MÖ XNUMX. yüzyılda Arşimet ortaya Sığırları gütmekle ilgili bir bilmecenin ancak gerçekten bilge bir kişinin çözebileceğini iddia etti. Problemi, sonunda, iki karesi alınmış terim arasındaki farkı içeren ve şu şekilde yazılabilen bir denkleme indirgendi. x2 - dy2 = 1. Burada, d bir tamsayıdır - pozitif veya negatif bir sayma sayısı - ve Arşimet, her ikisinin de olduğu çözümler arıyordu. x ve y aynı zamanda tam sayılardır.
Pell denklemleri olarak adlandırılan bu denklem sınıfı, o zamandan beri matematikçileri büyüledi.
Arşimet'ten birkaç yüzyıl sonra, Hintli matematikçi Brahmagupta ve daha sonra matematikçi Bhāskara II, bu denklemlere tamsayılı çözümler bulmak için algoritmalar sağladı. 1600'lerin ortalarında, Fransız matematikçi Pierre de Fermat (bu işten habersizdi), bazı durumlarda, d için mümkün olan en küçük tamsayı çözümleri olan nispeten küçük bir değer atanmıştır. x ve y masif olabilir. Rakip matematikçilere bir dizi meydan okuma problemi gönderdiğinde, denklemi dahil ettiler. x2 - 61y2 = 1, en küçük çözümleri dokuz veya 10 basamaklı. (Arşimet'e gelince, onun bilmecesi esasen denklemin tamsayılı çözümlerini istiyordu. x2 - 4,729,494y2 = 1. “En küçük çözümün çıktısını almak 50 sayfa alıyor” dedi. Peter Koymans, Michigan Üniversitesi'nde bir matematikçi. “Bir bakıma, Arşimet'in devasa bir trolüdür.”)
Ancak Pell denklemlerinin çözümleri çok daha fazlasını yapabilir. Örneğin, irrasyonel bir sayı olan $lateks sqrt{2}$'a tam sayıların oranı olarak yaklaşmak istediğinizi varsayalım. Pell denklemini çözmenin x2 - 2y2 = 1 bunu yapmanıza yardımcı olabilir: $lateks sqrt{2}$ (veya daha genel olarak $latex sqrt{d}$), çözümü formun bir kesri olarak yeniden yazarak iyi bir şekilde yaklaşıklanabilir x/y.
Belki daha da ilgi çekici olan bu çözümler, matematikçilerin halka dediği belirli sayı sistemleri hakkında da bir şeyler söyler. Böyle bir sayı sisteminde, matematikçiler tamsayılara $latex sqrt{2}$ ekleyebilir. Halkaların belirli özellikleri vardır ve matematikçiler bu özellikleri anlamak isterler. Görünüşe göre Pell denklemi bunu yapmalarına yardımcı olabilir.
Ve böylece "birçok ünlü matematikçi - belirli bir zaman diliminde hemen hemen her matematikçi - aslında ne kadar basit olduğu için bu denklemi inceledi" dedi. Mark Shusterman, Harvard Üniversitesi'nde bir matematikçi. Bu matematikçiler Fermat, Euler, Lagrange ve Dirichlet'i içeriyordu. (John Pell, o kadar da değil; denkleme yanlışlıkla onun adı verilmiş.)
Şimdi Koymanlar ve carlo paganoMontreal'deki Concordia Üniversitesi'nde matematikçi olan onlarca yıllık bir varsayımı kanıtladı Pell denklemi ile ilgili, denklemin belirli bir formunun ne sıklıkla tamsayı çözümleri olduğunu ölçen bir denklem. Bunu yapmak için, başka bir alandan - grup teorisinden - fikirler ithal ederken, aynı anda o alandaki anahtar ama gizemli bir çalışma nesnesini daha iyi anlıyorlar. “Gerçekten derin ve güzel fikirler kullandılar” dedi. Andrew Granville, Montreal Üniversitesi'nde bir matematikçi. "Gerçekten tutturdular."
kırık aritmetik
1990’lerin başlarında Peter StevenhagenHollanda'daki Leiden Üniversitesi'nde matematikçi olan , Pell denklemleri ile grup teorisi arasında gördüğü bazı bağlantılardan ilham alarak bu denklemlerin ne sıklıkla tamsayı çözümleri olduğu hakkında bir tahminde bulundu. Ancak, “Yakın zamanda kanıtlanacağını beklemiyordum” dedi - hatta yaşamı boyunca. Mevcut teknikler, soruna saldırmak için yeterince güçlü görünmüyordu.
Onun varsayımı, halkaların belirli bir özelliğine bağlıdır. Örneğin, tamsayılara $lateks sqrt{-5}$'ın eklendiği sayılar halkasında (matematikçiler genellikle $lateks sqrt{-5}$ gibi "hayali" sayılarla çalışırlar), bunu yapmanın iki farklı yolu vardır. bir sayıyı asal çarpanlarına böler. Örneğin 6 sayısı sadece 2 × 3 olarak değil, (1 + $lateks sqrt{-5}$) × (1 – $lateks sqrt{-5}$) şeklinde de yazılabilir. Sonuç olarak, bu halkada, aritmetiğin merkezi bir ilkesi olan, pratikte normal tamsayılarda olduğu gibi kabul edilen benzersiz asal çarpanlara ayırma bozulur. Bunun gerçekleşme derecesi, sınıf grubu adı verilen bu halkayla ilişkili bir nesnede kodlanır.
Matematikçilerin ilgilendikleri bir sayı sistemine (örneğin, tam sayılara bitişik $lateks sqrt{2}$) ilişkin daha derin kavrayışlar elde etmeye çalışmasının bir yolu, onun sınıf grubunu hesaplamak ve üzerinde çalışmaktır. Yine de, tüm bu farklı sayı sistemlerinde sınıf gruplarının nasıl davrandığına ilişkin genel kuralları saptamak neredeyse imkânsızdır.
1980'lerde matematikçiler Henri Cohen ve hendrik lenstra Bu kuralların neye benzemesi gerektiğine dair geniş bir varsayımlar dizisi ortaya koyun. Bu “Cohen-Lenstra buluşsal yöntemleri” size sınıf grupları hakkında çok şey söyleyebilir ve bu da onların temel sayı sistemlerinin özelliklerini ortaya çıkarmalıdır.
Sadece bir problem vardı. Pek çok hesaplama Cohen-Lenstra buluşsal yöntemlerini destekliyor gibi görünse de, bunlar hala varsayımlar, kanıtlar değil. "Teoremlere gelince, çok yakın zamana kadar neredeyse hiçbir şey bilmiyorduk" dedi. Alex Bartel, Glasgow Üniversitesi'nde bir matematikçi.
Şaşırtıcı bir şekilde, bir sınıf grubunun tipik davranışı, Pell denklemlerinin davranışıyla ayrılmaz bir şekilde iç içedir. Pagano, bir sorunu anlamak diğerini anlamaya yardımcı olur - o kadar ki Stevenhagen'in varsayımı “Cohen-Lenstra buluşsal yöntemlerinde kaydedilen ilerleme için de bir test problemi olmuştur” dedi.
Yeni çalışma, negatif Pell denklemini içeriyor, burada x2 - dy2 her zaman için sonsuz sayıda tamsayı çözümü olan orijinal Pell denkleminin aksine, 1 yerine -1'e eşittir. d, tüm değerleri değil d negatif Pell denkleminde çözülebilecek bir denklem verir. Almak x2 - 3y2 = -1: Sayı doğrusunda ne kadar uzağa bakarsanız bakın, asla bir çözüm bulamayacaksınız. x2 - 3y2 = 1'in sonsuz sayıda çözümü vardır.
Aslında bir çok değer var d Negatif Pell denkleminin çözülemediği durumlar için: Belirli sayıların birbirleriyle nasıl ilişkili olduğuna dair bilinen kurallara dayanarak, d 3, 7, 11, 15 vb.nin katı olamaz.
Ama bu değerlerden kaçınsanız bile d ve sadece kalan negatif Pell denklemlerini düşünün, çözüm bulmak hala her zaman mümkün değildir. Bu daha küçük olası değerler kümesinde d, hangi oran gerçekten işe yarıyor?
1993'te Stevenhagen, bu soruya kesin bir cevap veren bir formül önerdi. için değerlerden d bu işe yarayabilir (yani, 3, 7, vb.'nin katı olmayan değerler), yaklaşık %58'inin tamsayı çözümleri ile negatif Pell denklemlerine yol açacağını tahmin etti.
Stevenhagen'in tahmini, özellikle, negatif Pell denklemi ile sınıf grupları üzerindeki Cohen-Lenstra buluşsal yöntemleri arasındaki bağlantı tarafından motive edildi - Koymans ve Pagano'nun 30 yıl sonra sonunda onun doğru olduğunu kanıtladıklarında yararlandıkları bir bağlantı.
Daha İyi Bir Top
2010 yılında, Koymans ve Pagano hala lisans öğrencisiydiler - Stevenhagen'in varsayımına henüz aşina değillerdi - yıllar sonra sorun üzerinde ilk ilerlemenin bazılarını yapan bir makale çıktığında.
O eserde, yayımlanan Matematik Yıllıkları, matematikçiler Étienne Fouvry ve Jürgen Klüners değerlerinin oranı olduğunu göstermiştir. d Negatif Pell denklemi için işe yarayacak olan belirli bir aralığa düştü. Bunu yapmak için, ilgili sınıf gruplarının bazı öğelerinin davranışlarını ele aldılar. Ancak Stevenhagen'in çok daha kesin olan %58 tahminine dayanmak için daha birçok unsuru anlamaları gerekir. Ne yazık ki, bu unsurlar esrarengiz kaldı: Yapılarını anlamak için hala yeni yöntemlere ihtiyaç vardı. Daha fazla ilerleme imkansız görünüyordu.
Ardından, 2017'de, Koymans ve Pagano, Leiden Üniversitesi'nde birlikte lisansüstü okuldayken, bir kağıt çıktı bu her şeyi değiştirdi. Koymans, “Bunu gördüğümde, bunun çok, çok etkileyici bir sonuç olduğunu hemen anladım” dedi. “Tamam, şimdi bu soruna ateş edebileceğim bir topum var ve ilerleme kaydedebileceğimi umuyorum” gibiydi. (O zamanlar, Stevenhagen ve Lenstra da Leiden'de profesördü ve bu, Koymans ve Pagano'nun soruna olan ilgisini ateşledi.)
Makale Harvard'daki bir yüksek lisans öğrencisi tarafından yazılmıştı. Alexander Smith (şimdi Stanford'da bir Clay arkadaşı). Koymans ve Pagano, çalışmayı bir atılım olarak selamlayan yalnız değildi. Granville, "Fikirler harikaydı" dedi. "Devrimci."
Smith, eliptik eğriler adı verilen denklemlerin çözümlerinin özelliklerini anlamaya çalışıyordu. Bunu yaparken, Cohen-Lenstra buluşsal yöntemlerinin belirli bir bölümünü çözdü. Bu, yalnızca bu daha geniş varsayımları matematiksel gerçek olarak sağlamlaştırmanın ilk büyük adımı olmakla kalmadı, aynı zamanda tam olarak Koymans ve Pagano'nun Stevenhagen'in varsayımı üzerine çalışmalarında anlaması gereken sınıf grubunun parçasını içeriyordu. (Bu eser, Fouvry ve Klüners'in kısmi sonuçlarında inceledikleri unsurları içeriyordu, ama aynı zamanda onların çok ötesine geçti.)
Ancak Koymans ve Pagano, Smith'in yöntemlerini hemen kullanamadı. (Bu mümkün olsaydı, Smith'in kendisi muhtemelen yapardı.) Smith'in kanıtı, doğru sayı halkalarıyla ($lateks sqrt{d}$'ın tamsayılara bitişik olduğu) ilişkili sınıf grupları hakkındaydı - ama tüm tamsayı değerleri d. Koymans ve Pagano ise, bu değerlerin yalnızca küçük bir alt kümesini düşünüyorlardı. d. Sonuç olarak, sınıf gruplarının çok daha küçük bir kısmı arasındaki ortalama davranışı değerlendirmeleri gerekiyordu.
Bu sınıf grupları esasen Smith'in sınıf gruplarının %0'ını oluşturuyordu - yani Smith kanıtını yazarken onları atabilirdi. Üzerinde çalıştığı ortalama davranışa hiç katkıda bulunmadılar.
Koymans ve Pagano, tekniklerini sadece önemsedikleri sınıf gruplarına uygulamaya çalıştıklarında, yöntemler hemen bozuldu. Çiftin onları işe almak için önemli değişiklikler yapması gerekecek. Dahası, sadece bir sınıf grubunu karakterize etmiyorlardı, daha çok iki farklı sınıf grubu arasında var olabilecek çelişkiyi (bunu yapmak Stevenhagen'in varsayımını kanıtlamalarının önemli bir parçası olacaktı) - ki bu da bazı farklı araçlar gerektirecekti.
Böylece Koymans ve Pagano, işlerin tam olarak nerede raydan çıkmaya başladığını saptamak umuduyla Smith'in makalesini daha dikkatli taramaya başladılar. Zor ve özenli bir işti, çünkü sadece malzeme çok karmaşıktı değil, aynı zamanda Smith o sırada hâlâ ön baskısını rafine ediyor, gerekli düzeltmeleri ve açıklamaları yapıyordu. (Gönderdiği makalesinin yeni versiyonu Geçen ay çevrimiçi.)
Koymans ve Pagano bir yıl boyunca ispatı satır satır birlikte öğrendiler. Her gün bir araya gelerek, bir karatahtada birkaç saat geçirmeden önce, belirli bir bölümü öğle yemeğinde tartışarak, ilgili fikirler üzerinde birbirlerine yardımcı oldular. Eğer biri kendi kendine ilerleme kaydettiyse, diğerine kendisini güncellemesi için mesaj atıyordu. Shusterman bazen onları gecenin ilerleyen saatlerine kadar çalışırken gördüğünü hatırlıyor. Koymans, içerdiği zorluklara rağmen (veya belki de bu nedenle), “birlikte yapmak çok eğlenceliydi” dedi.
Sonunda nerede yeni bir yaklaşım denemeleri gerektiğini belirlediler. İlk başta, sadece mütevazı iyileştirmeler yapabildiler. Matematikçiler ile birlikte stephanie chan ve Djordjo Miloviç, sınıf grubundaki bazı ek unsurları nasıl ele alacaklarını buldular, bu da Fouvry ve Klüners'ın sahip olduğundan daha iyi sınırlar elde etmelerini sağladı. Ancak sınıf grubunun yapısının önemli parçaları hala onlardan kaçıyordu.
Üstesinden gelmeleri gereken önemli bir sorun - bu yeni bağlamda Smith'in yönteminin artık işe yaramadığı bir şey - sınıf grupları için "ortalama" davranışı, sınıf gruplarının değerleri olarak gerçekten analiz etmelerini sağlamaktı. d büyüdü ve büyüdü. Uygun rastgelelik derecesini belirlemek için Koymans ve Pagano, mütekabiliyet yasaları adı verilen karmaşık bir kurallar dizisi kanıtladı. Sonunda bu, iki sınıf grubu arasındaki fark üzerinde ihtiyaç duydukları kontrolü elde etmelerini sağladı.
Bu ilerleme, diğerleriyle birleştiğinde, sonunda Stevenhagen'in varsayımının kanıtını bu yılın başlarında tamamlamalarına izin verdi. Chan, “Bunu tamamen çözebilmeleri inanılmaz” dedi. "Daha önce, tüm bu sorunları yaşadık."
Smith, yaptıklarının "beni şaşırttığını" söyledi. "Koymans ve Pagano benim eski dilimi korudular ve artık zar zor anladığım bir yöne doğru gitgide daha fazla ilerlemek için kullandılar."
En Keskin Araç
Beş yıl önce tanıttığı andan itibaren, Smith'in Cohen-Lenstra buluşsal yönteminin bir parçasının kanıtı, eliptik eğriler ve diğer ilgi yapıları hakkındaki sorular da dahil olmak üzere bir dizi başka soruna kapı açmanın bir yolu olarak görülüyordu. (Koymans ve Pagano makalelerinde, yöntemlerini kullanmayı umdukları bir düzine varsayımı sıralıyorlar. Birçoğunun olumsuz Pell denklemi ve hatta sınıf gruplarıyla hiçbir ilgisi yok.)
Granville, "Birçok nesne, bu tür cebirsel gruplardan farklı olmayan yapılara sahiptir." Dedi. Ancak Koymans ve Pagano'nun yüzleşmek zorunda kaldığı engellerin çoğu bu diğer bağlamlarda da mevcuttur. Negatif Pell denklemi üzerindeki yeni çalışma, bu engellerin kaldırılmasına yardımcı oldu. Bartel, "Alexander Smith bize bu testereleri ve çekiçleri nasıl yapacağımızı anlattı, ancak şimdi onları olabildiğince keskin ve mümkün olduğunca sert ve farklı durumlara mümkün olduğunca uyarlanabilir hale getirmemiz gerekiyor" dedi. "Bu makalenin yaptığı şeylerden biri, bu yönde çok fazla ilerlemek."
Bu arada tüm bu çalışmalar, matematikçilerin sınıf gruplarının yalnızca bir yönüne ilişkin anlayışlarını iyileştirdi. Cohen-Lenstra varsayımlarının geri kalanı en azından şimdilik ulaşılamaz durumda. Ancak Koymans ve Pagano'nun makalesi, “Cohen-Lenstra'daki sorunlara saldırmak için sahip olduğumuz tekniklerin bir şekilde büyüdüğünün bir göstergesi” dedi Smith.
Lenstra'nın kendisi de benzer şekilde iyimserdi. Bir e-postada “kesinlikle muhteşem” diye yazdı. “Sayı teorisinin kendisi kadar eski olan bir sayı teorisi dalında gerçekten yeni bir bölüm açıyor.”
