ไม่กี่นาทีในการพูดคุยปี 2018 ที่มหาวิทยาลัยมิชิแกน เอียน โทบาสโก หยิบกระดาษแผ่นใหญ่มาขยำให้เป็นก้อนแห่งความโกลาหล เขายกขึ้นให้คนดูดู บีบให้พอประมาณ แล้วกางออกอีกครั้ง
“ผมเจอรอยพับจำนวนมาก และนั่นคือปริศนา” เขากล่าว “อะไรเลือกรูปแบบนี้จากรูปแบบอื่นที่เป็นระเบียบมากกว่า”
จากนั้นเขาก็หยิบกระดาษแผ่นใหญ่แผ่นที่สองขึ้นมา ซึ่งแผ่นนี้พับไว้ล่วงหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีชื่อเสียงของโอริกามิที่รู้จักกันในชื่อ มิอุระ-โอริ แล้วกดให้เรียบ เขาใช้แรงที่ใช้กับกระดาษแต่ละแผ่นเท่ากัน แต่ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่แตกต่างกันมากไปกว่านี้ มิอุระโอริถูกแบ่งออกเป็นบริเวณเรขาคณิตอย่างเรียบร้อย ลูกบอลยู่ยี่เป็นเส้นหยัก
“คุณคงรู้สึกว่าสิ่งนี้” เขากล่าว โดยชี้ไปที่การจัดเรียงของรอยยับบนกระดาษยู่ยี่ “เป็นเพียงรูปแบบที่ไม่เป็นระเบียบแบบสุ่มของสิ่งนี้” เขาระบุมิอุระโอริที่เรียบร้อยและเป็นระเบียบ “แต่เราไม่ได้พิจารณาว่ามันเป็นเรื่องจริงหรือไม่”
การเชื่อมต่อนั้นไม่ต้องการอะไรมากไปกว่าการสร้างกฎทางคณิตศาสตร์สากลของรูปแบบยืดหยุ่น Tobasco ดำเนินการเรื่องนี้มาหลายปีแล้ว โดยศึกษาสมการที่อธิบายวัสดุยืดหยุ่นบาง ซึ่งเป็นสิ่งที่ตอบสนองต่อการเสียรูปโดยพยายามดึงกลับเป็นรูปร่างเดิม ดันลูกโป่งให้แรงพอและรูปแบบแฉกของรอยยับในแนวรัศมีจะเกิดขึ้น เอานิ้วของคุณออกและพวกเขาจะเรียบขึ้นอีกครั้ง บีบกระดาษยู่ยี่แล้วมันจะขยายตัวเมื่อคุณปล่อยมัน (แม้ว่าจะไม่ทำให้ยู่ยี่ทั้งหมด) วิศวกรและนักฟิสิกส์ได้ศึกษาว่ารูปแบบเหล่านี้เกิดขึ้นได้อย่างไรภายใต้สถานการณ์บางอย่าง แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์ ผลลัพธ์เชิงปฏิบัติเหล่านั้นชี้ให้เห็นถึงคำถามพื้นฐานที่มากขึ้น: โดยทั่วไปแล้ว เป็นไปได้ไหมที่จะเข้าใจสิ่งที่เลือกรูปแบบหนึ่งแทนที่จะเป็นแบบอื่น
ในเดือนมกราคม 2021 Tobasco เผยแพร่ กระดาษ ที่ตอบคำถามนั้นในการยืนยัน — อย่างน้อยก็ในกรณีของแผ่นยางยืดที่เรียบ โค้ง และกดลงในความเรียบ (สถานการณ์ที่เสนอวิธีสำรวจคำถามที่ชัดเจน) สมการของเขาทำนายว่ารอยย่นแบบสุ่มที่ดูเหมือนมีขอบเขตที่ "เป็นระเบียบ" ซึ่งมีรูปแบบที่สามารถระบุตัวตนซ้ำได้ และเขาได้ร่วมเขียนบทความที่ตีพิมพ์เมื่อเดือนที่แล้ว ที่แสดงทฤษฎีทางกายภาพใหม่ ซึ่งมีพื้นฐานมาจากคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด ซึ่งสามารถทำนายรูปแบบในสถานการณ์จริงได้
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง งานของ Tobasco ชี้ให้เห็นว่ารอยย่นสามารถมองได้ว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาทางเรขาคณิตในหลายลักษณะ “มันเป็นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่สวยงาม” . กล่าว สเตฟาน มุลเลอร์ ของศูนย์คณิตศาสตร์ Hausdorff ของมหาวิทยาลัยบอนน์ในประเทศเยอรมนี
เป็นครั้งแรกที่มีการจัดวางกฎทางคณิตศาสตร์และความเข้าใจใหม่ไว้อย่างหรูหรา ซึ่งอยู่เบื้องหลังปรากฏการณ์ทั่วไปนี้ “บทบาทของคณิตศาสตร์ในที่นี้ไม่ใช่การพิสูจน์การคาดเดาที่นักฟิสิกส์สร้างไว้แล้ว” . กล่าว โรเบิร์ตโคห์นนักคณิตศาสตร์จากสถาบัน Courant ของมหาวิทยาลัยนิวยอร์ก และที่ปรึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของ Tobasco “แต่จะให้ทฤษฎีที่ก่อนหน้านี้ไม่มีความเข้าใจอย่างเป็นระบบ”
ยืดออก
เป้าหมายของการพัฒนาทฤษฎีรอยย่นและรูปแบบยืดหยุ่นนั้นเป็นเรื่องเก่า ในปี พ.ศ. 1894 ในการทบทวนใน ธรรมชาตินักคณิตศาสตร์ George Greenhill ชี้ให้เห็นถึงความแตกต่างระหว่างนักทฤษฎี (“What are we to think?”) และการใช้งานที่มีประโยชน์ที่พวกเขาสามารถเข้าใจได้ (“What are we to do?”)
ในศตวรรษที่ 19 และ 20 นักวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ก้าวหน้าไปไกล โดยศึกษาปัญหาที่เกี่ยวข้องกับรอยย่นในวัตถุบางชิ้นที่มีรูปร่างผิดปกติ ตัวอย่างแรกๆ ได้แก่ ปัญหาในการขึ้นรูปแผ่นโลหะโค้งเรียบสำหรับการเดินเรือ และการพยายามเชื่อมโยงการก่อตัวของภูเขากับความร้อนของเปลือกโลก
ไม่นานมานี้ นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ได้ขยายความพยายามที่จะเชื่อมโยงทฤษฎีและการสังเกตกับสถานการณ์การย่น รูปทรง และวัสดุที่หลากหลาย “สิ่งนี้เกิดขึ้นประมาณ 10 ปีที่ผ่านมา โดยเราทำการทดลองก่อน จากนั้นจึงพยายามค้นหาทฤษฎีเพื่อทำความเข้าใจ” นักคณิตศาสตร์กล่าว โดมินิค เวลลา ของมหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด “เพิ่งจะไม่นานนี้เองที่เราได้เริ่มมีความเข้าใจที่ถูกต้อง”
มีเหตุการณ์สำคัญที่น่าตื่นเต้นเกิดขึ้น ในปี 2015 Pedro Reis วิศวกรเครื่องกลจากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ อธิบายกฎทางกายภาพ สำหรับลวดลายเรขาคณิตที่เกิดขึ้นบนลูกบอลซิลิกอนกิ่ว งานของเขาเชื่อมโยงรอยย่นเหล่านั้นกับความหนาของชั้นในและชั้นนอกของวัสดุยืดหยุ่น Reis ยังตั้งข้อสังเกตอีกว่ารอยย่น แทนที่จะถือว่าเป็นข้อบกพร่อง อาจเสนอโอกาสในการออกแบบพฤติกรรมทางกลแบบใหม่ จากนั้นในปี 2017 เวลลา เป็นผู้นำการวิเคราะห์ ความไม่เสถียรของรอยย่นของฟิล์มยางยืดบางภายใต้แรงกด โดยแสดงลักษณะว่าจำนวนริ้วรอยเปลี่ยนไปตามความลึกของการกระตุ้นครั้งแรกและรายละเอียดเฉพาะอื่นๆ อย่างไร
แต่การพัฒนาเหล่านี้ยังคงแก้ปัญหาได้เพียงบางส่วนเท่านั้น เพื่อความเข้าใจทางคณิตศาสตร์ทั่วไปมากขึ้นว่าริ้วรอยเกิดขึ้นได้อย่างไร จำเป็นต้องมีวิธีการที่แตกต่างออกไป Tobasco จะเป็นคนขับเคลื่อนไปข้างหน้า
ติดตามความอยากรู้
เมื่อตอนที่เขายังเด็ก Tobasco คิดว่าเขาจะเข้าสู่วิศวกรรมการบินและอวกาศ เขาสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยมิชิแกนในปี 2011 ด้วยปริญญาตรีในสาขานี้ แต่ ณ จุดนั้น เขาได้คิดอย่างลึกซึ้งเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์และระบบทางกายภาพแล้ว เขาได้รับปริญญาเอกด้านคณิตศาสตร์ แต่เขาโทษโจอี้ พอลเซ่น นักฟิสิกส์ที่มหาวิทยาลัยซีราคิวส์ ที่ทำให้เขาอยู่บนเส้นทางแห่งริ้วรอยโดยเฉพาะ
ในช่วงต้นอาชีพของ Paulsen เมื่อเขาศึกษาคุณสมบัติของวัสดุที่ผิดปกติ เขาได้เรียนรู้การประดิษฐ์และวิเคราะห์ฟิล์มโพลีเมอร์ที่บางเฉียบโดยใช้เทคนิคที่เรียกว่าการเคลือบแบบหมุน ขั้นแรก เขาจะสร้างวัสดุของเหลวชนิดพิเศษที่มีพอลิเมอร์ที่ละลายน้ำได้ในปริมาณเล็กน้อย จากนั้นเขาก็วางวัสดุไว้บนจานหมุน ของเหลวส่วนใหญ่จะระเหยไป ในขณะที่พอลิเมอร์จะกระจายไปยังความหนาที่เท่ากันก่อนที่จะแข็งตัว เมื่อเขามีห้องปฏิบัติการของตัวเองที่ Syracuse แล้ว Paulsen ได้เรียนรู้วิธีปรับการเคลือบแบบหมุนเพื่อสร้างฟิล์มโค้ง เช่น กระดองเต่าที่บางเฉียบ
อยู่มาวันหนึ่ง เขาวางฟิล์มโค้งบางส่วนเหล่านี้ไว้บนน้ำนิ่งและถ่ายภาพว่าพวกมันเกาะบนพื้นผิวอย่างไร “มันเป็นความอยากรู้อยากเห็นล้วนๆ” เขากล่าว รูปภาพดึงดูดสายตาของ Tobasco ในการพบปะอย่างไม่เป็นทางการกับ Paulsen ในปี 2017
"พวกเขาแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถได้รับรูปแบบรอยย่นที่ไม่เป็นระเบียบแบบสุ่มเหล่านี้ เมื่อคุณทำการทดลองสองครั้ง คุณจะได้รูปแบบที่แตกต่างกันสองแบบ" โทบาสโก ซึ่งปัจจุบันเป็นผู้ช่วยศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยอิลลินอยส์ ชิคาโก กล่าว “ฉันต้องการดูว่าฉันจะสามารถหาวิธีที่สืบเนื่อง [ทำนายรูปแบบเหล่านั้น] จากความยืดหยุ่นที่รวมรูปร่างของเปลือกได้หรือไม่ และโมเดลจะไม่เปลี่ยนจากเชลล์เป็นเชลล์”
รูปแบบการย่นคือรูปแบบที่มีพลังงานน้อยที่สุด กล่าวคือเมื่อฟิล์มบางเกาะติดบนพื้นผิวเรียบ มันจะเปลี่ยนรูปจนพบการจัดเรียงของรอยย่น ไม่เป็นระเบียบหรือไม่ ซึ่งใช้พลังงานเพียงเล็กน้อยเพื่อรักษา "คุณสามารถจัดระเบียบรูปแบบตามปริมาณพลังงานที่เก็บไว้เมื่อ [รูปแบบ] ปรากฏ" Tobasco กล่าว
นำโดยหลักการชี้นำนั้น เขาแยกคุณลักษณะบางอย่างของภาพยนตร์ที่พิสูจน์แล้วว่าเป็นลักษณะที่เลือกรูปแบบของมัน ซึ่งรวมถึงการวัดรูปร่างที่เรียกว่าความโค้งแบบเกาส์เซียน พื้นผิวที่มีความโค้งแบบเกาส์เซียนเป็นบวกจะโค้งออกจากตัวมันเอง เหมือนกับด้านนอกของลูกบอล ในทางตรงกันข้าม พื้นผิวโค้งในทางลบนั้นมีรูปร่างคล้ายอานม้า เหมือนกับชิป Pringles: ถ้าคุณไปในทิศทางเดียวคุณจะเดินทางขึ้น แต่ถ้าคุณไปในทิศทางอื่น คุณจะลงไป
Tobasco พบว่าพื้นที่ที่มีความโค้งแบบเกาส์เซียนเป็นบวกทำให้เกิดการจัดเรียงของโดเมนที่เป็นระเบียบและไม่เป็นระเบียบ และพื้นที่ที่มีความโค้งเชิงลบทำให้เกิดประเภทอื่น “รูปทรงที่มีรายละเอียดไม่สำคัญ” เวลลากล่าว “มันขึ้นอยู่กับสัญญาณของความโค้งแบบเกาส์เซียนจริงๆ”
พวกเขาสงสัยว่าความโค้งแบบเกาส์เซียนมีความสำคัญต่อการย่น แต่เวลลากล่าวว่าน่าประหลาดใจที่โดเมนต้องพึ่งพาป้ายเป็นอย่างมาก ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีของ Tobasco ยังนำไปใช้กับวัสดุยืดหยุ่นที่หลากหลาย ไม่ใช่แค่รูปแบบของ Paulsen "เป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตที่ดีซึ่งแสดงให้เห็นว่าริ้วรอยจะปรากฏที่ใด" เวลลากล่าว “แต่การเข้าใจว่ามันมาจากไหนนั้นลึกซึ้งและน่าประหลาดใจ”
พอลเซ่นตกลง “สิ่งที่ทฤษฎีของ Ian ทำได้อย่างสวยงามมากคือการให้รูปแบบทั้งหมดแก่คุณในคราวเดียว”
ริ้วรอยในชีวิต
ในช่วงต้นปี 2018 Tobasco ได้ตัดสินทฤษฎีของเขาเป็นส่วนใหญ่ - แต่ถึงแม้ว่ามันจะทำงานบนกระดาษ แต่เขาก็ไม่อาจแน่ใจได้ว่าทฤษฎีนี้จะแม่นยำในโลกแห่งความเป็นจริง Tobasco ติดต่อ Paulsen และถามว่าเขาสนใจที่จะทำงานร่วมกันหรือไม่ “บางอย่างก็ใช้การได้ในทันที” Paulsen กล่าว “ด้วยการคาดคะเนของเอียน วางบนภาพทดลอง เราสามารถเห็นได้ทันทีว่าพวกเขาเข้าแถว”
ในการประชุม Society for Industrial and Applied Mathematics Conference on Mathematical Aspects of Materials Science ในปีนั้น Tobasco ได้รับการแนะนำให้รู้จัก เอเลนี คาติโฟรีนักฟิสิกส์จากมหาวิทยาลัยเพนซิลเวเนีย ซึ่งกำลังสำรวจปัญหารูปแบบรอยย่นในเปลือกที่จำกัด และสร้างฐานข้อมูลผลลัพธ์ มันเป็นช่วงเวลาแห่งความบังเอิญ "เราสามารถเห็นโดเมน [ในการจำลอง] ที่งานของเอียนอธิบาย" เธอกล่าว การแข่งขันเป็นเรื่องน่าพิศวง แม้แต่ในระหว่างการอภิปรายครั้งแรก ก็เห็นได้ชัดว่าทฤษฎีของ Tobasco ภาพการทดลองของ Paulsen และการจำลองของ Katifori ล้วนอธิบายปรากฏการณ์เดียวกัน “แม้ในช่วงแรกๆ เมื่อเราไม่มีอะไรเป็นรูปธรรม เราก็เห็นความเชื่อมโยงได้”
ความตื่นเต้นในช่วงแรกนั้นทำให้เกิดความสงสัยอย่างรวดเร็ว ดูเหมือนเกือบจะดีเกินกว่าจะเป็นจริงได้ Paulsen กล่าวว่า "เขาเป็นนักคณิตศาสตร์และทำทุกอย่างที่ไม่ใช่มิติ" กล่าวถึงแนวคิดของ Tobasco เกี่ยวกับความโค้งที่สามารถขยายออกไปได้ไกลกว่าวัสดุแบนสองมิติ “เรากำลังมองระบบเดียวกันอยู่จริงหรือ? มันตกลง แต่มันควรจะตกลงหรือไม่”
ในอีกสองปีข้างหน้า นักวิจัยทั้งสามคนได้วิเคราะห์รายละเอียด แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีของ Tobasco ได้ทำนายไว้จริงๆ ซึ่งก็คือการจัดเรียงของรอยย่นที่ Paulsen เห็นในการทดลองของเขา และ Katifori พบในแบบจำลองคอมพิวเตอร์ของเธอ เมื่อวันที่ 25 สิงหาคม พวกเขาได้ตีพิมพ์บทความใน ฟิสิกส์ธรรมชาติ การแสดง วิธีที่ทั้งสามเข้าใกล้ทั้งหมดมาบรรจบกันในการจัดเรียงรอยย่นทางเรขาคณิตที่ตรงไปตรงมาเหมือนกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกเขาพบว่ารูปแบบต่างๆ ตกอยู่ในกลุ่มสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่เรียบร้อยซึ่งแบ่งเขตโดเมนของระเบียบและระเบียบ นอกจากนี้ ผลลัพธ์ไม่ได้จำกัดอยู่แค่การสรุปทางคณิตศาสตร์ของวัสดุที่บางอย่างไม่น่าเชื่อ แต่ระบุลำดับความสำคัญหลายระดับของความหนา
งานของพวกเขายังชี้ให้เห็นโอกาสในการขยายทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ Katifori กล่าวว่าในฐานะนักฟิสิกส์ เธอสนใจที่จะใช้การคาดการณ์เพื่อออกแบบวัสดุใหม่ “ฉันต้องการทำความเข้าใจว่าคุณสามารถออกแบบพื้นผิวได้อย่างไร เพื่อให้พวกเขาจัดระเบียบรูปแบบการย่นด้วยตัวเองเป็นสิ่งที่คุณต้องการ”
คำถามเปิดอีกประการหนึ่งคือโดยทั่วไปทฤษฎีนี้สามารถนำไปใช้กับพื้นผิวโค้งประเภทต่างๆ ได้อย่างไร “มันเน้นมากกับสถานการณ์ที่ [ความโค้งแบบเกาส์เซียน] เป็นบวกหรือลบ แต่ก็มีสถานการณ์มากมายในบางภูมิภาคที่เป็นบวกและลบบางส่วน” เวลลากล่าว
Paulsen เห็นด้วยว่านี่เป็นความเป็นไปได้ที่น่าตื่นเต้น และ Tobasco กล่าวว่าเขากำลังทำงานอย่างแข็งขันในพื้นที่นี้และพิจารณาเปลือกหอยรูปทรงอื่นๆ เช่น เปลือกหอยที่มีรู
แต่พอลเซ่นกล่าวว่าทฤษฏีนี้แม้จะเป็นอยู่ในปัจจุบันก็ยังสวยงามและน่าประหลาดใจ “ถ้าฉันให้เปลือกและรูปร่างขอบเขตแก่คุณ และชุดกฎง่ายๆ ที่ทฤษฎีของเอียนทำนายไว้ คุณก็สามารถใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด แล้ววาดรอยยับได้” เขากล่าว “มันคงไม่ต้องเกิดขึ้นแบบนั้น มันอาจจะน่ากลัวโดยสิ้นเชิง”
