Bir Yüzyıl Sonra Yeni Matematik Genel Göreliliği Düzeltiyor | Quanta Dergisi

Albert Einstein'ın genel görelilik teorisi, yerçekiminin nasıl çalıştığını ve evrenin büyük ölçekli yapısını nasıl şekillendirdiğini açıklamada son derece başarılı oldu. Bu, fizikçi John Wheeler'ın bir sözünde özetlenmiştir: “Uzay-zaman, maddeye nasıl hareket edeceğini söyler; Madde, uzay-zamanın nasıl kıvrılacağını söyler.” Ancak genel göreliliğin matematiği de sezgilere son derece aykırıdır.

Temel denklemleri çok karmaşık olduğundan, en basit gibi görünen ifadelerin bile kanıtlanması zordur. Örneğin, matematikçiler genel göreliliğin önemli bir teoreminin bir parçası olarak, içinde herhangi bir kütle olmayan izole bir fiziksel sistemin veya uzayın düz olması gerektiğini ancak 1980 civarında kanıtladılar.

Bu durum, çok küçük bir kütleye sahip, neredeyse boşluk olan bir alanın neye benzeyeceği sorusunu çözümsüz bıraktı. Mutlaka neredeyse düz mü?

Daha küçük kütlenin daha küçük eğriliğe yol açacağı açık gibi görünse de, genel görelilik söz konusu olduğunda işler o kadar kesin ve kuru değildir. Teoriye göre, yoğun madde konsantrasyonları uzayın bir bölümünü "çarpabilir" ve onu oldukça kavisli hale getirebilir. Bazı durumlarda bu eğrilik aşırı olabilir ve muhtemelen kara deliklerin oluşumuna yol açabilir. Bu, yeterince güçlü bir şekilde yoğunlaşmışsa, az miktarda madde içeren bir alanda bile meydana gelebilir.

Yeni bir derlemede kâğıt, Conghan DongStony Brook Üniversitesi'nde yüksek lisans öğrencisi ve Antoine ŞarkısıKaliforniya Teknoloji Enstitüsü'nde yardımcı doçent olan , giderek küçülen kütleye sahip bir dizi kavisli uzayın, eninde sonunda sıfır eğriliğe sahip düz bir uzaya dönüşeceğini kanıtladı.

Bu sonuç, genel göreliliğin matematiksel keşfinde kayda değer bir ilerlemedir; bu, Einstein'ın teorisini geliştirmesinden bir asırdan fazla süre sonra da meyvelerini vermeye devam eden bir arayıştır. Dan LeeQueens College'da genel görelilik matematiği üzerine çalışan ancak bu araştırmaya dahil olmayan bir matematikçi, Dong ve Song'un kanıtının eğrilik ve kütlenin nasıl etkileşime girdiğine dair derin bir anlayışı yansıttığını söyledi.

Neyi Kanıtladılar

Dong ve Song'un ispatı üç boyutlu uzaylarla ilgilidir, ancak önce örnekleme amacıyla iki boyutlu bir örneği düşünün. Sıradan, pürüzsüz bir kağıt parçası gibi kütlesi olmayan düz bir uzay hayal edin. Bu örnekte kütlesi küçük olan bir alan uzaktan benzer görünebilir; yani çoğunlukla düzdür. Bununla birlikte, daha yakından incelendiğinde, maddenin kümelenmesinin sonuçları olan, orada burada ortaya çıkan bazı keskin sivri uçlar veya kabarcıklar ortaya çıkarılabilir. Bu rastgele çıkıntılar, kağıdın ara sıra mantar veya sapların yüzeyden dışarı çıktığı bakımlı bir çime benzemesine neden olur.

Dong ve Song kanıtladı varsayım 2001 yılında matematikçiler tarafından formüle edilen Gerhard Huisken ve Tom İlmanen. Varsayım, bir uzayın kütlesi sıfıra yaklaştıkça eğriliğinin de sıfıra yaklaşması gerektiğini belirtir. Ancak Huisken ve Ilmanen, baloncukların ve ani yükselişlerin (birbirlerinden matematiksel olarak farklı olan) varlığı nedeniyle bu senaryonun karmaşıklaştığını fark etti. Kabarcıkların ve sivri uçların, her bir eksizyonla alanın yüzeyinde geride kalan sınır alanının küçük olacağı şekilde kesilebileceğini varsaydılar. Bu zahmetli uzantılar kaldırıldıktan sonra kalan alanın neredeyse düz olacağını öne sürdüler, ancak kanıtlayamadılar. Ayrıca bu tür kesintilerin nasıl yapılması gerektiğinden de emin değillerdi.

Lee, "Bu sorular zordu ve Huisken-Ilmanen varsayımına bir çözüm görmeyi beklemiyordum" dedi.

Tahminin merkezinde eğriliğin ölçümü yer alıyor. Uzay farklı şekillerde, farklı miktarlarda ve farklı yönlerde kıvrılabilir; ileri ve geri giderken yukarıya, sola ve sağa doğru aşağı doğru kıvrılan bir eyer (iki boyutlu) gibi. Dong ve Song bu ayrıntıları görmezden gelir. Eğriyi, tüm yönlerdeki tam eğriliği özetleyen tek bir sayı olarak temsil eden, skaler eğrilik adı verilen bir kavram kullanırlar.

Dong ve Song'un yeni çalışması şöyle dedi: Daniel Stern Cornell Üniversitesi'nin çalışması, "skaler eğriliğin bir bütün olarak uzayın geometrisini nasıl kontrol ettiğini bize gösteren şu ana kadar elde ettiğimiz en güçlü sonuçlardan biri". Makaleleri şunu gösteriyor: "Negatif olmayan skaler eğriliğimiz ve küçük kütlemiz varsa, uzayın yapısını çok iyi anlarız."

Kanıt

Huisken-Ilmanen varsayımı, kütlesi giderek azalan uzayların geometrisiyle ilgilidir. Kütlesi küçük olan bir uzayın düz uzaya ne kadar yakın olduğunu söylemek için özel bir yöntem önermektedir. Bu ölçüye Gromov-Hausdorff mesafesi denir ve matematikçilerin ismiyle anılır. Mihail Gromov ve Felix Hausdorff. Gromov-Hausdorff mesafesinin hesaplanması iki adımlı bir işlemdir.

İlk adım Hausdorff mesafesini bulmaktır. A ve B olmak üzere iki daireniz olduğunu varsayalım. A üzerinde herhangi bir noktadan başlayın ve bunun B üzerindeki en yakın noktaya ne kadar uzak olduğunu bulun.

Bunu A üzerindeki her nokta için tekrarlayın. Bulduğunuz en büyük mesafe, daireler arasındaki Hausdorff mesafesidir.

Hausdorff mesafesini öğrendikten sonra Gromov-Hausdorff mesafesini hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için nesnelerinizi aralarındaki Hausdorff mesafesini en aza indirecek şekilde daha büyük bir alana yerleştirin. İki özdeş daire durumunda, onları kelimenin tam anlamıyla üst üste koyabildiğiniz için, aralarındaki Gromov-Hausdorff mesafesi sıfırdır. Bunun gibi geometrik olarak özdeş nesnelere "izometrik" denir.

Elbette, karşılaştırılan nesneler veya alanlar benzer ancak aynı olmadığında mesafeyi ölçmek daha zordur. Gromov-Hausdorff mesafesi, başlangıçta farklı uzaylarda bulunan iki nesnenin şekilleri arasındaki benzerliklerin (veya farklılıkların) kesin bir ölçümünü sağlar. Stern, "Gromov-Hausdorff mesafesi, iki uzayın neredeyse izometrik olduğunu söylemenin en iyi yollarından biri ve 'neredeyse'ye bir sayı veriyor" dedi.

Dong ve Song, küçük kütleli bir uzay ile tamamen düz bir uzay arasında karşılaştırmalar yapabilmeden önce, sinir bozucu çıkıntıları (maddenin sıkı bir şekilde paketlendiği dar sivri uçlar ve hatta küçük kara delikleri barındırabilecek daha yoğun kabarcıklar) kesmeleri gerekiyordu. Song, "Onları, [dilin oluşturulduğu yerdeki] sınır alanı küçük olacak şekilde kestik" dedi ve "kütle azaldıkça alanın da küçüldüğünü gösterdik."

Her ne kadar bu taktik bir hile gibi görünse de Stern, kütle azaldıkça alanı sıfıra küçülen kabarcıkları ve sivri uçları keserek bir tür ön işleme yapmanın varsayımı kanıtlamanın caiz olduğunu söyledi.

Kütlesi küçük olan bir alanın temsili olarak, tekrar düzleştirildiğinde hala keskin kırışıklıkları ve kıvrımları olan buruşuk bir kağıt parçası hayal edebileceğimizi öne sürdü. En göze çarpan düzensizlikleri gidermek için bir delgeç kullanabilirsiniz, böylece üzerinde bazı delikler bulunan hafif düzgün olmayan bir kağıt parçası bırakabilirsiniz. Bu deliklerin boyutu küçüldükçe kağıdın arazisindeki eşitsizlikler de azalacaktır. Sınırda, deliklerin sıfıra kadar küçüleceğini, tümseklerin ve çıkıntıların kaybolacağını ve elinizde tekdüze pürüzsüz bir kağıt parçasının (düz alanın gerçek bir temsilcisi) kalacağını söyleyebilirsiniz.

Dong ve Song'un kanıtlamaya çalıştığı şey buydu. Bir sonraki adım, kaba özelliklerinden arındırılmış bu çıplak alanların mutlak düzlük standardına göre nasıl yığıldığını görmekti. İzledikleri strateji, bir alandaki noktaları diğerindeki noktalarla ilişkilendirerek iki alanı karşılaştırmanın bir yolu olan özel bir tür haritadan yararlanıyordu. Kullandıkları harita bir kâğıt Stern ve üç meslektaşı Hubert Bray, Demetre Kazaras ve Marcus Khuri tarafından yazılmıştır. Bu prosedür, iki alanın tam olarak ne kadar yakın olduğunu ortaya çıkarabilir.

Görevlerini basitleştirmek için Dong ve Song, Stern ve ortak yazarlarından başka bir matematik hilesi benimsediler; bu numara, üç boyutlu bir uzayın, katı haşlanmış yumurtanın yapabildiği gibi, seviye kümeleri adı verilen sonsuz sayıda iki boyutlu dilime bölünebileceğini gösterdi. yumurta dilimleyicinin gergin telleri ile dar tabakalara bölünebilir.

Düzey setleri, içerdikleri üç boyutlu alanın eğriliğini miras alır. Dikkatlerini daha büyük üç boyutlu uzay yerine seviye kümelerine odaklayan Dong ve Song, problemin boyutunu üçten ikiye indirmeyi başardılar. Song, bunun çok faydalı olduğunu söyledi çünkü "iki boyutlu nesneler hakkında çok şey biliyoruz... ve bunları incelemek için birçok aracımız var."

Song, her seviye kümesinin "bir nevi düz" olduğunu başarılı bir şekilde gösterebilirlerse, bunun küçük kütleli üç boyutlu bir uzayın düze yakın olduğunu gösterme yönündeki genel hedeflerine ulaşmalarına olanak sağlayacağını söyledi. Neyse ki bu strateji sonuç verdi.

Sonraki Adımlar

Song, ileriye dönük olarak alanın bir sonraki zorluklarından birinin, kabarcıklardan ve sivri uçlardan kurtulmak için kesin bir prosedür ortaya koyarak ve kesilen bölgeleri daha iyi tanımlayarak kanıtı daha açık hale getirmek olduğunu söyledi. Ancak şimdilik şunu itiraf etti: "Bunu başarmak için net bir stratejimiz yok."

 Song, gelecek vaat eden bir başka yolun da bir araştırma alanı keşfetmek olacağını söyledi. ayrı varsayım 2011 yılında Lee tarafından formüle edildi ve Christina SormaniNew York Şehir Üniversitesi'nden bir matematikçi. Lee-Sormani varsayımı, Huisken ve Ilmanen'in sorduğu soruya benzer bir soru soruyor ancak şekiller arasındaki farkı ölçmenin farklı bir yoluna dayanıyor. Lee-Sormani yaklaşımı, Gromov-Hausdorff mesafesinin yaptığı gibi iki şekil arasındaki maksimum mesafeyi dikkate almak yerine, uzayın hacmi onların arasında. Bu hacim ne kadar küçükse, o kadar yakındırlar.

Bu arada Song, skaler eğrilikle ilgili fizik tarafından motive edilmeyen temel sorulara bakmayı umuyor. "Genel görelilikte" dedi, "sonsuzda neredeyse düz olan çok özel uzaylarla ilgileniyoruz, ancak geometride her türlü uzayla ilgileniyoruz."

Stern, "Bu tekniklerin genel görelilik ile ilgisi olmayan diğer ortamlarda da değerli olabileceğine dair umut var" dedi. "İlgili problemlerden oluşan geniş bir aile var" dedi ve bunların keşfedilmeyi beklediğini söyledi.

Kuantum izleyicilerimize daha iyi hizmet verebilmek için bir dizi anket yürütüyor. Bizimkini al matematik okuyucu anketi ve ücretsiz kazanmak için girileceksiniz Kuantum ek ürün.