Basit Matematik İğneyi Nasıl Hareket Eder? Quanta Dergisi

İleride bir sorun gördüğünüzde sürücüsüz bir arabayla caddede yuvarlandığınızı hayal edin. Bir Amazon teslimat şoförü, minibüsünü çift park halindeki bir UPS kamyonunun yarısına kadar geçerken, içinden geçemeyeceklerini fark etti. Şimdi sıkışıp kaldılar. Sen de öylesin.

Sokak bir U-ey'i çekemeyecek kadar dar olduğundan, yapay zeka ile güçlendirilmiş otomobiliniz üç puanlık bir dönüş başlatır. İlk olarak araba bir kaldırıma doğru kıvrımlı bir yol izliyor. Oraya vardığında diğer yöne yönelir ve karşı kaldırıma doğru geriler. Daha sonra direksiyon simidini ilk virajlı yola doğru geri çevirerek ileri ve engelden uzaklaşıyor.

Ara dönüşler yapmaya yönelik bu basit geometrik algoritma, dar durumlarda dolaşmanıza yardımcı olabilir. (Eğer daha önce paralel park ettiyseniz, bu ileri geri hareketin sizin için neler yapabileceğini bilirsiniz.)

Arabanızı döndürmek için ne kadar alana ihtiyacınız olduğuyla ilgili eğlenceli bir matematik problemi var ve matematikçiler 100 yılı aşkın süredir bunun idealize edilmiş bir versiyonu üzerinde çalışıyorlar. Her şey 1917'de Japon matematikçi Sōichi Kakeya'nın trafik sıkışıklığımıza biraz benzeyen bir problem ortaya atmasıyla başladı. Diyelim ki 1 uzunluğunda sonsuz ince bir iğneniz var. İğneyi 180 derece döndürüp orijinal konumuna getirebileceğiniz en küçük bölgenin alanı nedir? Bu, Kakeya'nın iğne problemi olarak biliniyor ve matematikçiler hâlâ bunun varyasyonları üzerinde çalışıyor. Kakeya'nın iğne problemini bu kadar ilginç ve şaşırtıcı kılan basit geometriye bir göz atalım.

Pek çok matematik problemi gibi bu da onu daha az gerçekçi ama daha yönetilebilir hale getiren bazı basitleştirici varsayımlar içeriyor. Örneğin, araba kullanırken arabanın uzunluğu ve genişliği önemlidir, ancak iğnemizin uzunluğunun 1 ve genişliğinin sıfır olduğunu varsayacağız. (Bu, iğnenin kendisinin sıfır alanına sahip olduğu anlamına gelir ve bu da sorunu çözmemizde önemli bir rol oynar.) Ayrıca, iğnenin, bir arabadan farklı olarak, ön ucu, arka ucu etrafında dönebildiğini varsayacağız. veya aradaki herhangi bir nokta.

Amaç iğnenin 180 derece dönmesini sağlayacak en küçük bölgeyi bulmaktır. Belirli bir dizi koşulu karşılayan en küçük şeyi bulmak zor olabilir, ancak başlamanın iyi bir yolu, bu koşulları karşılayan herhangi bir şeyi aramak ve yol boyunca neler öğrenebileceğinizi görmektir. Örneğin, kolay bir cevap, iğneyi uç noktası etrafında 180 derece döndürmek ve ardından tekrar yukarı kaydırmaktır. Bu, iğneyi orijinal konumuna döndürür, ancak Kakeya'nın iğne probleminin gerektirdiği gibi artık ters yöne işaret etmektedir.

Dönüş için gereken bölge, yarıçapı 1 olan ve alanı $latex A = frac{1}{2} pi r^2 = frac{1}{2} pi (1)^2 = frac{ olan bir yarım dairedir. 1}{2} pi = frac{pi}{2}$. Böylece işe yarayan bir bölge bulduk.

Sihirli matematiksel iğnemizin herhangi bir nokta etrafında dönme yeteneğinden yararlanarak daha iyisini yapabiliriz. Uç noktası etrafında döndürmek yerine orta noktası etrafında döndürelim.

Buna Kakeya'nın pusulası diyebilirsiniz: İbremiz kuzeyi işaret etmeye başlıyor, ancak dönüşten sonra aynı noktada ama güneyi gösteriyor. Bu bölge $latex frac{1}{2}$ yarıçaplı bir dairedir, yani alanı $latex A=pi r^2 = pi (frac{1}{2})^2 = pi frac{1}{ 4} =frac{pi}{4}$. Bu, ilk bölgemizin alanının yarısı kadar olduğundan ilerleme kaydediyoruz.

Sırada nereye? Sürücüsüz araba ikileminden ilham alabilir ve ibre için üç noktalı dönüş gibi bir şey kullanmayı düşünebiliriz. Bu aslında oldukça iyi çalışıyor.

Bu teknikle iğnenin taradığı bölgeye deltoid denir ve bu da Kakeya'nın gereksinimlerini karşılar. Alanının hesaplanması, burada tartıştığımız temel geometriden daha fazlasını gerektirir (parametrik eğrilerin bilgisi yardımcı olur), ancak bu belirli deltoidin alanının (uzunluğu 1 olan bir çizgi parçası tarafından süpürülen) tam olarak $latex olduğu ortaya çıktı. frac{pi}{8}$. Artık Kakeya'nın iğnesini çevirebileceğimiz daha da küçük bir bölgemiz var ve yapabileceğimizin en iyisinin bu olduğunu düşünmeniz affedilebilir. Kakeya'nın kendisi de bunun olabileceğini düşündü.

Ancak Rus matematikçi Abram Besicovitch sonsuz derecede daha iyisini yapabileceğinizi keşfettiğinde bu iğne problemi büyük bir hal aldı. Bölgenin gereksiz kısımlarını istediği kadar küçültecek bir prosedür buldu.

Süreç teknik ve karmaşık ama Besicovitch'in fikrine dayanan bir strateji iki basit fikre dayanıyor. Öncelikle aşağıdaki yüksekliği 1 ve tabanı 2 olan dik üçgeni düşünün.

Şimdilik iğneyi tamamen kendi etrafında döndürmeyi unutacağız ve sadece basit bir gerçeğe odaklanacağız: Eğer üst tepe noktasına 1 uzunluğunda bir iğne yerleştirirsek, üçgen iğnenin tam 90° dönmesine izin verecek kadar büyüktür. bir taraftan diğerine derece.

Üçgenin alanı $latex A=frac{1}{2}bh$ olduğundan, bu üçgenin alanı $latex A=frac{1}{2} çarpı 2 çarpı 1 = 1$'dır.

Şimdi ilk önemli fikir şu: 90 derecelik dönüşü koruyarak bölgenin alanını küçültebiliriz. Strateji basit: Üçgeni ortadan kesiyoruz ve ardından iki yarımı birbirine doğru itiyoruz.

Bu yeni şeklin alanı orijinalinden daha küçük olmalıdır çünkü üçgenin bazı kısımları artık üst üste binmektedir. Aslında şeklin alanını hesaplamak kolaydır: Bu, kenar 1'in karesinin sadece dörtte üçüdür, yani alan $latex A = frac{3}{4}$'dır, bu da kenarın alanından küçüktür. başladığımız üçgen.

Ve iğneyi hala daha önce olduğu gibi aynı yöne çevirebiliriz. Tek bir sorun var: Orijinal açı iki parçaya bölünmüş durumda, yani bu yönler artık iki ayrı bölgeye bölünmüş durumda.

İbre yeni bölgenin solundaysa güney-güneydoğu arasında 45 derece, sağdaysa güney-güneybatı arasında 45 derece döndürebiliyoruz ama iki parça ayrı olduğu için , sanki daha önce yapabildiğimiz gibi tam 90 derece döndürebilecekmişiz gibi görünmüyor.

İkinci önemli fikir de burada devreye giriyor. İğneyi bir taraftan diğer tarafa geçirmenin çok fazla alan gerektirmeyen sinsi bir yolu var. Satrançta atın L şeklinde hareket ettiğini biliyor olabilirsiniz. İğnemiz N şeklinde hareket edecek.

İşte nasıl yapıldığı. İlk önce iğne N'nin bir tarafından yukarı kayar. Daha sonra çapraz boyunca işaret edecek şekilde döner ve aşağı kayar. Daha sonra tekrar dönerek N'nin diğer tarafına doğru kayarak yolculuğunu tamamlar.

İlk başta bu N şeklindeki hareket pek fazla görünmeyebilir ama çok faydalı bir şey yapıyor. İğnenin bir paralel çizgiden diğerine “atlamasına” olanak tanır, bu da iğnemizi bir bölgeden diğerine geçirmemize yardımcı olur. Daha da önemlisi bunu çok fazla alana ihtiyaç duymadan yapıyor. Aslında istediğiniz kadar az alan gerektirmesini sağlayabilirsiniz. İşte nedeni.

İğnemizin sıfır genişliğe sahip olduğunu hatırlayın. Yani iğnenin ileri veya geri hareket ettiği herhangi bir çizginin alanı sıfır olacaktır. Bu, iğneyi N şekli boyunca yukarı, aşağı veya çapraz olarak hareket ettirmek için gereken bölgenin sıfır alana sahip parçalardan oluşacağı anlamına gelir.

Geriye sadece N şeklinin köşelerindeki dönüşler kalıyor.

Bu hareketler alan gerektirir. Her köşede bir dairenin küçük bir bölümünü görebilirsiniz. Ama işin işin sırrı şu: N'yi uzatarak bu bölgeleri küçültebilirsiniz.

Bir dairenin bir sektörünün alanı için formül $latex A = frac{theta}{360} pi r^2$ şeklindedir; burada $latex theta$, sektörün açısının derece cinsinden ölçüsüdür. N ne kadar uzun olursa olsun, sektörün yarıçapı her zaman 1 olacaktır: Bu, iğnenin uzunluğudur. Ancak N yükseldikçe açı küçülür ve bu da sektörün alanını azaltır. Böylece N'yi ihtiyacınız kadar uzatarak ek alanı istediğiniz kadar küçük hale getirebilirsiniz.

Üçgen bölgemizi ikiye bölerek ve parçaları üst üste getirerek alanını küçültebildiğimizi unutmayın. Sorun, bunun 90 derecelik açıyı iki ayrı parçaya bölmesi ve iğneyi tam 90 derece döndürmemizi engellemesiydi. Artık iğnenin bir taraftan diğerine bir yol olmasını sağlamak için uygun bir N şeklini tutturarak bu sorunu çözebiliriz.

Güncellenen bu bölgede iğne hâlâ eskisi gibi 90 derece dönebiliyor, bu sadece iki aşamada gerçekleşiyor. İlk olarak iğne 45 derece döner ve soldaki dikey kenarla aynı hizaya gelir. Daha sonra diğer tarafa ulaşmak için N şekli boyunca hareket eder. Oraya vardığında diğer 45 dereceyi çevirmek serbesttir.

Bu, iğneyi 90 derece hareket ettirir ve dönmeye devam etmesi için bölgenin döndürülmüş kopyalarını eklemeniz yeterlidir.

Uygun N şekillerinin eklenmesiyle iğne, bir üçgen yarımadadan diğerine atlayabilir ve tıpkı bir arabanın üç nokta dönüş yapması gibi, tüm yolu tamamlayana kadar yavaş yavaş dönebilir.

Ayrıntılarda daha şeytani matematik var, ancak bu iki fikir - orijinal bölgenin alanını dilimleyerek ve kaydırarak sürekli olarak küçültebileceğimiz ve keyfi olarak küçük N şekillerini kullanarak parçadan parçaya ulaşmayı garanti altına alabileceğimiz fikri - bize yardımcı oluyor iğneyi, sonuçta istediğiniz kadar küçük olabilecek, giderek daralan bir bölgede hareket ettirin.

Bu tür bir bölgeyi oluşturmaya yönelik daha standart bir yaklaşım, eşkenar üçgenlerle başlar ve üçgenleri yukarıya doğru dilimlemenin ve parçaları gerip geri kaydırmanın akıllıca yolları olan "Perron ağaçlarını" kullanır. Sonuç oldukça çarpıcı.

Son zamanlarda matematikçiler Ilerleme kaydedildi Bu eski problemin daha yüksek boyutlara ve farklı boyut kavramlarına sahip yeni varyasyonları üzerine. Muhtemelen Kakeya'nın iğne ucu dönüşünü izleyen AI destekli bir arabayı asla görmeyeceğiz, ancak yine de onun neredeyse hiçliğinin güzelliğini ve sadeliğini takdir edebiliriz.

Egzersizler

1. Kakeya iğne seti olarak çalışan en küçük eşkenar üçgenin alanı nedir?

2. Üst üste binen üç dairesel kesitten oluşan bir bölge olan “Reuleaux üçgeni” kullanarak Alıştırma 1'deki eşkenar üçgenden biraz daha iyisini yapabilirsiniz. Çalışan en küçük Reuleaux üçgeninin alanı nedir?