1950'lerin başında, Institute for Advanced Study'deki bir grup araştırmacı, yüksek teknolojili bir projeye girişti. de emir John von Neumann ve Herman Goldstine'den fizikçi Hedvig Selberg, IAS'nin 1,700 vakum tüplü bilgisayarını, kökenleri 18. yüzyıla kadar uzanan ilginç matematiksel toplamları hesaplamak için programladı.
Toplamlar, ünlü matematikçi Carl Friedrich Gauss'un adını taşıyan ikinci dereceden Gauss toplamlarıyla ilgiliydi. Gauss bir asal sayı seçerdi p, ardından $lateks e^{frac{2iπn^2}{p}}$ biçimindeki sayıları toplayın. Başlangıçlarından bu yana, ikinci dereceden Gauss toplamları, belirli denklem türlerinin çözümlerini saymak gibi görevler için çok değerli olduğunu kanıtladı. "Görünüşe göre Gauss toplamları sihirlidir, sadece harika şeyler yaparlar çünkü Tanrı bilir ne sebepledir" dedi. Jeffrey Hoffstein, Brown Üniversitesi'nde bir matematikçi.
19. yüzyılın ortalarında, Alman matematikçi Ernst Eduard Kummer, bu ikinci dereceden Gauss toplamlarıyla yakın bir akraba ile oynuyordu. n2 üs içinde bir ile değiştirilir n3. Kummer, şaşırtıcı bir dereceye kadar belirli değerlere yakın toplama eğiliminde olduklarını fark etti - sayı teorisinde yüzyıllarca araştırma yapılmasına yol açacak keskin bir gözlem.
Kübik Gauss toplamları daha basit bir formüle dönüştürülmezse, değerlerini çıkarmak zordur. Böyle bir formülden yoksun olan Kummer, kübik Gauss toplamlarını hesaplamaya ve hesaplamaya ve hesaplamaya başladı. “O zamanlar bu tür kahramanca hesaplamaları elle yapmaları çok yaygındı” dedi. Matta Genç, Texas A&M Üniversitesi'nde matematikçi. Kummer, önemsiz olmayan ilk 45 asal sayıya karşılık gelen 45 toplamı inceledikten sonra sonunda vazgeçti.
Sonuçlarını inceleyen Kummer ilginç bir şey fark etti. Teoride, toplamlar -1 ile 1 arasında herhangi bir şey olabilir ("normalleştirildikten" sonra - uygun bir sabite bölünür). Ancak hesaplamaları yaptığında, bunların garip bir şekilde dağıldığını keşfetti. Sonuçların yarısı ½ ile 1 arasındaydı ve sadece altıda biri -1 ile −½ arasındaydı. 1 civarında kümelenmiş görünüyorlardı.
Kummer gözlemlerini bir varsayımla birlikte ortaya koydu: Eğer bir şekilde sonsuz sayıdaki Gauss toplamlarının tümünü çizmeyi başarsaydınız, bunların çoğunu ½ ile 1 arasında görürdünüz; −½ ve ½ arasında daha az; ve -1 ile −½ arasında daha da az.
Selberg, von Neumann ve Goldstine, bunu ilk bilgisayarlarında test etmek için yola çıktılar. Selberg onu, 10,000'den küçük önemsiz olmayan tüm asal sayılar için kübik Gauss toplamlarını hesaplamak için programladı - toplamda yaklaşık 600 toplam. (Goldstine ve von Neumann makaleyi yazmaya devam edeceklerdi; katkıları sonunda bir teşekkür satırına düşecekti.) Asal sayılar büyüdükçe normalleştirilmiş toplamların 1'e yakın kümelenmeye daha az meyilli olduğunu keşfettiler. Kummer'in varsayımının yanlış olduğuna dair ikna edici kanıtlarla matematikçiler, kübik Gauss toplamlarını salt hesaplamanın ötesine geçen daha derin bir şekilde anlamaya çalışmaya başladılar.
O süreç artık tamamlandı. 1978 yılında matematikçi samuel patterson Kummer'in matematiksel gizemine bir çözüm bulmayı göze aldı ama kanıtlayamadı. Sonra geçen sonbaharda, California Teknoloji Enstitüsü'nden iki matematikçi, Patterson'ın varsayımını kanıtladı ve en sonunda Kummer'in 1846'daki derin düşüncelerine bir son verdi.
Patterson bu soruna ilk olarak 1970'lerde Cambridge Üniversitesi'nde yüksek lisans öğrencisi olarak bağlandı. Tahmini, sayılar -1 ile 1 arasında herhangi bir yere rastgele yerleştirildiğinde ne olduğuyla motive edildi. N bu rastgele sayıların toplamının tipik boyutu $latexsqrt{N}$ olacaktır (pozitif veya negatif olabilir). Benzer şekilde, kübik Gauss toplamları -1'den 1'e eşit olarak dağılmış olsaydı, N kabaca $latexsqrt{N}$'a kadar eklemek için bunlardan.
Bunu akılda tutarak, Patterson ekledi N Kübik Gauss toplamları, asal sayılara bağlı kalma gereksinimini (şu an için) göz ardı ediyor. Toplamın civarında olduğunu buldu. N5/6 — $latexsqrt{N}$'dan büyük (şu şekilde yazılabilir: N1/2), ancak daha az N. Bu değer, toplamların rasgele sayılar gibi davrandığını, ancak onları pozitif değerlere doğru bastıran zayıf bir kuvvetle, yanlılık olarak adlandırıldığını ima etti. Olarak N gitgide büyüdüğünde, rastgelelik önyargıyı bastırmaya başlayacaktı ve böylece bir şekilde sonsuz sayıdaki Gauss toplamının tümüne aynı anda bakarsanız, bunlar eşit olarak dağılmış gibi görünürdü.
Bu görünüşte her şeyi açıklıyordu: Kummer'in bir önyargı gösteren hesaplamaları ve aynı zamanda birini reddeden IAS hesaplamaları.
Ama Patterson asal sayılar için aynı hesaplamaları yapamadı, bu yüzden 1978'de bunu resmi olarak bir kağıda yazdı. varsayım: Asal sayılar için kübik Gauss toplamlarını toplarsanız, aynı sonucu almalısınız. N5/6 davranışı.
Kummer problemi üzerine yaptığı çalışma hakkında bir konuşma yaptıktan kısa bir süre sonra, Patterson, asal sayı teorisinden teknikleri birleştirmeyi öneren Roger Heath-Brown adlı bir yüksek lisans öğrencisi ile temasa geçti. İkisi bir araya geldi ve yakında yayınlanan sorun üzerinde bir ilerleme, ama yine de Patterson'ın tahmin ettiğini gösteremediler. N5/6 önyargı asal sayılar için doğruydu.
Takip eden on yıllar boyunca, çok az ilerleme kaydedildi. Sonunda, milenyumun başında Heath-Brown başka bir tane daha yaptı. buluşkübik büyük elek adlı geliştirdiği bir alet önemli bir rol oynadı.
Kübik büyük elek kullanmak için Heath-Brown, kübik Gauss toplamlarının toplamını farklı bir toplamla ilişkilendirmek için bir dizi hesaplama kullandı. Bu araçla, Heath-Brown, asal sayılar için kübik Gauss toplamlarını toplarsanız, şunu gösterebildi: N, sonuç şundan çok daha büyük olamaz N5/6. Ama daha iyisini yapabileceğini, eleğin kendisinin iyileştirilebileceğini düşündü. Yapabilseydi, sınırı düşürürdü N5/6 tam olarak, böylece Patterson'ın varsayımını kanıtlıyor. Kısa bir metin satırında, elek için mümkün olan en iyi formülün ne olacağını düşündü.
Ellerindeki bu yeni araçla bile, matematikçiler daha fazla ilerleyemediler. Yirmi yıl sonra, Caltech doktora sonrası arasında şanslı bir karşılaşma Alexander Dunn ve onun amiri Maksym Radziwill sonun başlangıcını işaret etti. Dunn Eylül 2020'de görevine başlamadan önce Radziwill, Patterson'ın varsayımı üzerinde birlikte çalışmalarını önerdi. Ancak Covid-19 pandemisi hala şiddetle devam ederken, araştırma ve öğretim uzaktan devam etti. Sonunda, Ocak 2021'de iki matematikçi beklenmedik bir şekilde Pasadena'daki bir otoparkta çarpıştığında şans veya kader araya girdi. Dunn bir e-postada, "Samimi bir şekilde sohbet ettik ve matematikle tanışıp konuşmaya başlamamız gerektiğine karar verdik" dedi. Mart ayına kadar, Patterson'ın varsayımının bir kanıtı üzerinde özenle çalışıyorlardı.
Dunn, "Üzerinde çalışmak heyecan vericiydi, ancak son derece yüksek riskliydi" dedi. "Yani, dört ya da beş ay boyunca her sabah saat 5'te ofisime geldiğimi hatırlıyorum."
Dunn ve Radziwill, kendilerinden önceki Heath-Brown gibi, kanıtları için kübik büyük eleği vazgeçilmez buldular. Ancak, Heath-Brown'ın 2000 tarihli makalesinde yazdığı formülü - mümkün olan en iyi elek olduğuna inandığı, sayı teorisi topluluğunun doğru olduğuna inandığı bir varsayım - kullandıklarında, bir şeylerin doğru olmadığını anladılar. . Radziwill, “Çok, çok karmaşık bir çalışmanın ardından 1 = 2 olduğunu kanıtlayabildik” dedi.
Bu noktada Radziwill, hatanın kendilerine ait olduğundan emindi. “Temelde ispatımızda bir hata olduğuna ikna oldum.” Dunn onu aksine ikna etti. Kübik büyük elek, beklentilerin aksine geliştirilemedi.
Kübik büyük eleğin doğruluğuyla donanmış olan Dunn ve Radziwill, Patterson'ın varsayımına yaklaşımlarını yeniden kalibre ettiler. Bu sefer başardılar.
Radziwill, “Bence kimsenin bunu yapmamasının ana nedeni buydu, çünkü bu [Heath-Brown] varsayımı herkesi yanılttı” dedi. "Sanırım Heath-Brown'a varsayımının yanlış olduğunu söylersem, muhtemelen nasıl yapacağını anlayacaktır."
Dunn ve Radziwill makalelerini 15 Eylül 2021'de yayınladılar. Sonunda kanıtları, matematikte ispatlanmamış ünlü bir varsayım olan genelleştirilmiş Riemann hipotezine dayanıyordu. Ancak diğer matematikçiler bunu sadece küçük bir dezavantaj olarak görüyorlar. “Hipotezden kurtulmak istiyoruz. Ama yine de koşullu bir sonuç aldığımız için mutluyuz” dedi. Heath-Kahverengişimdi Oxford Üniversitesi'nde fahri profesör olan.
Heath-Brown için Dunn ve Radziwill'in çalışması, Patterson'ın varsayımının bir kanıtından daha fazlasıdır. Kübik büyük eleğe beklenmedik bir bakış açısıyla, makaleleri, on yıllardır parçası olduğu bir hikayeye sürpriz bir son getirdi. Dunn ve Radziwill'in önemli olduğunu keşfettikleri elek parçasına atıfta bulunarak, “Gazeteme aslında 'Bundan kurtulabileceğine eminim' yazmadığım için memnunum” dedi. “Sadece şunu söyledim, 'Biri bundan kurtulabilirse iyi olur. Yapabilmen mümkün görünüyor.' Ve yanılmışım - ilk defa değil."
