У третьому столітті до нашої ери Архімед поставлений загадка про випасання худоби, яку, за його словами, може розгадати лише справді мудра людина. Його проблема зрештою звелася до рівняння, яке містить різницю між двома квадратами, які можна записати як x2 - dy2 = 1. Тут d є цілим числом — додатним або від’ємним числом підрахунку — і Архімед шукав рішення, де обидва x та y також є цілими числами.
Цей клас рівнянь, званий рівняннями Пелла, зачаровував математиків протягом тисячоліть.
Кілька століть після Архімеда індійський математик Брахмагупта, а пізніше математик Бхаскара II запропонували алгоритми для знаходження цілочисельних розв’язків цих рівнянь. У середині 1600-х років французький математик П’єр де Ферма (який не знав про цю роботу) знову відкрив, що в деяких випадках, навіть коли d було присвоєно відносно невелике значення, найменші можливі цілі рішення для x та y може бути масовим. Коли він надіслав серію проблемних завдань математикам-конкурентам, вони включили рівняння x2 - 61y2 = 1, найменші розв’язки якого мають дев’ять або десять цифр. (Щодо Архімеда, його загадка по суті вимагала цілочисельних розв’язків рівняння x2 - 4,729,494y2 = 1. «Щоб надрукувати найменше рішення, потрібно 50 сторінок», — сказав Пітер Койманс, математик Мічиганського університету. «У якомусь сенсі це гігантський троль Архімеда».)
Але рішення рівнянь Пелла можуть зробити набагато більше. Наприклад, скажімо, ви хочете приблизно визначити $latex sqrt{2}$, ірраціональне число, як відношення цілих чисел. Виходить, що вирішення рівняння Пелля x2 - 2y2 = 1 може допомогти вам у цьому: $latex sqrt{2}$ (або, загалом, $latex sqrt{d}$) можна добре наблизити, переписавши розв’язок у вигляді дробу форми x/y.
Можливо, ще більш інтригуючим є те, що ці рішення також розповідають вам дещо про певні системи числення, які математики називають кільцями. У такій системі числення математики можуть приєднати $latex sqrt{2}$ до цілих чисел. Кільця мають певні властивості, і математики хочуть зрозуміти ці властивості. Виявляється, рівняння Пелла може допомогти їм у цьому.
І тому «багато дуже відомих математиків — майже кожен математик у певний період часу — фактично вивчали це рівняння через те, наскільки воно просте», — сказав Марк Шустерман, математик Гарвардського університету. Серед цих математиків були Ферма, Ейлер, Лагранж і Діріхле. (Джон Пелл, не дуже; рівняння було помилково названо на його честь.)
Тепер Койманс і Карло Пагано, математик з університету Конкордія в Монреалі підтвердив припущення десятиліттями давності пов’язане з рівнянням Пелла, яке кількісно визначає, як часто певна форма рівняння має цілі розв’язки. Для цього вони імпортували ідеї з іншої галузі — теорії груп — і водночас отримали краще розуміння ключового, але таємничого об’єкта дослідження в цій галузі. «Вони використовували дійсно глибокі та красиві ідеї», — сказав Ендрю Гранвіль, математик Монреальського університету. «Вони дійсно впоралися».
Зламана арифметика
На початку 1990-х рр. Пітер Стівенхаген, математик з Лейденського університету в Нідерландах, був натхненний деякими зв’язками, які він побачив між рівняннями Пелла та теорією груп, щоб зробити припущення про те, як часто ці рівняння мають цілі розв’язки. Але «я не очікував, що це буде доведено найближчим часом», — сказав він — або навіть за його життя. Доступні методики здавалися недостатньо сильними для вирішення проблеми.
Його припущення залежить від особливостей кілець. У кільці чисел, де, наприклад, $latex sqrt{-5}$ було додано до цілих чисел (математики часто працюють з «уявними» числами, такими як $latex sqrt{-5}$), є два різні способи розкласти число на прості множники. Число 6, наприклад, можна записати не тільки як 2 × 3, а й як (1 + $latex sqrt{-5}$) × (1 – $latex sqrt{-5}$). У результаті в цьому кільці унікальне розкладання на прості множники — центральний принцип арифметики, який практично сприймається як належне в нормальних цілих числах — руйнується. Ступінь, до якого це відбувається, кодується в об’єкті, пов’язаному з цим кільцем, який називається групою класів.
Один із способів, за допомогою якого математики намагаються отримати глибше розуміння системи числення, яка їх цікавить, — скажімо, $latex sqrt{2}$, приєднана до цілих чисел — це обчислити та вивчити її групу класів. Проте визначити загальні правила поведінки класних груп у всіх цих різних системах числення майже непомірно важко.
У 1980-х роках математики Анрі Коен та Хендрік Ленстра висунув широкий набір припущень щодо того, як мають виглядати ці правила. Ці «евристики Коена-Ленстри» можуть розповісти вам багато про групи класів, які, у свою чергу, мають розкрити властивості їхніх базових систем числення.
Була лише одна проблема. Хоча багато обчислень, здається, підтверджують евристику Коена-Ленстри, вони все ще є припущеннями, а не доказами. «Щодо теорем, донедавна ми майже нічого не знали», — сказав Алекс Бартель, математик Університету Глазго.
Цікаво, що типова поведінка класової групи нерозривно переплітається з поведінкою рівнянь Пелла. Розуміння однієї проблеми допомагає зрозуміти іншу — настільки, що гіпотеза Стівенхагена «також була тестовою проблемою для будь-якого прогресу, досягнутого в евристиці Коена-Ленстри», сказав Пагано.
Нова робота включає негативне рівняння Пелла, де x2 - dy2 встановлюється рівним −1 замість 1. На відміну від оригінального рівняння Пелля, яке завжди має нескінченну кількість цілих розв’язків для будь-якого d, не всі значення d у негативному рівнянні Пелля дають рівняння, яке можна розв’язати. Брати x2 - 3y2 = −1: незалежно від того, як далеко вздовж числової прямої ви шукаєте, ви ніколи не знайдете розв’язку x2 - 3y2 = 1 має нескінченну кількість розв’язків.
Насправді значень дуже багато d для яких не можна розв’язати від’ємне рівняння Пелля: на основі відомих правил про те, як певні числа співвідносяться одне з одним, d не може бути кратним 3, 7, 11, 15 і так далі.
Але навіть якщо ви уникаєте цих цінностей d і розглянемо лише решту негативних рівнянь Пелля, все одно не завжди можливо знайти рішення. У цьому меншому наборі можливих значень d, яка пропорція насправді працює?
У 1993 році Стівенхаген запропонував формулу, яка дала точну відповідь на це питання. Зі значень для d які можуть спрацювати (тобто значення, не кратні 3, 7 тощо), він передбачив, що приблизно 58% дадуть негативні рівняння Пелля з цілими розв’язками.
Припущення Стівенхагена було мотивовано, зокрема, зв’язком між негативним рівнянням Пелла та евристикою Коена-Ленстри щодо класових груп — зв’язком, який використали Койманс і Пагано, коли 30 років потому вони нарешті довели його правоту.
Краща гармата
У 2010 році Койманс і Пагано ще були студентами — ще не знайомі з гіпотезою Стівенхагена — коли вийшла стаття, в якій було зроблено перший прогрес у цій проблемі за багато років.
У тій роботі, яка була опубліковано в Аннали математики, математики Етьєн Фуврі та Юрген Клюнерс показали, що частка значень о d що спрацювало б для негативного рівняння Пелла, потрапляло в певний діапазон. Для цього вони вивчили поведінку деяких елементів відповідних груп класів. Але їм потрібне розуміння багатьох інших елементів, щоб визначитися зі значно точнішою оцінкою Стівенхагена в 58%. На жаль, ці елементи залишалися незбагненними: все ще були потрібні нові методи, щоб зрозуміти їхню структуру. Подальший прогрес здавався неможливим.
Потім, у 2017 році, коли Койманс і Пагано разом навчалися в аспірантурі Лейденського університету, з'явився папір що змінило все. «Коли я побачив це, я відразу зрозумів, що це дуже, дуже вражаючий результат», — сказав Койманс. «Це було таке: добре, тепер у мене є гармата, з якої я можу стріляти в цю проблему, і сподіваюся, що зможу досягти прогресу». (У той час Стівенхаген і Ленстра також були професорами Лейдена, що допомогло зацікавити Койманса та Пагано цією проблемою.)
Стаття була написана аспірантом Гарварду, Олександр Сміт (який зараз є стипендіатом Клея в Стенфорді). Койманс і Пагано були не єдині, хто вітав цю роботу як прорив. «Ідеї були приголомшливими, — сказав Гранвіль. «Революціонер».
Сміт намагався зрозуміти властивості розв’язків рівнянь, званих еліптичними кривими. Роблячи це, він розробив певну частину евристики Коена-Ленстри. Це був не лише перший важливий крок у зміцненні цих ширших припущень як математичних фактів, але він залучав саме ту частину класової групи, яку Койманс і Пагано мали зрозуміти у своїй роботі над гіпотезою Стівенхагена. (Цей твір включав елементи, які Фуврі та Клюнерс вивчали у своєму частковому результаті, але він також виходив далеко за їх межі.)
Однак Койманс і Пагано не змогли просто відразу застосувати методи Сміта. (Якби це було можливо, сам Сміт, ймовірно, зробив би це.) Доказ Сміта стосувався груп класів, пов’язаних із правильними числовими кільцями (такими, у яких $latex sqrt{d}$ примикає до цілих чисел) — але він врахував усі цілі значення d. Койманс і Пагано, з іншого боку, думали лише про крихітну підмножину цих значень d. У результаті їм потрібно було оцінити середню поведінку серед набагато меншої частини класних груп.
Ці класові групи по суті становили 0% класових груп Сміта — це означає, що Сміт міг їх викинути, коли писав свій доказ. Вони зовсім не сприяли середній поведінці, яку він вивчав.
І коли Койманс і Пагано спробували застосувати його техніку лише до тих класних груп, які їх цікавили, методи відразу ж вийшли з ладу. Щоб змусити їх працювати, парі потрібно буде внести значні зміни. Крім того, вони характеризували не лише одну класову групу, а скоріше розбіжності, які могли існувати між двома різними класовими групами (це було б основною частиною їхнього доказу гіпотези Стівенхагена) — для чого також знадобилися деякі різні інструменти.
Тож Койманс і Пагано почали ретельніше переглядати статтю Сміта в надії точно визначити, де все почало збиватися з колії. Це була важка, кропітка робота не лише тому, що матеріал був дуже складним, а тому, що Сміт у той час ще вдосконалював свій препринт, вносячи необхідні виправлення та уточнення. (Він опублікував нова версія його статті онлайн минулого місяця.)
Цілий рік Койманс і Пагано вивчали доказ разом, рядок за рядком. Вони зустрічалися щодня, обговорюючи певний розділ за обідом, а потім проводили кілька годин за дошкою, допомагаючи один одному опрацьовувати відповідні ідеї. Якщо один із них досягав прогресу самостійно, він надсилав іншому повідомлення, щоб повідомити його. Шустерман пригадує, як іноді бачив, як вони працювали довго до ночі. Незважаючи на (або, можливо, через) труднощі, які це спричинило, «це було дуже весело робити разом», — сказав Койманс.
Зрештою вони визначили, де їм потрібно спробувати новий підхід. Спочатку вони змогли зробити лише скромні покращення. Разом з математиками Стефані Чан та Джорджо Мілович, вони з’ясували, як керувати деякими додатковими елементами в групі класів, що дозволило їм отримати кращі межі, ніж у Фуврі та Клюнерса. Але значні частини структури класової групи все ще вислизали від них.
Однією з головних проблем, з якою їм довелося розв’язати — те, для чого метод Сміта більше не працював у цьому новому контексті — було переконатися, що вони справді аналізують «середню» поведінку класних груп як значення d ставав все більшим і більшим. Щоб встановити правильний ступінь випадковості, Койманс і Пагано довели складний набір правил, які називаються законами взаємності. Зрештою це дозволило їм отримати необхідний контроль над різницею між двома класовими групами.
Цей прогрес у поєднанні з іншими дозволив їм нарешті завершити доказ гіпотези Стівенхагена на початку цього року. «Дивно, що вони змогли повністю її вирішити», — сказав Чан. «Раніше ми мали всі ці проблеми».
Те, що вони зробили, «здивувало мене», сказав Сміт. «Koymans і Pagano начебто зберегли мою стару мову і просто використовували її, щоб просувати все далі й далі в напрямку, який я вже майже не розумію».
Найгостріший інструмент
З того часу, як він представив це п’ять років тому, доказ Сміта однієї частини евристики Коена-Ленстри розглядався як спосіб відкрити двері для безлічі інших проблем, включаючи питання про еліптичні криві та інші цікаві структури. (У своїй статті Койманс і Пагано перераховують близько дюжини припущень, над якими вони сподіваються використати свої методи. Багато з них не мають нічого спільного з негативним рівнянням Пелла чи навіть класовими групами.)
«Багато об’єктів мають структуру, яка не відрізняється від такого роду алгебраїчних груп», — сказав Гранвіль. Але багато тих самих перешкод, з якими довелося зіткнутися Коймансу та Пагано, також присутні в цих інших контекстах. Нова робота з негативним рівнянням Пелла допомогла розібрати ці перешкоди. «Олександр Сміт розповів нам, як створити ці пилки та молотки, але тепер ми повинні зробити їх якомога гострішими, якомога сильнішими та адаптованими до різних ситуацій», — сказав Бартел. «Одна з речей, яку робить ця стаття, — це багато в чому йде в цьому напрямку».
Тим часом уся ця робота допомогла уточнити розуміння математиками лише одного аспекту класових груп. Решта припущень Коена-Ленстри залишаються недосяжними, принаймні на даний момент. Але стаття Койманса і Пагано «є ознакою того, що методи, які ми маємо для вирішення проблем Коена-Ленстри, дещо вдосконалюються», — сказав Сміт.
Сам Ленстра був таким же оптимістичним. Це «абсолютно вражаюче», — написав він в електронному листі. «Це справді відкриває нову главу в галузі теорії чисел, яка така ж стара, як і сама теорія чисел».
