Розфарбовування за числами розкриває арифметичні моделі у дробах

Через рік після того, як він почав докторську дисертацію. з математики в університеті Макгілла Метт Боуен мав проблему. «Я складав свої кваліфікаційні іспити і справлявся з ними абсолютно жахливо», — сказав він. Боуен був упевнений, що його результати не відображають його математичні здібності, і вирішив це довести. Минулої осені він це зробив, коли він і його радник, Марчін Сабок, опублікував великий аванс у сфері, відомій як Теорія Рамсі.

Протягом майже століття теоретики Рамсі збирали докази того, що математична структура зберігається у ворожих обставинах. Вони можуть розбивати великі набори чисел, як-от цілі числа чи дроби, або розрізати зв’язки між точками в мережі. Потім вони знаходять способи довести, що певні структури є неминучими, навіть якщо ви намагаєтесь уникнути їх створення, ламаючи або розрізаючи хитрим способом.

Коли теоретики Рамсі говорять про розбиття набору чисел, вони часто використовують мову розфарбовування. Виберіть кілька кольорів: червоний, синій і жовтий, наприклад. Тепер призначте колір кожному номеру в колекції. Навіть якщо ви робите це випадковим або хаотичним чином, певні візерунки неминуче виникатимуть, доки ви використовуєте лише кінцеву кількість різних кольорів, навіть якщо ця кількість дуже велика. Теоретики Рамсі намагаються знайти ці шаблони, шукаючи структуровані набори чисел, які є «монохроматичними», тобто їхнім елементам присвоєно однаковий колір.

Перші результати фарбування відносяться до кінця 19 століття. У 1916 році Іссай Шур довів, що як би ви не розфарбували натуральні числа (також відомі як натуральні числа), завжди знайдеться пара чисел. x та y такий, що x, y, а їх сума х + у всі одного кольору. Протягом 20 століття математики продовжували працювати над проблемами розфарбовування. У 1974 році Ніл Хіндман розширений результат Щура щоб включити нескінченну підмножину цілих чисел. Як і теорема Шура, теорема Хіндмана застосовна незалежно від того, як пофарбовані натуральні числа (зі скінченною кількістю кольорових олівців). Мало того, що ці цілі числа в наборі Хіндмана всі одного кольору, але якщо ви підсумуєте будь-яку їх колекцію, результат також буде того кольору. Такі набори нагадують парні числа в тому, що так само, як будь-яка сума парних чисел завжди парна, так само сума будь-яких чисел в одному з наборів Хіндмана також містилася б у цьому наборі.

«Теорема Хіндмана — дивовижний математичний твір», — сказав Сабок. «Це історія, про яку ми можемо зняти фільм».

Але Хіндман вважав, що можливо більше. Він вважав, що можна знайти як завгодно велику (але скінченну) монохроматичну множину, яка містила б не лише суми своїх членів, але й добутки. «Я десятиліттями стверджував, що це факт», — сказав він, додавши: «Я не стверджую, що можу це довести».

Гіпотеза Хіндмана

Якщо ви відмовилися від суми й хочете лише переконатися, що добутки мають однаковий колір, можна легко адаптувати теорему Хіндмана, використовуючи піднесення до степеня для перетворення сум у добутки (подібно до логарифмічної лінійки).

Боротьба з сумами і продуктами одночасно, однак, набагато складніша. «Дуже важко змусити цих двох говорити один з одним», - сказав Джоел Морейра, математик Уорікського університету. «Розуміння зв’язку між додаванням і множенням — це, певним чином, основа всієї теорії чисел».

Навіть простіша версія, яку Гіндман вперше запропонував у 1970-х роках, виявилася складною. Він припустив, що будь-яке розфарбування натуральних чисел повинно містити монохроматичний набір у вигляді {x, y, xy, х + у} — два числа x та y, а також їх суму і добуток. «Протягом десятиліть люди не досягали жодного прогресу в цій проблемі», — сказав Боуен. «А потім раптом, приблизно у 2010 році, люди почали доводити все більше і більше речей про це».

Боуен дізнався про {x, y, xy, х + у} проблему в 2016 році, його другий семестр коледжу, коли один із його професорів в Університеті Карнегі-Меллона описав проблему в класі. Боуен був вражений його простотою. «Це одна з тих крутих речей, коли я не дуже знаю математику, але я можу це зрозуміти», — сказав він.

У 2017 році Морейра доведений Що ви може завжди знайти монохроматичну множину, що містить три з чотирьох бажаних елементів: x, xy та x + y. Тим часом Боуен почав невимушено вирішувати питання на останньому курсі. «Насправді я не міг вирішити цю проблему», — сказав він. «Але я б повертався до цього кожні шість місяців або близько того». Після його поганих результатів на доктора філософії. кваліфікаційних іспитів у 2020 році, він подвоїв свої зусилля. Через кілька днів він довів {x, y, xy, х + у} гіпотеза для випадку двох кольорів, результат, який Рон Грем уже довів ще в 1970-х роках за допомогою комп’ютера.

З цим успіхом Боуен працював із Сабоком, щоб розширити результат до будь-якої кількості кольорів. Але вони швидко заплуталися в технічних деталях. «Складність проблеми виходить з-під контролю, коли кількість кольорів велика», — сказав Сабок. Протягом 18 місяців вони намагалися вибратися, але невдало. «За ці півтора року у нас було близько мільйона неправильних доказів», — сказав Сабок.

Одна складність завадила двом математикам прогресувати. Якщо ви навмання виберете два цілих числа, ви, ймовірно, не зможете їх розділити. Ділення працює лише в тих рідкісних випадках, коли перше число кратне другому. Це виявилося надзвичайно обмеженим. Усвідомивши це, Боуен і Сабок повернулися до доказу {x, y, xy, х + у} припущення в раціональних числах (як математики називають дроби). Там цифри можна ділити на відмову.

Доведення Боуена і Сабока є найбільш елегантним, коли всі задіяні кольори часто з’являються в раціональних числах. Кольори можуть з’являтися «часто» різними способами. Кожна з них може охоплювати великі шматки числової прямої. Або це може означати, що ви не можете пройти надто далеко вздовж числової прямої, не побачивши кожного кольору. Однак зазвичай кольори не відповідають таким правилам. У таких випадках ви можете зосередитися на невеликих регіонах у межах раціональних чисел, де кольори з’являються частіше, пояснив Сабок. «Це основна частина роботи», — сказав він.

У жовтні 2022 року Боуен і Сабок опублікували доказ того, що якщо розфарбувати раціональні числа скінченною кількістю кольорів, буде набір у вигляді {x, y, xy, х + у}, усі елементи якого мають однаковий колір. «Це неймовірно розумний доказ», — сказав Імре Лідер Кембриджського університету. «Він використовує відомі результати. Але він поєднує їх у абсолютно блискучий, дуже оригінальний, дуже інноваційний спосіб».

Питань залишається багато. Можна третє число z бути доданим до колекції разом із наступними сумами та продуктами? Задовольнити найсміливіші прогнози Хіндмана означало б додати до послідовності четверте, п’яте та, зрештою, довільну кількість нових чисел. Це також потребує переходу від раціональних чисел до натуральних чисел і пошуку способу обійти головоломку ділення, яка стримувала зусилля Боуена та Сабока.

Лідер вважає, що, оскільки Морейра, Боуен і Сабок працюють над цією проблемою, цей доказ може бути недалеким. «Ці хлопці, здається, особливо блискучі в пошуку нових способів робити речі», - сказав він. «Тож я налаштований оптимістично, що вони або деякі їхні колеги можуть знайти це».

Сабок більш обережний у своїх прогнозах. Але він нічого не виключає. «Одна з принад математики полягає в тому, що поки ви не отримаєте доказ, усе можливо», — сказав він.