คณิตศาสตร์ง่ายๆ ที่น่าแปลกใจเบื้องหลังการจับคู่ปริศนา | นิตยสารควอนต้า

เป็นเกมชิงแชมป์ของ Imaginary Math League โดย Atlanta Algebras จะพบกับ Carolina Cross Products ทั้งสองทีมไม่ได้เล่นกันในฤดูกาลนี้ แต่ในช่วงต้นปีที่ผ่านมา แอตแลนต้าเอาชนะบรูคลิน บิเซคเตอร์ส ด้วยคะแนน 10 ต่อ 5 และบรูคลินเอาชนะแคโรไลนาด้วยคะแนน 7 ต่อ 3 นั่นทำให้เราเข้าใจหรือไม่ว่าใคร จะใช้ชื่อเรื่องเหรอ?

นี่คือแนวความคิดหนึ่ง ถ้าแอตแลนตาเอาชนะบรูคลิน แอตแลนต้าก็ดีกว่าบรูคลิน และถ้าบรูคลินเอาชนะแคโรไลนา บรูคลินก็ดีกว่าแคโรไลนา ดังนั้นหากแอตแลนต้าดีกว่าบรูคลินและบรูคลินดีกว่าแคโรไลนา แอตแลนตาก็ควรจะดีกว่าแคโรไลนาและคว้าแชมป์ได้

หากคุณเล่นเกมหรือกีฬาที่มีการแข่งขันสูง คุณจะรู้ว่าการทำนายผลการแข่งขันนั้นไม่เคยตรงไปตรงมาขนาดนี้ แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ข้อโต้แย้งนี้มีเสน่ห์อยู่บ้าง ใช้แนวคิดที่สำคัญในคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าการผ่าน ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่คุ้นเคยซึ่งช่วยให้เราสร้างสตริงการเปรียบเทียบข้ามความสัมพันธ์ได้ ทรานซิติวิตีเป็นคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่งที่เป็นพื้นฐานจนคุณอาจไม่สังเกตเห็นด้วยซ้ำ

ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันของตัวเลขเป็นแบบสกรรมกริยา นั่นหมายความว่าถ้าเรารู้อย่างนี้แล้ว a = b และ b = cเราก็สามารถสรุปได้ว่า a = c. ความสัมพันธ์ “มากกว่า” ยังเป็นสกรรมกริยาเช่นกัน สำหรับจำนวนจริง ถ้า a > b และ b > cแล้ว a > c. เมื่อความสัมพันธ์เป็นแบบสกรรมกริยา เราสามารถเปรียบเทียบและรวมเข้าด้วยกัน เพื่อสร้างการเรียงลำดับของวัตถุ หากแอนนาสูงกว่าเบ็นจิ และเบ็นจิสูงกว่าคาร์ล เราก็สามารถเรียงลำดับทั้งสามตามความสูงได้: A, B, C. การเปลี่ยนแปลงยังอยู่เบื้องหลังข้อโต้แย้งที่ไร้เดียงสาของเราที่ว่าถ้า A ดีกว่า B และ B ดีกว่า Cแล้ว A ดีกว่า C.

ความต่อเนื่องมีความเท่าเทียมกัน ความสอดคล้อง ความคล้ายคลึง แม้กระทั่งความเท่าเทียม มันเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์พื้นฐานทั้งหมดที่เราทำ ซึ่งทำให้น่าสนใจเป็นพิเศษเมื่อไม่มีอยู่จริง เมื่อนักวิเคราะห์จัดอันดับทีม นักเศรษฐศาสตร์ศึกษาความต้องการของผู้บริโภค หรือประชาชนลงคะแนนให้กับผู้สมัครที่ตนต้องการ การขาดกระบวนการเปลี่ยนผ่านอาจนำไปสู่ผลลัพธ์ที่น่าประหลาดใจ เพื่อให้เข้าใจระบบประเภทนี้ได้ดีขึ้น นักคณิตศาสตร์ได้ศึกษา "ลูกเต๋าแบบอกรรมกริยา" มานานกว่า 50 ปี และ กระดาษที่ผ่านมา จากการทำงานร่วมกันทางคณิตศาสตร์ออนไลน์ที่เรียกว่าโครงการ Polymath ได้พัฒนาความเข้าใจดังกล่าว เพื่อให้เข้าใจว่าการไม่ถ่ายทอดมีหน้าตาและความรู้สึกอย่างไร เรามาสร้างกลุ่มของเราเองแล้วลองเล่นดู

ในลีกคณิตศาสตร์ใหม่ของเรา ผู้เล่นแข่งขันกันโดยการพลิกเหรียญแบบกำหนดเองและเปรียบเทียบผลลัพธ์ สมมติว่าผู้เล่น A มีเหรียญด้านหนึ่งมีเลข 10 และอีกด้านมีเลข 6 และเครื่องเล่น Bเหรียญของเหรียญมีหมายเลข 8 และ 3 เราจะถือว่าเหรียญนั้นยุติธรรม — หมายความว่าแต่ละด้านมีแนวโน้มที่จะปรากฏเท่ากันเมื่อพลิกเหรียญ — และเราจะแสดงตัวเลขบนเหรียญในลักษณะนี้

ในเกม ผู้เล่นจะพลิกเหรียญ และใครก็ตามที่มีเหรียญแสดงจำนวนที่สูงกว่าจะเป็นผู้ชนะ ใครจะชนะเมื่อ. A เล่น B?

แน่นอนว่ามันขึ้นอยู่กับ บางครั้ง A จะชนะในบางครั้ง B จะชนะ. แต่ก็ไม่ยากที่จะเห็นว่า A เป็นที่โปรดปรานที่จะเอาชนะ B. มีสี่วิธีที่เกมสามารถเปิดเผยได้และ A ชนะในสามคน

ดังนั้นในเกมของ A กับ B, A มีโอกาสชนะ 75%

C เข้ามาและท้าทาย B ไปที่เกม Cเหรียญมี 5 อยู่ด้านหนึ่งและ 4 อยู่อีกด้านหนึ่ง มีความเป็นไปได้สี่ประการอีกครั้ง

Here B และ C แต่ละคนชนะสองในสี่นัด ดังนั้นพวกเขาจะชนะคนละ 50% ของเกม B และ C มีการจับคู่กันอย่างเท่าเทียมกัน

ทีนี้คุณคาดหวังว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อใด A และ C เล่น? ดี, A มักจะเต้น Bและ B จะถูกจับคู่อย่างเท่าเทียมกันด้วย Cดังนั้นจึงดูสมเหตุสมผลที่จะคาดหวังเช่นนั้น A คงจะได้รับการสนับสนุนต่อต้าน C.

แต่ A เป็นมากกว่ารายการโปรด A กุมอำนาจ Cชนะ 100% ของเวลา

สิ่งนี้อาจดูน่าประหลาดใจ แต่ในทางคณิตศาสตร์ ก็ไม่ยากที่จะเห็นว่าเหตุใดจึงเกิดขึ้น Cตัวเลขอยู่ระหว่าง Bก็เป็นเช่นนั้น C ชนะเมื่อใดก็ได้ B พลิกหมายเลขที่ต่ำกว่า แต่ Cตัวเลขของทั้งคู่อยู่ด้านล่าง Aก็เป็นเช่นนั้น C จะไม่มีวันชนะคู่นั้น ตัวอย่างนี้ไม่ได้ละเมิดแนวคิดเรื่องการเปลี่ยนแปลง แต่มันแสดงให้เห็นว่าสิ่งต่างๆ อาจซับซ้อนมากกว่าแค่ A > B > C. การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในเกมของเราแสดงให้เห็นว่าเกมมีความซับซ้อนมากขึ้นเพียงใด

คู่แข่งของเราเบื่อหน่ายกับเกมพลิกเหรียญสองด้านอย่างรวดเร็ว เนื่องจากง่ายต่อการเข้าใจทางคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ (ดูแบบฝึกหัดท้ายคอลัมน์สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) ดังนั้นลีกจึงตัดสินใจอัปเกรดเป็นเหรียญสามด้าน (ข้อดีอย่างหนึ่งของการเล่นในลีกคณิตศาสตร์ในจินตนาการคือทุกสิ่งเป็นไปได้)

ที่นี่มี A และ Bเหรียญของ:

ที่เป็นที่ชื่นชอบในเกมระหว่าง A และ B? มีผลลัพธ์สามประการสำหรับ Aโยนเหรียญและสามเพื่อ Bนำไปสู่ผลลัพธ์ของเกมที่เป็นไปได้เก้ารายการซึ่งเราสามารถจัดทำแผนภูมิได้อย่างง่ายดาย

สมมติอีกครั้งว่าผลลัพธ์ทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน A เต้น B ในห้าในเก้าผลลัพธ์ นี่หมายความว่า A ควรชนะ $latex frac{5}{9} ประมาณ $ 55% ของเวลา ดังนั้น A เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน B.

รู้สึกแย่เล็กน้อยเกี่ยวกับโอกาสของพวกเขา B ความท้าทาย C ไปที่เกม Cตัวเลขแสดงไว้ด้านล่าง คุณชอบ Bโอกาสเหรอ?

อีกครั้ง มีเก้าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในเกม B กับ Cดังนั้นเราจึงสามารถแสดงรายการพวกมันออกมาได้

เราเห็นได้ว่า B กำลังดูค่อนข้างดีเมื่อเทียบกับ C. ในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ห้าจากเก้าประการ B ชนะ ดังนั้น B เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน C.

แย่ที่สุด C ตอนนี้ต้องเล่นแล้ว A. ด้วย A ได้รับการสนับสนุนต่อต้าน B และ B ได้รับการสนับสนุนต่อต้าน Cโอกาสอะไรทำ C ต้องชนะเหรอ? ค่อนข้างดีตามที่ปรากฎ

ในผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ห้าจากเก้าประการนี้ C เต้น A. ซึ่งหมายความว่า C เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน A, ถึงแม้ว่า Aเป็นที่โปรดปรานต่อต้าน B และ B เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน C.

นี่คือตัวอย่างของระบบอกรรมกริยา ในทางเทคนิคแล้ว ความสัมพันธ์ "ได้รับการสนับสนุน" ในเกมของเราไม่ใช่สกรรมกริยา: A เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน Bและ B เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน Cแต่ A ไม่จำเป็นต้องได้รับการสนับสนุน C.

เราไม่ค่อยเห็นสิ่งนี้ในวิชาคณิตศาสตร์ แต่พฤติกรรมประเภทนี้จะไม่ทำให้แฟนกีฬาประหลาดใจ หากไจแอนต์เอาชนะอินทรี และอินทรีเอาชนะคาวบอยส์ คาวบอยส์ก็ยังเอาชนะไจแอนต์ได้เป็นอย่างดี มีหลายปัจจัยที่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของเกมแต่ละเกม ทีมจะดีขึ้นได้ด้วยการฝึกฝนหรือเมื่อยล้าหากไม่สร้างสรรค์สิ่งใหม่ๆ ผู้เล่นสามารถเปลี่ยนทีมได้ รายละเอียดต่างๆ เช่น สถานที่เล่นเกม ในบ้านหรือนอกบ้าน หรือความรวดเร็วในการเล่นของทีมสามารถส่งผลต่อผู้ชนะและผู้แพ้ได้

แต่ตัวอย่างง่ายๆ นี้แสดงให้เห็นว่ามีเหตุผลทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่อยู่เบื้องหลังความไม่ต่อเนื่องประเภทนี้เช่นกัน และการพิจารณาทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ มีบางอย่างที่เหมือนกันกับข้อจำกัดของการแข่งขันในโลกแห่งความเป็นจริง นั่นคือ การจับคู่

นี่คือตัวเลขสำหรับ A, B และ C.

เมื่อเราดูแบบเทียบเคียง จะง่ายกว่าที่จะเห็นว่าทำไมการไม่ถ่ายทอดจึงเกิดขึ้นในสถานการณ์นี้ แม้ว่า B เป็นที่โปรดปรานที่จะเอาชนะ C, Cตัวเลขสูงปานกลางสองตัวคือ 7 และ 6 ทำให้พวกเขาได้เปรียบ A ที่ B ไม่มี ถึงแม้ว่า A เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน B และ B เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน C, C ตรงกับ A ที่ดีกว่า B ทำ. สิ่งนี้คล้ายกับวิธีที่ทีมกีฬารองบ่อนสามารถแข่งขันกันได้ดีกับคู่ต่อสู้ที่เก่งกว่า เนื่องจากสไตล์การเล่นของพวกเขานั้นยากสำหรับทีมนั้นที่จะรับมือ หรือเพราะผู้เล่นหรือโค้ชทำให้พวกเขาได้เปรียบเหนือคู่ต่อสู้นั้น ๆ

ความจริงที่ว่ากีฬาเป็นอกรรมกริยาเป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่ทำให้กีฬาเป็นเรื่องสนุกและน่าสนใจ ท้ายที่สุดถ้า A เต้น B และ B เต้น C, C จะไม่สูญเสียไปเพียงเพราะการเปลี่ยนแปลงเมื่อพวกเขาเผชิญหน้ากัน A. ในการแข่งขันอะไรก็เกิดขึ้นได้ ดังที่ผู้วิจารณ์หลายคนพูดหลังจากอารมณ์เสียว่า “นั่นคือสาเหตุที่พวกเขาเล่นเกมนี้”

และนั่นคือเหตุผลที่เราเล่นกับคณิตศาสตร์ เพื่อค้นหาสิ่งที่สนุก น่าสนใจ และน่าประหลาดใจ อะไรก็เกิดขึ้นได้

การออกกำลังกาย

1. สมมติว่าผู้เล่นสองคนเล่นเกมเหรียญสองหน้า และตัวเลขสี่ตัวจากเหรียญทั้งสองนั้นต่างกันทั้งหมด โดยพื้นฐานแล้วมีเพียงหกสถานการณ์ที่เป็นไปได้ว่าใครจะชนะและบ่อยแค่ไหน พวกเขาคืออะไร?

2. ในสถานการณ์เกมสามด้านที่อธิบายไว้ข้างต้น ให้ค้นหาเหรียญสามด้านที่แตกต่างกัน C ดังนั้น B ยังคงได้รับการสนับสนุนต่อต้าน C และ C ยังคงได้รับการสนับสนุนต่อต้าน A.

3. พิสูจน์ว่าในเกมเหรียญสองด้าน เป็นไปไม่ได้ที่จะมีผู้เล่นสามคน A, B, C ดังนั้น A เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน B, B เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน Cและ C เป็นที่โปรดปรานต่อต้าน A.