Isaac Newton cömertliğiyle tanınmıyordu ve rakiplerini küçümsemesi efsaneviydi. Ancak rakibi Gottfried Leibniz'e yazdığı bir mektupta. Epistola Posterior, Newton nostaljik ve neredeyse arkadaşça görünüyor. İçinde, matematik öğrenmeye yeni başladığı öğrencilik günlerinden bir hikaye anlatıyor. Bir tahmin ve kontrol süreciyle eğrilerin altındaki alanları sonsuz toplamlarla eşitleyerek nasıl büyük bir keşif yaptığını anlatıyor. Mektuptaki muhakemesi o kadar çekici ve erişilebilir ki bana küçük çocukların oynamayı sevdiği örüntü tahmin etme oyunlarını hatırlatıyor.
Her şey genç Newton'un John Wallis'i okumasıyla başladı. Arithmetica Infinitorum, 17. yüzyıl matematiğinin ufuk açıcı bir çalışması. Wallis, pi'nin değerini belirlemek için yeni ve tümevarımsal bir yöntem ekledi ve Newton da benzer bir şey tasarlamak istedi. Genişliği ayarlanabilir bir “dairesel parçanın” alanını bulma problemiyle işe başladı. $lateks x$. Bu, $latex y=sqrt{1-x^2}$ ile tanımlanan birim çemberin altındaki, yatay eksenin 0'dan XNUMX'a kadar olan bölümünün üzerinde yer alan bölgedir. $lateks x$. İşte $lateks x$ 0'dan 1'e kadar herhangi bir sayı olabilir ve 1 dairenin yarıçapıdır. Newton'un çok iyi bildiği gibi birim çemberin alanı pi'dir. $lateks x=1$, eğrinin altındaki alan $latexfrac{π}{4}$ birim çemberinin çeyreğidir. Ama diğer değerler için $lateks x$, hiçbir şey bilinmiyordu.
Newton, olası her değer için eğrinin altındaki alanı belirlemenin bir yolunu bulsaydı $lateks x$, ona pi'ye yaklaşmak için benzeri görülmemiş bir yol verebilir. Bu aslında onun büyük planıydı. Ancak bu arada daha da iyi bir şey buldu: karmaşık eğrileri sonsuz miktarda daha basit yapı taşlarıyla değiştirmek için bir yöntem $lateks x$.
Newton'un ilk adımı benzetme yoluyla akıl yürütmekti. Dairesel parçanın alanını doğrudan hedeflemek yerine, aşağıdaki eğrilerle sınırlanan benzer bölümlerin alanlarını araştırdı:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Newton, üstleri tam sayı olan listedeki eğrilerin altındaki alanların ($latex frac{0}{2}=0$ ve $latex frac{2}{2} = 1$ gibi) cebirsel olarak sadeleştikleri için kolayca hesaplanacağını biliyordu. Örneğin,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Benzer şekilde,
Ancak çember denklemi — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— veya yarım üslü diğer eğriler için böyle bir basitleştirme mevcut değildir. O zamanlar hiç kimse bunların altındaki alanı nasıl bulacağını bilmiyordu.
Neyse ki, tam sayı kuvvetleriyle eğrilerin altındaki alanlar basitti. $latex y_4=1-2x^2+x^4$ eğrisini alın. O zamanlar bu tür işlevler için iyi bilinen bir kural, Newton'un (ve herhangi birinin) alanı hızlı bir şekilde bulmasına izin verdi: Herhangi bir tam sayı kuvveti $latex nge 0$ için, $latex y=x^n$ eğrisinin altındaki alan, $lateks 0$ için $lateks x$ $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$ ile verilir. (Wallis bu kuralı tümevarım yöntemiyle tahmin etmişti ve Pierre de Fermat bunu kesin olarak kanıtladı.) Bu kuralla donanmış olan Newton, $latex y_4$ eğrisinin altındaki alanın $latex x- frac{2x^3}{3} + frac{x^5}{5}$ olduğunu biliyordu.
Aynı kural, yukarıdaki listede tam sayıların katları olan diğer eğrilerin altındaki alanı bulmasına izin verdi. $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$ eğrisinin altındaki alana $latex A_n$ yazalım, burada $latex n= 0, 1, 2, …$ . Kural verimlerini uygulama
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = hspace{.295em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = hspace{.295em}?$
$lateks A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateks A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
ve benzeri. Newton'un kurnazca fikri, diğer dizilerde görebildiklerine dayanarak $latexA_1$ (dairesel parçanın bilinmeyen alanı için dizi) tahmin etmeyi umarak boşlukları doldurmaktı. Bir şey hemen anlaşıldı: Her $latexA_n$ basitçe $latex x$ ile başladı. Bu, formüllerin şu şekilde değiştirilmesini önerdi:
$lateks A_0=x$
$lateks A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$lateks A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$lateks A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$lateks A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Ardından, sonraki soru işaretlerini değiştirmek için Newton $latex x^3$ terimlerine baktı. Küçük bir lisansla, $latexA_0$'ın bile bu kübik terimlerden birine sahip olduğunu görebiliriz, çünkü onu $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$ olarak yeniden yazabiliriz. Newton'un Leibniz'e açıkladığı gibi, "$latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{3}{3}x^3$ vb. ikinci terimlerin aritmetik dizide olduğunu" gözlemledi (paylarda 0, 1, 2, 3'e atıfta bulunuyordu). Bu aritmetik ilerlemenin boşluklara da uzanabileceğinden şüphelenen Newton, bilinen ve bilinmeyen payların tüm dizisinin $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2}, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ ile ayrılmış sayılar olması gerektiğini ve dolayısıyla dizinin ilk iki terimiyle ilgilendiğini tahmin etti - hala bilinmeyen $latex A_1$, $latex A_3 $ ve $latex A_5$ — "$latex x- frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$, vb. olmalıdır."
Böylece, bu aşamada $latex A_1$'ın şu şekilde başlaması gerektiğini Newton'a öneren kalıplar
$lateks A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Bu iyi bir başlangıçtı ama daha fazlasına ihtiyacı vardı. Newton, diğer örüntüleri ararken, denklemlerdeki paydaların her zaman artan düzende tek sayılar içerdiğini fark etti. Örneğin, paydalarında 6, 1, 3 ve 5 olan $latex A_7$'a bakın. Aynı model $latex A_4$ ve $latex A_2$ için çalıştı. Yeterince basit. Görünüşe göre bu model, tüm denklemlerin tüm paydalarında devam etti.
Geriye paylarda bir model bulmak kaldı. Newton $latex A_2$, $latex A_4$ ve $latex A_6$'ı tekrar inceledi ve bir şey fark etti. $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$'da, $latex x$ ile çarpan bir 1 ve $latexfrac {1}{1}x^3$ teriminde başka bir 3 gördü (şimdilik negatif işaretini görmezden geldi). $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$'da 1, 2, 1'in paylarını gördü. cal üçgeni, en basit haliyle, en üstteki 6'den başlayarak üzerindeki sayıların toplanmasıyla oluşturulan üçgen bir sayı düzenlemesidir.
Pascal'ı çağırmak yerine, Newton bu paylardan "11 sayısının kuvvetleri" olarak bahsetti. Örneğin, 112 = 121, üçgenin ikinci satırı ve 113 = 1331, ki bu üçüncü. Günümüzde bu sayılara binom katsayıları da denir. $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$'da olduğu gibi ($latex a +b$) gibi bir iki terimlinin güçlerini genişlettiğinizde ortaya çıkarlar. Elindeki bu kalıpla, Newton artık $latex A_2, A_4, A_6$ ve diğer tüm çift sayılı harfleri yazmanın kolay bir yolunu bulmuştu. AVar.
Ardından, sonuçlarını yarı-üslü ve tek sayılı alt simgelere göre tahmin etmek (ve sonunda istediği diziye, $latex A_1$'a ulaşmak) için Newton'un Pascal üçgenini harika bir yeni rejime genişletmesi gerekiyordu: satırların yarısına. Ekstrapolasyonu gerçekleştirmek için, Pascal üçgeninin herhangi bir satırındaki binom katsayıları için genel bir formül türetti - satır $latex m$ - ve sonra cüretkar bir şekilde $latex m= frac{1}{2}$'ı koydu. Ve şaşırtıcı bir şekilde işe yaradı. Bu ona bir birim çember için aradığı dizideki payları verdi, $latexA_1$.
Burada, Newton'un kendi sözleriyle, tartışmanın bu aşamasına kadar tümevarımsal olarak fark ettiği kalıpların Leibniz'e özeti:
1, 3, 5, 7 vb. Ancak dönüşümlü olarak verilen alanlarda bunlar 11 sayısının üsleriydi… yani ilk '1'; sonra '1, 1'; üçüncüsü, '1, 2, 1'; dördüncü olarak '1, 3, 3, 1'; beşinci olarak '1, 4, 6, 4, 1' vb. ve böylece serideki geri kalan rakamların verilen ilk iki sayıdan nasıl elde edilebileceğini araştırmaya başladım ve ikinci rakam için $latex m$ koyduğumda, geri kalanının bu serinin terimlerinin sürekli çarpılmasıyla üretileceğini buldum,
$latex frac{m-0}{1} çarpı frac{m-1}{2} çarpı frac {m-2}{3} çarpı frac{m-3}{4} çarpı frac {m-4}{5}$, vb.
… Buna göre, dizileri diziler arasına yerleştirmek için bu kuralı uyguladım ve daire için ikinci terim $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$ olduğundan, $latex m=frac{1}{2}$ koydum ve ortaya çıkan terimler şuydu:
$latex frac {1}{2} çarpı frac{1}{2}-1}{2}$ veya $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} çarpı frac{1}{2}-2}{3}$ veya $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} çarpı frac{frac{1}{2}-3}{4}$ veya $latex – frac {5}{128}$,yani sonsuza kadar. İstediğim dairesel parçanın alanının
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Son olarak, $latex x=1$'ı girerek, Newton $latexfrac{π}{4}$ için sonsuz bir toplam elde edebilir. Bu önemli bir bulguydu, ancak pi'ye sonsuz bir toplam aracılığıyla yaklaşmanın daha iyi yolları olduğu ortaya çıktı. Sonunda pi'nin ilk 15 basamağını hesapladı.
Dairesel parça problemine geri dönen Newton, dairenin denkleminin (yalnızca altındaki alan değil) bir kuvvet serisiyle de temsil edilebileceğini fark etti. Tek yapması gereken, paydaları atlamak ve yukarıda gösterilen kuvvet serilerinde $latex x$'ın kuvvetlerini 1 azaltmaktı. Böylece onu tahmin etmeye yönlendirildi
Newton, bu sonucun mantıklı olup olmadığını test etmek için kendisiyle çarptı: "$latex 1-x^2$ oldu, kalan terimler serinin sonsuza kadar devam etmesiyle yok oldu."
Ayrıntılardan biraz geri adım atarak, burada problem çözmeyle ilgili birkaç ders görüyoruz. Bir sorun çok zorsa, değiştirin. Çok spesifik görünüyorsa, genelleştirin. Newton ikisini de yaptı ve başlangıçta aradığından daha önemli ve daha güçlü sonuçlar elde etti.
Newton inatla dairenin çeyreğine sabitlenmedi. Çok daha genel bir şekle, $lateks x$ genişliğinde herhangi bir dairesel parçaya baktı. $latex x=1$'e bağlı kalmak yerine, $latex x$'ın 0'dan 1'e serbestçe çalışmasına izin verdi. Bu, serilerindeki katsayıların binom karakterini ortaya çıkardı - sayıların Pascal üçgeninde beklenmedik görünümü ve genellemeleri - Newton'un Wallis ve diğerlerinin gözden kaçırdığı kalıpları görmesini sağladı. Bu kalıpları görmek, Newton'a kuvvet serileri teorisini çok daha geniş ve genel olarak geliştirmek için ihtiyaç duyduğu içgörüleri verdi.
Daha sonraki çalışmalarında, Newton'un kuvvet serileri ona kalkülüs için bir İsviçre Çakısı verdi. Onlarla integraller alabilir, cebirsel denklemlerin köklerini bulabilir ve sinüs, kosinüs ve logaritma değerlerini hesaplayabilirdi. Onun ifadesiyle, "Onların yardımıyla analiz neredeyse tüm problemlere ulaşır diyebilirim."
Çıkarılacak ders: Bir sorunu değiştirmek hile yapmak değildir. Bu yaratıcı. Ve daha büyük bir şeyin anahtarı olabilir.
