Sonsuzluk hakkında kesin olarak nasıl konuşabilir? Hepsini bilmeden gizemli asal sayılar hakkında gerçekten ne bilebiliriz? Bilim adamlarının hipotezlerini değerlendirmek için verilere ihtiyaç duymaları gibi, matematikçiler de varsayımları kanıtlamak veya çürütmek için kanıtlara ihtiyaç duyarlar. Fakat sayı teorisinin somut olmayan aleminde kanıt olarak sayılan nedir? Bu bölümde, Steven Strogatz ile konuşuyor Melanie Matchett Ahşap, Harvard Üniversitesi'nde matematik profesörü, olasılık ve rastgeleliğin matematikçilerden talep edilen hava geçirmez argümanlar için kanıt oluşturmaya nasıl yardımcı olabileceğini öğrenmek için.
Dinle Apple Podcast'leri, Spotify, Google Podcast'ler, dikiş, TuneIn veya favori podcasting uygulamanız veya şuradan yayınla Kuantum.
Transkript
Steven Strogatz (00:02): Ben Steve Strogatz ve bu Neden Sevinci, bir podcast Quanta Dergisi bu sizi bugün matematik ve bilimdeki cevaplanmamış en büyük sorulardan bazılarına götürür. Bu bölümde, hakkında konuşacağız matematikte kanıt. Matematikçiler ne tür kanıtlar kullanır? Su geçirmez bir kanıtları olmadan önce bir şeyin doğru olabileceğinden şüphelenmelerine neden olan nedir?
(00:26) Kulağa bir paradoks gibi gelebilir, ancak şans ve rastgelelik çalışması olan olasılık teorisine dayanan akıl yürütmenin bazen matematikçilerin gerçekte peşinde oldukları şeye yol açabileceği ortaya çıktı, ki bu sadece olasılık değil, kesinliktir. Örneğin, sayı teorisi olarak bilinen matematik dalında, matematikçilerin neyin doğru olduğunu tahmin etmelerine yardımcı olmak için rastgeleliği kullanmanın uzun bir geçmişi vardır. Şimdi, olasılık, neyin doğru olduğunu kanıtlamalarına yardımcı olmak için kullanılıyor.
(00:53) Burada asal sayılara odaklanacağız. Muhtemelen asal sayıları hatırlıyorsunuzdur, değil mi? Onları okulda öğrendin. Asal sayı, 1'den büyük olan ve yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen tam sayılardır. Örneğin, 7 veya 11. Bunlar asal sayılardır, ancak 15, 15'in 3'e veya 5'e eşit olarak bölünebildiği için değildir. diğer tüm sayıları oluşturan bölünmez atomlardır.
(01:27) Asal sayılar basit olmalı gibi görünüyor, ancak matematikteki en büyük gizemlerden bazıları asal sayılarla ilgili sorulardır. Bazı durumlarda, yüzlerce yıldır var olan sorular. Asal sayılar hakkında gerçekten çok ince bir şey var. Düzen ve rastgelelik arasında bir sınırda yaşıyor gibi görünüyorlar. Bugünkü konuğum, matematikte kanıtın doğasını ve özellikle rastgeleliğin bize asal sayılar hakkında nasıl ve neden bu kadar çok şey söyleyebildiğini ve olasılığa dayalı modellerin sayı teorisinin en ileri noktasında neden bu kadar yararlı olabileceğini anlamamıza yardımcı olacak. Tüm bunları tartışmak için şimdi bana katılarak Harvard Üniversitesi'nde matematik profesörü olan Melanie Matchett Wood var. Hoş geldin Melanie!
Melanie Matchett Ahşap (02:09): Merhaba, sizinle konuşmak güzel.
Strogatz (02:11): Seninle konuşmak çok güzel, ben büyük bir hayranıyım. Matematik ve fen hakkında birbirleriyle ilişkili olarak konuşalım çünkü kelimeler genellikle birlikte kullanılır ve yine de matematikte ispat ve kesinliğe ulaşmak için kullandığımız teknikler bilimde yapmaya çalıştığımızdan biraz farklıdır. Örneğin, matematikte kanıt toplamaktan bahsettiğimizde, bilimde bilimsel yöntemle kanıt toplamakla nasıl aynı veya nasıl farklıdır?
Ahşap (02:38): Matematiksel bir kanıt, bazı matematiksel iddiaların böyle olması gerektiğine ve başka bir şekilde olamayacağına dair kesinlikle hava geçirmez, eksiksiz bir mantıksal argümandır. Yani bilimsel bir teoriden farklı olarak - ki bugün elimizdeki kanıtlara dayanarak sahip olduğumuz en iyi şey olabilir, ancak önümüzdeki 10 yıl içinde daha fazla kanıt elde edeceğiz ve belki de yeni bir teori olacak - matematiksel bir kanıt bazı ifadelerin böyle olması gerektiğini söylüyor, bunun 10 yıl ya da 20 yıl sonra yanlış olacağını keşfetmemiz mümkün değil.
Strogatz (03:17): Peki, matematikte ne tür şeyler kanıt sayılır?
Ahşap (03:19): Pek çok örnekte bir şeyin doğru olduğunu görebilirsiniz. Ve bir çok örnekte bunun doğru olmasına dayanarak, belki bu gerçeğe kanıt olabilir diyebilirsiniz, bir varsayımda bulunabilirsin, matematikçilerin varsayım dediği şeye, bir şeyin doğru olduğuna dair bir tahmin. Ama o zaman, matematikçilerin isteyeceği şey, birçok örnekte çalıştığını gördüğünüz şeyin her zaman iddia ettiğiniz şekilde çalışacağının bir kanıtı olurdu.
Strogatz (03:49): Doğru, kanıtın ağırlığından çok farklı. Bu, her durumda, her zaman için bir şeyin sonsuza kadar doğru olmasının bir nedeni olduğuna dair bir ifadedir.
Ahşap (03:58): Ve sadece "peki, bir milyon vakaya baktım ve bu her biri için doğru" değil. Bu, her zaman doğru olduğunu tahmin etmek veya varsaymak için bir nedendir. Ancak matematikte, birçok vakaya veya kanıta dayanabilecek böyle bir tahmin ile bir teorem veya ispata sahip olmak, her durumda işe yarayacağını söyleyen bir argüman arasında bir ayrım yaparız. denedim.
Strogatz (04:25): Şimdi, sadece matematikçiler doğaları gereği titizler mi, yoksa doğru gibi görünen bir şeyin, çok fazla sayıda olasılığa rağmen, diğer büyük sayıların ötesinde doğru olmadığı durumlar var mı? ?
Ahşap (04:39): Oh, bu, bu harika bir soru. İşte sevdiğim bir örnek çünkü asal sayıları seviyorum. Yapabileceğiniz şeylerden biri olan 2, 3, 5, 7 asal sayıları incelerken, "hey, bunlar 2'ye bölünebilir mi?" diyebilirsiniz. Ve bunun çok ilginç olmadığı ortaya çıkıyor. 2'den sonra hiçbiri 2'ye bölünemez. Hepsi tektir.
(05:10) Ve sonra "peki, 3'e bölünebilirler mi?" diye düşünebilirsiniz. Ve tabii ki 3'ten sonra asal oldukları için 3'e de bölünemezler. Ancak, bazılarını 3'e böldüğünüzde, 1'in bir katı 1 olduğunu fark edebilirsiniz. Yani 3, yani 7, 1 veya 6 gibi şeyler. , bu 13'den 1'dir. Ve 12 veya 11 gibi, 17'nin 2'ten büyük olduğu asal sayıların bazıları, onları 15'e böldüğünüzde 2'ye sahip olacaklar, çünkü onlar 3'den 2 fazladır. 3'ün katı
(05:47) Ve bu asal sayıları takımlar halinde düşünebilirsiniz. Takım 1, 1'ün katının 3'den fazlası ve Takım 2'nin tümü, 2'den 3'ün katı olanlardır. Ve asal sayıları incelerken ve asal sayıları listelerken, tüm asal sayılar ve sayıları toplayabilir ve kaç tanesinin 1. Takımda, kaçının 2. Takımda olduğunu görebilirdiniz. Takım 600 asal sayılarından daha fazla Takım 600 asal çarpanı vardır. Dolayısıyla, bu kanıtlara dayanarak, doğal olarak, Takım 2 asallarının her zaman Takım 1 asal sayılarından daha fazla olacağını varsayabilirsiniz.
Strogatz (06:33): Tabii. Kulağa tamamen öyle geliyor.
Ahşap: Görünüşe göre 608 milyar civarında bir rakam, tam rakamı unuttum, değişiyor.
Strogatz (06:46): Ah, hadi ama.
Ahşap: Evet, gerçekten değişiyor. Ve şimdi birdenbire Takım 1 önde. Yani, bu bir -
Strogatz (06:53): Bir dakika bekleyin. Bekle, ama bu harika. Ne - şimdi, değişmeye devam mı ediyorlar? Devam ettikçe ne olduğunu biliyor muyuz? Değişip duruyorlar mı?
Ahşap (07:01): Evet, harika bir soru. Yani, gerçekten de, potansiyel müşterileri sonsuz sıklıkta değiştirecekleri bir teoremdir.
Strogatz (07:07): Gerçekten mi?
Ahşap: Böylece olası satışları takas etmeye devam edecekler. Ancak, asal sayıları çalışırken aklınızın bir köşesinde tutmanız gerçekten harika bir örnek, sırf ilk 600 milyar vaka için bir şeyin doğru olması, bunun her zaman doğru olacağı anlamına gelmez.
Strogatz (07:25): Vay canına. Güzel. Peki. Peki, genel olarak olduğu gibi, bir varsayımdan bir kanıta nasıl ulaşırsınız?
Ahşap (07:31): Duruma çok bağlı. Demek istediğim, varsayımlarımızın olduğu ve kanıtımızın olmadığı birçok matematik vakası var. Yani bir varsayımdan bir kanıta ulaşmanın basit bir tarifi yok, yoksa o kadar çok ünlü açık problemimiz olmazdı, bilirsiniz, bazı - insanların bir şeyin belirli bir şekilde çalıştığını düşündüğü bazı varsayımlar var, ama biz yapmıyoruz. kesinlikle bilmiyorum. Ama bilirsiniz, bazen varsayım bir şeyin doğru olduğuna dair sebepler önerebilir. Bazen sadece matematiksel teoridir, insanların yüzlerce yıldır geliştirmekte olduğu daha fazla matematiksel teori üzerine kuruludur, bize bir ispatı bulduğumuz şeyleri anlamak için birlikte çalışmak için yeterli araç ve yapı sağlar. Ancak bu, varsayımın mutlaka kanıta götürdüğü anlamına gelmez. Varsayım, insanlara kanıtı bulmaya çalışma konusunda ilham verebilir, ancak kanıtın ortaya çıkma şekli, varsayımın kendisinden tamamen ayrı olabilir.
Strogatz (08:31): Evet, bir tür kanıta ulaşmaya yetmeyen kanıt türlerini sıralamakla veya listelemekle ilgileniyorum, bu da insanları kanıt aramaya değer olduğuna inandırıyor.
Ahşap (08:41): Evet, kanıt olarak adlandırabileceğimiz, sadece örnek olmayan başka bir şey de buluşsal olabilir. Bir buluşsal yöntem, çok daha düşük bir titizlik standardı dışında, bir argüman gibi bir şey olabilir. Sanki, bu iyi görünüyor mu? "Bu gerçeği hiçbir şüpheye mahal bırakmayacak şekilde kesinlikle belirledim mi?" değil mi? ama "bunu yapar - evet, oldukça makul görünüyor." Yani bir buluşsal yöntem, oldukça makul görünen bir akıl yürütme dizisi olabilir, bilirsiniz, ama aslında kesin bir argüman değildir. Yani bu bir tür kanıt.
(09:12) Bazen birinin, anlamaya çalıştığımız matematiksel sistemin temel öğelerini yakaladığını düşündüğümüz bir modeli olabilir ve bu durumda, sisteminizin modelinizle aynı davranışa sahip olduğunu varsayabilirsiniz.
Strogatz (09:30): Tamam. Bir noktada, bazı model ve varsayım örneklerini duymak istiyorum ve bilirsiniz, bazı sorular üzerinde ne kadar işe yarayıp yaramadıkları veya bazılarında işe yaramadıkları, ama sakıncası yoksa, Birkaç küçük kişisel şeye geri dönmeyi seviyorum, çünkü burada sayılardan bahsediyoruz ve sen bir sayı teorisyenisin. İnsanlar günlük yaşamlarında pek çok sayı teorisyeni tanımayabilirler. Yani, merak ediyorum bize söyleyebilir misin? sayı teorisi nedirve ayrıca, neden ilginç buluyorsunuz? Neden okumaya geldin?
Ahşap (10:02) Sayı teorisi, tam sayıların matematiksel çalışmasıdır. O halde 1, 2, 3, 4, 5'i düşünün. Ve özellikle tam sayılarda önemli olan şeylerden biri de asal sayılardır. Açıkladığınız gibi, en başta, çarpma yoluyla diğer tüm sayıları oluşturabileceğimiz yapı taşlarıdır. Sayı teorisi tüm bu tam sayılarla ilgili olduğu için, aynı zamanda onların yapı taşları, asal sayılar ve diğer sayıların asal sayıları nasıl etkilediğiyle de ilgilidir. inşa edildiler - asal sayılar dışında.
Strogatz (10:37): Dolayısıyla, bugünkü amaçlarımız için sayı teorisi, sanırım, asal sayılara özel bir ilgiyle, tam sayıların incelenmesi olacaktır. Bu oldukça iyi bir başlangıç gibi görünüyor. Sanırım bundan daha fazlası. Ama belki de bu bizim için şu anda iyi bir tanımdır. Öyle mi düşünüyorsun?
Ahşap (10:50): Bu iyi, bu iyi bir başlangıç. Demek istediğim, oradan, daha fazla şey araştırılır, peki, ya tam sayılardan daha karmaşık olan sayı sistemlerini düşünmeye başlarsanız? 2'nin karekökü gibi diğer sayıları koymaya başladığınız gibi, o zaman asal sayılar ve çarpanlara ayırma ile ne olur? Daha fazla soruya yönlendirilirsiniz. Ama dürüst olmak gerekirse, tam sayılarda ve asal sayılarda çok sayıda zengin ve güzel matematik var.
Strogatz (11:16): O halde bunu göz önünde bulundurarak, neden bunu zorlayıcı buluyorsunuz? Sayı teorisi çalışmasını neden seviyorsunuz? Seni buna çeken ne oldu?
Ahşap (11:22): Soruların bu kadar somut olabilmesi hoşuma gidiyor sanırım. Bilirsin, ilkokul çocukları ile gidip konuşurum. Ve onlara, bilirsiniz, düşündüğüm şeylerden bazılarını anlatabilirim. Bu yüzden, bir yandan soruların çok somut olabileceği bir şey üzerinde çalışmak benim için eğlenceli, ancak diğer yandan onu çözmeye çalışmak bulmacası çok zor olabilir. Yani insanlar binlerce yıldır tam sayılarla, asal sayılarla ilgili soruları yanıtlamaya çalışıyorlar.
(11:54) Ve matematiğin bir çok dalı vardır. Modern sayılar teorisinin önemli kısımlarından biri, insanların uzun süredir üzerinde çalıştığı bu inatçı eski sorularda ilerleme sağlamak için yeni fikirler getirmesi ve matematiğin diğer bölümleriyle bağlantı kurması gerektiğidir. Bu yüzden kendimi bir sayı teorisyeni olarak adlandırsam da, matematiği her türlü alanda kullanırım. Geometri ve topoloji ve uzayların şekillerini incelemekten olasılık ve rastgeleliği incelemeye kadar. Her türlü matematiği kullanıyorum ama tam sayılar, asal sayılar ve çarpanlara ayırma gibi şeyler hakkında bir şeyler söylemeye çalışıyorum.
Strogatz (12:36): Evet, matematiğin birbirine bağlı bu devasa fikir ağı vizyonunu seviyorum ve onun en sevdiğiniz belirli bir bölümünde yaşamak isteyebilirsiniz. Ama asal sayılardan, sayılar teorisinin özel bir ilgi alanı olduğundan bahsettiniz, aslında onun en temel kısmı. Onlar için zor olan ne? Henüz net değil, tartışmamızda bu kadar gizemli olan ne? Onları tanımladığımız gibi, muhtemelen listelemeye devam edebiliriz, sanırım. Bahsettiğiniz, yüzlerce yıllık sorunlardan bazıları nelerdir?
Ahşap (13:05): Belki yaklaşık 120 yaşında olan en büyük ve en önemli sorulardan biri, “Ah, onları listeleyebilirsiniz” dediniz. Bunu yapsaydın, kaç tane bulurdun?” Diyelim ki yüz, bin veya yüz bin veya bir milyon, bir milyara kadar asal sayıları listelediniz. Daha büyük ve daha büyük sayılara kadar asal sayıları listelerken, üzerinden geçtiğiniz bu sayılardan kaçı gerçekten asal olacak? Bu yüzden bu miktarı anlamak gerçekten işin kalbidir. Riemann hipoteziClay Matematik Enstitüsü'nden biri olan Milenyum Ödülü Sorunları, bir cevap için bir milyon dolarlık ödül var. Bu en ünlü sorulardan biri ve nasıl yapılacağına dair hiçbir fikrimiz yok ve asıl soru şu ki, bu asal sayıları listelediğinizde kaç tane bulacaksınız?
Strogatz (13:58): Tamam. Komik, değil mi? Çünkü siz listeyi yapmaya başladığınızda, birisi tesadüfen 100'e kadar asal olan sayıları listelemeye başlasa bile, bazı komik şeyler fark edersiniz. Mesela, ilk 11 ve 13'te aralarında 2 fark var. On beş, pekala, bu işe yaramaz, çünkü 5 ve 3'e bölünebilir. Sonra 17, yani şimdi 4'lük bir boşluk var, 13 ile 17 arasında. Ama sonra 19 yine yakın. Bilmiyorum, yani, asal sayılar arasındaki boşluk biraz sorunlu olabilir. Mesela bazen orada oldukça büyük bir boşluk var ve bazen yan yana duruyorlar, sadece 2 ayrı.
Ahşap (14:31): Evet, bu yüzden boşlukları ve bu boşlukları anlamak da büyük bir merak konusu oldu. Asal sayılar arasındaki boşluğu anlamada son on yılda kayda değer bir ilerleme oldu. Ama hala cevabını bilmediğimiz gerçekten heyecan verici, temel bir soru var. Yani bu asal sayıların, 11 ve 13'ün sadece 2 ayrı olduğundan bahsettiniz. Dolayısıyla bu tür asal sayılara ikiz asal sayılar denir. Asal sayıların birbirinden 2'den daha yakın olmasını bekleyemezdik çünkü 2'den sonra hepsinin tek olması gerekir. İşte matematikte açık bir soru, yani cevabı bilmiyoruz ve bu: Sonsuz sayıda ikiz asal sayı çifti var mı?? Ve burada bir varsayım var, varsayım evet olurdu. Demek istediğim, sadece “evet, sonsuza kadar devam etmeli ve her zaman daha fazla olmalı” gibi bir varsayım değil, aynı zamanda ilerledikçe kaç tane bulacağınıza dair bir varsayım bile var. Ama bu tamamen açık. Bildiğimiz kadarıyla, gerçekten büyük bir sayıya ulaştığınızda, sadece dururlar ve daha fazla ikiz asal çifti bulmazsınız.
Strogatz (15:40): Bunda çok şiirsel bir şey var, dokunaklı, bu düşünce bir noktada çizginin sonu olabilir gibi. Yani, muhtemelen ikimiz de buna inanmıyoruz. Ama sanırım, karanlıkta gizlice sokulan son bir ikiz çiftinin olması akla yatkın, bilirsiniz, sayı doğrusunda.
Ahşap (15:57): Evet, olabilir. Ve bilirsiniz, matematikçiler olarak bizler, bilirsiniz, bilmiyoruz deriz. Kaç tane bulduğunuzu takip ederken bir grafik oluşturabilseniz bile, bu grafiği çizerseniz, kesinlikle kesinlikle asla - asla geri dönmeyecek bir oranda yükseliyor ve yükseliyor gibi görünüyor. Ama sanırım bu matematik ve bilim arasındaki farkın bir parçası, bu şüpheciliği koruyoruz ve "Bilmiyoruz" diyoruz. Demek istediğim, belki bir noktada grafik dönüyor ve artık yok.
Strogatz (16:29): Yani, bu — Oradaki grafik imajınızı beğendim, çünkü bence herkes bu fikirle, bir çizelge yapma, bir tür grafik yapma fikriyle ilişki kurabilir. Bilirsiniz, asal sayıları bir tür veri gibi düşünmek. Ve bence bu, olasılık teorisi hakkında konuşmaya başlamamız için belki de iyi bir zaman. Asal sayılarla bağlantılı olarak olasılık ve istatistikten bahsetmek biraz garip görünüyor çünkü burada şans yok. Asal sayılar bizim verdiğimiz tanımla belirlenir, bölünemezler. Ancak yine de sizin gibi matematikçiler ve sayı teorisyenleri, asal sayılar hakkında düşünürken istatistiksel veya olasılıksal argümanlar kullandılar. Acaba yazı tura atmayı kullanarak benim için böyle bir şey çizip çizemeyeceğinizi merak ediyorum ve - başlangıçta bahsettiğimiz şey, tek sayılar ve çift sayılar.
Ahşap (17:14): Tamam. Asal sayıların aksine, aslında tek ve çift sayıların düzenini çok iyi anlıyoruz. Garip, hatta, tek, hatta tabii ki giderler. Ama bu kalıbı anlamadığımızı varsayalım. Ve bunu, bir milyona kadar olan tüm sayılara baktığınızda kaç tane tek sayı bulabileceğinizi anlamak için kullanıyoruz. İki olasılık olduğundan, bir sayının tek veya bir sayının çift olabileceğini, belki birinin gelip her sayı için bir yazı tura attığını ve yazı tura gelirse sayının tek olduğunu hayal edebilirsiniz. Ve eğer yazı tura gelirse, sayı çiftti. Böylece yazı tura atan kişinin sayı doğrusunda yürümesini, her sayı için yazı tura atmasını ve diyelim ki bu sayıyı tek veya çift olarak ilan etmesini sağlayabilirsiniz.
(18:03) Şimdi, bir yandan bu çok saçma. Öte yandan, madeni para çevirme modeli bazı şeyleri doğru yapacak. Örneğin kabaca biliyor musunuz derseniz, bir milyona kadar olan sayıların kaç tanesi çifttir? Bir milyon gibi çok sayıda yazı tura atarsanız, yaklaşık olarak tura gelecek yazı tura sayısının kabaca bunların yarısı olduğunu biliyoruz. Ve böylece, bu model, ne kadar aptalca olursa olsun, yine de bazı tahminleri doğru bir şekilde yapabilir. Ve söylemeliyim ki, bu aptalca gelebilir çünkü bu sorunun cevabını zaten biliyoruz. Buradaki fikir, oranların göründüğü yer yerine asalların sayılar arasında göründüğü gibi daha karmaşık modeller için modeller oluşturmamızdır.
Strogatz (18:55): Evet. Demek istediğim, bunun altını çizmemiz gerektiğini düşünüyorum - asal sayıların ne kadar derinden gizemli olduğunu. Asal sayıların formülü yoktur, tıpkı tek sayıların formülü olduğu gibi. Mesela, ah, hadi ama, bu - burada gerçekten saçma şeylerden bahsediyoruz, aslında ortalama özellikler olan özellikleri tahmin edebilen bu istatistiksel modellere sahip olmak çok değerli. Analogu gibi, büyük bir sayıdan küçük sayıların yarısı tek olacaktır. Bu, asal sayılar söz konusu olduğunda çok ciddi ve ilginç bir sorudur. Bir büyük sayıdan küçük sayıların hangi kesri asaldır? Ve dediğiniz gibi, bunu doğru yapan istatistiksel bir model yapabilirsiniz. Ve sonra ne, aynı model büyük bir sayıdan daha az kaç tane ikiz asal sayı olacağını tahmin etmek için kullanılabilir mi? Aynı model bu durumda iyi bir iş çıkarır mı?
Ahşap (19:41): Asal sayılar söz konusu olduğunda, bir model oluşturuyor olsaydık — bilirsiniz, matematikçilerin kullandığı bir model var. asal sayıların Cramer modeli — Birinin sayı doğrusu boyunca yürüdüğünü ve her bir sayıda, bir yazı tura attığını, diyelim ki, bu sayının asal olup olmadığına karar vermek için, asal sayıların yazı tura atılan bir modelini yapıyor olsaydık, Asal sayılar hakkında bildiğimiz kadarını bu modele dahil edin. Her şeyden önce, büyük sayıların küçük sayılara göre asal olma olasılığının daha düşük olduğunu biliyoruz. Yani bu paraların ağırlıklandırılması gerekecekti. Ve biz - beklediğimiz ağırlıkları tam olarak koymaya çalışmalıyız. Ve şunu biliyoruz ki, yan yana iki asal sayı olamaz, çünkü bunlardan birinin tek, birinin çift olması gerekir. Yani bunu modele koyduk. Ve sonra asal sayılar hakkında bildiğimiz daha çok şey var.
(20:37) Yani model, bu yazı tura modeliyle başlayan bir şey, ama sonra tüm bu diğer kurallar ve asal sayılar hakkında bildiğimiz tüm diğer şeyler tarafından değiştiriliyor. Ve bildiğimiz tüm bu şeyleri modele koyduğunuzda, bu yazı turasına soruyorsunuz, bilirsiniz, model, peki, sonsuz sıklıkta, madeni paraların sadece 2 arayla asal geldiğini görüyor musunuz? Ve model size, evet, bunu görüyoruz diyor. Aslında bunu çok özel bir oranda görüyoruz, bunun için size bir formül verebiliriz. Ve sonra, gerçek ikiz asal sayıların sayısını, ters çevrilmiş madeni paraların olmadığı gerçek sayılarda, modelin öngördüğüne karşı çizerseniz, modelin size ikiz asal sayıların sayısı için çok doğru bir tahmin verdiğini görürsünüz. ilerledikçe bulacaksınız. Ve sonra düşünürsünüz, bilirsiniz, belki bu model neden bahsettiğini biliyordur.
Strogatz (21:31): Bu harika. Demek istediğim, bu biraz önemli, az önce geldiğimiz nokta - henüz bilgisayar kelimesini kullanmadınız. Ama bunu elle yapmadığınızı varsayıyorum. İkiz asal sayıları listeleyen insanlar, bilmiyorum, neden bahsediyoruz? Trilyon trilyon trilyon? Yani, bahsettiğimiz bunlar büyük rakamlar, değil mi?
Ahşap (21:49): İkiz asal sayıların listesi için, yani — kesinlikle bilgisayar tarafından yapılacaktı. Ama bu modeli oluşturmak ve modelin verdiği formülü bulmak için. Bilirsiniz, bu elle yapılır, esasen matematikçiler tarafından modeli düşünür ve onunla çözer.
Strogatz (22:07): Bu çok güzel. Demek ki model eşyalarını burada gösteriyor, model aslında bilgisayarın ne gördüğünü tahmin edebiliyor. Ve bu tahmini yapmak için bir bilgisayara gerek yok. Bu elle, insanlar tarafından yapılabilir ve aslında kanıtlara yol açabilir. Bunun dışında, modelin özelliklerinin kanıtları, ilgilendiğiniz şeyin henüz kanıtları değil.
Ahşap (22:28): Doğru. Ve bir noktada bilgisayar durur. Biliyorsun, sadece çok fazla bilgi işlem gücü var. Ama elde edeceğiniz, modelin size vereceği, kanıtlayabileceğiniz bu formül yine doğru, bu model yazı tura durumu için, bu formül devam edecek. Bu formüle, bilgisayarınızın şimdiye kadar hesaplayabileceğinden çok daha büyük ve daha büyük sayılar koyabilirsiniz.
Strogatz (22:53): Rastgeleliğin sayılar teorisinde ilginç fenomen modelleri vermeye nasıl yardımcı olabileceğinden biraz bahsettiniz ve eminim bu matematiğin diğer bölümlerinde de doğrudur. Sadece modeller değil, gerçek kanıtlar sağlamak için rastgeleliği kullanabileceğiniz bazı durumlar var mı?
Ahşap (23:10): Kesinlikle. Matematiğin başka bir dalı, olasılık teorisi olarak adlandırılır. Ve olasılık teorisinde, rastgele sistemler ve nasıl davrandıkları hakkında teoremleri kanıtlarlar. Ve düşünebilirsiniz ki, eğer rastgele bir şeyle başlarsanız ve onunla bir şeyler yaparsanız, her zaman rastgele bir şeye sahip olursunuz. Ancak olasılık teorisinde bulunan olağanüstü güzel şeylerden biri, bazen rastgele bir şeyden deterministik bir şey elde edebilmenizdir.
Strogatz (23:45): Peki, bu nasıl oluyor? Ne gibi?
Ahşap (23:48): Evet. Yani matematikçiler buna çan eğrisini veya normal dağılımı gördünüz. Doğada her yerde karşımıza çıkar. İnsanların kan basıncına, bebeğin doğum kilosuna ya da başka bir şeye baktığınızda göründüğü gibi. Ve ah, bu çan eğrisinin, bunun doğanın bir gerçeği olduğunu düşünebilirsiniz. Ama aslında, olasılık teorisinde merkezi limit teoremi adı verilen bir teorem var, bu size aslında, bu çan eğrisinin bir anlamda bir doğa gerçeği değil, matematiğin bir gerçeği olduğunu söylüyor. Merkezi limit teoremi, bir sürü küçük rastgele etkiyi bağımsız olarak birleştirirseniz, bunun çıktısının her zaman belirli bir dağılımla eşleşeceğini söyler. Bu şekil, bu çan eğrisi. Matematik ve olasılık teorisi, eğer sahipseniz - eğer çok sayıda küçük bağımsız rastgele şeyi birleştirirseniz, tüm bu kombinasyonun sonucunun size bu çan eğrisine benzeyen bir dağılım vereceğini kanıtlayabilir. Ve böylece - girdilerin nasıl olduğunu bilmeseniz bile. Ve bu gerçekten güçlü bir teorem ve matematikte gerçekten güçlü bir araçtır.
Strogatz (25:05): Evet, kesinlikle öyle. Ve küçük efektlerle neler olup bittiğini bilmenize gerek olmadığını vurgulamanız hoşuma gitti. Bu, bir şekilde, yıkanıp gider. O bilgiye gerek yok. Küçük etkilerin doğasının ne olduğunu bilmeseniz bile çan eğrisi tahmin edilebilir. Çok fazla oldukları ve küçük oldukları sürece. Ve birbirlerini etkilemiyorlar, doğru, bağımsızlar, bir bakıma.
Ahşap (25:27): Evet, kesinlikle. Ve bu bir fikirdir, bilirsiniz, bazen olasılık teorisinde evrensellik denir, belirli türde makineler vardır, eğer çok sayıda rastgele girdi koyarsanız, çıktıyı tahmin edebilirsiniz. Örneğin, makineye ne koyduğunuzu bilmeseniz bile bu çan eğrisini veya bu normal dağılımı elde etmeniz gibi. Ve çok iyi anlamadığımız şeyler olduğunda bu inanılmaz derecede güçlüdür, çünkü —
Strogatz (25:56): Ama yani, bana mı söylüyorsun - ah, sözünü kestiğim için özür dilerim - ama bunun şimdi sayı teorisinde de olduğunu mu söylüyorsun? Sayı teorisinde ortaya çıkacak evrensellik fikrini bir şekilde elde ettiğimizi mi? Yoksa rüya mı görüyorum?
Ahşap (26:09): Bir dereceye kadar, bunun bir hayalim olduğunu söyleyebilirim. Biliyorsunuz, biz sadece, bunun gerçekleştiğini görmek için ilk adımları atıyoruz. Yani bu sadece senin değil, benim de hayalim. Bugün yaptığım ve iş arkadaşlarımla birlikte üzerinde çalıştığımız bazı işler, bu tür bir hayali gerçeğe dönüştürmeye çalışıyor, öyle ki, sayılarla ilgili cevabını bilmediğimiz bu kafa karıştırıcı sorulardan bazılarını, belki de yapabiliriz. Bir çan eğrisi gibi, normal bir dağılım gibi ortaya çıkan, hangi gizemlerin konulduğunu bilmesek bile makineden çıktığını kanıtlayabileceğimiz kalıplar olduğunu anlayın.
Strogatz (26:55): Aslında bu çok ilham verici, heyecan verici bir vizyon ve umarım her şey gerçekleşir. Bugün bizimle konuştuğun için çok teşekkür ederim Melanie.
Ahşap (27:03): Teşekkürler. Bu çok eğlenceliydi.
Spiker (27:06): İsterseniz Neden Sevinci, kontrol et Quanta Dergisi Bilim Podcast'i, sunucum, bu gösterinin yapımcılarından biri olan Susan Valot. Ayrıca arkadaşlarınıza bu podcast'ten bahsedin ve bize bir like atın veya dinlediğiniz yerleri takip edin. İnsanların bulmasına yardımcı olur Neden Sevinci podcast.
Strogatz (27: 26): Neden Sevinci gelen bir podcast Quanta DergisiSimons Vakfı tarafından desteklenen editoryal olarak bağımsız bir yayın. Simons Vakfı tarafından verilen fon kararlarının, bu podcast'te veya bu podcast'te konu seçimi, konuklar veya diğer editoryal kararlar üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Quanta Dergisi. Neden Sevinci Susan Valot ve Polly Stryker tarafından üretilmiştir. Editörlerimiz Matt Carlstrom, Annie Melchor ve Leila Sloman'ın desteğiyle John Rennie ve Thomas Lin'dir. Tema müziğimiz Richie Johnson tarafından bestelendi. Logomuz Jackie King'e ve bölümler için çizimler Michael Driver ve Samuel Velasco'ya ait. Ben sunucunuz Steve Strogatz. Bizim için herhangi bir sorunuz veya yorumunuz varsa, lütfen bize quanta@simonsfoundation.org adresinden e-posta gönderin. Dinlediğin için teşekkürler.
