Вступ
Як і багато людей, які згодом стануть математиками, Вей Хо виріс, змагаючись у математичних олімпіадах. У восьмому класі вона виграла державний конкурс Mathcounts у Вісконсині, а її команда посіла третє місце на національному.
На відміну від багатьох майбутніх математиків, вона не була впевнена, що хотіла б нею стати.
«Я хотів робити все, весь час», — сказав Хо. «Я дуже серйозно ставився до балету до початкової школи. Редагував літературний журнал. Я проводив дебати та криміналістику. Я грав у теніс, футбол, піаніно та скрипку». Навпаки, багато успішних математиків були одержимі математикою, виключаючи все інше. Як вона, людина з численними пристрастями, могла конкурувати з таким рівнем зосередженості?
Зрештою Хо привернув суворість математики. Вона й досі любить балет, читає романи та розгадує загадкові кросворди, навіть коли допомагає заново винайти математичну машину, яка лежить в основі фундаментальних математичних об’єктів, таких як поліноміальні рівняння, з якими пов’язані давні та заплутані відкриті питання.
Хо вивчає знайомі геометричні об’єкти, але вона переформулює запитання, щоб помістити їх у сферу раціональних чисел — чисел, які можна записати у вигляді дробів. «Тоді до всього цього починає вмішуватися теорія чисел», — сказала вона.
Її особливо цікавлять еліптичні криві, які визначаються особливим типом поліноміального рівняння, яке має застосування в різних галузях математики. Еліптичні криві з’являються в аналізі — загалом кажучи, вивченні неперервних речей, як-от дійсних чисел — і в алгебрі, яка стосується пошуку та визначення точних математичних структур. (Хоча їхня спрямованість різна, аналіз і алгебра розділені скоріше чутливістю, ніж суворою межею, оскільки між ними багато збігів.)
Вступ
У надзвичайному препринті, опублікованому в 2018 році, Хо та її співробітник Левент Альпеге Гарвардського університету виявив нову верхню межу для кількості цілих розв’язків поліномів, які задають еліптичні криві. Їхня техніка спирається на десятирічну роботу Луїса Морделла, американського математика, який емігрував до Британії в 1906 році. У своїй статті Хо та Альпеге змогли зібрати нову інформацію про розподіл цих цілочисельних розв’язків, яка уникла інших груп, які вивчали подібні проблеми.
Хо проводить рік (у відпустці з посади викладача Мічиганського університету) як запрошений професор в Інституті перспективних досліджень, де її нещодавно призначили першим директором програми IAS «Жінки та математика». Вона також є стипендіатом Американського математичного товариства в 2023 році та науковим співробітником Прінстонського університету.
Вона сподівається, що керівництво програмою «Жінки та математика» «принаймні більше допоможе суспільству, допоможе більшій кількості людей, замість того, щоб я просто сиділа в своєму офісі й проводила математичні дослідження сама або з колегами», — сказала вона. «Я можу довести теореми, і, можливо, колись я зможу довести теорему, яка матиме значення через 100 років. Можливо, а може й ні. Але я відчував, що не справляю достатнього впливу на світ або людей навколо мене».
Quanta розмовляв з Хо під час серії відеоконференцій. Інтерв’ю було скорочено та відредаговано для ясності.
Як би ви описали те, як ви займаєтеся математикою?
Іноді математики поділяються на алгебраїків і аналітиків. Математика, якою я займаюся, торкається обох сторін, але в глибині душі я алгебраїст, хоча я геометричний у своєму мисленні. Я часто схильний розглядати алгебру та геометрію як одне й те саме.
Це не зовсім точно, але в основному з часів роботи Декарта і особливо в минулому столітті ці дві теми стали дуже близькими. Існує досить точний словник, який в деяких ситуаціях може допомогти перевести геометричну картину в алгебраїчні наслідки.
У моєму власному випадку геометрична картина часто допомагає сформулювати твердження та припущення та дає інтуїцію, але потім ми перекладаємо їх на алгебру під час письма. Легше виявити помилки, оскільки алгебра зазвичай більш сувора. Також легше використовувати алгебру, коли геометрію стає занадто важко візуалізувати.
На яких ідеях ви зосереджувалися у своїй останній роботі?
Значна частина моєї роботи пов’язана з еліптичними кривими, які є природними об’єктами в теорії чисел і арифметичній геометрії.
Мати цілі розв’язки таких рівнянь, як ці, має бути важко. Ми очікуємо, що майже всі криві не повинні мати цілих розв’язків. Але довести це дуже важко.
Левент і я досліджували цей розподіл кількості цілих точок. Ми використовуємо класичну конструкцію з книги Морделла 1969 року Діофантові рівняння. Ми можемо визначити верхню межу кількості інтегральних точок на еліптичній кривій. Інші люди вказали верхню межу. Ми знайшли іншу межу, яку легко встановити.
Яку роль відіграла попередня робота Морделла у вашому нещодавньому результаті?
Наше питання стосується цілих точок на еліптичних кривих. У Морделла є спосіб пов’язати це з чимось іншим, що ми можемо вивчити.
Це те, що ми постійно робимо в математиці: ми хочемо зрозуміти об’єкт, але нам потрібно знайти проксі, щоб зрозуміти його. Іноді цей проксі дуже точний. Іноді втрачає інформацію. Але насправді це те, до чого ми можемо отримати доступ.
Коли ви вирішили зосередитися на математиці?
Я не думаю, що для мене був переломний момент. Зараз я задоволений своїм життям і кар’єрою, але я відчуваю, що якби все було трохи інакше, я міг би бути щасливим у багатьох кар’єрах чи інших сферах. Можливо, більшість математиків цього не скажуть, тому що вони люблять говорити про те, наскільки вони захоплені математикою і що вони ніколи не могли думати ні про що інше. Щодо мене, я не думаю, що це правда.
Мені цікаво багато різних речей. Можливо, я став математиком тому, що був розчарований відсутністю строгості в інших сферах. У дитинстві мене навчили певним чином мислити як математик, тому що ми так робили вдома. Мій тато грав зі мною в математичні ігри, а це означало, що я вчився логічного міркування з дитинства. Я хотів, щоб речі були доведені.
Але я не був впевнений, що буду хорошим математиком.
Чому?
Коли я був молодшим, я не знав так багато математиків, які були схожі на мене різними способами. Ми розкидаємо ці слова про приклади для наслідування. Справа не тільки в тому, що я не бачив достатньо жінок або азіатських американок.
Я маю на увазі те, що я не бачив багатьох людей, які б захоплювалися іншими речами, окрім математики. Це змусило мене дуже сумніватися в собі. Як я можу досягти успіху в математиці, якщо я не витрачаю 100% свого часу на роздуми про математику? Ось що я побачив навколо себе. У мене склалося враження, що інші люди підходять до математики інакше, ніж я, мої однолітки та люди старші за мене. Я думав, що важко продовжувати кар’єру там, де я не буду таким. У мене були б інші інтереси.
Людський аспект - це те, про що я не бачив, щоб інші люди так сильно піклувалися. Я боявся, що ця частина мене зашкодить мені стати математиком.
Вступ
Вас щойно призначили директором програми IAS «Жінки та математика». Що ця програма пропонує жінкам-математикам?
Це тижневий семінар для жінок на різних етапах кар’єри, включно з жінками бакалаврату, аспірантами, постдокторантами та деякими молодшими та старшими викладачами. Це вивчення математики у сприятливому середовищі.
Студенти, які, можливо, не знали, що вони хочуть займатися математикою, зустрічаються з дуже старшими математиками та отримують наставництво на всьому шляху. Вони можуть бачити багатьох різних людей на різних етапах кар’єри та говорити з людьми про їхній досвід. Я не думаю, що є багато інших програм, які мають весь цей діапазон і зосереджені на певній підсфері.
Програма 2023 року називається «Патерни в цілих числах». Тут буде багато людей з адитивної комбінаторики та аналітичної теорії чисел. Ми залучаємо людей з різними кар’єрами, щоб вони познайомилися.
Для старших аспірантів, які вже працюють у цій галузі, вони зустрічаються з постдоками, молодшими та старшими викладачами у своїй галузі та отримують шанс попрацювати з ними протягом тижня.
Ви також берете участь у Проект стеків, який є обширним онлайн-ресурсом. Що в ньому унікального?
Величезний обсяг і доступність цього. Це величезний — понад 7,500 сторінок, якщо роздрукувати — спільний онлайн-проект. Але реально, [математик Колумбійського університету] Айсе Йохан де Йонг пише майже все. Це строгий, ретельно написаний ресурс для алгебраїчних геометрів. Це дивовижна річ, яку він зробив для громади.
З кожним тижнем або двома він зростає. Це надійна довідка майже для всього. Він охоплює величезну кількість алгебраїчної геометрії, яку вам потрібно було б переглянути, як 20 підручників.
Це життя в тому сенсі, що речі можна додавати та редагувати. Якщо є помилки, їх зловлять.
Інша річ, яка в цьому є цікавою, — це система тегів. Незважаючи на те, що цей документ постійно розширюється, ви все ще можете вічно посилатися на певний тег. Існує понад 21,000 XNUMX постійних тегів для конкретних результатів, які ви можете процитувати. Пітер Белманс побудував всю задню частину, яка також використовувалася в інших проектах. Інші люди адаптували цю технологію.
Проблема в тому, і Йохан це знає, що врешті-решт він не зможе продовжувати це писати. Колись, якщо ми хочемо, щоб це продовжувалося, потрібно, щоб інші люди були більше залучені.
Яку роль відіграють ваші майстерні в проекті Stacks?
Суть у тому, щоб почати залучати молодь. Ми змушуємо їх писати фрагменти, які згодом можуть увійти в нього. Тут є певна напруга, тому що, щоб веб-сайт залишався коректним і якісним як ресурс, його потрібно ретельно модерувати. Тож Йохану ще потрібно зробити багато роботи, щоб вкласти в нього речі. Це не може бути як Вікіпедія, де будь-хто може торкнутися цього. Це трохи прикро, але це повинно статися, якщо ви хочете, щоб це спрацювало.
Ми намагаємося знайти способи поступово залучати більше людей до проекту Stacks. Ми залучаємо менторів для роботи над проектами з аспірантами та постдокторантами. Вони вивчають алгебраїчну геометрію. Потім вони щось пишуть.
We щойно опубліковано том із купою роз’яснювальних статей, які, як ми сподіваємося, з часом увійдуть до проекту Stacks.
Проект Stacks може залишатися надзвичайно впливовим протягом сотень років, якщо достатньо людей залучиться та продовжуватиме його працювати.
