Matematikçiler Zar Atıp Taş-Kağıt-Makas Alır

Bill Gates hikayeyi anlatırken, Warren Buffett bir keresinde ona bir zar oyunu için meydan okudu. Her biri Buffett'a ait dört zardan birini seçer ve ardından daha yüksek sayı kazanarak atarlardı. Bunlar standart zarlar değildi - 1'den 6'ya kadar olanlardan farklı bir sayı yelpazesine sahiptiler. Buffett, en güçlü zarı seçebilmesi için önce Gates'in seçmesine izin vermeyi teklif etti. Ancak Gates zarları inceledikten sonra bir karşı teklifte bulundu: Önce Buffett seçmeli.

Gates, Buffett'ın zarlarının tuhaf bir özellik sergilediğini fark etmişti: Hiçbiri en güçlüsü değildi. Gates önce seçmiş olsaydı, hangi zarı seçerse seçsin, Buffett onu yenebilecek başka bir zar bulabilirdi (yani, kazanma şansı %50'den fazla olan).

Buffett'in dört zarı (onlara A, B, C ve D) taş-kağıt-makasa benzeyen bir desen oluşturdu; A atım B, B atım C, C atım D ve D atım A. Matematikçiler böyle bir zar dizisinin "geçişsiz" olduğunu söylerler.

"[Geçişsiz zarların] var olması bile hiç sezgisel değil," dedi Brian Conrey2013 yılında konuyla ilgili etkili bir makale yazan San Jose'deki Amerikan Matematik Enstitüsü'nün (AIM) yöneticisi.

Matematikçiler ortaya çıktı ilk örnekler geçişsiz zarların 50 yılı aşkın bir süre önce ve sonunda kanıtladı zarları daha fazla kenarla düşündüğünüzde, herhangi bir uzunlukta geçişsiz döngüler yaratmanın mümkün olduğunu. Matematikçilerin yakın zamana kadar bilmediği şey, geçişsiz zarların ne kadar yaygın olduğuydu. Bu tür örnekleri dikkatli bir şekilde tasarlamak zorunda mısınız yoksa rastgele zar seçip geçişsiz bir küme bulmak için iyi bir şans elde edebilir misiniz?

Üç zara bakmak, eğer bunu biliyorsan A atım B ve B atım C, bu kanıt gibi görünüyor A en güçlüsüdür; durumlar C atım A nadir olmalıdır. Ve gerçekten de, zarın üzerindeki sayıların farklı toplamlar vermesine izin verilirse, o zaman matematikçiler bu sezginin doğru olduğuna inanırlar.

Ancak çevrimiçi yayınlanan kağıt Geçen yılın sonları, başka bir doğal ortamda bu sezginin muhteşem bir şekilde başarısız olduğunu gösteriyor. Zarınızın yalnızca normal bir zarda görünen sayıları kullanmasını ve normal bir zarla aynı toplama sahip olmasını istediğinizi varsayalım. Ardından, kağıt gösterdi, eğer A atım B ve B atım C, A ve C temelde birbirlerine karşı galip gelme şansları eşittir.

"Bilerek A atım B ve B atım C olup olmadığı hakkında hiçbir bilgi vermez. A atım C," dedim Timothy Gowers Fields madalyası sahibi ve Polymath projesi olarak bilinen açık bir çevrimiçi işbirliğiyle kanıtlanan yeni sonuca katkıda bulunanlardan biri olan Cambridge Üniversitesi'nden.

Bu arada, başka son kağıdı dört veya daha fazla zar setini analiz eder. Bu bulgu muhtemelen daha da paradoksaldır: Örneğin, rastgele dört zar seçerseniz ve şunu bulursanız: A atım B, B atım C ve C atım D, o zaman biraz Daha için muhtemel D dövmek A tersine göre.

Ne Güçlü Ne Zayıf

Son zamanlarda ortaya çıkan sonuçlar, yaklaşık on yıl önce, Conrey'in geçişsiz zarları kapsayan bir oturumla matematik öğretmenleri için bir toplantıya katılmasının ardından başladı. “Böyle şeylerin var olabileceği hakkında hiçbir fikrim yoktu” dedi. “Onlardan biraz etkilendim.”

Karar verdi (daha sonra meslektaşı da katıldı) Kent Morrison AIM'de) mentorluk yaptığı üç lise öğrencisiyle konuyu keşfetmek için - James Gabbard, Katie Grant ve Andrew Liu. Grup, rastgele seçilen zarların ne sıklıkla geçişsiz bir döngü oluşturacağını merak etti.

En yüksek toplama sahip zarın diğerlerini yenmesi muhtemel olduğundan, zarların yüz sayıları toplamı farklı toplamlara eşitse, geçişsiz zar setlerinin nadir olduğu düşünülmektedir. Bu nedenle ekip, iki özelliği olan zarlara odaklanmaya karar verdi: İlk olarak, zarlar standart zarlarla aynı sayıları kullanır - 1'den XNUMX'e n, durumunda ntaraflı zar. İkincisi, yüz numaralarının toplamı standart bir zardakiyle aynı toplamı verir. Ancak standart zarların aksine, her zar bazı sayıları tekrarlayabilir ve diğerlerini dışarıda bırakabilir.

Altı kenarlı zar durumunda, bu iki özelliği taşıyan yalnızca 32 farklı zar vardır. Böylece, bir bilgisayar yardımıyla ekip, içinde bulundukları tüm üçlüleri belirleyebildi. A atım B ve B atım C. Araştırmacılar şaşkınlık içinde buldular ki, A atım C 1,756 üçlü ve C atım A 1,731 üçlü - neredeyse aynı sayılar. Altıdan fazla kenarı olan zarların bu hesaplamasına ve simülasyonlarına dayanarak, takım tahmin etti zarın kenar sayısı sonsuza yaklaştıkça, gelme olasılığı A atım C %50'ye yaklaşıyor.

Erişilebilirlik ve nüans karışımıyla bu varsayım, Conrey'i birçok matematikçinin fikirlerini paylaşmak için çevrimiçi olarak bir araya geldiği bir Polymath projesi için iyi bir yem olarak gördü. 2017 yılının ortalarında, Polymath yaklaşımının yaratıcısı olan Gowers'a bu fikri önerdi. Gowers, "Sürpriz değeri nedeniyle soruyu çok beğendim" dedi. o bir yazdı blog yazısı Bir yorum yağmuru çeken varsayım hakkında ve altı ek gönderi boyunca, yorumcular bunu kanıtlamayı başardılar.

Onların gazetesinde çevrimiçi yayınlanan Kasım 2022'nin sonlarında, kanıtın önemli bir kısmı, tek bir zarın güçlü mü yoksa zayıf mı olduğu hakkında konuşmanın çoğunlukla mantıklı olmadığını göstermeyi içeriyor. Buffett'in zarları, hiçbiri paketin en güçlüsü değil, o kadar da sıra dışı değil: Polymath projesinin gösterdiği gibi, rastgele bir zar seçerseniz, zarların diğer zarların yaklaşık yarısını atması ve diğer yarısına kaybetmesi muhtemeldir. Gowers, "Neredeyse her kalıp oldukça ortalama," dedi.

Proje, AIM ekibinin orijinal modelinden bir açıdan ayrıldı: Bazı teknik ayrıntıları basitleştirmek için, proje bir zar üzerindeki sayıların sırasının önemli olduğunu açıkladı - örneğin, 122556 ve 152562 iki farklı zar olarak kabul edilecek. Ancak Gowers, AIM ekibinin deneysel kanıtlarıyla birleştirilen Polymath sonucunun, varsayımın orijinal modelde de doğru olduğuna dair güçlü bir varsayım oluşturduğunu söyledi.

Conrey, "Bu kanıtı buldukları için kesinlikle çok memnun oldum" dedi.

Dört veya daha fazla zarın toplanması söz konusu olduğunda, AIM ekibi üç zarınkine benzer bir davranış tahmin etmişti: Örneğin, eğer A atım B, B atım C ve C atım D o zaman kabaca 50-50 olasılık olmalı D atım A, zardaki kenar sayısı sonsuza yaklaştıkça tam olarak 50-50'ye yaklaşır.

Varsayımı test etmek için araştırmacılar, 50, 100, 150 ve 200 kenarlı dört zardan oluşan setler için kafa kafaya turnuvaları simüle ettiler. Simülasyonlar, tahminlerine üç zar örneğindeki kadar yakından uymadı, ancak yine de varsayıma olan inançlarını destekleyecek kadar yakındı. Ancak araştırmacılar fark etmese de, bu küçük tutarsızlıklar farklı bir mesaj taşıyordu: Dört veya daha fazla zar için varsayımları yanlış.

Conrey, "[Varsayımın] doğru olmasını gerçekten istiyorduk, çünkü bu harika olurdu," dedi.

Dört zar durumunda, Elisabetta Cornacchia İsviçre Federal Teknoloji Enstitüsü Lozan ve Jan Hazla Ruanda, Kigali'deki Afrika Matematik Bilimleri Enstitüsü'nün kâğıt 2020'nin sonlarında çevrimiçi olarak yayınlandıysa A atım B, B atım C ve C atım D, Daha sonra D yenme şansı %50'den biraz daha fazladır A — muhtemelen %52 civarında bir yerde, dedi Hązła. (Polymath makalesinde olduğu gibi, Cornacchia ve Hązła, AIM makalesinden biraz farklı bir model kullanmışlardır.)

Cornacchia ve Hązła'nın bulgusu, kural olarak tek bir zarın ne güçlü ne de zayıf olmasına rağmen, bir çift zarın bazen ortak güç alanlarına sahip olabileceği gerçeğinden ortaya çıkıyor. Cornacchia ve Hązła'nın gösterdiği gibi, rastgele iki zar seçerseniz, zarların birbiriyle ilişkili olma olasılığı yüksektir: Aynı zarı atmaya veya kaybetmeye eğilimlidirler. Hązła, "Sizden birbirine yakın iki zar oluşturmanızı istersem, bunun mümkün olduğu ortaya çıkıyor," dedi. Bu küçük korelasyon cepleri, resimde en az dört zar olduğu anda turnuva sonuçlarını simetriden uzaklaştırır.

Son gazeteler hikayenin sonu değil. Cornacchia ve Hązła'nın makalesi, zarlar arasındaki korelasyonların turnuvaların simetrisini nasıl dengesizleştirdiğini tam olarak ortaya çıkarmaya başlıyor. Bu arada, artık birçok geçişsiz zar olduğunu biliyoruz - hatta belki de Bill Gates'i ilk seçimi yapması için kandıracak kadar incelikli bir zar bile var.