nen bulmaca görevi geçen ay bir kurtarmaktı Star Trek liderliğindeki sekiz kişilik yüzey partisi kuruluş İletişim Sorumlusu Teğmen Uhura (geç tarafından oynanan Nichelle Nichols). Mürettebat, uzaylı bir ırk olan Catenati tarafından, Dünya'daki bir gezegende hapsedilir. Kolye Bulutsusu. Kurtulmak için, ilk bakışta yalnızca çok düşük bir başarı olasılığı sunan bir görevi yerine getirme olasılıklarını en üst düzeye çıkarmaları gerekir.
Sekiz kişilik mürettebat, iletişim ve strateji oluşturmakta özgür oldukları ortak bir odada geçici olarak tutulurken görev hakkında bilgilendirilir. Birkaç saat içinde, teker teker rulet odası adı verilen bir odaya yönlendirilecekler. Bu odada, her biri farklı bir mürettebat üyesine yanıt vermek üzere programlanmış, arka arkaya düzenlenmiş sekiz düğme vardır. Mürettebatı yanıltmak için, her düğme rastgele başka bir mürettebat üyesinin adıyla yanlış etiketlenir. Her mürettebat üyesinin herhangi bir sırayla düğmelerden dörde kadar basmasına izin verilir. Bir düğmeye her bastıklarında, düğmenin gerçekte kime ait olduğunu görecekler. Dört denemelerinde kendilerine atanan düğmeyi bulmaları gerekir. Mürettebatın serbest kalması için hepsinin bu görevde başarılı olması gerekiyor. Bunlardan biri bile başarısız olursa, hepsi yürütülecektir. Bir mürettebat üyesi girişimini tamamladıktan sonra, hiçbir şekilde mürettebat arkadaşlarına bilgi aktaramayacakları şekilde izole edilecektir.
Başarı şansı çok küçük görünüyor. Mürettebat üyeleri rastgele düğmeleri seçerse, her birinin düğmesini bulma şansı 1'de 2 olacaktır. Sekizinin hepsinin başarılı olma şansı 1'da sadece 256 veya yaklaşık %0.4'tür.
Ancak düğmelere rastgele basmak zorunda değiller. Başarı olasılığını artırmanın bir yolu, bir şekilde tüm düğmeye basmayı eşitlemek olabilir. Bu bizi ilk bulmaca sorumuza getiriyor.
1 Yapboz
Mürettebatın hayatta kalma olasılığı, her bir düğmeye eşit sıklıkta basıldığından emin olurlarsa (herhangi bir dört düğmeye rastgele basmak yerine) ne kadar iyileştirilebilir?
Rob Corlett ve JPayette diğer tüm soruları yaptıkları gibi bunu da iyi yanıtladı. Bu sütundaki bulmacaların arkasındaki anlaşılması zor ana fikre gelince, Rob Corlett, JPayette ve Jouni Seppanen güzel anlatmış bu arada Sacha Bugnon bir bilgisayar çözümüne katkıda bulundu.
İşte Rob Corlett'in cevabı:
Her düğmeye eşit sayıda basılmasını sağlamanın bir yolu, mahkumları 4'erli eşit büyüklükte iki gruba ayırmaktır.
Her grup, yalnızca kendi gruplarının üyelerine karşılık gelen düğmelere basar. Böylece, A, B, C ve D'nin hepsi aynı alt gruptaysa, yalnızca A, B, C ve D düğmelerine basarlar.
Bu, sorunu, dört veya daha az basışta düğmelerine basmaları garanti edildiğinden, her mahkumun doğru gruba atanma olasılığını sormaya dönüştürür.
Birinci grubu (dolayısıyla ikinci grubu da) dört kişiyle doldurma yollarının sayısı, 4'den 8'ü seçmenin yol sayısıdır ki bu da C(8, 4) = 70'tir. herkesi iki gruba ayırmak 70'tir.
Her mahkumu doğru gruba doğru şekilde tahsis eden tek bir tahsis vardır ve bu nedenle herkesin doğru grupta olması ve tüm mahkumların hayatta kalma olasılığı 1/70'dir, bu önceki stratejinin 3.66/1'sından 256 kat daha iyidir. [Ama yine de çok küçük: sadece %1.4 ihtimal.]
2 Yapboz
Orijinal kasvetli oranları 90 kattan yaklaşık %36.5'e çıkarmanın bir yolu var ki bu mucizevi görünüyor! Bu strateji, tahmin döngülerinin veya zincirlerinin kullanılmasını içerir - bu nedenle Kolye Bulutsusu ve Catenati'ye yapılan göndermeler (zincir zincir için Latince'dir). Stratejinin temel biçiminde, her ekip üyesi kendi adını taşıyan düğmeye basarak başlar, ardından ilk düğmenin gerçekte ait olduğu ekip üyesinin adını taşıyan düğmeye geçer ve böylece bir isimler zinciri oluşturur.
Bunun pratikte nasıl çalıştığını görelim. Şemada, düğmeler etiketleri beyaz olarak gösterilmiştir. Aşağıdaki mavi harfler, düğmelerin gerçek sahiplerini gösterir. İlk ekip üyesi A, rulet odasına girdiğinde, önce A düğmesine basar. Bu C'nin düğmesi, bu yüzden önce C düğmesine, sonra E düğmesine ve son olarak F düğmesine basar, ki bu aslında A'nın kendi düğmesidir, bu yüzden dört denemede başarılı bir şekilde buldu. ACEF düğmelerinin dört düğmeden oluşan kapalı bir döngü oluşturduğuna dikkat edin. C, E ve F mürettebat üyeleri sıralarını aldıklarında, kendi yerlerinden başlayarak aynı kapalı döngüde dolaşacaklar ve dört denemede kendi düğmelerini bulacaklar.
Bu düzenlemede ayrıca her biri iki düğmeden oluşan iki küçük döngü bulunur: BD ve GH. Bu dört mürettebat üyesi, iki denemede kendi düğmelerini bulacaklar. Yani bu düzenleme ile tüm mürettebat üyeleri başarılı olacak ve özgürlüklerini kazanmış olacaklar. Düzenleme sadece 4 veya daha az uzunlukta döngüler içeriyorsa, tüm mürettebat üyelerinin başarılı olacağı ve serbest bırakılacağı açıktır. Öte yandan, 5 veya daha fazla tek bir döngü varsa, o döngüdeki tüm ekip üyeleri dört denemede düğmelerini bulamayacak ve ekip idam edilecektir. Başarı olasılığını bulmak için, 5, 6, 7 veya 8'lik bir döngüye sahip olma olasılığını bulabilir, toplayabilir ve bu toplamı 1'den çıkarabiliriz. düğmeler, 5, 6, 7 veya 8 üyeli yalnızca tek bir döngü olabilir.
8 tane var! sekiz düğmeyi düzenlemenin farklı yolları. Ancak döngüler yaptığımızda, aynı döngü bu düzenlemelerin sekizini oluşturur (ABCDEFGH, BCDEFGHA ile aynı döngüyü oluşturur, bu da CDEFGHAB ile aynıdır, vb.). Yani 8 boyutunda bir döngüye sahip olma olasılığı (8!/8)/8!, yani basitçe 1/8'dir. Benzer şekilde, 7 boyutunda bir döngüye sahip olma olasılığı 1/7, 6 boyutunda 1/6 ve 5 boyutunda 1/5'dir. Bu nedenle, cesur mürettebatımızın başarı olasılığı 1 − (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) veya daha önce belirtildiği gibi %36.5'tir.
Yukarıdaki strateji herhangi bir sayıda mahkum için işe yarar ve bu sayı arttıkça rastgele yaklaşıma ilişkin olasılıklardaki iyileşme hızla artar. Dört mahkum için yaklaşık yedi kat, altı için 24 kat, sekiz için 93 kat ve şaşırtıcı (3.8 × 10)29)-100 mahkum için katlayın. Bu muazzam artışı anlamanın anahtarı, yöntemin grubun her bir üyesinin başarısını veya başarısızlığını diğerlerininkine bağlamasıdır. Çok büyük ölçüde, hepsi birlikte başarılı veya başarısız olur. Grubun başarı olasılığı tek bir kişininkinden çok fazla düşmüyor, mahkum sayısı sınırsız olarak artırıldığında tek bir mahkum için sadece %50'den %30.69'a düşüyor. Öte yandan, rastgele bir yaklaşımın veya hatta bir “çift tuşa basma” yaklaşımının başarılı olma olasılığı, az sayıda mahkum için bile hızla sıfıra çok yakın bir seviyeye düşer.
Bu stratejinin ardındaki mantık hala bulanık görünüyorsa, işte 100 mahkum sorununun bu konudaki bir analizi. Veritasium'dan mükemmel video.
3 Yapboz
Bu yapboz, Teğmen Uhura'nın bir çocukluk oyununu hatırlamasıyla ilgiliydi, bu aslında aynı bilmeceydi ama altı kişilikti. Bir ipucu olarak, sorunu dört kişi için çözmeyi önerdim. Artık formül elimizde olduğuna göre, olasılıkları kolayca hesaplayabiliriz.
Dört kişi için, en uzun döngünün sadece 2 veya 1 olma olasılığı: 1 − (1/3 + 1/4) veya rastgele seçime göre yedi kat kazançla %41.7.
Altı kişi için, en uzun döngünün 3, 2 veya 1 olma olasılığı: 1 - (1/4 + 1/5 + 1/6) veya rastgele seçime göre 38.3 kattan fazla kazançla %24.
4 Yapboz
Hikâyemiz devam ederken, Catenati'lerden birinin, kuruluş mürettebat ve onları uzaktan izliyor. Uhura'nın şemasına dayalı bazı etkili stratejiler bulduklarından şüpheleniyor. Rulet başlamadan önce odaya girip düğme etiketlerinin sırasını kasıtlı olarak değiştirerek planlarını bozmaya kararlı. Planı başarıyla bozabilir mi? İniş partisinin özellikle gizlemek için dikkatli olması gereken şey nedir?
Mürettebatın strateji tartışmasının çok başlarında, Uhura'nın gözleri aniden kısıldı. Mürettebatına bir işaret verdi ve Nicholese'de konuşmaya geçti ve "Nicholese'deki tüm tartışmalar lütfen" dedi. Nicholese, Uhura'nın kariyerinin başlarında, evrensel çevirmenlerin kullanımını atlatmak için tam da bu tür durumlar için icat ettiği yeni bir dildi. "Şüpheli Catenati'yi fark etmiş olmalısın," diye devam etti. "Bizi sabote etmeye çalışabilir, bu yüzden planımızı değiştirmemiz gerekiyor. İşte yapmamız gerekenler…”
Uhura, mürettebatının her üyesinin bunu çok iyi bildiğinden emin olana kadar yeni planı özetledi. Sonra gözlerinde uzak bir bakışla, "Nicholese'yi 20. yüzyılın ikonik bir aktrisinden sonra seçtim. Yıldız Filosu'nun bunu tüm gemilerimizde standart hale getirmesi konusunda ısrar ettiğim için memnunum."
Mürettebata döndü. "Hepsi bu kadar, memurlar. Ne yapacağını biliyorsun!"
Uhura'nın ekibine tam olarak ne söylediğini bilmiyoruz. Ama JPayette ve Rob Corlett'in oldukça iyi bir fikri vardı. İşte yine Rob Corlett:
Kötü Catenati, bu stratejiyi uyguladıklarını duyarsa, 4'ten daha uzun bir döngü olduğundan emin olmak için ekranda gösterilen isimleri değiştirebilir.
Bunu kırmak için mahkûmların, diziyi rastgele hale getiren gizli bir sıralamayı kabul etmeleri gerekir. Bunu “Uhura'nın adını görürseniz Chekov yazan düğmeye gidin” gibi bir şey söyleyerek yapıyorlar. Chekov'un adının görüntülendiğini görürseniz Smith, vb. işaretli düğmeye gidin.”
Bu şekilde, Catenati tarafından yeniden sıralama önemli değildir, çünkü yalnızca mürettebatın ekranlardaki isimlere nasıl tepki vereceğini biliyorsanız çalışır. Yine de herhangi bir yeniden sıralamayı gizli tutmaları gerekiyor, aksi takdirde tekrar bozulabilir.
Gördüğümüz gibi, Uhura sırrın güvende tutulmasını sağladı. Mürettebatın her bir üyesinin aynı gizli emri kullanması ve şeytani Catenati'nin bunun ne olduğunu bilmediğinden emin olması gerekiyordu. Aslında, şeytani Catenati tarafından değiştirilen düzen, aslında mürettebatın başarılı olma olasılığını artırdı!
Olan şey bu. Rulet odasına ilk götürülen Uhura oldu. Üç düğmeye bastı. Hiçbiri onun değildi. Üzülmeli mi yoksa sevinmeli mi? Nefesini tuttu ve dördüncüsüne bastı. Gerçek düğmesini bulmuştu!
Hepsinin kurtulacağını biliyordu.
5 Yapboz
Çıkarma partisinin boyutu süresiz olarak arttıkça maksimum başarı yüzdesi hangi sınıra yaklaşır? Bu yöntemin neden rastgele düğmeye basmaktan çok daha verimli olduğunu açıklayabilir misiniz?
JPayette yazdı:
Yukarıdakilerin tümü doğrudan 2 kişilik bir mürettebata genellenirn üyelerin her birinin en fazla basına izin verdiği n düğmeler. Bulmaca 2'den, başarı şanslarının
1 - (topla k arasında n + 1 ve 2n 1/k).
Toplam, 1/ integrali ile karşılaştırılabilir.x aralıkta [n, 2n] olduğunu kanıtlamamıza izin verir. n sonsuza kadar büyür, yukarıdaki olasılık düşer ve şaşırtıcı bir 1 − ln(2) ≈ %30.6'ya yakınsar. [Aslında iki ondalık basamağa %30.69.]
Rob Corlett şunları ekledi:
Entegrasyonu bilmiyorsanız, bir elektronik tablo kullanarak hesaplama yaparak yaklaşık bir cevaba hızlı bir şekilde ulaşabilirsiniz. bir kez 0.307'ye ulaştım n 750 ondalık basamağa kadar doğru olan yaklaşık 3'ye ulaştı.
Bu yöntemin neden işe yaradığını yukarıda zaten açıkladık. 1'den uzun tüm döngüler birden fazla ekip üyesi tarafından paylaşılır. Dolayısıyla başarıları ve başarısızlıkları yüksek oranda ilişkilidir. “Hepimiz birimiz ve birimiz hepimiz için” ilkesinin bir örneğidir. Doğrudan Yıldız Filosu kılavuzundan çıktı!
Tüm katkı sağlayanlarımıza teşekkür ederiz. JPayette ve Rob Corlett, bu çözüm sütununun neredeyse gereksiz görünmesini sağlayan değerli cevaplar verdiler. Ne yazık ki, bulmaca sütunu başına bir kazanan seçme kuralımıza bağlı kalmalıyım. Insights ödülü, buradaki ve önceki bulmacadaki katkılardan dolayı JPayette'e gidiyor. Tebrikler! Rob Corlett, katkılarınız unutulmayacak.
Yeni Insights için gelecek ay görüşmek üzere!
