพื้นที่ต้องใช้มากกว่าเรขาคณิตเบื้องต้นที่เรากำลังพูดถึงอยู่นี้ (ความรู้เกี่ยวกับเส้นโค้งพาราเมตริกช่วยได้) แต่ปรากฎว่าพื้นที่ของเดลทอยด์นี้ — พื้นที่ที่ถูกกวาดออกไปด้วยส่วนของเส้นตรงที่ยาว 1 — มีค่าเท่ากับ $latex พอดี frac{pi}{8}$. ตอนนี้ เรามีขอบเขตที่เล็กกว่านั้นอีก ซึ่งเราสามารถหมุนเข็มของคาเคยะได้ และคุณอาจได้รับการอภัยที่คิดว่านี่คือสิ่งที่ดีที่สุดที่เราสามารถทำได้ คาเคยะเองก็คิดว่ามันอาจจะเป็นแบบนั้น

แต่ปัญหาเรื่องเข็มนี้กลับพลิกผันครั้งใหญ่ เมื่ออับราม เบซิโควิช นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียค้นพบว่าคุณทำได้ดีกว่าอย่างไม่มีที่สิ้นสุด เขาได้คิดขั้นตอนในการตัดส่วนที่ไม่จำเป็นของภูมิภาคออกจนเหลือน้อยที่สุดตามที่เขาต้องการ

กระบวนการนี้เป็นเทคนิคและซับซ้อน แต่กลยุทธ์หนึ่งที่อิงตามแนวคิดของ Besicovitch นั้นอาศัยแนวคิดง่ายๆ สองแนวคิด ขั้นแรก ให้พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากด้านล่าง โดยมีความสูง 1 และฐาน 2

ในตอนนี้ เราจะลืมเรื่องการหมุนเข็มไปรอบๆ และมุ่งความสนใจไปที่ข้อเท็จจริงง่ายๆ ข้อหนึ่ง: ถ้าเราวางเข็มที่มีความยาว 1 ไว้ที่จุดยอดบน สามเหลี่ยมนั้นจะใหญ่พอที่จะให้เข็มหมุนได้เต็ม 90 องศาจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง

เนื่องจากพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ $latex A=frac{1}{2}bh$ สามเหลี่ยมนี้จึงมีพื้นที่ $latex A=frac{1}{2} คูณ 2 คูณ 1 = 1$

ต่อไปนี้เป็นแนวคิดสำคัญข้อแรก: เราสามารถลดพื้นที่ของภูมิภาคโดยคงการหมุน 90 องศาไว้ได้ กลยุทธ์นั้นง่ายมาก: เราตัดสามเหลี่ยมลงตรงกลาง แล้วดันทั้งสองซีกเข้าด้วยกัน

พื้นที่ของรูปใหม่นี้จะต้องน้อยกว่าของเดิมเพราะตอนนี้บางส่วนของสามเหลี่ยมทับซ้อนกัน ที่จริงแล้ว มันง่ายที่จะคำนวณพื้นที่ของรูป: มันเป็นเพียงสามในสี่ของกำลังสองของด้าน 1 ดังนั้นพื้นที่คือ $latex A = frac{3}{4}$ ซึ่งน้อยกว่าพื้นที่ของ สามเหลี่ยมที่เราเริ่มต้นด้วย

และเรายังคงสามารถชี้เข็มไปในทิศทางเดิมทั้งหมดได้เหมือนเดิม มีปัญหาเพียงอย่างเดียวคือ มุมเดิมถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน ดังนั้น ทิศทางเหล่านั้นจึงถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนที่แยกจากกัน

หากเข็มอยู่ทางด้านซ้ายของขอบเขตใหม่ เราสามารถหมุนได้ 45 องศาระหว่างใต้และตะวันออกเฉียงใต้ และหากเข็มอยู่ทางขวา เราก็สามารถหมุนได้ 45 องศาระหว่างใต้และตะวันตกเฉียงใต้ แต่เนื่องจากทั้งสองส่วนแยกออกจากกัน มันดูไม่เหมือนว่าเราจะหมุนได้เต็ม 90 องศาเหมือนแต่ก่อนเลย

นี่คือที่มาของแนวคิดสำคัญประการที่สอง มีวิธีลับๆ ในการดึงเข็มจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งโดยไม่ต้องใช้พื้นที่มาก ในหมากรุก คุณอาจรู้ว่าอัศวินเคลื่อนที่เป็นรูปตัว L เข็มของเราจะเคลื่อนที่เป็นรูป N

นี่คือวิธีการทำ ขั้นแรกให้เข็มเลื่อนขึ้นด้านหนึ่งของ N จากนั้นเข็มจะหมุนเพื่อชี้ไปตามแนวทแยงและเลื่อนลง จากนั้นมันจะหมุนอีกครั้งและสิ้นสุดการเดินทางโดยเลื่อนขึ้นไปอีกด้านของ N

ในตอนแรกการเคลื่อนไหวรูปตัว N นี้อาจดูไม่มากนัก แต่มันมีประโยชน์มาก ช่วยให้เข็มสามารถ "กระโดด" จากเส้นคู่ขนานหนึ่งไปอีกเส้นหนึ่งได้ ซึ่งจะช่วยให้เรานำเข็มจากบริเวณหนึ่งไปยังอีกบริเวณหนึ่งได้ ที่สำคัญสามารถทำได้โดยไม่ต้องใช้พื้นที่มากนัก ในความเป็นจริงคุณสามารถทำให้ใช้พื้นที่น้อยได้ตามต้องการ นี่คือเหตุผล

จำไว้ว่าเข็มของเรามีความกว้างเป็นศูนย์ ดังนั้นเส้นใดๆ ที่เข็มเคลื่อนที่ไปข้างหน้าหรือข้างหลังจะมีพื้นที่เป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าบริเวณที่ต้องขยับเข็มขึ้น ลง หรือแนวทแยงตามรูปร่าง N จะประกอบด้วยชิ้นส่วนที่มีพื้นที่เป็นศูนย์

นั่นแค่ปล่อยให้การหมุนอยู่ที่มุมของรูปร่าง N

การเคลื่อนไหวเหล่านี้ต้องใช้พื้นที่ คุณสามารถมองเห็นวงกลมเล็กๆ ในแต่ละมุมได้ แต่นี่คือส่วนที่ลึกลับ: คุณสามารถทำให้บริเวณเหล่านี้เล็กลงได้โดยการยืดเส้น N ให้ยาวขึ้น

สูตรสำหรับพื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมคือ $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$ โดยที่ $latex theta$ คือการวัดมุมของเซกเตอร์ในหน่วยองศา ไม่ว่า N จะสูงแค่ไหน รัศมีของเซกเตอร์จะเป็น 1 เสมอ นั่นคือความยาวของเข็ม แต่เมื่อ N สูงขึ้น มุมก็จะลดลง ซึ่งจะทำให้พื้นที่ของเซกเตอร์ลดลง ดังนั้น คุณสามารถทำให้พื้นที่เพิ่มเติมมีขนาดเล็กเท่าที่คุณต้องการโดยขยาย N ออกให้มากที่สุดเท่าที่คุณต้องการ

โปรดจำไว้ว่าเราสามารถลดพื้นที่ของขอบเขตสามเหลี่ยมของเราได้โดยการแยกออกเป็นสองส่วนและทำให้แต่ละส่วนทับซ้อนกัน ปัญหาคือการแบ่งมุม 90 องศาออกเป็นสองส่วน ทำให้เราไม่สามารถหมุนเข็มได้เต็ม 90 องศา ตอนนี้เราสามารถแก้ไขปัญหานั้นได้โดยการยึดรูปทรง N ที่เหมาะสมเพื่อให้แน่ใจว่าเข็มมีทางเดินจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง

ในภูมิภาคที่อัปเดตนี้ เข็มยังคงสามารถหมุนได้เต็ม 90 องศาเหมือนเมื่อก่อน ตอนนี้เกิดขึ้นในสองขั้นตอน ขั้นแรกให้เข็มหมุน 45 องศาและเรียงตามขอบแนวตั้งทางด้านซ้าย ต่อไปจะเคลื่อนไปตามรูปตัว N เพื่อไปอีกด้าน เมื่อถึงจุดนั้นแล้ว ก็หมุนอีก 45 องศาได้อย่างอิสระ

วิธีนี้จะขยับเข็ม 90 องศา และเพื่อให้เข็มหมุน คุณเพียงเพิ่มสำเนาที่หมุนแล้วของขอบเขต

ด้วยการเพิ่มรูปทรง N ที่เหมาะสม เข็มสามารถกระโดดจากคาบสมุทรสามเหลี่ยมหนึ่งไปยังอีกคาบสมุทรหนึ่ง โดยหมุนตัวเองทีละนิดจนทะลุไปรอบๆ เช่นเดียวกับรถที่ทำการเลี้ยวสามจุด

มีรายละเอียดทางคณิตศาสตร์ที่ชั่วร้ายมากกว่า แต่แนวคิดทั้งสองนี้ — ที่ว่าเราสามารถลดพื้นที่ของขอบเขตดั้งเดิมได้อย่างต่อเนื่องโดยการแบ่งมันออกแล้วขยับไปรอบๆ ในขณะที่ทำให้แน่ใจว่าเราจะได้ชิ้นส่วนทีละชิ้นโดยใช้รูปร่าง N ที่เล็กตามอำเภอใจ — ช่วยเรา ขยับเข็มในบริเวณที่หดตัวตลอดเวลาซึ่งอาจมีขนาดเล็กเท่าที่คุณต้องการในที่สุด

วิธีการที่เป็นมาตรฐานมากขึ้นในการสร้างภูมิภาคประเภทนี้จะเริ่มต้นด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า และใช้ "ต้นไม้ Perron" ซึ่งเป็นวิธีที่ชาญฉลาดในการผ่าสามเหลี่ยมขึ้นและยืดออก และเลื่อนชิ้นส่วนกลับเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้ค่อนข้างน่าทึ่ง

เมื่อเร็ว ๆ นี้นักคณิตศาสตร์ได้ มีความคืบหน้า เกี่ยวกับรูปแบบใหม่ของปัญหาเก่านี้ ตั้งอยู่ในมิติที่สูงกว่าและมีแนวคิดเรื่องขนาดที่แตกต่างกัน เราอาจจะไม่เคยเห็นรถที่ขับเคลื่อนด้วย AI ติดตามการเลี้ยวแบบเข็ม Kakeya แต่เรายังคงสามารถชื่นชมความสวยงามและความเรียบง่ายของความว่างเปล่าที่ใกล้เข้ามา

การออกกำลังกาย

1. พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เล็กที่สุดซึ่งทำหน้าที่เป็นชุดเข็มคาเคยะคือเท่าใด

2. คุณสามารถทำอะไรได้ดีกว่าสามเหลี่ยมด้านเท่าเล็กน้อยในแบบฝึกหัดที่ 1 โดยใช้ "สามเหลี่ยม Reuleaux" ซึ่งเป็นบริเวณที่เกิดจากส่วนวงกลมสามส่วนที่ทับซ้อนกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยม Reuleaux ที่เล็กที่สุดที่ใช้ได้คือเท่าใด?