Sonsuzluk Ne Kadar Büyük?

Marvel gişe rekorları kıran filmin sonunda Yenilmezler: Endgame, Tony Stark'ın önceden kaydedilmiş bir hologramı, genç kızına “Seni 3,000 seviyorum” diyerek veda ediyor. Dokunaklı an, ikisinin birbirlerine olan aşklarını ölçmek için eğlenceli yatmadan önce ritüelle meşgul oldukları daha önceki bir sahneyi yankılıyor. Stark'ı oynayan aktör Robert Downey Jr.'a göre, dizi kendi çocuklarıyla benzer alışverişlerinden ilham aldı.

Oyun, büyük sayıları keşfetmenin eğlenceli bir yolu olabilir:

"Seni seviyorum 10."

"Ama seni 100 seviyorum."

"Pekala, seni seviyorum 101!"

“googolplex” tam da bu şekilde evimde popüler bir kelime haline geldi. Ancak hepimiz bu argümanın nihayetinde nereye vardığını biliyoruz:

"Seni sonsuz seviyorum!"

"Ah evet? Seni seviyorum sonsuz artı 1!”

Çocuklar ister oyun alanında ister yatmadan önce sonsuzluk kavramıyla matematik dersinden çok önce karşılaşırlar ve anlaşılır bir şekilde bu gizemli, karmaşık ve önemli kavrama karşı bir hayranlık geliştirirler. Bu çocuklardan bazıları büyüyüp sonsuzluğa hayran matematikçiler oluyor ve bu matematikçilerden bazıları sonsuzlukla ilgili yeni ve şaşırtıcı şeyler keşfediyor.

Bazı sayı kümelerinin sonsuz büyüklükte olduğunu biliyor olabilirsiniz, ancak bazı sonsuzlukların diğerlerinden daha büyük olduğunu biliyor muydunuz? Ve en iyi bildiğimiz ikisi arasında sıkışmış başka sonsuzluklar olup olmadığından emin olmadığımızı mı? Matematikçiler en az bir asırdır bu ikinci soru üzerinde kafa yoruyorlar ve son zamanlarda yapılan bazı çalışmalar insanların bu konu hakkında düşünme şeklini değiştirdi.

Sonsuz kümelerin boyutuyla ilgili soruları çözmek için, sayılması daha kolay olan kümelerle başlayalım. Küme, nesneler veya öğeler topluluğudur ve sonlu küme, yalnızca sonlu sayıda nesne içeren bir kümedir.

Sonlu bir kümenin boyutunu belirlemek kolaydır: Sadece içerdiği eleman sayısını sayın. Küme sonlu olduğundan, sonunda saymayı bırakacağınızı bilirsiniz ve işiniz bittiğinde kümenizin boyutunu bilirsiniz.

Bu strateji sonsuz kümelerle çalışmaz. İşte ℕ ile gösterilen doğal sayılar kümesi. (Bazıları sıfırın doğal bir sayı olmadığını iddia edebilir, ancak bu tartışma sonsuza ilişkin araştırmalarımızı etkilemez.)

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,5,…}$

Bu setin boyutu nedir? En büyük doğal sayı olmadığından, eleman sayısını saymaya çalışmak işe yaramaz. Çözümlerden biri, bu sonsuz kümenin boyutunu basitçe "sonsuz" olarak ilan etmektir ki bu yanlış değildir, ancak diğer sonsuz kümeleri keşfetmeye başladığınızda, bunun da pek doğru olmadığını anlarsınız.

7, 3.2, -8.015 gibi ondalık bir açılımda veya $latexsqrt{2} = 1.414213…$ gibi sonsuz bir açılımda ifade edilebilen tüm sayılar olan gerçek sayılar kümesini düşünün. Her doğal sayı aynı zamanda bir gerçel sayı olduğundan, gerçeller kümesi de en az doğal sayılar kümesi kadar büyüktür ve dolayısıyla sonsuz olmalıdır.

Ancak, gerçek sayılar kümesinin boyutunun, doğal sayıların boyutunu tanımlamak için kullanılan "sonsuz" ile aynı olduğunu bildirme konusunda tatmin edici olmayan bir şey var. Nedenini anlamak için, 3 ve 7 gibi herhangi iki sayı seçin. Bu iki sayı arasında her zaman sonlu sayıda doğal sayı olacaktır: Burada 4, 5 ve 6 sayıları vardır. Ama aralarında her zaman sonsuz sayıda gerçek sayı olacaktır, sayılar. 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… ve benzeri gibi.

Dikkat çekici bir şekilde, herhangi iki farklı gerçek sayı birbirine ne kadar yakın olursa olsun, aralarında her zaman sonsuz sayıda gerçek sayı olacaktır. Kendi başına bu, reel sayılar ve doğal sayılar kümelerinin farklı boyutlara sahip olduğu anlamına gelmez, ancak bu iki sonsuz kümede daha fazla araştırmayı garanti eden temelde farklı bir şey olduğunu gösterir.

Matematikçi Georg Cantor bunu 19. yüzyılın sonlarında araştırdı. Bu iki sonsuz kümenin gerçekten farklı boyutları olduğunu gösterdi. Bunu nasıl yaptığını anlamak ve takdir etmek için önce sonsuz kümeleri nasıl karşılaştıracağımızı anlamamız gerekir. Sır, her yerde matematik derslerinin temelini oluşturur: fonksiyonlar.

Fonksiyonlar hakkında düşünmenin birçok farklı yolu vardır - $lateks f(x) = x^2 +1$ gibi fonksiyon gösterimi, Kartezyen düzlemindeki parabol grafikleri, "girdiyi alın ve ona 3 ekleyin" gibi kurallar — ama burada bir kümenin öğelerini diğerinin öğeleriyle eşleştirmenin bir yolu olarak bir işlevi düşüneceğiz.

Bu kümelerden birini ℕ, doğal sayılar kümesi olarak alalım. diyeceğimiz diğer set için S, tüm çift doğal sayıları alacağız. İşte iki setimiz:

$latexmathbb{N} = {0,1,2,3,4,…}$$lateks S= {0,2,4,6,8,…}$

ℕ öğesinin öğelerini öğesinin öğelerine dönüştüren basit bir işlev vardır. S: $lateks f(x) = 2x$. Bu fonksiyon sadece girdilerini ikiye katlar, bu yüzden eğer ℕ'nin elemanlarını $lateks f(x)$'ın girdileri olarak düşünürsek (bir fonksiyonun girdi setine "alan" diyoruz), çıktılar her zaman elemanları olacaktır. S. Örneğin, $lateks f(0)=0$, $lateks f(1) = 2$, $lateks f(2) = 4$, $lateks f(3) = 6$ vb.

Bunu, iki kümenin öğelerini yan yana sıralayarak ve $lateks f$ işlevinin girdileri ℕ'den nasıl çıktılara dönüştürdüğünü göstermek için okları kullanarak görselleştirebilirsiniz. S.

$lateks f(x)$ öğesinin tam olarak bir öğesini nasıl atadığına dikkat edin. S ℕ'nin her bir elemanına Fonksiyonlar bunu yapar, ancak $lateks f(x)$ bunu özel bir şekilde yapar. İlk olarak, $lateks f$ içindeki her şeyi atar. S ℕ içindeki bir şeye. Fonksiyon terminolojisini kullanarak, her elemanın S $lateks f$ fonksiyonu altındaki bir ℕ öğesinin "görüntüsüdür". Örneğin, 3,472 çift sayısı Sve bir bulabiliriz x $lateks f(x) = 3,472$ (yani 1,736) olacak şekilde ℕ'de. Bu durumda, $lateks f(x)$ fonksiyonunun ℕ ile eşleştiğini söylüyoruz. S. Bunu söylemenin daha süslü bir yolu, $lateks f(x)$ fonksiyonunun "sürekli" olmasıdır. Nasıl tarif ederseniz edin, önemli olan şudur: $lateks f(x)$ işlevi, ℕ'den gelen girdileri çıktılara dönüştürdüğü için S, hiçbir şey S süreçte gözden kaçıyor.

$lateks f(x)$ öğesinin çıktıları girdilere nasıl atadığıyla ilgili ikinci özel şey, ℕ öğesindeki hiçbir iki öğenin aynı öğeye dönüştürülmemesidir. S. İki sayı farklıysa, çiftleri farklıdır; 5 ve 11, ℕ cinsinden farklı doğal sayılardır ve çıktıları S bunlar da farklıdır: 10 ve 22. Bu durumda $lateks f(x)$'ın “1'e 1” olduğunu söylüyoruz (“1-1” olarak da yazılır) ve $lateks f(x)$'ı şu şekilde tanımlıyoruz: "enjektif." Buradaki anahtar, içinde hiçbir şey olmamasıdır. S iki kez kullanılır: İçindeki her öğe S ℕ'de yalnızca bir elemanla eşlenir.

$lateks f(x)$'ın bu iki özelliği güçlü bir şekilde birleşir. $lateks f(x)$ işlevi, ℕ öğeleri ile öğeleri arasında mükemmel bir eşleşme yaratır. S. $lateks f(x)$ öğesinin “onto” olması, içindeki her şeyin S ℕ'de bir ortağı var ve $lateks f(x)$'ın 1'e 1 olması, S ℕ'da iki ortağı var. Kısacası, $lateks f(x)$ işlevi, ℕ öğesinin her öğesini tam olarak bir öğesiyle eşleştirir. S.

Hem birleştirici hem de örtük olan bir fonksiyona bijection adı verilir ve bir bijection iki küme arasında 1'e 1 denklik oluşturur. Bu, bir kümedeki her elemanın diğer kümede tam olarak bir ortağı olduğu anlamına gelir ve bu, iki sonsuz kümenin aynı boyuta sahip olduğunu göstermenin bir yoludur.

$lateks f(x)$ fonksiyonumuz bir bijeksiyon olduğundan, bu iki sonsuz kümenin ℕ ve S aynı boyuttalar. Bu şaşırtıcı görünebilir: Sonuçta, her çift doğal sayının kendisi bir doğal sayıdır, dolayısıyla ℕ içindeki her şeyi içerir. S ve dahası. Bunun ℕ'yi şundan daha büyük yapması gerekmez mi? S? Sonlu kümelerle uğraşıyor olsaydık, cevap evet olurdu. Ancak bir sonsuz küme tamamen başka bir kümeyi içerebilir ve yine aynı boyutta olabilirler, bir tür "sonsuz artı 1" aslında düz eski "sonsuz"dan daha büyük bir aşk miktarı değildir. Bu, sonsuz kümelerin birçok şaşırtıcı özelliğinden sadece biridir.

Daha da büyük bir sürpriz, farklı boyutlarda sonsuz setler olması olabilir. Daha önce sonsuz gerçek ve doğal sayı kümelerinin farklı doğalarını araştırdık ve Cantor bu iki sonsuz kümenin farklı boyutlara sahip olduğunu kanıtladı. Bunu parlak ve ünlü çapraz argümanıyla yaptı.

Herhangi iki farklı gerçek arasında sonsuz sayıda gerçek sayı olduğundan, şimdilik sıfır ile 1 arasındaki sonsuz sayıda gerçek sayıya odaklanalım. Bu sayıların her biri, bunun gibi (muhtemelen sonsuz) bir ondalık açılım olarak düşünülebilir.

Burada $lateks a_1, a_2, a_3$ vb. sadece sayının basamaklarıdır, ancak tüm basamakların sıfır olmamasını isteyeceğiz, bu nedenle sıfır sayısını kümemize dahil etmeyeceğiz.

Köşegen argümanı esas olarak şu soruyla başlar: Doğal sayılar ile bu gerçek sayılar arasında bir orantı olsaydı ne olurdu? Böyle bir işlev olsaydı, iki küme aynı boyuta sahip olurdu ve işlevi, sıfır ile 1 arasındaki her gerçek sayıyı doğal bir sayı ile eşleştirmek için kullanabilirsiniz. Bunun gibi sıralı bir eşleşme listesi hayal edebilirsiniz.

Köşegen argümanının dehası, bu listeyi, listede olamayacak gerçek bir sayı oluşturmak için kullanabilmenizdir. Aşağıdaki şekilde basamak basamak gerçek bir sayı oluşturmaya başlayın: Ondalık noktadan sonraki ilk basamağı $lateks a_1$'dan farklı yapın, ikinci basamağı $lateks b_2$'dan farklı yapın, üçüncü basamağı $lateks'ten farklı bir şey yapın c_3 $, vb.

Bu gerçek sayı, listenin köşegeniyle olan ilişkisi ile tanımlanır. Listede mi? İlk rakamı farklı olduğu için listedeki ilk numara olamaz. Farklı bir ikinci haneye sahip olduğu için listedeki ikinci numara da olamaz. Aslında bu olamaz nbu listedeki numara, çünkü farklı bir ninci rakam. Ve bu herkes için geçerli n, yani sıfır ile 1 arasında olan bu yeni numara listede olamaz.

Ama sıfır ile 1 arasındaki tüm gerçek sayıların listede olması gerekiyordu! Bu çelişki, doğal sayılar ile sıfır ile 1 arasındaki gerçekler arasında bir orantı olduğu ve dolayısıyla böyle bir kıyasın olamayacağı varsayımından kaynaklanmaktadır. Bu, bu sonsuz kümelerin farklı boyutları olduğu anlamına gelir. Fonksiyonlarla biraz daha çalışmak (egzersizlere bakın), tüm reel sayılar kümesinin sıfır ile 1 arasındaki tüm gerçeller kümesiyle aynı boyutta olduğunu ve dolayısıyla doğal sayıları içeren gerçellerin bir olması gerektiğini gösterebilir. daha büyük sonsuz küme.

Sonsuz bir kümenin boyutu için kullanılan teknik terim, onun "kardinalitesi"dir. Köşegen argümanı, gerçeklerin kardinalitesinin doğal sayıların kardinalitesinden daha büyük olduğunu gösterir. Doğal sayıların kardinalitesi $lateks aleph_0$ şeklinde yazılır ve "aleph naught" olarak telaffuz edilir. Standart bir matematik görüşünde bu, en küçük sonsuz kardinaldir.

Bir sonraki sonsuz kardinal $latex aleph_1$ (“aleph one”) ve basitçe ifade edilen bir soru matematikçileri bir yüzyıldan fazla bir süredir şaşırttı: $latex aleph_1$ gerçek sayıların kardinalitesi mi? Başka bir deyişle, doğal sayılar ile gerçek sayılar arasında başka sonsuzluklar var mı? Cantor, cevabın hayır olduğunu düşündü - bu iddia olarak bilinen bir iddia. süreklilik hipotezi - ama bunu kanıtlayamadı. 1900'lerin başında bu soru o kadar önemli kabul edildi ki, David Hilbert matematikteki 23 önemli açık problemden oluşan ünlü listesini bir araya getirdiğinde, süreklilik hipotezi bir numaraydı.

Yüz yıl sonra çok ilerleme kaydedildi, ancak bu ilerleme yeni gizemlere yol açtı. 1940 yılında ünlü mantıkçı Kurt Gödel kanıtladı Küme kuramının genel kabul görmüş kuralları altında, doğal sayılarla gerçek sayılar arasında bir sonsuzluğun var olduğunu kanıtlamanın imkansız olduğunu. Bu, süreklilik hipotezinin doğru olduğunu kanıtlamak için büyük bir adım gibi görünebilir, ancak yirmi yıl sonra matematikçi Paul Cohen kanıtladı Böyle bir sonsuzluğun var olmadığını kanıtlamanın imkansız olduğunu! Süreklilik hipotezinin şu ya da bu şekilde kanıtlanamayacağı ortaya çıktı.

Birlikte bu sonuçlar, süreklilik hipotezinin “bağımsızlığını” oluşturdu. Bu, genel olarak kabul edilen küme kurallarının, bize doğal sayılar ve gerçekler arasında bir sonsuzluğun var olup olmadığını söylemeye yetmediği anlamına gelir. Ancak bu, matematikçileri sonsuzluğu anlama arayışlarında caydırmak yerine, onları yeni yönlere yönlendirdi. Matematikçiler şimdi hem sonsuzluk hakkında bilinenleri açıklayabilecek hem de boşlukları doldurmaya yardımcı olabilecek sonsuz kümeler için yeni temel kurallar arıyorlar.

“Sana olan aşkım aksiyomlardan bağımsızdır” demek, “Seni sonsuz artı 1 seviyorum” demek kadar eğlenceli olmayabilir ama belki de yeni nesil sonsuz sevgi dolu matematikçilerin iyi bir gece uykusu çekmesine yardımcı olur.

Egzersizler

1. $lateks T = {1,3,5,7,…}$, pozitif tek doğal sayılar kümesi olsun. Dır-dir T doğal sayılar kümesinden daha büyük, daha küçük veya ℕ ile aynı boyutta mı?

2. Doğal sayılar kümesi ℕ ile $latexmathbb{Z}={…,-1,-1,-3, tamsayılar kümesi arasında 2'e 1,0,1,2,3 denklik bulun. …}$.

3. Sıfır ile 1 arasındaki gerçek sayılar kümesi ile sıfırdan büyük gerçek sayılar kümesi arasında bir orantı olan $lateks f(x)$ fonksiyonunu bulun.

4. Sıfır ile 1 arasındaki gerçel sayılar kümesi ile tüm gerçel sayılar kümesi arasında bir bijeksiyon olan bir fonksiyon bulun.

Cevap 1 için tıklayınız:

Cevap 2 için tıklayınız:

Cevap 3 için tıklayınız:

Cevap 4 için tıklayınız: