Sayı Teorisini Değiştiren Gizli Bağlantı | Quanta Dergisi

Üç çeşit asal sayı vardır. Birincisi tek bir aykırı değerdir: 2, tek çift asal sayı. Bundan sonra asal sayıların yarısı 1'e bölündüğünde 4 kalanını bırakıyor. Diğer yarısı ise 3 kalanını bırakıyor. (5 ve 13 birinci kampa, 7 ve 11 ikinci kampa düşüyor.) Geri kalanın ortada olmaması için açık bir neden yok. -1 asal sayılar ve kalan-3 asal sayılar temelde farklı şekillerde davranmalıdır. Ama yapıyorlar.

Temel farklardan biri, ilk kez 19. yüzyılın tartışmasız en etkili matematikçisi olan Carl Gauss tarafından kanıtlanan, ikinci dereceden karşılıklılık adı verilen bir özellikten kaynaklanmaktadır. "Bu sadece sayılar teorisinde değil, her yerde, her türlü matematikte uygulamaları olan oldukça basit bir ifade" dedi. James RickardsBoulder'daki Colorado Üniversitesi'nden bir matematikçi. "Ama aynı zamanda gerçekten ilginç olacak kadar da açık değil."

Sayı teorisi, tam sayılarla (örneğin şekiller veya sürekli niceliklerin aksine) ilgilenen bir matematik dalıdır. Yalnızca 1'e ve kendilerine bölünebilen asal sayılar, DNA'nın biyolojinin özü olduğu kadar özündedir. İkinci dereceden karşılıklılık, matematikçilerin onlar hakkında ne kadar kanıtlamanın mümkün olduğu konusundaki anlayışlarını değiştirdi. Asal sayıları bir dağ sırası olarak düşünürseniz, karşılıklılık, matematikçilerin daha önce ulaşılamayan zirvelere tırmanmasına ve bu zirvelerden gizlenmiş gerçekleri görmesine olanak tanıyan dar bir yola benzer.

Eski bir teorem olmasına rağmen yeni uygulamalara sahip olmaya devam ediyor. Bu yaz Rickards ve meslektaşı Katherine Stangeiki öğrenciyle birlikte yaygın olarak kabul edilen bir varsayımı çürüttü küçük dairelerin daha büyük bir dairenin içine nasıl sığdırılabileceği hakkında. Sonuç matematikçileri şok etti. Peter Sarnakİleri Araştırma Enstitüsü ve Princeton Üniversitesi'nde sayı teorisyeni olan , ekibinin hemen ardından bir konferansta Stange ile konuştu. posted onların kağıdı. Sarnak, "Bana bir karşı örneğinin olduğunu söyledi" diye hatırladı. “Ona hemen 'Karşılıklılığı bir yerde mi kullanıyorsun?' diye sordum. Ve gerçekten de kullandığı şey buydu.”

Asal Çiftlerdeki Desenler

Karşılıklılığı anlamak için öncelikle modüler aritmetiği anlamanız gerekir. Modüler işlemler, modül adı verilen bir sayıya böldüğünüzde kalanların hesaplanmasına dayanır. Örneğin 9 modulo 7 2'dir çünkü 9'u 7'ye bölerseniz kalan 2 olur. Modulo 7 sayı sisteminde 7 sayı vardır: {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6}. Bu sayıları toplayabilir, çıkarabilir, çarpabilir ve bölebilirsiniz.

Tam sayılarda olduğu gibi, bu sayı sistemleri de tam karelere, yani başka bir sayının kendisiyle çarpımının çarpımı olan sayılara sahip olabilir. Örneğin, 0, 1, 2 ve 4 tam kareler modulo 7'dir (0 × 0 = 0, 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4 ve 3 × 3 = 2 mod 7). Her sıradan kare ya 0, 1, 2 ya da 4 modulo 7'ye eşit olacaktır. (Örneğin, 6 × 6 = 36 = 1 mod 7.) Modüler sayı sistemleri sonlu olduğundan tam kareler daha yaygındır.

İkinci dereceden karşılıklılık nispeten basit bir sorudan kaynaklanmaktadır. İki asal sayı verildiğinde p ve qeğer bunu biliyorsan p mükemmel kare bir modülo q, olup olmadığını söyleyebilir misin? q mükemmel kare bir modülo p?

Görünüşe göre her ikisi de olduğu sürece p or q 1'e bölündüğünde 4 kalanını verir p mükemmel kare bir modülo q, Daha sonra q aynı zamanda tam kare bir modülodur p. İki asal sayının karşılıklı olduğu söylenir.

Öte yandan, eğer her ikisi de 3 kalanını bırakırsa (mesela 7 ve 11 gibi) o zaman karşılık vermezler: p kare bir modülo q, bu şu demek oluyor q kare modülo olmayacak p. Bu örnekte, 11 bir kare modulo 7'dir, çünkü 11 = 4 mod 7 ve 4'ün tam kare modulo 7'den biri olduğunu zaten biliyoruz. Buradan 7'nin bir kare modulo 11 olmadığı sonucu çıkar. kareler (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …) ve kalanlarına modulo 11 bakın, o zaman 7 asla görünmeyecek.

Teknik bir terim kullanırsak bu gerçekten tuhaf!

Genellemenin Gücü

Birçok matematiksel fikir gibi karşılıklılık da genelleştirilebildiği için etkili olmuştur.

Gauss'un 1801'de ikinci dereceden karşılıklılığın ilk kanıtını yayınlamasından kısa bir süre sonra, matematikçiler bu fikri karelerin ötesine genişletmeye çalıştılar. “Neden üçüncü kuvvetler ya da dördüncü kuvvetler olmasın? Belki kübik bir karşılıklılık yasasının ya da dördüncü dereceden karşılıklılık yasasının olabileceğini hayal ettiler" dedi. Keith ConradConnecticut Üniversitesi'nde sayı teorisyeni.

Ancak sıkışıp kaldılar, dedi Conrad, "çünkü kolay bir yol yok." Gauss, eksi 1'in karekökünü toplayan karmaşık sayılar alanına karşılıklılık getirdiğinde bu durum değişti. i, sıradan sayılara. Sayı teorisyenlerinin yalnızca sıradan tam sayıları değil aynı zamanda gerçek ve sanal kısımları tam sayı olan karmaşık sayılar olan Gauss tamsayıları gibi diğer tam sayı benzeri matematiksel sistemleri de analiz edebilecekleri fikrini ortaya attı.

Gauss tamsayılarıyla birlikte, neyin asal sayıldığına dair tüm fikir değişti. Örneğin 5 artık asal değildir çünkü 5 = (2 + i) × (2 - i). Conrad, "Yeniden ilkokuldaymış gibi yeniden başlamalısınız" dedi. 1832'de Gauss, kendi adını taşıyan karmaşık tamsayılar için dördüncü dereceden karşılıklılık yasasını kanıtladı.

Birdenbire matematikçiler modüler aritmetik ve çarpanlara ayırma gibi araçları bu yeni sayı sistemlerine uygulamayı öğrendiler. Conrad'a göre ikinci dereceden karşılıklılık ilham kaynağıydı.

Karmaşık sayılar olmadan anlaşılması zor olan modeller artık ortaya çıkmaya başladı. 1840'ların ortalarında Gotthold Eisenstein ve Carl Jacobi ilk kübik karşılıklılık yasalarını kanıtladılar.

Daha sonra 1920'lerde modern cebirin kurucularından biri olan Emil Artin, Conrad'ın "nihai karşılıklılık yasası" dediği şeyi keşfetti. Diğer tüm mütekabiliyet kanunları Artin mütekabiliyet kanununun özel durumları olarak görülebilir.

Bir yüzyıl sonra, matematikçiler hâlâ Gauss'un ilk ikinci dereceden karşılıklılık yasasının yeni kanıtlarını geliştiriyor ve onu yeni matematiksel bağlamlara genelleştiriyor. Birçok farklı kanıtın olması faydalı olabilir. Conrad, "Sonucu yeni bir ortama genişletmek istiyorsanız, belki argümanlardan biri kolaylıkla geçerli olurken diğerleri geçerli olmayacaktır" dedi.

Karşılıklılık Neden Bu Kadar Faydalıdır?

İkinci dereceden karşılıklılık, grafik teorisi, cebirsel topoloji ve kriptografi gibi çok çeşitli araştırma alanlarında kullanılmaktadır. İkincisi, 1982'de geliştirilen etkili bir genel anahtar şifreleme algoritmasıdır. Şafi Goldwasser ve Silvio mikali iki büyük asal sayının çarpımına bağlıdır p ve q birlikte ve sonucun çıktısı olarak, Nbir sayıyla birlikte, x, bu kare bir modülo değil N. Algoritma şunu kullanır: N ve x dijital mesajları daha büyük sayı dizileri halinde şifrelemek için. Bu dizenin şifresini çözmenin tek yolu, şifrelenmiş dizedeki her sayının kare modülo olup olmadığına karar vermektir. N — asal sayıların değerlerini bilmeden neredeyse imkansızdır p ve q.

Ve tabii ki ikinci dereceden karşılıklılık sayı teorisinde tekrar tekrar ortaya çıkıyor. Örneğin, 1 modulo 4'e eşit herhangi bir asal sayının iki karenin toplamı olarak yazılabileceğini kanıtlamak için kullanılabilir (örneğin, 13, 1 modulo 4'e eşittir ve 13 = 4 + 9 = 2).² + 3²). Bunun aksine, 3 modulo 4'e eşit asal sayılar asla iki karenin toplamı olarak yazılamaz.

Sarnak, hangi sayıların üç küpün toplamı şeklinde yazılabileceği gibi açık uçlu soruların çözümünde karşılıklılığın kullanılabileceğini kaydetti. 4 veya 5 modulo 9'a eşit olan sayıların üç küpün toplamına eşit olmadığı biliniyor ancak diğerleri bir sır olarak kalıyor. (2019'da Andrew Booker oluşturulmuş başlıklar (8,866,128,975,287,528)³ + (−8,778,405,442,862,239)³ + (−2,736,111,468,807,040)³ = 33 olduğunu keşfettiğinde.

Stange, tüm bu uygulamalara ve birçok farklı kanıta rağmen, karşılıklılıkla ilgili gizemli kalan bir şeylerin bulunduğunu söyledi.

“Matematiksel kanıtta sıklıkla olan şey, her adımı takip edebilmenizdir; bunun doğru olduğuna inanabilirsin” dedi. “Ve yine de diğer taraftan 'Ama neden?' diye hissederek çıkabilirsiniz”

İçgüdüsel düzeyde, 7 ve 11'i 5 ve 13'ten farklı kılan şeyin ne olduğunu anlamak, sonsuza dek ulaşılması zor olabilir. "Sadece bu kadar soyutlama düzeyinde denge kurabiliyoruz" dedi. “Sayı teorisinin her yerinde karşımıza çıkıyor… ve yine de gerçekten biliyormuşsunuz gibi hissettiren şeyin sadece bir adım ötesinde.”

Kuantum izleyicilerimize daha iyi hizmet verebilmek için bir dizi anket yürütüyor. Bizimkini al matematik okuyucu anketi ve ücretsiz kazanmak için girileceksiniz Kuantum ek ürün.