Giriş
Düğüm teorisi, evrenin temel yapısını anlama girişimi olarak başladı. 1867'de, bilim adamları tüm farklı madde türlerini neyin açıklayabileceğini anlamaya çalışırken, İskoç matematikçi ve fizikçi Peter Guthrie Tait, arkadaşı ve vatandaşı Sir William Thomson'a duman halkaları üretme cihazını gösterdi. Thomson - daha sonra Lord Kelvin olacak (sıcaklık ölçeğinin adaşı) - halkaların aldatıcı şekilleri, kararlılıkları ve etkileşimleri tarafından büyülendi. İlhamı onu şaşırtıcı bir yöne yönlendirdi: Belki de, diye düşündü, tıpkı duman halkaları havadaki girdaplar gibi, atomlar da ışık saçan eterdeki düğümlenmiş girdap halkalarıydı, fizikçilerin inandıklarına göre, ışığın yayıldığı görünmez bir ortam.
Bu Viktorya dönemi fikri şimdi gülünç gelse de, anlamsız bir soruşturma değildi. Bu girdap teorisinin önereceği çok şey vardı: Her biri biraz farklı olan budakların çeşitliliği, birçok kimyasal elementin farklı özelliklerini yansıtıyor gibiydi. Girdap halkalarının kararlılığı, atomların ihtiyaç duyduğu kalıcılığı da sağlayabilir.
Girdap teorisi bilim camiasında ilgi gördü ve Tait'e tüm düğümleri sıralamaya başlaması için ilham verdi ve bir elementler tablosuna eşdeğer olacağını umduğu şeyi yarattı. Elbette atomlar düğüm değildir ve eter yoktur. 1880'lerin sonlarında Thomson, girdap teorisini yavaş yavaş terk ediyordu, ancak o zamana kadar Tait, düğümlerinin matematiksel zarafeti ile büyülendi ve tablolama projesine devam etti. Bu süreçte düğüm teorisinin matematiksel alanını kurdu.
Hepimiz budaklara aşinayız - ayakkabılarımızı ayaklarımızda, tekneleri rıhtıma sabitler ve dağcıları aşağıdaki kayalarda tutarlar. Ancak bu düğümler tam olarak matematikçilerin (Tait dahil) düğüm dediği şey değildir. Karışık bir uzatma kablosu düğümlenmiş gibi görünse de, onu çözmek her zaman mümkündür. Matematiksel bir düğüm elde etmek için, kapalı bir döngü oluşturmak için kablonun serbest uçlarını birbirine bağlamanız gerekir.
Bir düğümün iplikleri sicim gibi esnek olduğundan, matematikçiler düğüm teorisini bir alt alan olarak görürler. topoloji, dövülebilir şekillerin incelenmesi. Bazen bir düğümü çözerek basit bir daire haline getirmek mümkündür, buna “unknot” adını veririz. Ancak daha sık olarak, bir düğümü çözmek imkansızdır.
Düğümler ayrıca yeni düğümler oluşturmak için birleşebilir. Örneğin, yonca olarak bilinen basit bir düğümü aynadaki görüntüsüyle birleştirmek bir kare düğüm oluşturur. (Ve iki özdeş yonca düğümünü birleştirirseniz, büyükanne düğümü yaparsınız.)
Matematikçiler, sayılar dünyasındaki terminolojiyi kullanarak, yoncanın asal bir düğüm olduğunu, kare düğümün bileşik olduğunu ve 1 sayısı gibi, düğümün de olmadığını söylüyorlar. Bu benzetme 1949'da Horst Schubert'in her düğümün asal olduğunu ya da benzersiz bir şekilde asal düğümlere ayrılabileceğini kanıtladığında daha da desteklendi.
Yeni düğümler oluşturmanın bir başka yolu, iki veya daha fazla düğümü birbirine geçirerek bir bağlantı oluşturmaktır. İtalyan Borromeo Evi'nin arması üzerinde göründükleri için bu şekilde adlandırılan Borromean halkaları basit bir örnektir.
Thomson ve Tate, düğümleri matematiksel olarak ilk görenler değildi. 1794 gibi erken bir tarihte, Carl Friedrich Gauss kişisel defterinde düğümler hakkında yazdı ve örnekler çizdi. Ve Gauss'un öğrencisi Johann Listing, 1847 monografında düğümler hakkında yazdı. Topolojiyi Vorstudien ("Topoloji Ön Çalışmaları") - bu aynı zamanda topoloji teriminin kökenidir.
Ancak Tait, düğüm teorisinde temel problem haline gelen şey üzerinde çalışan ilk bilim adamıydı: tüm olası düğümlerin sınıflandırılması ve tablolaştırılması. Yalnızca geometrik sezgisini kullanarak yıllarca süren özenli çalışmalar sonucunda, bir uçağa yansıtıldığında en fazla yedi geçişi olan tüm asal düğümleri buldu ve sınıflandırdı.
19. yüzyılın sonlarında Tait, diğer iki kişinin - Rev. Thomas Kirkman ve Amerikalı matematikçi Charles Little'ın da bu problemi incelediğini öğrendi. Kombine çabalarıyla, tüm asal düğümleri 10'a kadar geçişli ve çoğu 11 geçişli olanları sınıflandırdılar. Şaşırtıcı bir şekilde, 10'a kadar olan masaları tamamlandı: Hiçbir düğümü kaçırmadılar.
Tait, Kirkman ve Little'ın gelecek yıllarda keşfedilecek olan teoremler ve teknikler olmadan bu kadar çok şey başarmış olması dikkat çekicidir. Ancak lehlerine çalışan bir şey, çoğu küçük düğümün "değişken" olması, yani geçişlerin tutarlı bir alt-alt-altı modeli sergilediği bir izdüşümleri olmasıydı.
Değişken düğümler, dönüşümlü olmayan düğümlerden daha kolay sınıflandırılmalarını sağlayan özelliklere sahiptir. Örneğin, bir düğümün herhangi bir izdüşümü için minimum geçiş sayısını bulmak zordur. Ancak yıllarca yanlışlıkla tüm düğümlerin dönüşümlü olduğunu varsayan Tait, bu minimum sayıyı bulup bulmadığınızı söylemenin bir yolunu tahmin etti: Değişen bir izdüşüm, düğümün bir kısmını ters çevirerek kaldırılabilecek hiçbir geçişe sahip değilse, o zaman olmalıdır. minimum geçiş sayısı ile projeksiyon.
Bu ve Tait'in değişen düğümlerle ilgili iki varsayımı daha doğru çıktı. Yine de bu ünlü varsayımlar, 1980'lerin sonlarına ve 90'ların başlarına kadar, düğüm teorisindeki çalışmaları nedeniyle Fields Madalyası kazanan Vaughan Jones tarafından 1984'te geliştirilen bir matematiksel araç kullanılarak kanıtlanamadı.
Ne yazık ki, değişen düğümler sizi yalnızca bir yere kadar götürür. Sekiz veya daha fazla geçişle düğüm attığımızda, dönüşümlü olmayan düğümlerin sayısı hızla artar ve Tait'in tekniklerini daha az kullanışlı hale getirir.
Tüm 10 geçiş düğümlerinin orijinal tablosu tamamlandı, ancak Tait, Kirkman ve Little iki kez sayıldı. 1970'lere kadar Princeton'da düğüm teorisi okuyan bir avukat olan Kenneth Perko, düğümlerden ikisinin birbirinin ayna görüntüsü olduğunu fark etmedi. Şimdi onun onuruna Perko çifti olarak biliniyorlar.
Geçen yüzyılda matematikçiler, düğümlerin gerçekten farklı olup olmadığını belirlemenin birçok akıllı yolunu buldular. Esasen, fikir, bir değişmez tanımla — düğümle ilişkilendirilen ve genellikle basitçe hesaplanabilen bir özellik, nicelik veya cebirsel varlık. (Bu özelliklerin renklendirilebilirlik, köprü numarası veya kıvranma gibi adları vardır.) Bu etiketlerle donanmış matematikçiler artık iki düğümü kolayca karşılaştırabilir: Herhangi bir nitelik bakımından farklılık gösteriyorlarsa, aynı düğüm değildirler. Ancak bu özelliklerin hiçbiri, matematikçilerin tam değişmez dedikleri şey değildir; bu, iki farklı düğümün aynı özelliğe sahip olabileceği anlamına gelir.
Tüm bu karmaşıklık nedeniyle, düğümlerin çizelgelenmesinin hala devam ediyor olması şaşırtıcı olmayabilir. En son, 2020'de Benjamin Burton tüm asal düğümleri sınıflandırdı 19'a kadar geçiş (bunların neredeyse 300 milyonu var).
Geleneksel düğüm teorisi yalnızca üç boyutta anlamlıdır: İki boyutta yalnızca düğümü çözmek mümkündür ve dört boyutta ekstra oda düğümlerin kendiliğinden çözülmesine izin verir, bu nedenle her düğüm çözülmemiş ile aynıdır.
Ancak, dört boyutlu uzayda küreleri düğümleyebiliriz. Bunun ne anlama geldiğini anlamak için sıradan bir küreyi düzenli aralıklarla dilimlediğinizi hayal edin. Bunu yapmak, enlem çizgileri gibi daireler verir. Bununla birlikte, ekstra bir boyutumuz olsaydı, küreyi düğümleyebilirdik, böylece şimdi iki yerine üç boyutlu olan dilimler düğüm olabilirdi.
Bu fikir, düğüm teorisindeki en büyük son sonuçlardan birinin arkasındaydı. 2018'de, o zamanlar yüksek lisans öğrencisi olan Lisa Piccirillo 50 yıllık bir soruyu çözdü John Conway tarafından keşfedilen 11 çapraz düğüm hakkında. Soru, dilimlilik adı verilen bir özellikle ilgiliydi. Gördüğümüz gibi, düğümlü bir küreyi dört boyutlu olarak dilimlediğimizde, üç boyutlu bir düğüm veya halka elde ederiz. Bazen düzgün bir şekilde düğümlenmiş güzel bir küreden belirli bir düğüm elde edebiliriz, ancak diğer düğümler için kürenin bir kağıt parçası gibi düğümlenmesi ve buruşması gerekir. Piccirillo, özünde Conway'in düğümünün ikinci türden olduğunu kanıtladı. Teknik lingo olarak, bunun "pürüzsüz bir dilim" olmadığını kanıtladı.
Düğüm teorisi, yüzyıllar boyunca matematiksel manzarayı çaprazladı. Thomson'ın maddenin yapısını anlamak için düğümleri kullanmaya çalışmasıyla, matematiğin uygulamalı bir alanı olarak başladı. Bu fikir ortadan kalktıkça, topolojinin ilgi çekici ve hala pratik olmayan alanının bir dalı olan saf matematiğin bir alanı haline geldi. Ancak son yıllarda bilim adamları düğüm teorisinden gelen fikirleri araştırmak için kullandıklarından, düğüm teorisi tekrar matematiğin uygulamalı bir alanı haline geldi. akışkan dinamiği, elektrodinamik, DNA gibi düğümlü moleküller ve benzeri. Neyse ki, bilim adamları başka şeyleri incelemekle meşgulken, matematikçiler sırlarını çözmek için düğümler ve araçlar katalogları oluşturuyorlardı.
