На початку 1950-х років група дослідників з Інституту перспективних досліджень приступила до високотехнологічного проекту. Біля найкраще Джона фон Неймана та Германа Голдстайна, фізик Гедвіг Сельберг запрограмував комп’ютер IAS із 1,700 вакуумними лампами для обчислення дивних математичних сум, походження яких сягає 18 століття.
Ці суми були пов’язані з квадратичними сумами Гаусса, названими на честь знаменитого математика Карла Фрідріха Гаусса. Гаусс вибрав би якесь просте число p, а потім підсумуйте числа у вигляді $latex e^{frac{2iπn^2}{p}}$. З моменту свого створення квадратичні суми Гаусса виявилися безцінними для таких завдань, як підрахунок розв’язків певних типів рівнянь. «Виявляється, що суми Гаусса є магічними, що вони просто роблять чудові речі з Бог зна якої причини», — сказав Джеффрі Гоффштайн, математик з Університету Брауна.
У середині 19 століття німецький математик Ернст Едуард Куммер грав із близьким родичем цих квадратичних сум Гаусса, де n2 у показнику степеня замінюється на an n3. Куммер помітив, що вони мали тенденцію збирати майже конкретні значення до дивовижного ступеня — гостре спостереження, яке призвело до століть досліджень теорії чисел.
Якщо кубічні суми Гаусса не переробити у простішу формулу, їх значення важко визначити. Не маючи такої формули, Куммер взявся за обчислення кубічних сум Гауса — і обчислював, і обчислював. «Тоді для них було дуже звично робити подібні героїчні обчислення вручну», — сказав він Метью Янг, математик Техаського університету A&M. Переглянувши 45 сум, що відповідають першим 45 нетривіальним простим числам, Куммер нарешті здався.
Оглядаючи свої результати, Куммер помітив дещо цікаве. Теоретично суми можуть бути будь-якими між −1 і 1 (після «нормалізації» — поділення на відповідну константу). Але коли він зробив обчислення, він виявив, що вони розподілені дивним чином. Половина результатів була від ½ до 1, і лише шоста з них була від −1 до −½. Здавалося, вони групуються навколо 1.
Куммер виклав свої спостереження разом із припущенням: якби вам якимось чином вдалося побудувати всі нескінченно багато кубічних сум Гауса, ви б побачили більшість із них між ½ та 1; менше від −½ до ½; і ще менше від −1 до −½.
Сельберг, фон Нейман і Голдстайн вирішили перевірити це на своєму першому комп’ютері. Сельберг запрограмував його для обчислення кубічних сум Гаусса для всіх нетривіальних простих чисел, менших за 10,000 600 — загалом близько 1 сум. (Голдстайн і фон Нейман стали авторами статті; її внески в кінці були віднесені до рядка подяки.) Вони виявили, що коли прості числа стають більшими, нормалізовані суми стають менш схильними групуватися біля XNUMX. З Переконливі докази того, що гіпотеза Куммера була помилковою, математики почали намагатися зрозуміти кубічні суми Гаусса глибше, що виходило за межі простого обчислення.
Цей процес завершено. У 1978 році математик Семюель Паттерсон наважився розгадати математичну таємницю Куммера, але не зміг цього довести. Тоді восени минулого року двоє математиків з Каліфорнійського технологічного інституту довели гіпотезу Паттерсона, нарешті завершивши роздуми Куммера з 1846 року.
Паттерсон вперше захопився цією проблемою, будучи аспірантом Кембриджського університету в 1970-х роках. Його припущення було вмотивовано тим, що відбувається, коли випадковим чином розміщують числа між −1 і 1. Якщо додати N з цих випадкових чисел типовий розмір суми буде $latexsqrt{N}$ (вона може бути додатною або від’ємною). Подібним чином, якби кубічні суми Гауса були рівномірно розкидані від −1 до 1, ви б очікували N з них, щоб додати приблизно $latexsqrt{N}$.
Маючи це на увазі, Паттерсон додав N кубічні суми Гауса, ігноруючи (на даний момент) вимогу дотримуватися простих чисел. Він виявив, що сума була приблизно N5/6 — більше ніж $latexsqrt{N}$ (що можна записати як N1/2), але менше ніж N. Це значення означало, що суми поводилися як випадкові числа, але зі слабкою силою, яка тиснула на них у напрямку позитивних значень, що називається зміщенням. як N ставали все більшими і більшими, випадковість почала б переважати зміщення, і тому, якби ви якимось чином поглянули на всі нескінченно багато кубічних сум Гауса одночасно, вони виглядали б рівномірно розподіленими.
Здавалося б, це пояснило все: розрахунки Куммера, які показали упередженість, а також розрахунки IAS, які спростовували це.
Але Паттерсон не зміг зробити такі ж обчислення для простих чисел, тому в 1978 році він офіційно записав це як припущення: Якщо скласти кубічні суми Гаусса для простих чисел, ви отримаєте те саме N5/6 поведінка.
Невдовзі після виступу про свою роботу над проблемою Куммера з Паттерсоном зв’язався аспірант на ім’я Роджер Хіт-Браун, який запропонував застосувати методи з теорії простих чисел. Обидва об’єдналися і незабаром опублікований прогрес у вирішенні проблеми, але вони все ще не можуть показати, що передбачив Паттерсон N5/6 зміщення було точним для простих чисел.
Протягом наступних десятиліть прогрес був незначним. Нарешті, на рубежі тисячоліть, Хіт-Браун зробив ще один прорив, у якому розроблений ним інструмент під назвою кубічне велике сито відіграв важливу роль.
Щоб використати кубічне велике решето, Хіт-Браун використав серію обчислень, щоб зв’язати суму кубічних сум Гауса з іншою сумою. За допомогою цього інструменту Хіт-Браун зміг показати, що якщо скласти кубічні суми Гауса для простих чисел, менших за N, результат не може бути набагато більшим ніж N5/6. Але він думав, що може зробити краще — що саме решето можна вдосконалити. Якби це могло, воно знизило б межу до N5/6 точно, таким чином доводячи гіпотезу Паттерсона. У короткому рядку тексту він накреслив, якою, на його думку, була б найкраща формула для решета.
Навіть маючи в руках цей новий інструмент, математики не змогли просунутися далі. Потім через два десятиліття сталася щаслива зустріч між постдокторантами Каліфорнійського технологічного інституту Олександр Данн та його керівник Максим Радзивіл ознаменував початок кінця. Перед тим, як Данн зайняв свою посаду у вересні 2020 року, Радзивілл запропонував їм разом попрацювати над гіпотезою Паттерсона. Але пандемія Covid-19 все ще вирує, дослідження та викладання тривали дистанційно. Нарешті, у січні 2021 року випадковість — або доля — втрутилася, коли двоє математиків несподівано зіткнулися один з одним на парковці в Пасадені. «Ми сердечно поспілкувалися й домовилися, що нам слід почати зустрічатися й говорити про математику», — написав Данн в електронному листі. До березня вони старанно працювали над доказом гіпотези Паттерсона.
«Це було захоплююче працювати, але надзвичайно високий ризик», — сказав Данн. «Я маю на увазі, я пам’ятаю, як приходив до свого офісу приблизно о 5 ранку щоранку протягом чотирьох чи п’яти місяців».
Данн і Радзивілл, як і Хіт-Браун перед ними, вважали кубічне велике сито необхідним для свого доказу. Але коли вони використали формулу, яку Хіт-Браун записав у своїй статті 2000 року — формулу, яку він вважав найкращим можливим ситом, припущення, яке спільнота теорії чисел вважала вірною — вони зрозуміли, що щось пішло не так. . «Після дуже, дуже складної роботи ми змогли довести, що 1 = 2», — сказав Радзівіл.
У цей момент Радзивіл був упевнений, що помилка була їхня. «Я був начебто переконаний, що в нашому доказі фактично є помилка». Данн переконав його в зворотному. Кубічне велике сито, всупереч очікуванням, не піддалося вдосконаленню.
Озброївшись правотою кубічного великого решета, Данн і Радзивілл переналаштували свій підхід до гіпотези Паттерсона. Цього разу їм це вдалося.
«Я вважаю, що це була головна причина, чому ніхто цього не зробив, тому що ця гіпотеза [Хіта-Брауна] вводила всіх в оману», — сказав Радзівіл. «Я думаю, якби я сказав Хіту-Брауну, що його припущення неправильне, то він, ймовірно, зрозумів би, як це зробити».
Данн і Радзивілл опублікували свою статтю 15 вересня 2021 року. Зрештою їхній доказ спирався на узагальнену гіпотезу Рімана, відому недоведену гіпотезу в математиці. Але інші математики бачать у цьому лише незначний недолік. «Ми хотіли б позбутися гіпотези. Але ми щасливі, що маємо умовний результат», — сказав Хіт-Браун, який зараз є почесним професором Оксфордського університету.
Для Хіт-Брауна робота Данна та Радзивіла є більш ніж просто доказом гіпотези Паттерсона. Завдяки несподіваному погляду на кубічне велике сито їхня стаття несподівано завершила історію, частиною якої він був десятиліттями. «Я радий, що насправді не написав у своїй статті: «Я впевнений, що цього можна позбутися», — сказав він, маючи на увазі шматочок решета, який Данн і Радзивілл відкрили як важливий. «Я просто сказав: «Було б добре, якби хтось міг цього позбутися». Здається, можливо, ти зможеш». І я помилився — не вперше».
