ภารกิจถอดรหัสชุด Mandelbrot เศษส่วนอันโด่งดังของคณิตศาสตร์ | นิตยสารควอนต้า

ในช่วงกลางทศวรรษ 1980 เช่นเดียวกับเครื่องเล่นเทป Walkman และเสื้อมัดย้อม ภาพเงาเหมือนแมลงของฉาก Mandelbrot มีอยู่ทั่วไปทุกหนทุกแห่ง

นักเรียนฉาบผนังหอพักทั่วโลก นักคณิตศาสตร์ได้รับจดหมายหลายร้อยฉบับ ร้องขอให้พิมพ์ชุดนี้อย่างกระตือรือร้น (เพื่อเป็นการตอบสนอง บางคนได้จัดทำแคตตาล็อกพร้อมรายการราคา ส่วนคนอื่นๆ ได้รวบรวมคุณลักษณะที่โดดเด่นที่สุดของหนังสือเล่มนี้ไว้เป็นหนังสือ) แฟนๆ ที่คลั่งไคล้เทคโนโลยีจำนวนมากขึ้นอาจหันไปดูฉบับเดือนสิงหาคม พ.ศ. 1985 อเมริกันวิทยาศาสตร์. บนหน้าปก มี Mandelbrot กางออกด้วยไม้เลื้อยที่ลุกเป็นไฟ ขอบของมันลุกเป็นไฟ ด้านในมีคำแนะนำในการเขียนโปรแกรมอย่างรอบคอบ โดยให้รายละเอียดว่าผู้อ่านจะสร้างภาพสัญลักษณ์สำหรับตนเองได้อย่างไร

เมื่อถึงเวลานั้น สายใยเหล่านั้นก็ได้ขยายขอบเขตออกไปไกลกว่าคณิตศาสตร์ ไปสู่มุมที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันในชีวิตประจำวัน ภายในไม่กี่ปีข้างหน้า ฉากของ Mandelbrot จะเป็นแรงบันดาลใจให้กับภาพวาดใหม่ล่าสุดของ David Hockney และผลงานประพันธ์ใหม่ล่าสุดของนักดนตรีหลายคน ซึ่งเป็นผลงานที่เหมือนความทรงจำในสไตล์ของ Bach มันจะปรากฏในหน้านิยายของ John Updike และชี้แนะว่านักวิจารณ์วรรณกรรม Hugh Kenner วิเคราะห์บทกวีของ Ezra Pound อย่างไร มันจะกลายเป็นหัวข้อของภาพหลอนประสาทหลอน และเป็นสารคดียอดนิยมที่บรรยายโดย Arthur C. Clarke ผู้ยิ่งใหญ่แนวไซไฟ

ชุด Mandelbrot เป็นรูปทรงพิเศษที่มีโครงร่างเป็นแฟร็กทัล ใช้คอมพิวเตอร์เพื่อขยายขอบเขตที่ขรุขระของฉาก แล้วคุณจะพบกับหุบเขาของม้าน้ำและขบวนพาเหรดของช้าง กาแล็กซีกังหัน และเส้นใยที่มีลักษณะคล้ายเซลล์ประสาท ไม่ว่าคุณจะสำรวจลึกแค่ไหน คุณก็จะเห็นสำเนาของฉากต้นฉบับที่ใกล้เคียงกันเสมอ ซึ่งเป็นน้ำตกแห่งความคล้ายคลึงกันที่ไม่มีที่สิ้นสุดและชวนเวียนหัว

ความคล้ายคลึงกันนั้นเป็นองค์ประกอบหลักของหนังสือขายดีของเจมส์ กลีค ความสับสนวุ่นวายซึ่งทำให้สถานที่ของฉาก Mandelbrot แข็งแกร่งขึ้นในวัฒนธรรมสมัยนิยม “มันเป็นจักรวาลแห่งความคิด” Gleick เขียน “ปรัชญาศิลปะสมัยใหม่ การพิสูจน์บทบาทใหม่ของการทดลองทางคณิตศาสตร์ แนวทางในการนำระบบที่ซับซ้อนมาสู่สาธารณชนจำนวนมาก”

ฉาก Mandelbrot ได้กลายเป็นสัญลักษณ์ไปแล้ว มันแสดงถึงความจำเป็นในการใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ใหม่ ซึ่งเป็นวิธีที่ดีกว่าในการอธิบายธรรมชาติแฟร็กทัลของโลกรอบตัวเรา มันแสดงให้เห็นว่าความซับซ้อนที่ลึกซึ้งสามารถเกิดขึ้นได้จากกฎที่ง่ายที่สุด — เช่นเดียวกับชีวิตในตัวมันเอง (“มันจึงเป็นข้อความแห่งความหวังที่แท้จริง” จอห์น ฮับบาร์ดหนึ่งในนักคณิตศาสตร์กลุ่มแรกๆ ที่ศึกษาฉากนี้ กล่าวในวิดีโอปี 1989 ว่า "เป็นไปได้ว่าชีววิทยาสามารถเข้าใจได้จริงๆ ในลักษณะเดียวกับที่เข้าใจภาพเหล่านี้ได้") ในฉาก Mandelbrot ระเบียบและความโกลาหลดำเนินไปอย่างกลมกลืน ระดับและเจตจำนงเสรีสามารถคืนดีกันได้ นักคณิตศาสตร์คนหนึ่งเล่าถึงฉากนี้ตอนที่ยังเป็นวัยรุ่นโดยบังเอิญ และมองว่ามันเป็นอุปมาของขอบเขตที่ซับซ้อนระหว่างความจริงและความเท็จ

ฉากแมนเดลบรอตมีอยู่ทุกที่ จนกระทั่งไม่มี

ภายในหนึ่งทศวรรษดูเหมือนว่าจะหายไป นักคณิตศาสตร์ย้ายไปเรียนวิชาอื่น และประชาชนทั่วไปย้ายไปเรียนสัญลักษณ์อื่น ปัจจุบัน เพียง 40 ปีหลังจากการค้นพบนี้ แฟร็กทัลก็กลายเป็นของโบราณและไร้ค่า

แต่นักคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งกลับปฏิเสธที่จะปล่อยมันไป พวกเขาอุทิศชีวิตเพื่อเปิดเผยความลับของฉากแมนเดลโบรต์ ตอนนี้พวกเขาคิดว่าในที่สุดพวกเขาก็จวนจะเข้าใจมันอย่างแท้จริงแล้ว

เรื่องราวของพวกเขาเป็นเรื่องเกี่ยวกับการสำรวจ การทดลอง และการที่เทคโนโลยีกำหนดรูปแบบวิธีคิดของเรา และคำถามที่เราถามเกี่ยวกับโลก

นักล่าเงินรางวัล

ในเดือนตุลาคม ปี 2023 นักคณิตศาสตร์ 20 คนจากทั่วโลกมารวมตัวกันในอาคารอิฐนั่งยองบนสิ่งที่ครั้งหนึ่งเคยเป็นฐานการวิจัยทางการทหารของเดนมาร์ก ฐานแห่งนี้สร้างขึ้นในช่วงปลายทศวรรษที่ 1800 กลางป่า และซ่อนตัวอยู่บนฟยอร์ดบนชายฝั่งตะวันตกเฉียงเหนือของเกาะที่มีประชากรมากที่สุดของเดนมาร์ก ตอร์ปิโดเก่าเฝ้าทางเข้า ภาพถ่ายขาวดำเป็นรูปนายทหารเรือในเครื่องแบบ เรือต่างๆ เรียงรายอยู่ที่ท่าเรือ และการทดสอบเรือดำน้ำที่อยู่ระหว่างดำเนินการ ประดับอยู่บนกำแพง เป็นเวลาสามวัน ขณะที่ลมแรงพัดเอาน้ำที่อยู่นอกหน้าต่างกลายเป็นฟองสีขาว กลุ่มคนเหล่านี้นั่งพูดคุยกันเป็นชุด ซึ่งส่วนใหญ่พูดโดยนักคณิตศาสตร์สองคนจากมหาวิทยาลัย Stony Brook ในนิวยอร์ก: มิชา ลูบิช และ ดิมา ดุดโก.

ผู้ชมเวิร์กช็อปคือนักสำรวจที่กล้าหาญที่สุดในฉากแมนเดลบรอต ใกล้ที่นั่งด้านหน้า มิซึฮิโระ ชิชิกุระ ของมหาวิทยาลัยเกียวโต ซึ่งในปี 1990 ได้พิสูจน์ให้เห็นว่าขอบเขตของฉากนั้นซับซ้อนที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มีที่นั่งไม่กี่ที่นั่ง ฮิโรยูกิ อิโนะผู้ซึ่งอยู่เคียงข้างชิชิกุระได้พัฒนาเทคนิคสำคัญสำหรับการศึกษาบริเวณที่มีชื่อเสียงโด่งดังของฉากแมนเดลบรอต ในแถวสุดท้ายก็คือ วูล์ฟ จุงผู้สร้าง Mandel ซึ่งเป็นซอฟต์แวร์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้เป็นประจำเพื่อตรวจสอบฉาก Mandelbrot แบบโต้ตอบ ปัจจุบันก็มี อาร์โนด์ เชอริตาต์ ของมหาวิทยาลัยตูลูส คาร์สเทน ปีเตอร์เซ่น ของมหาวิทยาลัยรอสกิลด์ (ซึ่งเป็นผู้จัดเวิร์คช็อป) และคนอื่นๆ อีกหลายคนที่มีส่วนสำคัญในการทำความเข้าใจเซตแมนเดลบรอตของนักคณิตศาสตร์

ที่กระดานไวท์บอร์ด มี Lyubich ผู้เชี่ยวชาญชั้นแนวหน้าของโลกในหัวข้อนี้ และ Dudko หนึ่งในผู้ร่วมงานที่ใกล้ชิดที่สุดของเขา ร่วมกับนักคณิตศาสตร์ เจเรมี คาห์น และ อเล็กซ์ คาเปียมบาพวกเขาพยายามพิสูจน์การคาดเดาที่มีมายาวนานเกี่ยวกับโครงสร้างทางเรขาคณิตของฉากแมนเดลบรอต การคาดเดานั้นเรียกว่า MLC ถือเป็นอุปสรรคสุดท้ายในภารกิจที่ยาวนานหลายทศวรรษในการจำแนกลักษณะของแฟร็กทัล เพื่อลดปัญหาถิ่นทุรกันดารที่พันกันของมัน

ด้วยการสร้างและลับชุดเครื่องมืออันทรงพลัง นักคณิตศาสตร์ได้ควบคุมเรขาคณิตของ "เกือบทุกอย่างในชุด Mandelbrot" กล่าว แคโรไลน์เดวิส ของมหาวิทยาลัยอินเดียนา — ยกเว้นบางกรณีที่เหลืออยู่ “มิชากับดิม่า และเจเรมีกับอเล็กซ์เป็นเหมือนนักล่าเงินรางวัล ที่พยายามตามหาคนสุดท้ายเหล่านี้”

Lyubich และ Dudko อยู่ที่เดนมาร์กเพื่ออัปเดตนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เกี่ยวกับความคืบหน้าล่าสุดในการพิสูจน์ MLC และเทคนิคที่พวกเขาพัฒนาขึ้นมาเพื่อทำเช่นนั้น ในช่วง 20 ปีที่ผ่านมา นักวิจัยได้รวมตัวกันที่นี่เพื่อจัดเวิร์คช็อปเกี่ยวกับการแกะผลลัพธ์และวิธีการในด้านการวิเคราะห์เชิงซ้อน การศึกษาทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับประเภทของตัวเลขและฟังก์ชันที่ใช้ในการสร้างชุดแมนเดลโบรต์

มันเป็นการจัดฉากที่ไม่ธรรมดา นักคณิตศาสตร์กินอาหารด้วยกันทั้งหมด และพูดคุยและหัวเราะกับเบียร์ในตอนดึก เมื่อพวกเขาตัดสินใจเข้านอนในที่สุด พวกเขาก็ย้ายไปนอนเตียงสองชั้นหรือเปลในห้องเล็กๆ ที่พวกเขาพักร่วมกันบนชั้นสองของอาคาร (เมื่อเรามาถึง เราได้รับคำสั่งให้หยิบผ้าปูที่นอนและปลอกหมอนจากกองแล้วพาขึ้นไปชั้นบนเพื่อทำเตียง) ในบางปี ผู้เข้าร่วมการประชุมกล้าที่จะว่ายน้ำในน้ำเย็นจัด บ่อยครั้งที่พวกเขาเดินผ่านป่า แต่โดยส่วนใหญ่แล้ว ไม่มีอะไรทำนอกจากคณิตศาสตร์

โดยปกติแล้ว ผู้เข้าร่วมคนหนึ่งบอกฉันว่าเวิร์กช็อปดึงดูดนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์จำนวนมาก แต่คราวนี้กลับไม่เป็นเช่นนั้น — บางทีอาจเป็นเพราะมันเป็นช่วงกลางภาคเรียน หรือเขาคาดเดา เพราะเนื้อหาวิชานี้ยากแค่ไหน เขาสารภาพว่าในขณะนั้น เขารู้สึกหวาดกลัวเล็กน้อยเกี่ยวกับโอกาสที่จะได้พูดต่อหน้าผู้ยิ่งใหญ่ในสนามจำนวนมาก

แต่เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ในขอบเขตที่กว้างขึ้นของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนไม่ได้ทำงานกับฉาก Mandelbrot โดยตรงอีกต่อไป ทำไมจึงอุทิศเวิร์กช็อปทั้งหมดให้กับ MLC

ฉาก Mandelbrot เป็นมากกว่าแฟร็กทัล และไม่ใช่แค่ในแง่เชิงเปรียบเทียบเท่านั้น มันทำหน้าที่เป็นแคตตาล็อกหลักของระบบไดนามิก วิธีต่างๆ ที่จุดอาจเคลื่อนที่ผ่านอวกาศตามกฎง่ายๆ เพื่อทำความเข้าใจแค็ตตาล็อกหลักนี้ เราจะต้องสำรวจภูมิทัศน์ทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมาย ชุดแมนเดลบรอตเกี่ยวข้องอย่างลึกซึ้งไม่เฉพาะกับพลศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีจำนวน โทโพโลยี เรขาคณิตพีชคณิต ทฤษฎีกลุ่ม และแม้แต่ฟิสิกส์ด้วย “มันโต้ตอบกับส่วนที่เหลือของคณิตศาสตร์ได้อย่างสวยงาม” กล่าว สัพยสาชิ มุกเคอร์จี ของสถาบันวิจัยพื้นฐานทาทาในประเทศอินเดีย

เพื่อให้ความก้าวหน้าของ MLC นักคณิตศาสตร์ต้องพัฒนาชุดเทคนิคที่ซับซ้อน ซึ่ง Chéritat เรียกว่า "ปรัชญาอันทรงพลัง" เครื่องมือเหล่านี้ได้รับความสนใจอย่างมาก ปัจจุบัน สิ่งเหล่านี้ถือเป็นเสาหลักในการศึกษาระบบไดนามิกในวงกว้างมากขึ้น พวกมันกลายเป็นสิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาอื่นๆ มากมาย ซึ่งก็คือปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องกับฉากแมนเดลโบรต์เลย และพวกเขาได้เปลี่ยน MLC จากคำถามเฉพาะกลุ่มให้เป็นหนึ่งในการคาดเดาแบบเปิดที่ลึกที่สุดและสำคัญที่สุดในสาขานี้

ลิวบิช นักคณิตศาสตร์ที่กล่าวกันว่าเป็นผู้รับผิดชอบมากที่สุดในการปั้น "ปรัชญา" นี้ให้เป็นรูปแบบปัจจุบัน ยืนตัวตรงและพูดอย่างเงียบๆ เมื่อนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ในเวิร์คช็อปเข้ามาหาเขาเพื่อหารือเกี่ยวกับแนวคิดหรือถามคำถาม เขาจะหลับตาและตั้งใจฟัง คิ้วหนาขมวด เขาตอบอย่างระมัดระวังด้วยสำเนียงรัสเซีย

แต่เขาก็มักจะสร้างเสียงหัวเราะที่ดังและอบอุ่นและพูดตลกตลกๆ ได้อย่างรวดเร็ว เขาใจดีกับเวลาและคำแนะนำของเขา เขาได้ "เลี้ยงดูนักคณิตศาสตร์มาหลายชั่วอายุคนจริงๆ" มูเคอร์จี หนึ่งในอดีต postdoc ของ Lyubich และเป็นผู้ร่วมงานบ่อยๆ กล่าว ตามที่เขาบอก ใครก็ตามที่สนใจในการศึกษาเกี่ยวกับพลศาสตร์ที่ซับซ้อนจะใช้เวลาบางส่วนที่ Stony Brook เพื่อเรียนรู้จาก Lyubich “Misha มีวิสัยทัศน์ว่าเราควรดำเนินโครงการใดโครงการหนึ่งอย่างไร หรือจะต้องดูอะไรต่อไป” Mukherjee กล่าว “เขามีภาพอันยิ่งใหญ่นี้อยู่ในใจ และเขายินดีที่จะแบ่งปันสิ่งนั้นกับผู้คน”

เป็นครั้งแรกที่ลูบิชรู้สึกว่าเขาสามารถเห็นภาพอันยิ่งใหญ่นั้นได้อย่างครบถ้วน

นักสู้รางวัล

ชุด Mandelbrot เริ่มต้นด้วยรางวัล

ในปี 1915 ด้วยแรงบันดาลใจจากความก้าวหน้าล่าสุดในการศึกษาหน้าที่ต่างๆ French Academy of Sciences ได้ประกาศการแข่งขัน: ในเวลาสามปี สถาบันจะเสนอรางวัลใหญ่ 3,000 ฟรังก์สำหรับงานเกี่ยวกับกระบวนการวนซ้ำ ซึ่งเป็นกระบวนการเดียวกับที่จะ ต่อมาจึงสร้างชุด Mandelbrot

การวนซ้ำคือการใช้กฎซ้ำๆ เสียบตัวเลขเข้ากับฟังก์ชัน แล้วใช้เอาต์พุตเป็นอินพุตถัดไป ทำอย่างนั้นต่อไปและสังเกตสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป ขณะที่คุณวนซ้ำฟังก์ชันของคุณ ตัวเลขที่คุณได้รับอาจเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจนกลายเป็นอนันต์ หรืออาจถูกดึงเข้าหาหมายเลขใดหมายเลขหนึ่งโดยเฉพาะ เช่น ตะไบเหล็กที่เคลื่อนเข้าหาแม่เหล็ก หรือจบลงด้วยการเด้งระหว่างเลขสองตัวเดียวกัน สามตัว หรือหนึ่งพันในวงโคจรที่มั่นคงซึ่งพวกมันไม่มีทางหนีรอดไปได้ หรือกระโดดจากหมายเลขหนึ่งไปยังอีกหมายเลขหนึ่งโดยไม่มีสัมผัสหรือเหตุผล ตามเส้นทางที่วุ่นวายและคาดเดาไม่ได้

French Academy และนักคณิตศาสตร์ในวงกว้าง มีเหตุผลอีกประการหนึ่งที่ให้ความสนใจในการวนซ้ำ กระบวนการนี้มีบทบาทสำคัญในการศึกษาระบบไดนามิก เช่น ระบบต่างๆ เช่น การหมุนของดาวเคราะห์รอบดวงอาทิตย์หรือการไหลของกระแสน้ำเชี่ยว ซึ่งเป็นระบบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาตามกฎบางชุดที่ระบุ

รางวัลนี้เป็นแรงบันดาลใจให้นักคณิตศาสตร์สองคนพัฒนาสาขาวิชาใหม่ทั้งหมด

คนแรกคือปิแอร์ ฟาตู ซึ่งในอีกชาติหนึ่งอาจเป็นทหารเรือ (ตามประเพณีของครอบครัว) หากไม่ใช่เพราะสุขภาพไม่ดีของเขา เขากลับมีอาชีพในวิชาคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์แทน และในปี 1915 เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์สำคัญหลายประการในการวิเคราะห์แล้ว จากนั้นก็มีแกสตัน จูเลีย นักคณิตศาสตร์หนุ่มอนาคตไกลที่เกิดในแอลจีเรียซึ่งฝรั่งเศสยึดครอง ซึ่งการศึกษาของเขาถูกขัดขวางเนื่องจากสงครามโลกครั้งที่ 22 และการเกณฑ์ทหารเข้ากองทัพฝรั่งเศส เมื่ออายุ XNUMX ปี หลังจากได้รับบาดเจ็บสาหัสหลังจากเริ่มรับราชการได้ไม่นาน เขาจะสวมสายหนังพาดใบหน้าไปตลอดชีวิต หลังจากที่แพทย์ไม่สามารถซ่อมแซมความเสียหายได้ เขากลับมาเรียนวิชาคณิตศาสตร์อีกครั้ง งานที่เขาจะส่งเข้าชิงรางวัลออสการ์จากเตียงในโรงพยาบาล

รางวัลนี้เป็นแรงบันดาลใจให้ทั้ง Fatou และ Julia ศึกษาว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อคุณทำซ้ำฟังก์ชันต่างๆ พวกเขาทำงานอย่างอิสระ แต่จบลงด้วยการค้นพบที่คล้ายกันมาก ผลลัพธ์มีการทับซ้อนกันมากจนตอนนี้ก็ยังไม่ทราบวิธีการให้เครดิตที่ชัดเจนเสมอไป (จูเลียเป็นคนชอบเข้าสังคมมากกว่า จึงได้รับความสนใจมากขึ้น ในที่สุดเขาก็ได้รับรางวัล ฟาตูไม่ได้สมัครด้วยซ้ำ) เนื่องจากงานนี้ ทั้งสองจึงถือเป็นผู้ก่อตั้งสาขาไดนามิกที่ซับซ้อน

“เชิงซ้อน” เนื่องจาก Fatou และ Julia วนซ้ำฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน — ตัวเลขที่รวมจำนวนจริงที่คุ้นเคยเข้ากับสิ่งที่เรียกว่าจำนวนจินตภาพ (ผลคูณของ iซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้แทนรากที่สองของ −1) แม้ว่าจำนวนจริงสามารถจัดวางเป็นจุดบนเส้นตรงได้ แต่จำนวนเชิงซ้อนจะถูกแสดงเป็นจุดบนระนาบ เช่น:

Fatou และ Julia พบว่าการวนซ้ำแม้แต่ฟังก์ชันที่ซับซ้อนง่ายๆ (ไม่ใช่ความขัดแย้งในขอบเขตของคณิตศาสตร์!) อาจนำไปสู่พฤติกรรมที่ซับซ้อนและซับซ้อนได้ ขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้นของคุณ พวกเขาเริ่มบันทึกพฤติกรรมเหล่านี้ และนำเสนอพฤติกรรมเหล่านี้ในเชิงเรขาคณิต

แต่แล้วงานของพวกเขาก็จางหายไปสู่ความสับสนเป็นเวลาครึ่งศตวรรษ “ผู้คนไม่รู้ด้วยซ้ำว่าจะมองหาอะไร พวกเขาถูกจำกัดว่าจะถามคำถามอะไร” กล่าว อาร์เทอร์วีลาศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยซูริก

สิ่งนี้เปลี่ยนไปเมื่อคอมพิวเตอร์กราฟิกเข้ามามีบทบาทในทศวรรษ 1970

เมื่อถึงเวลานั้น Benoît Mandelbrot นักคณิตศาสตร์ก็ได้รับชื่อเสียงในฐานะนักวิชาการ เขาเคยขลุกอยู่ในสาขาต่างๆ มากมาย ตั้งแต่เศรษฐศาสตร์ไปจนถึงดาราศาสตร์ โดยทั้งหมดนี้ทำงานที่ศูนย์วิจัยของ IBM ทางตอนเหนือของนิวยอร์กซิตี้ เมื่อเขาได้รับแต่งตั้งให้เป็นเพื่อนกับ IBM ในปี 1974 เขามีอิสระมากขึ้นในการดำเนินโครงการอิสระ เขาตัดสินใจที่จะใช้พลังการประมวลผลอันมหาศาลของศูนย์เพื่อนำไดนามิกที่ซับซ้อนออกจากโหมดไฮเบอร์เนต

ในตอนแรก แมนเดลบรอตใช้คอมพิวเตอร์เพื่อสร้างรูปทรงต่างๆ ที่ฟาตูและจูเลียเคยศึกษามา รูปภาพเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับเวลาที่จุดเริ่มต้น เมื่อวนซ้ำ จะหนีไปยังจุดอนันต์ และเมื่อใดที่จะติดอยู่ในรูปแบบอื่น ภาพวาดของฟาตูและจูเลียเมื่อ 60 ปีก่อนดูเหมือนกลุ่มของวงกลมและสามเหลี่ยม แต่ภาพที่มันเดลโบรต์สร้างด้วยคอมพิวเตอร์นั้นดูเหมือนมังกรและผีเสื้อ กระต่าย มหาวิหาร และหัวของดอกกะหล่ำ บางครั้งถึงกับแยกเมฆฝุ่นออกจากกัน เมื่อถึงตอนนั้น Mandelbrot ได้สร้างคำว่า "เศษส่วน" ขึ้นแล้วสำหรับรูปร่างที่ดูคล้ายกันในระดับที่ต่างกัน คำนี้กระตุ้นให้เกิดแนวคิดเกี่ยวกับเรขาคณิตรูปแบบใหม่ - บางสิ่งบางอย่างที่กระจัดกระจาย, เป็นเศษส่วนหรือแตกหัก

ภาพที่ปรากฏบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ของเขา ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฉากของจูเลีย เป็นตัวอย่างเศษส่วนที่สวยงามและซับซ้อนที่สุดบางส่วนที่แมนเดลบรอตเคยเห็นมา

งานของฟาตูและจูเลียมุ่งเน้นไปที่เรขาคณิตและไดนามิกของฉากแต่ละฉาก (และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกัน) ทีละฉาก แต่คอมพิวเตอร์ทำให้ Mandelbrot สามารถคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันทั้งตระกูลได้ในคราวเดียว เขาสามารถเข้ารหัสสิ่งเหล่านี้ทั้งหมดในภาพที่จะใช้เป็นชื่อของเขาได้ แม้ว่าจะยังคงเป็นประเด็นที่ต้องถกเถียงกันว่าเขาเป็นคนแรกที่ค้นพบมันจริงหรือไม่

ชุดแมนเดลบรอตเกี่ยวข้องกับสมการที่ง่ายที่สุดที่ยังคงทำสิ่งที่น่าสนใจเมื่อวนซ้ำ สิ่งเหล่านี้คือฟังก์ชันกำลังสองของแบบฟอร์ม f(z) = z² + c. แก้ไขค่าของ c — อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ก็ได้ หากคุณวนซ้ำสมการโดยเริ่มจาก z = 0 และพบว่าตัวเลขที่คุณสร้างยังคงน้อย (หรืออยู่ในขอบเขตตามที่นักคณิตศาสตร์พูด) c อยู่ในฉากแมนเดลโบรต์ ในทางกลับกัน หากคุณวนซ้ำและพบว่าในที่สุดตัวเลขของคุณก็เริ่มเติบโตจนกลายเป็นอนันต์แล้วล่ะก็ c ไม่ได้อยู่ในฉาก Mandelbrot

มันตรงไปตรงมาที่จะแสดงค่าของ c ใกล้ศูนย์อยู่ในเซต และมันก็ตรงไปตรงมาในทำนองเดียวกันที่จะแสดงค่าที่ยิ่งใหญ่ของ c ไม่ได้ แต่จำนวนเชิงซ้อนนั้นสมชื่อ นั่นคือ ขอบเขตของเซตนั้นซับซ้อนอย่างยิ่ง ไม่มีเหตุผลที่ชัดเจนในการเปลี่ยนแปลง c ด้วยจำนวนเล็กน้อยจะทำให้คุณข้ามขอบเขตไปเรื่อย ๆ แต่เมื่อคุณซูมเข้า รายละเอียดจำนวนไม่สิ้นสุดก็ปรากฏขึ้น

ยิ่งไปกว่านั้น ฉาก Mandelbrot ยังทำหน้าที่เหมือนแผนที่ของฉาก Julia ดังที่เห็นในรูปเชิงโต้ตอบด้านล่าง เลือกค่าของ c ในชุด Mandelbrot ชุด Julia ที่เกี่ยวข้องจะเชื่อมต่อกัน แต่ถ้าคุณออกจากชุด Mandelbrot ชุด Julia ที่เกี่ยวข้องจะถูกแยกฝุ่นออก