Ісаак Ньютон не був відомий своєю щедрістю духу, а його зневага до суперників була легендарною. Але в одному листі до свого конкурента Готфріда Лейбніца, нині відомого як Epistola Posterior, Ньютон виглядає ностальгічним і майже дружелюбним. У ньому він розповідає історію зі студентських років, коли тільки починав вивчати математику. Він розповідає, як зробив велике відкриття, прирівнявши площі під кривими до нескінченних сум за допомогою процесу вгадування та перевірки. Його міркування в листі настільки чарівні та доступні, що це нагадує мені ігри на відгадування візерунків, у які люблять грати маленькі діти.
Все почалося, коли молодий Ньютон прочитав Джона Волліса Arithmetica Infinitorum, основоположна робота з математики 17-го століття. Уолліс включив новий та індуктивний метод визначення значення Пі, і Ньютон хотів винайти щось подібне. Він почав із задачі знаходження площі «кругового сегмента» регульованої ширини $латекс x$. Це область під одиничним колом, визначена $latex y=sqrt{1-x^2}$, яка лежить над частиною горизонтальної осі від 0 до $латекс x$. Тут $латекс x$ може бути будь-яким числом від 0 до 1, а 1 є радіусом кола. Площа одиничного кола дорівнює пі, як добре знав Ньютон, тож коли $латекс х=1$, площа під кривою становить чверть одиничного кола, $latexfrac{π}{4}$. Але для інших значень $латекс x$, нічого не було відомо.
Якби Ньютон міг знайти спосіб визначити площу під кривою для кожного можливого значення $латекс x$, це може дати йому безпрецедентний засіб наближення числа Пі. Це спочатку був його великий план. Але по дорозі він знайшов щось ще краще: метод заміни складних кривих нескінченними сумами простіших будівельних блоків, складених зі степенів $латекс x$.
Першим кроком Ньютона було міркування за аналогією. Замість того, щоб безпосередньо шукати площу кругового сегмента, він досліджував площі аналогічних сегментів, обмежених такими кривими:
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}$,
$latex y_1=(1-x^2)^frac{1}{2}$,
$latex y_2=(1-x^2)^frac{2}{2}$,
$latex y_3=(1-x^2)^frac{3}{2}$,
$latex y_4=(1-x^2)^frac{4}{2}$,
$latex y_5=(1-x^2)^frac{5}{2}$,
$latex y_6=(1-x^2)^frac{6}{2}$.
Ньютон знав, що площі під кривими в списку з цілими ступенями (наприклад, $latex frac{0}{2}=0$ і $latex frac{2}{2} = 1$) буде легко обчислити, оскільки вони спрощують алгебраїчно. Наприклад,
$latex y_0=(1-x^2)^frac{0}{2}=(1-x^2)^0=1$.
Крім того,
Але таке спрощення недоступне для рівняння кола — $latex y_1 = sqrt {1-x^2}=(1-x^2)^frac{1}{2}$— або інших кривих із півступенями. Тоді ніхто не знав, як знайти територію під будь-яким із них.
На щастя, площі під кривими з цілими ступенями були простими. Візьмемо криву $latex y_4=1-2x^2+x^4$. Добре відоме на той час правило для таких функцій дозволяло Ньютону (і будь-кому іншому) швидко знаходити площу: для будь-якої степені цілого числа $latex nge 0$ площа під кривою $latex y=x^n$ над інтервал від $латекс 0$ до $латекс x$ визначається як $latex frac{x^{n+1}}{n+1}$. (Уолліс здогадався про це правило за допомогою свого індуктивного методу, а П’єр де Ферма остаточно довів його.) Озброївшись цим правилом, Ньютон знав, що площа під кривою $latex y_4$ дорівнює $latex x- frac{2x^3}{3 } + frac{x^5}{5}$.
Те саме правило дозволило йому знайти площу під іншими кривими з цілими ступенями у списку вище. Запишемо $latex A_n$ для площі під кривою $latex y_n = (1-x^2)^frac{n}{2}$, де $latex n= 0, 1, 2, …$ . Застосування правила дає
$латекс A_0=x$
$latex A_1 = hspace{.295em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = hspace{.295em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 =hspace{.295em}? $
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$
і так далі. Хитра ідея Ньютона полягала в тому, щоб заповнити прогалини, сподіваючись вгадати $latexA_1$ (ряд для невідомої площі кругового сегмента) на основі того, що він міг побачити в інших рядах. Одне відразу стало зрозуміло: кожен $latexA_n$ починався просто з $latex x$. Це запропонувало змінити формули так:
$латекс A_0=x$
$latex A_1 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_2 = x -frac{1}{3}x^3$
$latex A_3 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_4 = x -frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$
$latex A_5 = xhspace{.247em}-hspace{.247em}?$
$latex A_6 = x -frac{3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 – frac{1}{7}x^7$.
Потім, щоб замінити наступну партію знаків питання, Ньютон подивився на умови $latex x^3$. З невеликою ліцензією ми можемо побачити, що навіть $latexA_0$ мав один із цих кубічних членів, оскільки ми можемо переписати це як $latex A_0 = x-frac{0}{3}x^3$. Як пояснив Лейбніцу Ньютон, він зазначив, що «другі члени $latex frac{0}{3}x^3, frac{1}{3}x^3, frac{2}{3}x^3, frac{ 3}{3}x^3$ тощо були в арифметичній прогресії» (він мав на увазі 0, 1, 2, 3 у чисельниках). Підозрюючи, що ця арифметична прогресія також може поширюватися на прогалини, Ньютон припустив, що вся послідовність чисельників, відомих і невідомих, має бути числами, розділеними $latex frac{1}{2} (0, frac{1}{2 }, 1, frac{3}{2}, 2, frac{5}{2}, 3 …)$ «а отже, перші два члени серії», які його цікавили, — досі невідомий $latex A_1$ , $latex A_3$ і $latex A_5$ — «має бути $latex x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3), x-frac{1}{3} (frac {3}{2}x^3), x-frac{1}{3}(frac{5}{2}x^3)$ тощо.»
Таким чином, на цьому етапі шаблони підказали Ньютону, що $latex A_1$ має починатися як
$latex A_1 = x-frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3) + …$.
Це був хороший початок, але йому потрібно було більше. Шукаючи інші моделі, Ньютон помітив, що знаменники в рівняннях завжди містили непарні числа в порядку зростання. Наприклад, подивіться на $latex A_6$, у знаменниках якого 1, 3, 5 і 7. Той самий шаблон спрацював для $latex A_4$ і $latex A_2$. Досить просто. Ця закономірність, очевидно, збереглася в усіх знаменниках усіх рівнянь.
Залишилося знайти закономірність у числівниках. Ньютон знову оглянув $latex A_2$, $latex A_4$ і $latex A_6$ і щось помітив. У $latex A_2 = x-frac{1}{3}x^3$ він побачив 1, що множить $latex x$, і ще одну 1 у терміні $latexfrac {1}{3}x^3$ (він проігнорував його негативний знак на даний момент). У $latex A_4 = x-frac{2}{3}x^3 + frac{1}{5}x^5$ він побачив чисельники 1, 2, 1. А в $latex A_6=x-frac{ 3}{3}x^3 + frac{3}{5}x^5 -frac{1}{7}x^7$ , він побачив чисельники 1, 3, 3, 1. Ці числа повинні бути знайомі кожному хто коли-небудь вивчав трикутник Паскаля, трикутну систему чисел, яка, у найпростішому вигляді, створюється додаванням чисел над ним, починаючи з 1 угорі.
Замість того щоб посилатися на Паскаль, Ньютон назвав ці чисельники «ступенями числа 11». Наприклад, 112 = 121, що є другим рядком у трикутнику, і 113 = 1331, що є третім. Нині ці числа також називають біноміальними коефіцієнтами. Вони виникають, коли ви розкладаєте степені бінома, як-от ($latex a +b$), як у $latex (a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b+3ab^2 +1b^3$. Маючи в руках цей шаблон, Ньютон тепер мав простий спосіб виписати $latex A_2, A_4, A_6$ та всі інші парні номери Aс.
Далі, щоб екстраполювати свої результати на півступені та непарні індекси (і нарешті отримати бажаний ряд, $latex A_1$), Ньютону потрібно було розширити трикутник Паскаля до фантастичного нового режиму: на півдорозі між рядками. Щоб виконати екстраполяцію, він вивів загальну формулу для біноміальних коефіцієнтів у будь-якому заданому рядку трикутника Паскаля — рядку $latex m$ — а потім сміливо вставив $latex m= frac{1}{2}$. І дивно, це спрацювало. Це дало йому чисельники в ряді, який він шукав для одиничного кола, $latexA_1$.
Ось, за словами самого Ньютона, його короткий виклад Лейбніцу закономірностей, які він індуктивно помітив до цієї стадії аргументації:
Я почав розмірковувати про те, що знаменники 1, 3, 5, 7 тощо були в арифметичній прогресії, тому лише числові коефіцієнти чисельників все ще потребували дослідження. Але в почергово заданих областях це були цифри степенів числа 11 … тобто спочатку «1»; потім '1, 1'; по-третє, '1, 2, 1'; по-четверте '1, 3, 3, 1'; по-п’яте, «1, 4, 6, 4, 1» тощо, тому я почав запитувати, як решта цифр у серії можна вивести з перших двох заданих цифр, і я виявив, що, поставивши $latex m$ для другої фігура, решта буде отримано безперервним множенням членів цього ряду,
$latex frac{m-0}{1} помножити на frac{m-1}{2} помножити на frac {m-2}{3} помножити на frac{m-3}{4} помножити на frac {m-4}{5 }$ тощо.
… Відповідно я застосував це правило для вставлення рядів у ряди, і оскільки для кола другий член був $latex frac{1}{3}(frac{1}{2}x^3)$, я поставив $latex m=frac{1}{2}$, і умови, що виникають, були
$latex frac {1}{2} помножити на frac{frac{1}{2}-1}{2}$ або $latex -frac{1}{8}$,
$latex -frac{1}{8} помножити на frac{frac{1}{2}-2}{3}$ або $latex + frac{1}{16}$,
$latex frac{1}{16} помножити на frac{frac{1}{2}-3}{4}$ або $latex – frac {5}{128}$,так до нескінченності. Звідки я зрозумів, що площа кругового сегмента, яку я хотів, була
$latex x-frac{frac{1}{2}x^3}{3}-frac{frac{1}{8}x^5}{5}-frac{frac{1}{16}x^7}{7}-frac{frac{5}{128}x^9}{9}$ etc.
Нарешті, підключивши $latex x=1$, Ньютон міг отримати нескінченну суму для $latexfrac{π}{4}$. Це було важливе відкриття, але виявилося, що існують кращі способи наближення числа Пі за допомогою нескінченної суми, як сам Ньютон невдовзі виявив після цього першого набігу на ці види нескінченних сум, які тепер називаються степеневими рядами. Зрештою він обчислив перші 15 цифр Пі.
Повертаючись до проблеми кругового сегмента, Ньютон зрозумів, що рівняння самого кола (а не тільки площі під ним) також може бути представлено степеневим рядом. Все, що йому потрібно було зробити, це опустити знаменники та зменшити степені $latex x$ на 1 у степеневому ряді, показаному вище. Таким чином він був змушений здогадатися про це
Щоб перевірити, чи цей результат має сенс, Ньютон помножив його сам на себе: «Воно стало $latex 1-x^2$, а решта членів зникли внаслідок продовження ряду до нескінченності».
Трохи відступаючи від деталей, ми бачимо тут кілька уроків щодо вирішення проблем. Якщо проблема занадто складна, змініть її. Якщо це здається занадто конкретним, узагальніть його. Ньютон зробив і те, і інше, і отримав результати важливіші та потужніші, ніж те, чого він спочатку прагнув.
Ньютон не вперто зациклювався на чверті кола. Він розглядав більш загальну форму, будь-який круглий сегмент шириною $latex x$. Замість того, щоб дотримуватися $latex x=1$, він дозволив $latex x$ вільно переходити від 0 до 1. Це виявило біноміальний характер коефіцієнтів у його серії — несподівана поява чисел у трикутнику Паскаля та їх узагальнення — які дозволив Ньютону побачити закономірності, які Уолліс та інші не помітили. Побачивши ці закономірності, Ньютон отримав знання, необхідні для ширшого й загального розвитку теорії степеневих рядів.
У його пізніших роботах степеневий ряд Ньютона дав йому швейцарський армійський ніж для обчислення. З ними він міг робити інтеграли, знаходити корені алгебраїчних рівнянь і обчислювати значення синусів, косинусів і логарифмів. Як він сказав, «за їх допомогою аналіз досягає, можна сказати, усіх проблем».
Мораль: змінити проблему – це не обман. Це креативно. І це може бути ключем до чогось більшого.
