บทนำ
ลองนึกภาพว่ามีตารางหกเหลี่ยมที่มีลักษณะคล้ายรวงผึ้งทอดยาวอยู่ตรงหน้าคุณ รูปหกเหลี่ยมบางอันว่างเปล่า บ้างก็เต็มไปด้วยเสาคอนกรีตแข็งสูง 6 ฟุต ผลลัพธ์ที่ได้คือเขาวงกตแปลกๆ เป็นเวลากว่าครึ่งศตวรรษแล้วที่นักคณิตศาสตร์ตั้งคำถามเกี่ยวกับเขาวงกตที่สร้างขึ้นแบบสุ่มเช่นนี้ เว็บที่ใหญ่ที่สุดของเส้นทางเคลียร์ใหญ่แค่ไหน? โอกาสที่จะมีเส้นทางจากขอบด้านหนึ่งไปยังศูนย์กลางของตารางแล้วกลับออกมาอีกครั้งมีอะไรบ้าง? โอกาสเหล่านั้นจะเปลี่ยนไปอย่างไรเมื่อตารางขยายขนาด โดยเพิ่มรูปหกเหลี่ยมที่ขอบมากขึ้นเรื่อยๆ
คำถามเหล่านี้ตอบได้ง่ายหากมีพื้นที่ว่างมากหรือมีคอนกรีตมาก สมมติว่ารูปหกเหลี่ยมทุกรูปถูกกำหนดสถานะโดยการสุ่ม โดยไม่ขึ้นอยู่กับรูปหกเหลี่ยมอื่นๆ ทั้งหมด โดยมีความน่าจะเป็นที่คงที่ทั่วทั้งตาราง อาจมีโอกาส 1% ที่แต่ละรูปหกเหลี่ยมจะว่างเปล่า คอนกรีตอัดแน่นอยู่ในกริด เหลือเพียงช่องอากาศเล็กๆ อยู่ระหว่างนั้น ทำให้โอกาสในการค้นหาเส้นทางไปยังขอบเป็นศูนย์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในทางกลับกัน หากมีโอกาส 99% ที่รูปหกเหลี่ยมแต่ละรูปจะว่างเปล่า ก็จะมีผนังคอนกรีตกระจัดกระจายบางๆ กั้นแนวพื้นที่เปิดโล่ง ซึ่งไม่ใช่เขาวงกตมากนัก การค้นหาเส้นทางจากจุดศูนย์กลางไปยังขอบในกรณีนี้เป็นสิ่งที่ค่อนข้างแน่นอน
สำหรับกริดขนาดใหญ่ จะมีการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันอย่างน่าทึ่งเมื่อความน่าจะเป็นถึง 1/2 เช่นเดียวกับที่น้ำแข็งละลายเป็นน้ำของเหลวที่อุณหภูมิ XNUMX องศาเซลเซียส ลักษณะของเขาวงกตจะเปลี่ยนไปอย่างมากที่จุดเปลี่ยนนี้ ซึ่งเรียกว่าความน่าจะเป็นวิกฤต ต่ำกว่าความน่าจะเป็นวิกฤต ตารางส่วนใหญ่จะอยู่ใต้คอนกรีต ในขณะที่เส้นทางที่ว่างเปล่ามักจะมาถึงทางตันเสมอ เหนือความน่าจะเป็นที่สำคัญ ผืนดินขนาดใหญ่ถูกปล่อยให้ว่างเปล่า และกำแพงคอนกรีตจะพังทลายลงอย่างแน่นอน หากคุณหยุดที่ความน่าจะเป็นวิกฤตอย่างแน่นอน รูปธรรมและความว่างเปล่าจะสมดุลกัน โดยไม่มีใครสามารถครองเขาวงกตได้
“ ณ จุดวิกฤติ สิ่งที่ปรากฏคือระดับความสมมาตรที่สูงกว่า” กล่าว ไมเคิล ไอเซนแมน, นักฟิสิกส์คณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน “นั่นเป็นการเปิดประตูสู่กลุ่มคณิตศาสตร์จำนวนมหาศาล” นอกจากนี้ยังมีการใช้งานจริงกับทุกสิ่งตั้งแต่การออกแบบหน้ากากป้องกันแก๊สพิษไปจนถึงการวิเคราะห์ว่าโรคติดเชื้อแพร่กระจายอย่างไรหรือน้ำมันซึมผ่านหินได้อย่างไร
ใน กระดาษที่โพสต์เมื่อฤดูใบไม้ร่วงปีที่แล้วในที่สุดนักวิจัยสี่คนก็ได้คำนวณโอกาสในการค้นหาเส้นทางสำหรับเขาวงกตที่มีความน่าจะเป็นวิกฤตที่ 1/2
การแข่งขันอาวุธ
ในฐานะนักศึกษาปริญญาเอกในฝรั่งเศสในช่วงกลางทศวรรษ 2000 ปิแอร์ โนลิน ศึกษาสถานการณ์ความน่าจะเป็นวิกฤตอย่างละเอียด เขาคิดว่าเขาวงกตแบบสุ่มนั้นเป็น "แบบจำลองที่สวยงามจริงๆ อาจเป็นหนึ่งในแบบจำลองที่ง่ายที่สุดที่คุณสามารถประดิษฐ์ได้" เมื่อใกล้สิ้นสุดการศึกษาระดับปริญญาเอกซึ่งเขาสำเร็จการศึกษาในปี 2008 โนลินรู้สึกทึ่งกับคำถามที่ท้าทายอย่างยิ่งเกี่ยวกับพฤติกรรมของตารางหกเหลี่ยมที่ความน่าจะเป็นวิกฤต สมมติว่าคุณสร้างตารางรอบจุดศูนย์กลางเพื่อให้มันใกล้เคียงกับวงกลม และคุณสุ่มสร้างเขาวงกตของคุณจากจุดนั้น โนลินต้องการสำรวจโอกาสที่คุณจะสามารถค้นหาเส้นทางที่เปิดกว้างซึ่งทอดยาวจากขอบไปยังตรงกลางและถอยออกไปโดยไม่ต้องถอยกลับ นักคณิตศาสตร์เรียกสิ่งนี้ว่าเป็นเส้นทางที่มีสองแขนแบบเอกรงค์ เนื่องจาก "แขน" ทั้งภายในและภายนอกอยู่บนเส้นทางเปิด (บางครั้งกริดดังกล่าวก็คิดว่าประกอบด้วยสองสีที่ต่างกัน เช่น สีฟ้าอ่อนและสีน้ำเงินเข้ม แทนที่จะเป็นเซลล์เปิดและปิด) หากคุณเพิ่มขนาดของเขาวงกต ความยาวของเส้นทางที่ต้องการก็จะยาวขึ้นเช่นกัน และโอกาสที่จะพบเส้นทางดังกล่าวก็จะน้อยลงเรื่อยๆ แต่โอกาสจะลดลงเร็วแค่ไหนเมื่อเขาวงกตใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ?
คำถามที่เกี่ยวข้องกันง่ายกว่าได้รับคำตอบเมื่อหลายสิบปีก่อน คำนวณตั้งแต่ปี 1979 โดย มาร์เซล เดน ไนจ์ส ประมาณการโอกาสที่คุณจะพบเส้นทางหรือแขนเดียวจากขอบถึงศูนย์กลาง (ตรงกันข้ามกับข้อกำหนดของโนลินที่ว่าต้องมีแขนข้างหนึ่งเข้าและอีกข้างหนึ่งแยกออก) งานของเดน นิจส์ทำนายว่าโอกาสที่จะพบแขนข้างหนึ่งในตารางหกเหลี่ยมนั้นเป็นสัดส่วนกับ $latex 1/n^{5/48}$ , ที่ไหน n คือจำนวนแผ่นกระเบื้องจากศูนย์กลางถึงขอบหรือรัศมีของตาราง ในปี พ.ศ. 2002 เกรกอรี ลอว์เลอร์, โอเดด ชรามม์ และ เวนเดลิน เวอร์เนอร์ ในที่สุด พิสูจน์แล้วว่า ว่าคำทำนายข้างเดียวนั้นถูกต้อง เพื่อระบุปริมาณความน่าจะเป็นที่ลดลงเมื่อขนาดของตารางเพิ่มขึ้น นักวิจัยใช้เลขชี้กำลังจากตัวส่วน 5/48 ซึ่งเรียกว่าเลขชี้กำลังแขนข้างเดียว
Nolin ต้องการคำนวณเลขชี้กำลังสองแขนแบบเอกรงค์เดียวที่เข้าใจยากกว่า การจำลองเชิงตัวเลขในปี 1999 แสดงให้เห็นว่ามันใกล้กับ 0.3568 มาก แต่นักคณิตศาสตร์ล้มเหลวในการระบุค่าที่แน่นอนของมัน
การคำนวณที่เรียกว่าเลขชี้กำลังสองแขนหลายสีนั้นง่ายกว่ามาก ซึ่งระบุโอกาสที่ไม่เพียงแต่จะพบเส้นทาง "เปิด" ไปยังเส้นรอบวงเท่านั้น แต่ยังพบเส้นทาง "ปิด" ที่แยกจากกันด้วย (คิดว่าเส้นทางปิดเป็นเหมือนเส้นทางที่ลัดเลาะไปตามยอดกำแพงคอนกรีตของเขาวงกต) ในปี 2001 Stanislav Smirnov และ Werner พิสูจน์แล้วว่า ว่าเลขชี้กำลังนี้คือ 1/4 (เนื่องจาก 1/4 มีขนาดใหญ่กว่า 5/48 อย่างมาก $latex 1/n^{1/4}$ จะหดตัวเร็วกว่า $latex 1/n^{5/48}$ เนื่องจาก n เติบโตขึ้น ดังนั้น โอกาสของโครงสร้างสองแขนแบบโพลีโครมาติกจะต่ำกว่าโอกาสของแขนข้างเดียวอย่างมาก อย่างที่ใครๆ คาดไว้)
การคำนวณดังกล่าวอาศัยความรู้เกี่ยวกับรูปร่างของกลุ่มในกราฟเป็นอย่างมาก ลองนึกภาพว่าเขาวงกตที่มีความน่าจะเป็นวิกฤตนั้นมีขนาดใหญ่มาก ประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมหลายล้านรูป ตอนนี้ให้หากลุ่มของรูปหกเหลี่ยมว่างๆ แล้วลากตามขอบของกระจุกด้วย Sharpie สีดำหนา นี่อาจจะไม่ทำให้เกิดหยดกลมๆ ธรรมดาๆ เมื่อมองจากระยะไกลหลายไมล์บนอากาศ คุณจะเห็นเส้นโค้งที่บิดเบี้ยวซึ่งถอยกลับเป็นสองเท่าอย่างต่อเนื่อง ซึ่งมักจะดูเหมือนราวกับว่ามันกำลังจะข้ามตัวเองแต่ไม่เคยมุ่งมั่นเลย
นี่คือเส้นโค้งประเภทหนึ่งที่เรียกว่าเส้นโค้ง SLE ซึ่งแนะนำโดย Schramm ใน กระดาษ 2000 ที่สร้างนิยามใหม่ของสนาม นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาโอกาสในการค้นหาเส้นทางเปิดหนึ่งเส้นทางและเส้นทางปิดหนึ่งเส้นทางรู้ดีว่าเส้นทางเหล่านั้นต้องอยู่ภายในกลุ่มของพื้นที่เปิดและปิดที่ใหญ่ขึ้น ซึ่งท้ายที่สุดจะบรรจบกันตามเส้นโค้ง SLE คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของเส้นโค้ง SLE แปลเป็นข้อมูลอันล้ำค่าเกี่ยวกับเส้นทางภายในเขาวงกต แต่หากนักคณิตศาสตร์ค้นหาเส้นทางประเภทเดียวกันหลายเส้นทาง เส้นโค้ง SLE จะสูญเสียประสิทธิภาพไปมาก
ภายในปี พ.ศ. 2007 โนลินและผู้ร่วมงานของเขา วินเซนต์ เบฟฟารา ได้สร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขขึ้นมา โดยแสดงให้เห็นว่าเลขชี้กำลังสองแขนแบบเอกรงค์มีค่าประมาณ 0.35 ซึ่งใกล้เคียงกับ 17/48 อย่างน่าสงสัย — ผลรวมของเลขชี้กำลังแขนเดียว 5/48 และเลขชี้กำลังสองแขนหลายสี 1/4 (หรือ 12/48) “17/48 น่าทึ่งจริงๆ” โนลินกล่าว เขาเริ่มสงสัยว่า 17/48 คือคำตอบที่แท้จริง หมายความว่ามีการเชื่อมโยงง่ายๆ ระหว่างเลขชี้กำลังประเภทต่างๆ คุณก็บวกมันเข้าด้วยกันได้ “เราบอกว่า โอเค มันดีเกินกว่าที่จะพูดเท็จ มันจะต้องเป็นจริง”
บทนำ
ไม่มีการคาดเดาของ Nolin และ Beffara มาสักระยะหนึ่งแล้ว แม้ว่า Nolin จะโพสต์ไว้บนเว็บไซต์ของเขาเพื่อให้ผู้อื่นนำไปใช้งานก็ตาม เขาย้ายไปฮ่องกงในปี 2017 เพื่อรับตำแหน่งศาสตราจารย์ที่ City University of Hong Kong และยังคงแก้ไขปัญหานี้ต่อไป เมื่อปี 2018 เขาได้หยิบยกเลขยกมาสนทนาด้วย เว่ยเฉียนซึ่งขณะนั้นเป็นนักศึกษาปริญญาเอกที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ในประเทศอังกฤษ Qian กำลังศึกษาเรขาคณิตแบบสุ่มในบริบทต่อเนื่องมากกว่าบริบทที่ไม่ต่อเนื่อง โดยเน้นที่เส้นโค้ง SLE เป็นพิเศษ เธออยู่ท่ามกลางโปรเจ็กต์ที่ใช้ SLE ในการคำนวณเลขชี้กำลังในแบบจำลองสุ่มประเภทต่างๆ และโนลินเริ่มสงสัยว่าความเชี่ยวชาญของเธอเกี่ยวข้องกับเลขชี้กำลังสองแขนแบบเอกรงค์เช่นกัน ในไม่ช้าทั้งคู่ก็พบสมการที่ดูเรียบง่ายซึ่งคำตอบจะให้ค่าเลขชี้กำลัง แต่สมการนั้นอาศัยปริมาณกลางที่เกี่ยวข้องกับช่องว่างที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้ง SLE ที่ขอบของตาราง โนลินและเฉียนไม่สามารถปักหมุดหมายเลขนั้นลงไปได้
“ฉันทำการคำนวณมากมาย แต่ก็ยังไม่สามารถคำนวณคุณสมบัตินี้ได้” Qian กล่าว “ฉันทำไม่สำเร็จ ฉันก็เลยหยุดไปสักพัก”
“เราไม่เคยพูดถึงเรื่องนี้ให้ใครฟังเพราะไม่แน่ใจว่าจะมีประโยชน์หรือไม่” นลินกล่าวเสริม
เลขชี้กำลังกระดูกสันหลัง
เลขชี้กำลังสองแขนแบบเอกรงค์นั้นน่าสนใจเป็นพิเศษเพราะมันยังอธิบายถึง "แกนหลัก" ของตารางด้วย นั่นคือการรวมกลุ่มของรูปหกเหลี่ยมที่เชื่อมต่อกับแขนที่แตกต่างกันสองแขนซึ่งขยายไปยังสองแขนที่ไม่ทับซ้อนกัน: หนึ่งอันถึงขอบของเขาวงกตและอีกอันหนึ่งถึง ศูนย์กลางของมัน เมื่อไซต์เหล่านี้ถูกเติมสี มันจะสร้างเว็บที่ทอดยาวไปทั่วตารางและเรียกว่าแกนหลัก เมื่อนักวิจัยจำลองการแพร่กระจายของโรคหรือการก่อตัวของหินที่มีรูพรุน กระดูกสันหลังคือทางหลวงที่จุลินทรีย์หรือน้ำมันสามารถไหลไปได้ เลขชี้กำลังที่ Nolin และ Qian ต้องการเผยให้เห็นขนาดของกระดูกสันหลังและเรียกว่าเลขชี้กำลังของกระดูกสันหลัง
โนลินและเฉียนไม่ใช่คนเดียวที่อยู่หลังกระดูกสันหลัง ซินซุนซึ่งในขณะนั้นที่มหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนีย ก็ได้พยายามคำนวณเลขชี้กำลังแกนหลักเช่นกัน ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา Sun และผู้ร่วมงาน รวมถึง Nina Holden จากมหาวิทยาลัยนิวยอร์ก ได้ค้นพบวิธีที่จะศึกษาเส้นโค้ง SLE โดยใช้พื้นผิวแฟร็กทัลแบบสุ่ม พื้นผิวโค้งที่แผ่กิ่งก้านสาขาเหล่านี้มีขอบสแกลลอปที่ขยายออกเป็นไม้เลื้อยยาว บางจุดอยู่ไม่ไกลจากเพื่อนบ้าน ในขณะที่บางจุดใช้เวลาเดินทางนานหลายเดือน ในบางสถานที่ เอฟเฟกต์เหล่านี้รุนแรงเกินกว่าจะมองเห็นได้ “เป็นไปไม่ได้เลยที่จะวาดมัน” โฮลเดนกล่าวอย่างแม่นยำ “คุณจะต้องยืดพื้นผิวให้มาก”
ในฤดูร้อนปี 2022 ซุนได้เกณฑ์จือเจี๋ย จ้วง นักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาปีที่สอง เข้าร่วมการศึกษาเขาวงกตสุ่มที่มีความน่าจะเป็นวิกฤต พวกเขาพิจารณาเขาวงกตแบบสุ่มโดยที่รูปหกเหลี่ยมวางอยู่บนพื้นผิวแฟร็กทัลแบบสุ่ม แทนที่จะอยู่บนระนาบเรียบ เนื่องจากโอกาสเป็นตัวกำหนดว่าพื้นผิวจะถูกยืดและบีบอัดมากน้อยเพียงใด พื้นผิวจึงมีคุณสมบัติเฉพาะตัว (คุณสมบัติเหล่านี้ยังทำให้พื้นผิวดังกล่าวมีประโยชน์สำหรับนักฟิสิกส์ที่ศึกษาแบบจำลองแรงโน้มถ่วงควอนตัมในจักรวาลสองมิติ โดยตั้งชื่อให้พวกเขาว่า พื้นผิวแรงโน้มถ่วงควอนตัม Liouville) ตัวอย่างเช่น หากคุณใช้กรรไกรไปที่พื้นผิวดังกล่าว รูปร่างของ สองซีกไม่พึ่งพาซึ่งกันและกัน “ความเป็นอิสระแบบนั้นทำให้สิ่งต่าง ๆ ง่ายขึ้นอย่างมาก” กล่าว สก็อตเชฟฟิลด์ ของสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ เมื่อสิ่งต่างๆ เกิดขึ้นแบบสุ่ม คุณจะรู้เกี่ยวกับสิ่งเหล่านั้นน้อยลง แต่นั่นอาจหมายถึงข้อมูลที่ต้องคำนึงถึงน้อยลง
ในตอนแรก ซุนและจ้วงพยายามหาความน่าจะเป็นที่จะมีเส้นทางเปิดที่เชื่อมวงกลมเล็กๆ รอบจุดศูนย์กลางของตารางเข้ากับวงกลมที่ใหญ่กว่าที่อยู่รอบๆ หลังจากที่พวกเขาตอบคำถามนั้น ซันเสนอให้มีความทะเยอทะยานขึ้นไปอีกขั้น โดยคำนวณโอกาสที่มีสองเส้นทางเชื่อมต่อวงกลมที่ซ้อนกัน ซึ่งจะทำให้พวกเขาสามารถคำนวณเลขชี้กำลังของกระดูกสันหลังได้ แต่ไม่นานพวกเขาก็พบกับความยากลำบาก “เราลองใช้วิธีนี้มาหลายเดือนแล้ว แต่การคำนวณดูเหมือนจะไม่สามารถทำได้มากนัก” จ้วงเขียนในอีเมล
บทนำ
ในขณะเดียวกัน แม้ว่า Nolin และ Qian จะไม่ประสบความสำเร็จในการค้นหาค่าของเลขยกกำลัง แต่พวกเขาก็ก้าวหน้าไปในทางอื่น Qian ลางานจากตำแหน่งที่ศูนย์วิจัยวิทยาศาสตร์แห่งชาติฝรั่งเศส และร่วมงานกับ Nolin ในตำแหน่งศาสตราจารย์ที่ City University of Hong Kong (ทั้งคู่แต่งงานกันด้วย) ในฤดูร้อนปี 2021 เธอบังเอิญพบเอกสารบางฉบับของซันและผู้ร่วมงานของเขาที่ทำให้เธอสนใจ ดังนั้นเมื่อข้อจำกัดการเดินทางเกี่ยวกับโรคระบาดถูกยกเลิก เธอจึงวางแผนจะไปเยือนสถาบันเพื่อการศึกษาขั้นสูงในพรินซ์ตันในเดือนธันวาคม 2022 รัฐนิวเจอร์ซีที่ซึ่งซันใช้เวลาตลอดปี
มันพิสูจน์การมาเยือนที่ทำกำไรได้ ขณะที่เคียนอธิบายสมการที่เธอและโนลินพบ ซันเริ่มคิดว่ามันอาจคล้อยตามเทคนิคของเขาและจ้วงในการซ้อนเขาวงกตบนพื้นผิวแรงโน้มถ่วงควอนตัมของลิอูวิลล์ “มันเป็นเรื่องบังเอิญ” ซันกล่าว “คนหนึ่งมีกุญแจ คนหนึ่งมีกุญแจ”
จ้วงค่อนข้างสงสัย “เราไม่มีการคาดการณ์ และเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าสูตรนี้จะมีวิธีแก้ปัญหาที่ดีหรือไม่” เขากล่าว โดยอธิบายถึงสถานการณ์ในขณะนั้น ซุนและจ้วงใช้เวลาหลายเดือนต่อมาโดยใช้เทคนิคแรงโน้มถ่วงควอนตัมลิอูวิลล์ ซึ่งเป็นกุญแจสำคัญ เพื่อปลดล็อกปริมาณที่เข้าใจยากในสมการของโนลินและเฉียนเมื่อหลายปีก่อน นั่นคือตัวล็อค
หลังจากทำงานสี่เดือน ซุนและจ้วงก็ได้เปิดล็อคเชิงเปรียบเทียบ ซันส่งอีเมลถึงจ้วง เฉียน และโนลิน โดยประกาศว่า: “ข่าวดี: สูตรที่แน่นอนสำหรับเลขชี้กำลังกระดูกสันหลัง” เขาพบว่าคำตอบคือนิพจน์รากที่สองและฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ที่ซับซ้อนปานกลาง มันสอดคล้องกับการประมาณการก่อนหน้านี้ กระแสตัวเลขไม่สิ้นสุดเริ่มต้นด้วย 0.3566668
ทั้งสี่คนเปลี่ยนงานของพวกเขาเป็นงานเขียน ปรับปรุงข้อโต้แย้งจนกระทั่งแนวคิดจาก Nolin และ Qian ในด้านหนึ่ง และ Sun และ Zhuang อีกด้านหนึ่ง รวมกันเพื่อสร้างข้อพิสูจน์ว่า Sheffield ซึ่งเป็นที่ปรึกษาระดับปริญญาเอกของ Sun เรียกว่า "คนสวย" อัญมณี." “กลยุทธ์การพิสูจน์นั้นน่าประหลาดใจและแปลกใหม่อย่างแน่นอน แต่เมื่อคุณเห็นมัน มันก็เป็นสิ่งที่ให้ความรู้สึกเป็นธรรมชาติเช่นกัน” โฮลเดนกล่าว
โนลินคร่ำครวญถึงข้อสงสัยของเขาในปี 2011 ว่าเลขชี้กำลังคือ 17/48 พอดี “เราทำให้สนามผิดพลาดมาระยะหนึ่งแล้ว ฉันไม่ภูมิใจกับมันมากนัก” เลขชี้กำลังของแกนหลักแตกต่างอย่างมากจากค่าที่ใกล้เคียงกันแบบหลายสี ไม่เพียงแต่มันไร้เหตุผลเท่านั้น แต่ยังเป็นเรื่องเหนือธรรมชาติอีกด้วย ซึ่งหมายความว่า $latex pi$ และ eไม่สามารถเขียนเป็นคำตอบของสมการพหุนามอย่างง่ายได้
“การพิสูจน์ไม่ได้อธิบายจริงๆ ว่าสูตรนี้มาจากไหน” เขากล่าว “เราได้แสดงมันให้นักฟิสิกส์เห็นแล้ว และเรากำลังรอคอยข้อมูลเชิงลึกของพวกเขาจริงๆ”
ลักษณะเหนือธรรมชาติของเลขชี้กำลังกระดูกสันหลังดึงดูดความสนใจของผู้อื่นในสาขานี้ Gregory Huber จาก Chan Zuckerberg Biohub ผู้ร่วมเขียน บทความต่อไป เกี่ยวกับเลขชี้กำลังกระดูกสันหลัง เขาคิดว่าผลลัพธ์คือ “การเหลือบมองครั้งแรกของทวีปใหม่” ในกลศาสตร์ทางสถิติ แม้ว่าการรวมเส้นโค้ง SLE และแรงโน้มถ่วงควอนตัมของ Liouville เข้าด้วยกันนั้นเป็นเทคนิคอย่างยิ่ง แต่เขาเขียนว่าคำตอบเชิงตัวเลขที่ชัดเจนและเรียบง่ายที่เกิดขึ้นคือ "เรียบง่ายและสง่างามอย่างน่าอัศจรรย์"
- เนื้อหาที่ขับเคลื่อนด้วย SEO และการเผยแพร่ประชาสัมพันธ์ รับการขยายวันนี้
- PlatoData.Network Vertical Generative Ai เพิ่มพลังให้กับตัวเอง เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตไอสตรีม. Web3 อัจฉริยะ ขยายความรู้ เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตESG. คาร์บอน, คลีนเทค, พลังงาน, สิ่งแวดล้อม แสงอาทิตย์, การจัดการของเสีย. เข้าถึงได้ที่นี่.
- เพลโตสุขภาพ เทคโนโลยีชีวภาพและข่าวกรองการทดลองทางคลินิก เข้าถึงได้ที่นี่.
- ที่มา: https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/
- :มี
- :เป็น
- :ไม่
- :ที่ไหน
- ][หน้า
- $ ขึ้น
- 2001
- 2008
- 2011
- 2017
- 2018
- 2021
- 2022
- 35%
- a
- สามารถ
- เกี่ยวกับเรา
- ข้างบน
- AC
- สอดคล้อง
- ลงชื่อเข้าใช้
- แม่นยำ
- ข้าม
- จริง
- เพิ่ม
- ที่เพิ่ม
- เพิ่ม
- สูง
- ธุรกิจ
- หลังจาก
- อีกครั้ง
- มาแล้ว
- AIR
- ทั้งหมด
- ตาม
- ด้วย
- ความทะเยอทะยาน
- คล้อยตาม
- an
- การวิเคราะห์
- และ
- อื่น
- คำตอบ
- ทุกคน
- การใช้งาน
- เข้าใกล้
- ประมาณ
- เป็น
- อาร์กิวเมนต์
- ARM
- อาวุธ
- รอบ
- AS
- ที่ได้รับมอบหมาย
- At
- ความสนใจ
- กลับ
- กระดูกสันหลัง
- ยอดคงเหลือ
- BE
- สวยงาม
- กลายเป็น
- เพราะ
- รับ
- ก่อน
- เริ่ม
- การเริ่มต้น
- ด้านล่าง
- ระหว่าง
- ใหญ่
- บิต
- Black
- สีน้ำเงิน
- ร่างกาย
- ทั้งสอง
- นำ
- สร้าง
- แต่
- by
- คำนวณ
- คำนวณ
- การคํานวณ
- การคำนวณ
- การคำนวณ
- ที่เรียกว่า
- โทร
- เคมบริดจ์
- มา
- CAN
- ไม่ได้
- กรณี
- จับ
- เซลล์
- เซลเซียส
- ศูนย์
- ส่วนกลาง
- ศตวรรษ
- บาง
- ท้าทาย
- จัง
- โอกาส
- โอกาส
- เปลี่ยนแปลง
- การเปลี่ยนแปลง
- ตัวอักษร
- ลักษณะ
- วงกลม
- วงกลม
- เมือง
- มหาวิทยาลัยเมืองแห่งฮ่องกง
- ชัดเจน
- ปิดหน้านี้
- ปิด
- Cluster
- ความซ้ำซ้อน
- ทำงานร่วมกัน
- ชุด
- คอลัมน์
- รวม
- การรวมกัน
- อย่างไร
- มา
- การกระทำ
- อย่างสมบูรณ์
- ซับซ้อน
- การคำนวณ
- การคำนวณ
- คำนวณ
- คอนกรีต
- การคาดเดา
- งานที่เชื่อมต่อ
- การเชื่อมต่อ
- ถือว่า
- คงที่
- ไม่หยุดหย่อน
- สิ่งแวดล้อม
- ต่อเนื่องกัน
- ตรงกันข้าม
- การสนทนา
- แก้ไข
- ได้
- สร้าง
- ที่สร้างขึ้น
- วิกฤติ
- ข้าม
- เส้นโค้ง
- มืด
- ตาย
- ทศวรรษที่ผ่านมา
- ธันวาคม
- อย่างแน่นอน
- องศา
- ขึ้นอยู่กับ
- อธิบาย
- อธิบาย
- อธิบาย
- ออกแบบ
- รายละเอียด
- กำหนด
- แน่นอน
- DID
- ต่าง
- ความยากลำบาก
- ตัวเลข
- การน้อยลงไป
- โรค
- โรค
- แตกต่าง
- do
- ไม่
- ครอง
- Dont
- ประตู
- คู่ผสม
- ลง
- ฮวบ
- วาด
- แต่ละ
- ก่อน
- ง่ายดาย
- ง่าย
- ขอบ
- มีประสิทธิภาพ
- ประสิทธิผล
- ผลกระทบ
- ทั้ง
- อีเมล
- โผล่ออกมา
- โผล่ออกมา
- ปลาย
- ไม่มีที่สิ้นสุด
- สิ้นสุด
- ประเทศอังกฤษ
- ทั้งหมด
- ก่อตั้ง
- ประมาณ
- ประมาณการ
- แม้
- ในที่สุด
- ทุกๆ
- ทุกอย่าง
- เผง
- คาดหวัง
- ความชำนาญ
- อธิบาย
- สำรวจ
- การแสดงออก
- ขยายออก
- การขยาย
- สุดโต่ง
- อย่างยิ่ง
- ล้มเหลว
- เท็จ
- รู้สึก
- สองสาม
- สนาม
- คิด
- ที่เต็มไป
- ในที่สุด
- หา
- หา
- ชื่อจริง
- แบน
- ไหล
- โฟกัส
- สำหรับ
- ฟอร์ม
- สูตร
- ข้างหน้า
- พบ
- สี่
- ฝรั่งเศส
- ภาษาฝรั่งเศส
- ราคาเริ่มต้นที่
- เต็ม
- ฟังก์ชัน
- GAS
- อัญมณี
- สร้าง
- ได้รับ
- ให้
- กำหนด
- ให้
- เหลือบ
- ดี
- ได้
- สำเร็จการศึกษา
- กราฟ
- แรงดึงดูด
- ยิ่งใหญ่
- ตะแกรง
- ขึ้น
- เติบโต
- คนที่แต่งตัวประหลาด
- มี
- ครึ่ง
- มือ
- มี
- มี
- he
- หนัก
- เธอ
- สูงกว่า
- ทางหลวง
- ของเขา
- ฮิต
- ฮ่องกง
- ฮ่องกง
- สรุป ความน่าเชื่อถือของ Olymp Trade?
- อย่างไรก็ตาม
- HTML
- ที่ http
- HTTPS
- ใหญ่
- i
- ICE
- ความคิด
- if
- ภาพ
- in
- ในอื่น ๆ
- รวมทั้ง
- เพิ่ม
- ความเป็นอิสระ
- อิสระ
- ติดเชื้อ
- โรคติดเชื้อ
- ข้อมูล
- ภายใน
- ความเข้าใจ
- ตัวอย่าง
- แทน
- สถาบัน
- น่าสนใจ
- เข้าไป
- แนะนำ
- ล้ำค่า
- อย่างสม่ำเสมอ
- ไม่มีเหตุผล
- IT
- ITS
- ตัวเอง
- นิวเจอร์ซีย์
- ร่วม
- เข้าร่วม
- การเดินทาง
- เพียงแค่
- เก็บไว้
- คีย์
- ชนิด
- ชนิด
- ทราบ
- ความรู้
- ที่รู้จักกัน
- รู้
- ฮ่องกง
- ใหญ่
- ที่มีขนาดใหญ่
- ใหญ่ที่สุด
- ชื่อสกุล
- ปู
- ทิ้ง
- การออกจาก
- ซ้าย
- ความยาว
- น้อยลง
- โกหก
- ยก
- เบา
- กดไลก์
- LINK
- ของเหลว
- ล็อค
- นาน
- ที่ต้องการหา
- สูญเสีย
- Lot
- ลด
- ทำ
- นิตยสาร
- ทำ
- การทำ
- มาสก์
- แมสซาชูเซต
- สถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์
- มาก
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- คณิตศาสตร์
- อาจจะ
- หมายความ
- ความหมาย
- กลศาสตร์
- พบ
- กล่าวถึง
- อาจ
- ล้าน
- เอ็มไอที
- แบบ
- โมเดล
- ปานกลาง
- เดือน
- ข้อมูลเพิ่มเติม
- มากที่สุด
- ย้าย
- มาก
- หลาย
- ต้อง
- ชื่อ
- แห่งชาติ
- โดยธรรมชาติ
- ธรรมชาติ
- ใกล้
- จำเป็น
- เพื่อนบ้าน
- ค่า
- ไม่เคย
- ใหม่
- รัฐนิวเจอร์ซีย์
- นิวยอร์ก
- ข่าว
- ถัดไป
- ดี
- ไม่
- ไม่มีอะไร
- ตอนนี้
- จำนวน
- ราคาต่อรอง
- of
- มักจะ
- น้ำมัน
- on
- ONE
- คน
- เพียง
- เปิด
- เปิด
- เปิด
- or
- เป็นต้นฉบับ
- อื่นๆ
- ผลิตภัณฑ์อื่นๆ
- ออก
- เกิน
- คู่
- การระบาดกระจายทั่ว
- กระดาษ
- เอกสาร
- โดยเฉพาะ
- เส้นทาง
- เส้นทาง
- รูปแบบไฟล์ PDF
- เพนซิล
- พีเตอร์
- นักฟิสิกส์
- สถานที่
- เครื่องบิน
- การวางแผน
- เพลโต
- เพลโตดาต้าอินเทลลิเจนซ์
- เพลโตดาต้า
- กระเป๋า
- จุด
- จุด
- ถูกวาง
- ตำแหน่ง
- เป็นไปได้
- โพสต์
- ประยุกต์
- มาก่อน
- ที่คาดการณ์
- คำทำนาย
- การคาดการณ์
- พรินซ์ตัน
- อาจ
- ปัญหา
- ศาสตราจารย์
- มีกำไร
- ความคืบหน้า
- โครงการ
- พิสูจน์
- คุณสมบัติ
- คุณสมบัติ
- ภูมิใจ
- พิสูจน์แล้วว่า
- ควอนทามากาซีน
- ปริมาณ
- ควอนตัม
- คำถาม
- คำถาม
- อย่างรวดเร็ว
- ทีเดียว
- สุ่ม
- สร้างแบบสุ่ม
- ค่อนข้าง
- ต้นน้ำ
- จริงๆ
- นิยามใหม่
- เรียกว่า
- การฟอก
- ที่เกี่ยวข้อง
- ตรงประเด็น
- ความต้องการ
- การวิจัย
- นักวิจัย
- ข้อ จำกัด
- ผล
- เผย
- หิน
- ราก
- ปัดเศษ
- กล่าวว่า
- เดียวกัน
- กล่าว
- สถานการณ์
- วิทยาศาสตร์
- ค้นหา
- เห็น
- ดูเหมือนว่า
- ส่ง
- แยก
- หลาย
- รูปร่าง
- รูปร่าง
- เธอ
- สั้น
- แสดงให้เห็นว่า
- ด้าน
- ง่าย
- ช่วยลดความยุ่งยาก
- การจำลอง
- นั่ง
- สถานที่ทำวิจัย
- ขนาด
- ไม่เชื่อ
- เล็ก
- มีขนาดเล็กกว่า
- So
- ของแข็ง
- ทางออก
- บาง
- บางสิ่งบางอย่าง
- บางครั้ง
- ในไม่ช้า
- แสวงหา
- ช่องว่าง
- พิเศษ
- การใช้จ่าย
- การใช้จ่าย
- เหยียดยาว
- กระจาย
- สี่เหลี่ยม
- ที่เริ่มต้น
- สถานะ
- ทางสถิติ
- ขั้นตอน
- ยังคง
- หยุด
- หยุด
- กลยุทธ์
- กระแส
- โครงสร้าง
- นักเรียน
- มีการศึกษา
- การศึกษา
- ศึกษา
- การศึกษา
- อย่างเป็นจริงเป็นจัง
- ประสบความสำเร็จ
- อย่างเช่น
- ฉับพลัน
- ฤดูร้อน
- ดวงอาทิตย์
- แน่ใจ
- พื้นผิว
- น่าแปลกใจ
- ที่ล้อมรอบ
- หวาดระแวง
- เอา
- วิชาการ
- เทคนิค
- เทคนิค
- เทคโนโลยี
- กว่า
- ที่
- พื้นที่
- กราฟ
- รัฐ
- ของพวกเขา
- พวกเขา
- แล้วก็
- ที่นั่น
- ล้อยางขัดเหล่านี้ติดตั้งบนแกน XNUMX (มม.) ผลิตภัณฑ์นี้ถูกผลิตในหลายรูปทรง และหลากหลายเบอร์ความแน่นหนาของปริมาณอนุภาคขัดของมัน จะทำให้ท่านได้รับประสิทธิภาพสูงในการขัดและการใช้งานที่ยาวนาน
- พวกเขา
- บาง
- สิ่ง
- คิด
- คิดว่า
- นี้
- เหล่านั้น
- แต่?
- คิดว่า
- ตลอด
- เวลา
- ไปยัง
- ร่วมกัน
- เกินไป
- เอา
- ท็อปส์ซู
- ติดตาม
- การเปลี่ยนแปลง
- แปลความ
- การเดินทาง
- อย่างมาก
- พยายาม
- จริง
- พยายาม
- หัน
- สอง
- ชนิด
- ภายใต้
- เป็นเอกลักษณ์
- จักรวาล
- มหาวิทยาลัย
- มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
- ปลดล็อก
- จนกระทั่ง
- ใช้
- มือสอง
- มีประโยชน์
- การใช้
- ความคุ้มค่า
- มาก
- vincent
- เยี่ยมชมร้านค้า
- อยาก
- คือ
- วอชิงตัน
- น้ำดื่ม
- ทาง..
- วิธี
- we
- เว็บ
- webp
- Website
- ดี
- คือ
- อะไร
- เมื่อ
- ว่า
- ที่
- ในขณะที่
- WHO
- ใคร
- จะ
- กับ
- ภายใน
- ไม่มี
- งาน
- การทำงาน
- จะ
- จะให้
- เขียน
- เขียน
- ปี
- ปี
- นิวยอร์ก
- คุณ
- ของคุณ
- ลมทะเล
- เป็นศูนย์
- Zuckerberg