Вежа припущень, що тримається на голці | Журнал Quanta

У математиці проста задача часто не така, якою вона здається. Раніше цього літа, Quanta повідомив про одну з таких проблем: Яку найменшу площу можна вимести, обертаючи нескінченно тонку голку в усіх можливих напрямках? Оберніть його навколо центру, як циферблат, і ви отримаєте коло. Але покрутіть його спритніше, і ви зможете охопити як завгодно малу частину простору. Якщо вам не потрібно, щоб голка рухалася одним безперервним рухом, а замість цього просто розташуйте голку в усіх напрямках, ви можете побудувати розташування голок, яке не охоплює жодної області.

Математики називають ці розташування наборами Какея. Хоча вони знають, що такі набори можуть бути невеликими з точки зору площі (або об’єму, якщо ви розташовуєте свої голки в трьох або більше вимірах), вони вважають, що набори завжди мають бути великими, якщо їх розмір вимірюється метрикою, яка називається Хаусдорфа вимір.

Математикам ще належить довести це твердження, відоме як гіпотеза Какея. Але хоча це нібито просте запитання про голки, «геометрія цих наборів Kakeya лежить в основі цілого багатства питань у диференціальних рівняннях у частинних похідних, гармонічному аналізі та інших областях», сказав Джонатан Хікман Единбурзького університету.

Гіпотеза Какея лежить в основі ієрархії трьох центральних проблем гармонійного аналізу — розділу математики, який вивчає, як функції можна представити як суми періодичних функцій, як синусоїда, що регулярно коливається.

Наступною сходинкою в цій ієрархії є гіпотеза «обмеження». Якщо це правда, то й гіпотеза Какеї правдива. (Це також означає, що якщо гіпотеза Какея виявляється хибною, гіпотеза обмеження не може бути істинною.) Гіпотеза обмеження, у свою чергу, мається на увазі так званою гіпотезою Бохнера-Ріса. А на самому верху знаходиться гіпотеза локального згладжування.

Перші дві гіпотези стосуються поведінки перетворення Фур’є, техніки гармонійного аналізу, фактично для обчислення того, як виразити майже будь-яку функцію як суму синусоїд. Це один із найпотужніших математичних інструментів, доступних фізикам та інженерам. Перетворення Фур’є зіграло фундаментальну роль у розв’язанні диференціальних рівнянь, висловлюючи квантово-механічні ідеї, як-от принцип невизначеності Гейзенберга, а також аналізуючи й оброблюючи сигнали, завдяки чому можливими є сучасні мобільні телефони.

Оскільки кожне твердження в ієрархії передбачає те, що стоїть нижче, якщо гіпотеза Какея хибна, жодна з інших гіпотез не є істинною. Вся вежа впаде. «Ви можете створити контрприклад супермонстра, який розвіє багато припущень», — сказав Хікман.

З іншого боку, доведення істинності гіпотези Какея не означатиме автоматично правдивість цих інших гіпотез, але це дасть математикам важливе розуміння того, як діяти далі.

І отже, «майже половина спільноти гармонійного аналізу, яку я знаю, працює над цією та пов’язаними проблемами або працювала над ними колись», — сказав Шаомін Го Університету Вісконсіна, Медісон.

Зовсім недавно математики виявили, на свій подив, що методи, які вони розробили для вирішення цих проблем, також можуть бути використані для підтвердження важливих результатів у, здавалося б, незв’язаній галузі теорії чисел. «Це набагато більш загальне явище, ніж люди думали», — сказав Го.

Layer Cake

Історія починається з перетворення Фур'є. «Ви хочете розкласти [функції] на дрібні частини, проаналізувати їхню взаємодію та додати їх знову разом», — сказав Юмен Оу Університету Пенсільванії. Для одновимірних функцій — кривих, які можна побудувати на аркуші паперу — математики добре розуміють, як це зробити, навіть якщо їм потрібно змінити перетворення Фур’є, використовуючи лише деякі частини.

Але в двох або більше вимірах все може стати безладним.

У 1971, Чарлі Фефферман, математик з Прінстонського університету, з’ясував, як використовувати множини Какея, щоб продемонструвати, що зміна перетворення Фур’є може призвести до дивних і несподіваних результатів у багатьох вимірах.

Математики знайшли виправлення у формі гіпотези Бохнера-Ріса, яка, по суті, стверджує, що існують більш складні способи відновлення початкової функції, які не руйнуються, як у прикладі Феффермана. Але це виправлення залежало від правдивості припущення Какея.

Якщо це правда, «урізання частот призведе лише до невеликих помилок». Бетсі Стовалл Університету Вісконсіна, Медісон. «Це означає, що дрібні помилки не вибухають».

Так почалася ієрархія. Пізніше математики виявили ще один важливий зв’язок: якщо гіпотеза Бохнера-Ріса правдива, вона також передбачала твердження, яке називається гіпотезою обмеження. Ця гіпотеза стверджує, що якщо ви починаєте з обмеженої версії перетворення Фур’є — «обмежуючи» значення, на які ви дивитесь, лише тими, що знаходяться на певних поверхнях, — це все одно може дати вам важливу інформацію про вихідну функцію. І виявилося, що якщо гіпотеза про обмеження вірна, то й гіпотеза Какеї вірна. (Це помістило гіпотезу обмеження між Какеєю та Бохнером-Рісом у вежу.)

Головна проблема в ієрархії, яка називається гіпотезою локального згладжування, не стосується безпосередньо перетворення Фур’є, а скоріше обмежує розмір розв’язків рівнянь, що описують поведінку хвиль.

Ви також можете подумати про це в термінах геометрії ліній у наборі Kakeya. Ви можете розбити загальний розв’язок хвильового рівняння на кілька частин, які рухаються в різних напрямках і взаємодіють один з одним різними способами з часом. Кожна з цих частин математично нагадує голку в наборі Kakeya. Гіпотеза Какея стверджує, що така конфігурація не може мати надто багато збігів. У цьому фізичному контексті перекриття відповідатимуть збереженню неправильної та неочікуваної поведінки в рішенні. Наприклад, звукова хвиля може посилюватись у багатьох регіонах у різний час.

Гіпотеза локального згладжування стверджує, що такі нерівності повинні бути середніми. «Це схоже на середнє значення фінансового ринку», — сказав Кіпріан Деметра Університету Індіани в Блумінгтоні. «Тут і там можуть траплятися збої, але якщо ви інвестуєте свої гроші і вийдете на пенсію через 40 років, є хороший шанс, що ви отримаєте хороші інвестиції».

Але, як і з усіма припущеннями в ієрархії, це залежить від правдивості припущення Какеї. «Ідея полягає в тому, що якщо ви виключите багато перетинів у наборах Kakeya, це означає, що ви зможете виключити такі ситуації, коли частини вашого рішення змовляються разом, щоб створити якийсь вибух», — сказав Стовалл.

Ця гіпотеза є найскладнішою з групи: у той час як двовимірні випадки проблеми Какея, обмеження та Бохнера-Ріса були розв’язані десятиліття тому, гіпотезу двовимірного локального згладжування було доведено лише кілька років тому. (У вищих вимірах усі ці проблеми залишаються відкритими.)

Але незважаючи на повільний прогрес у доведенні гіпотези локального згладжування, робота над нею призвела до величезного прогресу в інших місцях. У 1999 році, намагаючись розв’язати цю гіпотезу, математик Томас Вольф запровадив метод, відомий як роз’єднання. Відтоді ця методика зажила власним життям: її використовували для великих проривів не лише в гармонічному аналізі, але й у теорії чисел, геометрії та інших областях. «Використовуючи результати відокремлення, тепер у вас є світові рекорди в дуже відомих і важливих проблемах», — сказав він Крістофер Согге Університету Джонса Гопкінса, який вперше сформулював гіпотезу локального згладжування в 1990-х роках. Наприклад, відокремлення було використано, щоб допомогти підрахувати, скільки способів ціле число можна представити у вигляді суми квадратів, кубів або будь-якої іншої степені.

Як сказав Деметр, ці результати можливі, оскільки «ми можемо розглядати числа як хвилі». Те, що всі ці проблеми пов’язані з наборами голок Kakeya, «захоплює», додав він. «Ви не думаєте, що стільки краси, труднощів і важливості може бути приховано в тому, що можна сформулювати за допомогою відрізків».