Як хтось може з упевненістю говорити про нескінченність? Що ми насправді можемо знати про таємничі прості числа, не знаючи їх усіх? Подібно до того, як вченим потрібні дані, щоб оцінити свої гіпотези, математикам потрібні докази, щоб підтвердити або спростувати припущення. Але що вважається доказом у нематеріальній сфері теорії чисел? У цьому епізоді Стівен Строгатц розмовляє з Мелані Матчетт Вуд, професора математики Гарвардського університету, щоб дізнатися, як ймовірність і випадковість можуть допомогти створити докази для безперервних аргументів, які вимагаються від математиків.
Слухай далі Apple Podcasts, Spotify, Підкасти Google, брошюровщик, Налаштувати або ваш улюблений додаток для подкастингу, або ви можете транслювати його з Quanta.
Розшифровка
Стівен Строгац (00:02): Я Стів Строгац, а це так Радість чому, подкаст від Журнал Quanta який приведе вас до деяких із найбільших запитань у математиці та науці, на які немає відповіді сьогодні. У цьому епізоді ми поговоримо про докази в математиці. Які види доказів використовують математики? Що спонукає їх підозрювати, що щось може бути правдою, поки вони не отримають надійних доказів?
(00:26) Це може звучати як парадокс, але виявляється, що міркування, засновані на теорії ймовірності, вивченні випадковості та випадковості, іноді можуть призвести до того, чого насправді прагнуть математики, а саме до впевненості, а не просто ймовірності. Наприклад, у розділі математики, відомому як теорія чисел, існує довга історія використання випадковості, щоб допомогти математикам здогадатися, що правда. Тепер ймовірність використовується, щоб допомогти їм довести, що правда.
(00:53) Тут ми зосередимося на простих числах. Ви, мабуть, пам'ятаєте прості числа, чи не так? Ви дізналися про них у школі. Просте число — це ціле число, більше за 1, яке можна поділити лише на 1 і на себе. Наприклад, 7 або 11. Це прості числа, але 15 ні, тому що 15 можна порівну поділити на 3 або 5. Ви можете думати про прості числа як про елементи в періодичній таблиці хімії, у сенсі що вони є неподільними атомами, з яких складаються всі інші числа.
(01:27) Здається, що прості числа мають бути простими, але одні з найбільших загадок у математиці – це питання про прості числа. У деяких випадках питання, які існують сотні років. У простих числах дійсно є щось дуже тонке. Вони ніби живуть на кордоні між порядком і випадковістю. Мій сьогоднішній гість допоможе нам більше зрозуміти природу доказів у математиці, а особливо те, як і чому випадковість може так багато розповісти нам про прості числа, і чому моделі, засновані на ймовірності, можуть бути такими корисними на передньому краї теорії чисел. Мелані Матчетт Вуд, професор математики Гарвардського університету, приєднується до мене, щоб обговорити все це. Ласкаво просимо, Мелані!
Мелані Матчетт Вуд (02:09): Привіт, приємно з тобою поговорити.
Строгац (02:11): Дуже приємно з тобою спілкуватися, я великий фанат. Давайте поговоримо про математику та науку у зв’язку одне з одним, тому що ці слова часто вживаються разом, і все ж методи, які ми використовуємо для отримання доказів і певності в математиці, дещо відрізняються від тих, які ми намагаємося зробити в науці. Наприклад, коли ми говоримо про збір доказів у математиці, чим це те саме чи чим це відрізняється від збору доказів науковим методом у науці?
дерево (02:38): Математичний доказ — це абсолютно герметичний, повний логічний аргумент того, що якесь математичне твердження має бути таким і не може бути іншим. Отже, на відміну від наукової теорії — яка може бути найкращою, що ми маємо на основі доказів, які ми маємо сьогодні, але ми отримаємо більше доказів, ви знаєте, у наступні 10 років, і, можливо, з’явиться нова теорія — математичний доказ каже, що якесь твердження має бути саме таким, ми не можемо виявити, що воно буде неправильним через 10 чи 20 років.
Строгац (03:17): Ну, а які речі вважаються доказами в математиці?
дерево (03:19): Отже, ви можете побачити, що щось правдиве у багатьох прикладах. І ґрунтуючись на тому, що це правда в багатьох прикладах, які, можливо, можна сказати, будуть доказами цього факту, ви могли б зробити припущення, те, що математики назвали б здогадкою, припущенням, що щось правдиве. Але тоді математики хотіли б отримати доказ того, що те, що ви бачили в багатьох прикладах, завжди працюватиме так, як ви стверджували.
Строгац (03:49): Правильно, дуже відрізняється від ваги доказів. Це твердження про те, що є причина, чому щось буде істинним назавжди, назавжди, у кожному випадку.
дерево (03:58): І не просто «ну добре, я переглянув мільйон випадків, і це правда в кожному з них». Що є приводом здогадуватися чи припускати, що це завжди правда. Але в математиці ми розрізняємо припущення, яке може базуватися на багатьох випадках або доказах, і наявність теореми чи доказу, аргументу, який говорить вам, що він працюватиме в кожному випадку, навіть у тих, які ви не знаєте. не пробував.
Строгац (04:25): Чи математики просто вибагливі за своєю природою, чи бувають випадки, коли щось, що здавалося істинним, до деякої дуже великої кількості можливостей, закінчувалося неправдивим за межами якогось іншого великого числа ?
дерево (04:39): О, це чудове запитання. Ну, ось приклад, який мені подобається, тому що я люблю прості числа. Отже, коли ви переглядаєте прості числа — 2, 3, 5, 7 — одну з речей, які ви можете зробити, ви можете поглянути і сказати: «Гей, вони діляться на 2?» А це виявляється не дуже цікаво. Після 2 жодне з них не ділиться на 2. Вони всі, усі вони непарні.
(05:10) І тоді ви можете подумати: «А чи діляться вони на 3?» І, звичайно, після 3 вони також не можуть ділитися на 3, оскільки вони прості числа. Однак ви можете помітити, що деякі з них, коли ви ділите їх на 3, ви отримуєте залишок 1, що вони на 1 більше, ніж кратне 3. Отже, такі речі, як 7, що на 1 більше, ніж 6, або 13 , що на 1 більше за 12. І деякі з цих простих чисел, наприклад 11 або 17, що на 2 більше за 15, вони матимуть залишок 2, коли ви ділите їх на 3, тому що вони на 2 більше, ніж кратне 3.
(05:47) Ви можете подумати про ці прості числа в командах. Команда 1 – це всі ті, які на 1 більше, ніж кратне 3, а Команда 2 – це всі ті, які на 2 більше, ніж 3. І коли ви переглядаєте прості числа та перелічуєте прості числа, ви можете перерахувати всі прості числа, і ви можете підрахувати, і побачити, скільки в команді 1, а скільки в команді 2. І якщо ви підрахуєте до 600 мільярдів, у кожній точці, кожне число до 600 мільярдів, ви побачите, що простих чисел команди 2 більше, ніж простих чисел команди 1. Отже, ви можете природно припустити, грунтуючись на цьому доказі, що завжди буде більше простих чисел команди 2, ніж простих чисел команди 1.
Строгац (06:33): Звичайно. Цілком схоже на це.
дерево: Виявляється, при цифрі близько 608 мільярдів з чимось, я забув точну цифру, вона змінюється.
Строгац (06:46): Ну давай.
дерево: Так, це дійсно змінюється. І ось раптом команда 1 лідирує. Отже, це -
Строгац (06:53): Почекай хвилинку. Зачекайте, але це дивовижно. Що — тепер вони продовжують змінюватися? Чи знаємо ми, що відбувається, коли ви продовжуєте? Вони постійно змінюються?
дерево (07:01): Так, чудове запитання. Отже, справді, є теорема, що вони нескінченно часто змінюватимуть контакти.
Строгац (07:07): Справді?
дерево: Тож вони продовжуватимуть торгувати потенційними клієнтами. Але це справді чудовий приклад, про який слід пам’ятати, коли ви вивчаєте прості числа, те, що те, що щось було правдою для перших 600 мільярдів випадків, не означає, що це буде правдою завжди.
Строгац (07:25): О, нічого собі. приємно Гаразд. Отже, як взагалі, як ви переходите від припущення до доказу?
дерево (07:31): Це залежить від конкретного випадку. Я маю на увазі, що в математиці є багато випадків, коли ми маємо припущення, але не маємо доказів. Отже, немає якогось простого рецепту, щоб перейти від гіпотези до доказу, інакше ми б не мали стільки відомих відкритих проблем, де, знаєте, є деякі — деякі гіпотези, що люди думають, що щось працює певним чином, але ми не не знаю це напевно. Але, знаєте, інколи припущення може наводити причини того, що щось правдиве. Іноді це просто математична теорія, яка побудована на все новій і новій математичній теорії, яку люди розробляли протягом сотень років, дає нам достатньо інструментів і структури для роботи, щоб зрозуміти речі, які ми отримуємо докази. Але це не те, що гіпотеза обов’язково веде до доказу. Гіпотеза може надихнути людей спробувати знайти доказ, але спосіб отримання доказу може бути повністю відокремленим від самої гіпотези.
Строгац (08:31): Так, мені цікаво перерахувати або перерахувати типи доказів, які не є доказами, які змушують людей мати впевненість у тому, що спробувати знайти доказ варто.
дерево (08:41): Так, ще одна річ, яку ми можемо назвати доказом, а не просто приклади, це евристика. Евристика може бути чимось на кшталт аргументу, за винятком значно нижчого стандарту строгості. Це просто як, це здається добре? Не «чи я абсолютно точно встановив цей факт поза будь-яким сумнівом?» але «робить це — так, це здається досить правдоподібним». Отже, евристика може бути лінією міркувань, яка здається досить правдоподібною, знаєте, але насправді не є строгим аргументом. Тож це один із видів доказів.
(09:12) Іноді може бути модель, яка, на нашу думку, відображає основні елементи математичної системи, яку ми намагаємося зрозуміти, і тоді ви можете припустити, що ваша система має таку саму поведінку, як і ваша модель.
Строгац (09:30): Гаразд. У якийсь момент я хочу почути кілька прикладів моделей і припущень і, знаєте, наскільки вони працюють або не працюють на деякі запитання чи ні, але, якщо ви не заперечуєте, я б хотілося б повернутися лише до кількох особистих речей, тому що ми тут говоримо про числа, а ви – теоретик чисел. Люди можуть не знати багатьох теоретиків чисел у своєму повсякденному житті. Отже, мені цікаво, чи можете ви сказати нам що таке теорія чисел, а також, чому вам це цікаво? Чому ви прийшли це вивчати?
дерево (10:02) Ну, теорія чисел — це математичне вивчення цілих чисел. Отже, подумайте про 1, 2, 3, 4, 5. І, зокрема, однією з важливих речей у цілих числах є прості числа. Як ви пояснили, на самому початку, це будівельні блоки, з яких ми можемо за допомогою множення побудувати всі інші числа. Отже, оскільки теорія чисел стурбована всіма цими цілими числами, вона також стурбована їхніми будівельними блоками, простими числами та тим, як інші числа розкладаються на прості числа та як вони побудовані з простих чисел.
Строгац (10:37): Отже, теорія чисел для наших сьогоднішніх цілей, я думаю, буде вивченням цілих чисел, з особливим інтересом до простих чисел. Здається, це непоганий початок. Я вважаю, що це більше, ніж це. Але, можливо, для нас зараз це гарне визначення. Ви так думаєте?
дерево (10:50): Це добре, це гарний початок. Я маю на увазі, що з цього моменту можна досліджувати такі речі, як, ну, а що, якщо ви почнете розглядати системи числення, які є складнішими, ніж просто цілі числа? Наприклад, ви починаєте вводити інші числа, наприклад квадратний корінь з 2, тоді що відбувається з простими числами та розкладанням на множники? Ви отримуєте додаткові запитання. Але, чесно кажучи, є багато насиченої та красивої математики лише в цілих і простих числах.
Строгац (11:16): Отже, маючи це на увазі, чому ви вважаєте це переконливим? Чому вам подобається вивчати теорію чисел? Що вас до нього привернуло?
дерево (11:22): Мені подобається, що питання можуть бути такими конкретними. Знаєте, я ходжу і спілкуюся з дітьми початкової школи. І я можу розповісти їм про деякі речі, про які я думаю. Тому мені цікаво працювати над тим, що, з одного боку, питання можуть бути такими конкретними, а з іншого боку, головоломка спроби її вирішення може бути такою важкою. Я маю на увазі, що люди намагалися відповісти на питання про цілі числа, про прості буквально тисячі років.
(11:54) І є багато розділів математики. Однією з важливих частин сучасної теорії чисел є те, що для досягнення прогресу в цих упертих старих питаннях, над якими люди так довго працювали, потрібно привнести нові ідеї та встановити зв’язки з іншими частинами математики. Отже, хоча я б назвав себе теоретиком чисел, я використовую математику з усіх різних галузей. Від вивчення, знаєте, геометрії та топології та форм простору до ймовірності та вивчення випадковості. Я використовую всі види математики, але намагаюся сказати щось про такі речі, як цілі числа, прості числа та розкладання на множники.
Строгац (12:36): Так, мені подобається це бачення математики як цієї гігантської взаємопов’язаної мережі ідей, і ви можете хотіти жити в певній її частині, яка є вашою улюбленою. Але ви згадали прості числа як особливу сферу інтересів у теорії чисел, насправді її найбільш фундаментальну частину. Що в них важкого? Поки не зрозуміло, в нашій дискусії, що там загадкового? Оскільки ми їх визначили, то, мабуть, ми могли б продовжувати їх перераховувати. Яким із тих проблем, про які ви маєте на увазі, сотні років?
дерево (13:05): Ну, одне з найбільших і найважливіших запитань, якому, можливо, близько 120 років або близько того, ви сказали: «О, ви могли б їх перерахувати. Якби ви це зробили, скільки б ви знайшли?» Отже, припустимо, ви перерахували прості числа до ста, або тисячі, або ста тисяч, або мільйона, мільярда. Коли ви перераховуєте прості числа до все більших і більших чисел, скільки з цих чисел, які ви проходите, насправді будуть простими? Отже, розуміння того, що кількість – це справді серце гіпотеза Рімана, який є одним із Інституту математики Клея Проблеми премії тисячоліття, є приз у мільйон доларів за відповідь. Це одне з найвідоміших запитань, і ми не маємо уявлення, як це зробити, і насправді це лише питання про те, коли ви перелічуєте ці прості числа, скільки ви знайдете?
Строгац (13:58): Гаразд. Смішно, правда? Бо коли ви починаєте складати список, навіть якщо хтось випадково почав перераховувати числа, які є простими до 100, ви помічаєте деякі смішні речі. Наприклад, спочатку 11 і 13, вони 2 один від одного. П’ятнадцять, ну, це не працює, тому що воно ділиться на 5 і 3. Потім 17, тож між 4 і 13 є проміжок 17. Але тоді 19 знову близько. Я не знаю, я маю на увазі, тому відстань між простими числами може бути трохи хиткою. Іноді там є досить велика щілина, а іноді вони розташовані поруч один з одним, лише 2 один від одного.
дерево (14:31): Так, розуміння цього інтервалу та цих прогалин також було великим питанням інтересу. За останнє десятиліття відбувся значний прогрес у розумінні інтервалів між простими числами. Але все ще є справді спокусливе, основне запитання, на яке ми не знаємо відповіді. Отже, ви згадали, що ці прості числа, 11 і 13, розділені лише на 2. Тому такі прості числа називаються простими числами-близнюками. Ми не могли очікувати, що прості числа будуть віддалені ближче ніж на 2, оскільки після 2 вони всі мають бути непарними. Ось відкрите запитання з математики, тобто ми не знаємо відповіді, а це: Чи існує нескінченна кількість пар простих чисел-близнюків? І тому тут є припущення, припущення було б, так. Я маю на увазі, що існує не тільки припущення, що «так, вони повинні тривати вічно, і їх завжди повинно бути більше», але є навіть припущення про те, скільки їх ви знайдете по ходу. Але це абсолютно відкрито. Наскільки ми знаємо, може статися так, що як тільки ви досягаєте справді великого числа, вони просто зупиняються, і ви взагалі більше не знаходите пар подвійних простих чисел.
Строгац (15:40): У цьому є щось дуже поетичне, зворушливе, у цій думці, начебто, що це може стати кінцем лінії в якийсь момент. Я маю на увазі, що ніхто з нас, напевно, не вірить у це. Але можливо, я гадаю, цілком можливо, що є якась остання самотня пара близнюків, що тулиться в темряві, далеко там, знаєте, на числовій прямій.
дерево (15:57): Так, може бути. І, знаєте, як математики, ми б сказали, знаєте, ми не знаємо. Навіть якби ви могли по ходу роботи побудувати графік того, скільки ви знайшли, якщо ви побудуєте цей графік, виявиться, що він справді безперечно зростає та зростає зі швидкістю, яка ніколи… ніколи не зміниться. Але я думаю, що частково різниця між математикою та наукою полягає в тому, що ми зберігаємо цей скептицизм і кажемо: ну, ми не знаємо. Я маю на увазі, можливо, в якийсь момент графік просто перевернеться, і їх більше не буде.
Строгац (16:29): Отже, мені подобається ваше зображення графіка, тому що я думаю, що кожен може віднестись до цієї ідеї, створити діаграму, створити якийсь графік. Ви знаєте, думати про прості числа як про дані. І тому я думаю, що це, можливо, гарний час для нас, щоб почати говорити про теорію ймовірностей. І здається трохи дивним говорити про ймовірність і статистику у зв’язку з простими числами, тому що тут немає шансів. Прості числа визначаються визначенням, яке ми дали, що вони не діляться. Але математики та теоретики чисел, як і ви, використовували статистичні або ймовірнісні аргументи, міркуючи про прості числа. Мені цікаво, чи можете ви намалювати щось подібне для мене, використовуючи підкидання монети, і повернемося до того, про що ми говорили на початку, парних і непарних чисел.
дерево (17:14): Гаразд. Отже, на відміну від простих чисел, ми насправді дуже добре розуміємо схему парних і непарних чисел. Вони йдуть непарні, парні, непарні, парні, звичайно. Але припустімо, що ми не розуміли цієї моделі. І ми використовуємо це, щоб зрозуміти, скільки непарних чисел ви можете знайти, якщо подивіться на всі числа до мільйона. Ви можете уявити, оскільки є дві можливості, число може бути непарним або число може бути парним, що, можливо, хтось пішов і підкинув монету за кожне число, і якщо монета випала головами, число було непарним. А якщо монета випадала решкою, то число було парним. Таким чином, ваша людина, яка підкидає монети, може як би йти вздовж числової прямої, підкидаючи монету під кожне число, і виходить, скажімо, оголосити це число непарним або парним.
(18:03) Зараз, з одного боку, це нонсенс. З іншого боку, модель підкидання монети допоможе зробити деякі речі правильно. Наприклад, якщо ви скажете, ви знаєте, приблизно, скільки з чисел до мільйона є парними? Ми знаємо, що приблизно кількість підкидань монети, які, скажімо, призведуть до хвилі, якщо ви зробите величезну кількість підкинь монети, наприклад мільйон, становить приблизно половину з них. Отже, ця модель, якою б безглуздою вона не була, все ж може робити деякі прогнози правильно. І я повинен сказати, що це може здатися дурним, тому що ми вже знаємо відповідь на це питання. Ідея полягає в тому, що ми створюємо моделі для більш складних шаблонів, наприклад, де серед чисел з’являються прості числа, а не лише там, де з’являються шанси.
Строгац (18:55): Так. Я маю на увазі, я думаю, що нам потрібно підкреслити це — наскільки глибоко таємничими є прості числа. Немає формули для простих чисел, як є формула для непарних чисел. Наприклад, якщо ви думаєте, о, давай, це... ми дійсно говоримо про абсурдні речі тут, насправді дуже цінно мати ці статистичні моделі, які можуть передбачати властивості, які є середніми властивостями. Подібно до аналога, половина чисел, менших за велике число, будуть непарними. Це те, що у випадку простих чисел є дуже серйозним і цікавим питанням. Яка частка чисел, менших за велике, є простими? І, як ви сказали, ви можете створити статистичну модель, яка буде відповідати цьому. І що тоді, ту саму модель можна використати, щоб передбачити, скільки простих чисел-близнюків буде менше великого числа? Чи добре виконує свою роботу та сама модель у цьому випадку?
дерево (19:41): Отже, у випадку простих чисел, якби ми будували модель — ви знаєте, і є модель, яку використовують математики, яка називається модель простих чисел Крамера — якби ми побудували модель простих чисел із підкиданням монети, у якій ми б уявили, як хтось йде вздовж числової прямої, і біля кожного числа, ви знаєте, кидає монету, скажімо, щоб вирішити, чи це число є простим чи ні, ми б включити в цю модель стільки, скільки ми знаємо про прості числа. Отже, по-перше, ми знаємо, що великі числа менш імовірно будуть простими, ніж менші числа. Тож ці монети потрібно було б зважити. І ми... ми повинні спробувати ввести саме ті ваги, які ми очікуємо. І ми знаємо такі речі, як те, що ви не можете мати два прості числа поруч, тому що одне з них має бути непарним, а одне з них має бути парним. Тож ми вклали це в модель. Крім того, є багато речей, які ми знаємо про прості числа.
(20:37) Отже, модель — це те, що починається з цієї моделі підкидання монети, але потім вона модифікується всіма цими іншими правилами та всіма іншими речами, які ми знаємо про прості числа. І як тільки ви вкладаєте всі ті речі, які ми знаємо, у модель, ви запитуєте цю модель підкидання монети, знаєте, модель, ну, ви бачите, нескінченно часто монети, що з’являються в перших числах із різницею 2? І модель каже вам, о, так, ми це бачимо. Фактично, ми бачимо це в цій дуже конкретній швидкості, для якої ми можемо дати вам формулу. А потім, якщо ви побудуєте графік кількості фактичних простих чисел-близнюків, у фактичних числах, де немає підкинутих монет, проти того, що передбачає модель, ви побачите, що модель дає вам дуже точний прогноз щодо кількості пар простих чисел-близнюків ви знайдете, як ви підете. І тоді ви думаєте, ви знаєте, можливо, ця модель знає, про що говорить.
Строгац (21:31): Чудово. Я маю на увазі, що це дуже важливо, до чого ми щойно дійшли, що ви ще не вживали слово комп’ютери. Але я припускаю, що ви не робите це вручну. Люди, які перелічують прості числа-близнюки, я не знаю, про що ми говоримо? Трильйон трильйон трильйон? Я маю на увазі, що ми говоримо про великі цифри, чи не так?
дерево (21:49): Що ж, для переліку простих чисел-близнюків, тобто, це було б зроблено комп’ютером, абсолютно точно. Але для побудови цієї моделі та формули, яку вона дає. Ви знаєте, це робиться вручну, по суті, математиками, які думають про модель і з’ясовують її.
Строгац (22:07): Це так круто. Ось де модель показує свої речі, щоб модель фактично могла передбачити те, що бачить комп’ютер. І для цього не потрібен комп’ютер, щоб зробити такий прогноз. Це можна зробити вручну, людьми, і насправді це може привести до доказів. За винятком того, що це докази властивостей моделі, ще не обов’язково докази того, що вас цікавить.
дерево (22:28): Так. І в якийсь момент комп’ютер зупиняється. Ви знаєте, тут просто так багато обчислювальної потужності. Але та формула, яку ви отримаєте, яку дасть вам модель, яку ви зможете довести, є істинною, знову ж таки, щодо цієї модельної ситуації підкидання монети, ця формула продовжуватиме діяти. Ви можете вводити в цю формулу все більші числа, набагато більші, ніж ваш комп’ютер міг би коли-небудь обчислити.
Строгац (22:53): Отже, ви трохи розповідали нам про те, як випадковість може допомогти створити моделі цікавих явищ у теорії чисел, і я впевнений, що це також справедливо і в інших частинах математики. Чи є випадки, коли ви можете використовувати випадковість для надання фактичних доказів, а не лише моделей?
дерево (23:10): Абсолютно. Ще один розділ математики називається теорією ймовірностей. А в теорії ймовірностей вони доводять теореми про випадкові системи та їх поведінку. І ви можете подумати, що якщо ви починаєте з чогось випадкового і щось з цим робите, у вас завжди буде щось випадкове. Але одна з чудових речей, які можна знайти в теорії ймовірностей, полягає в тому, що іноді ви можете отримати щось детерміноване з чогось випадкового.
Строгац (23:45): Ну як це працює? Як що?
дерево (23:48): Так. Отже, ви бачили дзвоноподібну криву, або нормальний розподіл, математики б це назвали. У природі з’являється повсюдно. Як це здається, якщо ви подивіться на кров’яний тиск людей, або вагу дитини при народженні, або щось таке. І ви можете подумати, о, ця дзвоноподібна крива, що це, це факт природи. Але насправді існує теорема, яка називається центральною граничною теоремою в теорії ймовірностей, яка говорить вам, що насправді ця дзвоноподібна крива в певному сенсі є не фактом природи, а фактом математики. Центральна гранична теорема говорить вам, що якщо ви поєднуєте цілу групу невеликих випадкових ефектів незалежно один від одного, результат цього завжди відповідатиме певному розподілу. Ця форма, ця дзвоноподібна крива. Математика та теорія ймовірності можуть довести, що якщо у вас є... якщо ви поєднуєте багато маленьких незалежних випадкових речей, результат усієї цієї комбінації дасть вам розподіл, який виглядає як ця дзвоноподібна крива. І так — навіть якщо ви не знаєте, якими були входи. І це дійсно потужна теорема і дійсно потужний інструмент у математиці.
Строгац (25:05): Так, звичайно. І мені сподобався ваш наголос на тому, що вам не потрібно знати, що відбувається з маленькими ефектами. Це те, якимось чином, це вимивається. Ця інформація не потрібна. Дзвоноподібна крива передбачувана, навіть якщо ви не знаєте, яка природа невеликих ефектів. Поки їх багато і їх мало. І вони не впливають один на одного, вірно, вони незалежні, в якомусь сенсі.
дерево (25:27): Так, безумовно. І отже, ви знаєте, це ідея, іноді це називають універсальністю в теорії ймовірностей, що є певні типи машин, які, якщо ви введете багато випадкових вхідних даних, ви можете передбачити результат. Як, наприклад, що ви отримаєте цю дзвоноподібну криву або цей нормальний розподіл, навіть якщо ви не знаєте, що ви вкладаєте в машину. І це неймовірно сильно, коли є речі, які ми не дуже добре розуміємо, тому що...
Строгац (25:56): Отже, ви хочете мені сказати — о, вибачте, що перериваю вас — але ви хочете сказати мені, що це також відбувається в теорії чисел зараз? Що якимось чином ми отримуємо ідею універсальності, щоб з’явитися в теорії чисел? Або я мрію?
дерево (26:09): Ну, певною мірою я б сказав, що це моя мрія, яка починається. Ви знаєте, ми просто робимо перші кроки для того, щоб це було реалізовано. Тож це не лише твоя мрія, це й моя мрія. Деяка робота, яку я роблю сьогодні і над якою я і мої співробітники, намагаюся втілити таку мрію в реальність, щоб деякі з цих загадкових запитань про числа, на які ми не знаємо відповіді, можливо, могли розуміти, що є шаблони, які виявляються, як дзвоноподібна крива, як нормальний розподіл, які ми можемо довести, що вийшли з машини, навіть якщо ми не знаємо, які таємниці були закладені.
Строгац (26:55): Насправді це дуже надихаюче, хвилююче бачення, і я сподіваюся, що воно все збудеться. Велике спасибі за сьогоднішню розмову з нами, Мелані.
дерево (27:03): Дякую. Це було дуже весело.
Диктор (27:06): Якщо хочете Радість чому, перевірте Науковий подкаст журналу Quanta, яку веду я, Сьюзан Валот, одна з продюсерів цього шоу. Також розкажіть своїм друзям про цей подкаст і поставте нам лайк або підпишіться, де ви слухаєте. Це допомагає людям знайти Радість чому подкаст
Строгац (27: 26): Радість чому це подкаст від Журнал Quanta, редакційно незалежне видання за підтримки Фонду Саймонса. Рішення про фінансування, прийняті Фондом Саймонса, не впливають на вибір тем, гостей чи інші редакційні рішення в цьому подкасті або в Журнал Quanta. Радість чому продюсерами Сьюзен Валот і Поллі Страйкер. Нашими редакторами є Джон Ренні та Томас Лін за підтримки Метта Карлстрома, Енні Мелчор та Лейли Сломан. Нашу музичну тему написав Річі Джонсон. Наш логотип створено Джекі Кінгом, а ілюстрації для епізодів — Майкл Драйвер та Семюель Веласко. Я ваш господар, Стів Строгац. Якщо у вас є запитання чи коментарі до нас, будь ласка, напишіть нам на quanta@simonsfoundation.org. Спасибі за слухання.
